Chứng minh rằng tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn tâm M.. Bài 22.[r]
(1)Ứng dụng tỉ số phương tích
Nguyễn Văn Linh
Sinh viên K50 TCNH ĐH Ngoại thương
1 Giới thiệu
Chúng ta cơng thức hiệu số phương tích điểm hai đường tròn
Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1, R1) (O2, R2) có trục đẳng phương d Xét điểm
M bất kì, gọiK hình chiếu M trênd, H giao điểm O1O2 vớid Khi đóPM/(O1)− PM/(O2)= 2O1O2·KM (1)
I H
K
O1 O2
M
Chứng minh GọiI trung điểm O1O2
Ta cóPM/(O1)− PM/(O2)= (M O12−R21)−(M O22−R22) =M O12−M O22+R22−R21= (M O12−M O22) + (HO22−HO21) = (−−−→M O1−
−−−→
M O2)(−−−→M O1+ −−−→
M O2)−(−−→HO1− −−→
HO2)(−−→HO1+ −−→
HO2)
=−−−→O2O1·2 −−→
M I−−−−→O2O1·2 −→
HI
= 2−−−→O2O1·( −−→
M I−−→HI) = 2−−−→O2O1· −−→
M H
= 2−−−→O2O1· −−→
M K = 2O1O2·KM
Nhận xét Nếu điểm M nằm (O2) ta có PM/(O2) = 0, cơng thức hiệu số phương tích trở thành:
PM/(O1) = 2O1O2·KM (2) Từ có hệ sau:
Hệ Cho ba đường tròn (O1),(O2),(O3) đồng trục điểm M nằm trên(O3) Khi PM/(O1)
PM/(O2) =
O3O1
O3O2
Chứng minh GọiK hình chiếu củaM trục đẳng phương dcủa đường tròn Theo nhận xét ta có PM/(O1)
PM/(O2) =
O1O3·KM
O2O3·KM
= O3O1
O3O2
(2)Ngược lại, ta có:
Hệ 2.Quỹ tích điểm M thỏa mãn PM/(O1)
PM/(O2) =kkhông đổi đường tròn đồng trục với(O1) và(O2)
Chứng minh Dựng đường tròn(O3)quaMsao cho(O3),(O1),(O2)đồng trục, suy raO1, O2, O3thẳng hàng
Theo hệ PM/(O1)
PM/(O2) =
O3O1
O3O2 =k
Do đóO3 cố định Với vị trí tâmO3 có đường trịn đồng trục với (O1) và(O2) Như vậy(O3)khơng phụ thuộc vào vị trí củaM, tức làM chuyển động đường trịn(O3) đồng trục với(O1) (O2)
Ngồi ta chứng minh bán kính của(O3)
p R2
2k2+R21+ (O1O22−R21−R22)k
|1−k|
Nhận xét
1 Khik= 1thì (O3) suy biến thành trục đẳng phươngd Ta có tốn quỹ tích quen thuộc: tập hợp điểmM có phương tích với hai đường tròn(O1) và(O2) trục đẳng phương d
2 Khi k = −1 O3 trung điểm O1O2 Đường tròn (O3) gọi đường tròn đẳng phương hai đường trịn(O1) và(O2) Một số tính chất đường tròn đẳng phương xem xét mục sau
3 Khi(O1) và(O2) suy biến thành đường tròn điểm,(O3) trở thành đường tròn Apollonius đoạn thẳngO1O2 ứng với tỉ sốk
2 Ứng dụng
Bài Cho đường trịn (O1),(O2),(O3) có tâm nằm đường thẳng d Kí hiệu dij trục đẳng phương cặp đường tròn(Oi)và (Oj) (i, j = 1,3, i6=j) GọiA1, A2, A3 giao điểm củad23, d13, d12với d Chứng minh
A1A2
O1O2
= A2A3
O2O3
= A1A3
O1O3
Chứng minh DoA1 nằm trục đẳng phương (O2) và(O3) nên PA1/(O2)=PA1/(O3)
