ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN Biên soạn: Cao Văn Tuấn - 0975306275 Trong bộ ba câu hỏi khó của đề thi THPT Quốc Gia trong những năm gần đây luôn xuất hi
Trang 1ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Biên soạn: Cao Văn Tuấn - 0975306275
Trong bộ ba câu hỏi khó của đề thi THPT Quốc Gia trong những năm gần đây luôn xuất hiện câu hỏi về
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình đại số
Xu hướng đề thi về phần này sẽ phân bố đều cho cả 3 mảng phương trình, Bất phương trình, Hệ
phương trình chứ không tập trung vào Hệ phương trình như đề các năm trước (và theo một số
nguồn tin thì năm nay sẽ không thi hệ, tuy nhiên chúng ta vẫn cứ ôn tập qua cho chắc)
Đề thi sẽ vẫn xoay quanh các phương pháp hàm số, liên hợp, đánh giá,
Ứng dụng của hệ bất phương trình trong các bài toán thực tiễn (đã xuất hiện trong đề dự bị năm
2015)
Về phần phương pháp giải PT, BPT vô tỉ và HPT thầy sẽ trình bày trong tài liệu khác Trong tài liệu này
thầy chỉ tập trung nói về: “Ứng dụng của hệ bất phương trình trong các bài toán thực tiễn”
Để giải được bài toán thực tiễn, các em cần nắm vững được phương pháp giải bài toán: “Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của biểu thức bậc nhất hai ẩn”
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T x y, ax by với x y nghiệm đúng một hệ ;
bất phương trình bậc nhất 2 ẩn cho trước
Giải:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho Kết quả thường được miền
nghiệm S là một đa giác
Bước 2: Tình giá trị của F ứng với x y là tọa độ của các đỉnh của đa giác ;
Bước 3: Kết luận:
+ Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được
+ Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được
BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và
210g đường để pha chế nước cam và nước táo Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và
1g hương liệu; pha chế 1lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận
60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi
loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? (Đề thi dự bị THPT Quốc Gia 2015)
Giải:
Gọi ,x y x0,y0 lần lượt là số lít nước cam và nước táo cần pha chế
Khi đó:
+ Lượng hương liệu cần dùng là: x4y g
+ Lượng nước cần dùng là: xy lí t
+ Lượng đường cần dùng là 30x10y g
+ Điểm thưởng: T x y, 60x80y (điểm)
Theo giả thiết, ta có:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác OABCD với O là gốc tọa độ, A 0;6 ,
B 4;5 , C 6;3 , D 7;0 (được biểu diễn bằng phần màu vàng như hình vẽ sau)
Trang 2Để đạt được số điểm thưởng cao nhất thì biểu thức T x y, 60x80y phải đạt giá trị lớn nhất
Ta có: T 0;0 0, T 0;6 480, T 4;5 640; T 6;3 600; T 7;0 420
Do đó, T x y đạt giá lớn nhất là 640 khi , 4
5
x y
Vậy cần phải pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo để đạt được số điểm thưởng cao nhất
Ví dụ 2 (NTT): Trong một cuộc thi về “Bữa ăn dinh dƣỡng” cho các gia đình Ban tổ chức yêu cầu để
đảm bảo chất lượng dinh dưỡng thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit trong
thức ăn hàng ngày Biết 1 kg thịt bò chứa 800 đơn vị Protein và 200 đơn vị Lipit, còn 1 kg thịt lợn chứa
600 đơn vị Protein và 400 đơn vị Lipit Mỗi gia đình chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn
Giá 1 kg thịt bò là 100 000 VNĐ và giá 1 kg thịt lợn là 70 000 VNĐ Kết thúc cuộc thi đã có một gia
đình giành giải nhất khi khẩu phần ăn cho một ngày đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất
có thể Hỏi gia đình đó đã mua bao nhiêu kg thịt bò và bao nhiêu kg thịt lợn?
Giải:
Gọi x y, 0 1, 6
x y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình tham dự cuộc thi giành giải nhất
đã mua
Khi đó:
+ Số đơn vị Protein đã dùng là:
800x600y (đơn vị)