Ta thu đượcPA1/(O1)− PA1/(O2) =PA1/(O1)− PA1/(O3)
Theo công thức(1) suy ra2O1O2·A3A1 = 2O1O3·A2A1 Từ A1A3
O1O3
= A1A2
O1O2
Chứng minh tương tự suy đpcm
Bài Cho đường tròn(O, R) điểmA cố định Gọi M điểm chuyển động trên(O) Chứng minh trục đẳng phươngdcủa(O, R)và (M, M A) ln tiếp xúc với đường trịn cố định Chứng minh Gọi H hình chiếu A d Do A ∈ (M, M A) nên theo công thức (2) ta có PA/(O)= 2OM HA
Suy raHA= PA/(O) 2OM
Vậy AH = |AO
2−R2|
2R =const Tức d tiếp xúc với đường trịn cố định có tâm A, bán kính
|AO2−R2| 2R
Bài Cho đường tròn(O1),(O2),(O3) đồng trục Alà điểm trên(O3) choA nằm ngồi (O1) và(O2) Lần lượt kẻ tiếp tuyếnAB, AC tới (O1),(O2).BC giao (O1),(O2) lần thứ hai tạiD, E Chứng minh tỉ số BD
(3)E
D B
C
O2 O1
O3 A
Chứng minh Do(O1),(O2),(O3) đồng trục nên theo hệ 1,
PA/(O1) PA/(O2) =
AB2 AC2 =
O3O1
O3O2
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giácABC ta có
AB AC =
sin∠ACB
sin∠ABC =
sin12∠EO2C sin12∠DO1B
= EC 2O2C
·2O1B
DB = EC DB · R1 R2 Vậy BD CE = R1 R2 ·AC AB = R1 R2 · r O2O3
O1O3
=const
Bài Cho hai đường trịn (O1) (O2) có P, Q tâm vị tự Chứng minh đường trịn đường kínhP Qđồng trục với (O1) (O2)
Chứng minh Ta có P O1
P O2 = R1
R2
do P O1
P O2 =
R2
R2
, suy PP /(O1) PP /(O2) =
P O1
−R2
P O2
−R2 = R R2
Tương tự vớiQsuy PP /(O1) PP /(O2) =
R21 R22 =
PQ/(O1)
PQ/(O2) Theo hệ 2, đường trịn đường kínhP Qđồng trục với(O1) (O2)
Bài (Greek MO 2003) Cho đường tròn(O), điểm Acố định (O) điểm R cố định nằm trong(O) Một đường thẳngdchuyển động quaR cắt(O) tạiB, C GọiH trực tâm tam giác
ABC Chứng minh tồn điểmT cho HA2+HT2=const.
T A2 A1 H C O R A B
Chứng minh GọiA1 hình chiếu Atrên BC.AA1 cắt(O) lần thứ hai tạiA2 Ta có PH/(AR)
PH/(O) =
HA·HA1
HA·HA2
= HA1
HA2 =
2 =const
Suy H chuyển động đường trònω cố định đồng trục với(AR) (O) Hiển nhiên
(4)GọiT điểm đối xứng vớiAqua tâm củaω Suy điểmT xác định HA2+HT2=
AT2=const
Bài Cho tứ giác lồiABCD, ADgiao BC tạiE,AB giaoCD tạiF Chứng minh đường trịn đường kínhAC, BD, EF đồng trục
H I G
J
F
E
D C
B
A
Chứng minh KẻCGvng góc vớiAD;AH, F I, DJ vng góc vớiBC Đặt góc tứ giác
ABCDlần lượt làA, B, C, D
Ta có PE/(AC) PE/(BD) =
EG·EA EB·EJ
DoEG·ED=EJ·EC nên EG
EJ = EC
ED.Suy
PE/(AC) PE/(BD) =
EC ED ·
EA EB
Theo định lý hàm số sin ta thu PE/(AC) PE/(BD) =
sinDsinB
sinCsinA
Chứng minh tương tự, PF/(AC) PF /(BD) =
sinDsinB
sinCsinA
Lại có PI/(AC) PI/(BD) =
IH·IC IJ·IB =
F A F B ·
F C F D =
PF/(AC)
PF /(BD) Như
PE/(AC) PE/(BD) =
PF /(AC) PF /(BD) =
PI/(AC) PI/(BD) Theo hệ (EF I) đồng trục với (AC) (BD) hay đường tròn (AC),(BD),(EF) đồng trục
Nhận xét Từ toán ta thu hai định lý quen thuộc:
1 Trung điểm AC, BD, EF thẳng hàng (đường thẳng Gauss-Newton)
2 Các trực tâm tam giácEAB, ECD, F AD, F BC thẳng hàng (đường thẳng Steiner tứ giác toàn phần)
(5)F
E
P Z
O A
B
C Y
X
Chứng minh (Trần Minh Ngọc)
Đường tròn(AP X) đồng trục với (BP Y) (CP Z) PA/(BP Y) PA/(CP Z) =
PX/(BP Y) PX/(CP Z) Hay AB·AE
AC·AF =
XP ·XY XP ·XZ =
XY XZ.(1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácAY Z với đường thẳng(X, B, C)ta có XY
XZ · BZ BA·
CA CY =
Suy XY
XZ = BA BZ ·
CY CA
Như vậy(1) tương đương AE
AF = CY BZ
Ta cóZA·ZB−Y A·Y C =PZ/(O)− PY /(O)
=ZO2−Y O2=ZP2−Y P2=ZY ·ZP −Y Z·Y P =ZB·ZE−Y F·Y C
Do ZB·(ZA−ZE) =Y C·(F Y +Y A) hay ZB·EA=Y C·F A hay AE
AF = CY BZ
Ta có đpcm
Bài Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Một đường tròn ω qua P cắt (BP C), (CP A), (AP B) lần thứ hai X, Y, Z Các đường thẳng AP, BP, CP cắt ω lần thứ hai
M, N, L Chứng minh XM, Y N, ZLđồng quy
U
N'
L' M'
X'
A'
B' C'
P Y'
(6)Chứng minh (Luis González)
Xét phép nghịch đảo cực P phương tích Khi đóω biến thành đường thẳngl không quaP, (P AB),(P BC),(P CA)lần lượt biến thành đường thẳngA0B0, B0C0, C0A0.X, Y, Zbiến thành giao điểmX0, Y0, Z0 củalvớiB0C0, C0A0, A0B0.M, N, Lbiến thành giao điểmM0, N0, L0 củaP A0, P B0, P C0
với l Như XM, Y N, ZL đồng quy ω1 = (P X0M0), ω2 = (P Y0N0), ω3 = (P Z0L0) đồng trục
GọiU giao củaCP0vớiA0B0 Suy raP(A0B0U Z0) =P(M0N0L0Z0),C0(A0B0U Z0) =C0(Y0X0L0Z0)
Từ Z
0N0 Z0M0 ·
L0M0 L0N0 =
L0Y0 L0X0 ·
Z0X0 Z0Y0
Suy L
0X0·L0M0 L0Y0·L0N0 =
Z0M0·Z0X0 Z0N0·Z0Y0 Hay
PL0/ω
1
PL0/ω
2
= PZ0/ω1
PZ0/ω
2
Điều nghĩa là(P Z0L0) đồng trục với ω1 vàω2 Từ có đpcm
Bài Một đường thẳngdnào cắt hai đường tròn(O) và(I)theo thứ tự cặp điểmA, A0
B, B0 Khi giao điểm tiếp tuyến với đường tròn thứ tạiA vàA0 tiếp tuyến với đường tròn thứ hai tạiB vàB0 nằm đường trịn có tâm thẳng hàng với tâm hai đường tròn cho
J
M N
P
Q A'
B'
O I A
B
Chứng minh Giả sử tiếp tuyến cắt tạo thành tứ giác M N P Qnhư hình vẽ Đặt∠N AB=∠P A0B0 =α,∠P BA0=∠N B0A=β
Ta cần chứng minh PM/(O) PM/(I) =
PN/(O) PN/(I) =
PP /(O) PP /(I) =
PQ/(O) PQ/(I) Khi M A
2
M B2 =
N A2 N B02 =
P A02 P B2 =
QA02 QB02 Theo định lý hàm số sin, M A
M B =
sin∠ABM
sin∠M AB =
sinβ
sinα Hoàn toàn tương tự với điểmN, P, Q ta
thu M A
M B2 =
N A2 N B02 =
P A02 P B2 =
QA02 QB02 =
sin2β
sin2α
Vậy M, N, P, Q thuộc đường tròn đồng trục với (O) (I), tức có tâm nằm
OI
(7)B3 C'2
A'2 C'1
C1
A2
C2 B'2
B'1
B1
A'1
X Z
Y
B' C'
A'
G
A1 O A
B C
B2
Chứng minh (dựa theo Nguyễn Minh Hà)
Do hai tam giác ABC vàA0B0C0 có trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp nên hiển nhiên chúng có chung đường trịn Euler
GọiA1, B1, C1;A2, B2, C2 trung điểmBC, CA, AB;B0C0, C0A0, A0B0 Suy raA1,B1,C1,
A2,B2,C2 thuộc đường trịn
Phép nghịch đảo cực O phương tích R2: IR2
O : A1 7→ A01, A2 7→ A02, B1 7→ B10, B2 7→ B20, C1 7→
C10, C2 7→C20
Suy raA01, B10, C10, A02, B20, C20 thuộc đường tròn ω
Dễ thấy hai tam giácA01B10C10 vàA02B20C20 có chung đường trịn nội tiếp(O)
Gọi B0C0 giao BC X0 suy A01, A02, X nằm đường đối cực X0 với (O), tức
A01, A02, X thẳng hàng
GọiB3 giao C10C20 A01A02 Ta có ∠B3XZ =∠B0XA02+∠B0A02X =∠C10BZ +∠ZC10B =
∠B3ZX, suy tam giác B3ZX cân B3
Chứng minh tương tự suy đường tròn(XY Z) đường tròn nội tiếp tam giác tạo giao điểm đường thẳngA01A02, B01B20, C10C20
Áp dụng tốn cho hai đường trịn(O)và(XY Z)với đường thẳng(Z, B, B0, X)suy đường trònω đồng trục với (O)và (XY Z)
Mặt khác ω ảnh đường tròn Euler qua phép nghịch đảo IR2
O nên tâm ω nằm OG
Vậy tâm của(XY Z) nằm OG
(8)Z
Y
X C2
A1
B1
A2 B2
H A
B C
C1
Chứng minh Trung điểm củaA1A2, B1B2, C1C2 thẳng hàng đường tròn đường kính
A1A2, B1B2, C1C2 đồng trục Khi PA1/(B1B2)
PA1/(C1C2) =
PA2/(B1B2) PA2/(C1C2) hay
A1C1·A1H
A1B1·A1H
= A2C2·A2H
A2B2·A2H Như ta cần chứng minh A1C1
A1B1
= A2C2
A2B2
hay A1C1
A2C2
= A1B1
A2B2
Ta có A1C1
A1B
= sinB sin∠HC1C2
, A2C2
BA2
= sinB sin∠HC2C1
Do A1C1
A2C2
= A1B
A2B
·sin∠HC2C1 sin∠HC1C2
= A1B
A2B ·
HC1
HC2
Lại có A1B
A2B
= sin∠A1HB sin∠A2HB
·HA1
HA2
= sin∠HB2B1 sin∠HB1B2
·HA1
HA2
= HB1
HB2 ·HA1
HA2
Vậy A1C1
A2C2
= HA1
HA2 ·HB1
HB2 ·HC1
HC2
Tương tự suy A1C1
A2C2
= A1B1
A2B2
Từ có đpcm
Bài 12 Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Các đường caoBB1, CC1 giao H Gọi
(9)E F
D
H J I
M B1 C1
O A
B
C
Chứng minh GọiE, F trung điểmAC, AB
Dễ thấyAD trục đẳng phương đường trịn đường kính AH đường trịn đường kính AO
Ta cóB1C1 đường đối song với BC, mà EF kBC nên B1C1 đường đối song vớiEF hay tứ giácC1B1EF nội tiếp
Suy ∠J C1B1 =∠B1EF Lại có J M tiếp tuyến (AH) nên ∠J B1C1 = 180◦−∠BAC =
∠F B1E (do tam giácF AB1 cân tạiF) Suy ra4C1B1J ∼ 4EB1F Ta thu
J B1
J A = J C1
J B1
= EF
F B1
Như tồn phép vị tự quay tâmB1 biến F 7→J, E 7→C1 nên 4F B1J ∼ 4EB1C1 Suy J B1
B1C1
= J F
C1E
hay J B1
J F = B1C1
C1E
Vậy J B
J A.J F =
EF.B1C1
F B1.C1E
= a/2.B1C1
c/2.b/2 hay
PJ/(AH) PJ/(AO) =
2a.B1C1
bc
Chứng minh tương tự suy PJ/(AH) PJ/(AO) =
PI/(AH) PI/(AO) =
2a.B1C1
bc
Tức làI, J nằm đường tròn đồng trục với(AH) và(AO) VậyA, D, I, J thuộc đường tròn
Bài 13 (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC.M, N điểm AB, AC cho
(10)K J O
Y
X M
A
B C
N
O1
O2
Chứng minh GọiK giao đường đối trung ứng với đỉnhAvới BC;J giao M N vớiBC
Ta có AN
AC = KJ KC,
AM AB =
KJ KB
Suy PA/(O1) PA/(O2) =
AB·AM AC·AN =
AB2 AC2
·AM
AB AC AN =
AB2 AC2
· KJ
KB · KC KJ =
AB2 AC2
·KC
KB =−1
Do đóAnằm đường trịn đẳng phương của(O1)và(O2), tức tâm của(AXY)là trung điểm củaO1O2
Bài 14 (Mathley 7) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn(O).AB giao CD E,AD giaoBC
tạiF,AC giaoBDtạiI GọiK, Llần lượt giao điểm thứ hai của(F AB)và(F CD)vớiF I Chứng minh rằngEK=EL
H
M N
L K
I E
A
B
O F
D
C
Chứng minh GọiH giao củaEO vớiF I M, N trung điểm AD, BC Theo định lý Brocard suy raEO⊥F I Do A, M, N, H, O nằm đường trịn đường kínhAO
Xét PM/(F AB) PM/(F CD) =
M A·M F
M D·M F =−1
Tương tự suy PM/(F AB) PM/(F CD) =
PN/(F AB)
PN/(F CD) =−1
Từ đó(F M N) đồng trục với (F AB) và(F CD) MàH ∈(F M N) nên PH/(F AB)
(11)Hay HK·HF
HL·HF =−1 Suy raH trung điểmKL
Tam giácEKL có H vừa chân đường cao vừa trung điểm KLnên EK =EL
3 Đường tròn đẳng phương
Đường tròn đẳng phương xem xét phân biệt với đường tròn đẳng phương đường tròn (xem [4]) Ở phần biết định nghĩa đường tròn đẳng phươngω hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) quỹ tích điểm có tỉ số phương tích đến hai đường tròn −1 ω đồng trục với(O1) (O2)đồng thời có tâm O trung điểm O1O2
Với điểm M nằm ω, ta có PM/(O1)+PM/(O2)=
Suy raM O2
1 −R12+M O22−R22 = 0hay M O12+M O22=R21+R22 Theo cơng thức tính đường trung tuyến suy 2M O2+1
2O1O
2 =R21+R22 Như bình phương bán kínhRcủaωbằng
2(R
1+R22)− 4O1O
2
2 Điều kiện bán kính phải khơng âm ta cần xem xét trường hợp sau
Nếu (O1) (O2) cắt ω ln tồn tại, trường hợp (O1) (O2) khơng cắt nhau, có hai trường hợp xảy Nếu(O1) (O2) chứa ω tồn Nếu (O1) (O2) ngồi nhau, vị trí củaO1 O2 phải thỏa mãn trung điểmO củaO1O2 nằm ngồi hai điểm tới hạn đường trịn đồng trụcdlà trục đẳng phương (O1)và (O2)
Trong trường hợp hai đường trịn(O1)và(O2)trực giao,ωtrở thành đường trịn đường kínhO1O2
Tính chất Nếu hai đường trịn(O1)và(O2) cắt tạiA, B Một đường thẳng quaAcắt (O1),(O2) tạiC, D Khi quỹ tích trung điểm củaCD đường tròn đẳng phương của(O1) và(O2)
Chứng minh GọiM trung điểm CD Ta có PM/(O1) PM/(O2) =
M A·M C
M A·M D =−1.Suy raM ∈ω
Tính chất Một cát tuyến cắt(O1),(O2)lần lượt điểmA, B vàC, D.Khi đó(ABCD) =−1 trung điểm củaAB hoặcCD nằm đường tròn đẳng phương (O1) và(O2)
D N
B C A
O1 O2
M
Chứng minh Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có (ABCD) = −1
M B2 =M C ·M D
Tương đương PM/(O1)
PM/(O2) =
M A.·M B
M B2 = −1 hay M nằm ω Chứng minh tương tự với điểm
N
(12)Tính chất P điểm mặt phẳng Khi PP /ω =
2(PP /(O1)+PP /(O2))
Chứng minh Theo cơng thức tính bán kính đường trịn đẳng phương ta có PP /ω =P O2−R2 =
2(P O
1+P O22− 2O1O
2 2)−
1 2(R
2
1+R22)+ 4O1O
2 =
1 2(P O
2
1−R21)+ 2(P O
2
2−R22) =
2(PP /(O1)+PP /(O2))
Tính chất Cho đường trịn(O1),(O2),(O3)sao cho cặp hai ba đường trịn có đường trịn đẳng phương Gọiωij đường tròn đẳng phương hai đường tròn(Oi),(Oj) (i, j= 1,3, i6=j)
P điểm mặt phẳng Khi
PP /ω12+PP /ω23+PP /ω13 =PP /(O1)+PP /(O2)+PP /(O3) Chứng minh Dễ dàng chứng minh tính chất theo tính chất
Tính chất Với giả thiết tính chất Ta có đường trịn đẳng phương củaωij và(Ok)trùng với
đường tròn đẳng phương củaωik vàωjk (i, j, k= 1,3, i6=j6=k)
I O23 O12
O13
O1 O2
O3
Chứng minh Kí hiệuOij tâm ωij
GọiP tâm đẳng phương của(O1),(O2),(O3) phương tích từ P đến đường trịn bằngT
Theo tính chất 3,PP /ωij =
2(PP /(Oi)+PP /(Oj)) =
1
2.2T =T
Như vậyP tâm đẳng phương đường tròn(O1),(O2),(O3), ω12, ω23, ω13
Gọi(I)là đường tròn đẳng phương củaω12vàω23 Chứng minh tương tự ta suy raPP /(I)=T Ta cóI trung điểmO12O23;O12, O23, O13 trung điểm O1O2,O2O3,O1O3 nên I trung điểm củaO2O13
Như đường trịn(O2), ω13,(I)có trục đẳng phương song song Mà đường trịn có tâm đẳng phươngP nên chúng đồng trục Nghĩa là(I)là đường tròn đẳng phương của(O2)vàω13 Chứng minh tương tự cho cặp lại
Từ lời giải ta thu tính chất tổng quát sau
(13)Tính chất Cho tam giác ABC hai điểmP, Q liên hợp đẳng giác Một đường tròn ωP tâm P
cắt cạnh BC, CA, AB cặp điểm A1, A2; B1, B2; C1, C2 Khi tồn đường trịn
ωQ tâm Q trực giao với đường tròn đường kínhA1A2,B1B2,C1C2 đường trịn pedal tam giácABC ứng với hai điểmP, Q đường tròn đẳng phương ωP ωQ
Pc
C2
B2 B1
Q O
Pb A
B C
P C1
Chứng minh Gọi Pb, Pc, Pa hình chiếu P AC, AB, BC Suy Pb, Pc tâm của(B1B2)và (C1C2)
Ta có AQ⊥PbPcvà AC1·AC2=AB1·AB2 nên AQlà trục đẳng phương của(B1B2)và(C1C2) Chứng minh tương tự suy raQlà tâm đẳng phương của(A1A2),(B1B2),(C1C2) Như đường trịn tâmQbán kính phương tích từQđến đường trịn(A1A2),(B1B2),(C1C2)sẽ trực giao với đường trịn
Ta có PPb/ωP
PPb/ωQ =
PbB1·PbB2
PbB22
=−1
Suy raPb nằm đường tròn đẳng phương ωP ωQ
Chứng minh tương tự suy đường tròn ngoại tiếp tam giác PaPbPc đường tròn đẳng phương
củaωP vàωQ Ta có đpcm
4 Bài tập áp dụng
Bài 15 Cho tứ giácABCD.AD giaoBC tạiK Đường tròn ngoại tiếp tam giácKAC vàKDB
cắt lần thứ hai T Gọi M, N trung điểm AD, BC Chứng minh tứ giác
KM T N nội tiếp
Bài 16 Cho tam giácABC với phân giácAD.Gọi(I)và(Ia)lần lượt đường tròn nội tiếp bàng
tiếp gócA Chứng minh đường trịn đường kínhAD đồng trục với (I) và(Ia)
Bài 17 Cho tam giácABC có trực tâm H, trọng tâm G Chứng minh đường trịn đường kính
HGđồng trục với đường tròn ngoại tiếp đường tròn Euler tam giác ABC
Bài 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), với trực tâm H tâm đường tròn Euler E GọiB0, C0 hai điểm AB, AC cho E trung điểm củaB0C0 Chứng minh đường tròn(AB0C0),(AH),(O) đồng trục
Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BB0 CC0 giao trực tâmH Đường thẳng quaH song song vớiAB cắt AC tạiX, đường thẳng quaH song song vớiAC cắtAB tạiY.(AH) giao (O) lần thứ hai tạiZ Chứng minh A, X, Y, Z thuộc đường tròn
(14)Bài 21 (Nguyễn Văn Linh) Cho hai đường tròn (O1) và(O2) giao tạiA, B GọiC, D điểm trên(O1),(O2) cho ∠CAB =∠DAB.BC, BD giao (O2),(O1) lần thứ hai E, F Đường thẳng qua A vng góc với AB cắt (O1),(O2) X, Y Gọi M trung điểm XY Chứng minh tứ giácCDEF nội tiếp đường tròn tâmM
Bài 22 Cho tam giácABC có trực tâmH Phân giác ngồi gócAcắt đường trịn(ABH),(ACH) tạiD, E Chứng minh trung điểm BC, AH, DE thẳng hàng
Bài 23 (IMO Shortlist 1987) Cho tam giác ABC Một tam giác A0B0C0 chuyển động cho
A0B0C0 ngoại tiếp tam giác ABC (các đỉnh tam giác ABC tương ứng nằm cạnh tam giác
(15)Tài liệu
[1] Nguyễn Văn Linh,Một số vấn đề đa giác lưỡng tâm, Euclidean geometry blog http://nguyenvanlinh.wordpress.com/2013/04/19/bicentric-polygons/
[2] Nathan Altshiller-Court,College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Tri-angle and the Circle, Dover Publications, New York, 2007
[3] Julian Lowell Coolidge,A Treatise on the Circle and the Sphere, Oxford, 1916 [4] Radical Circle, from Wolfram Mathworld
http://mathworld.wolfram.com/RadicalCircle.html [5] AoPS Forum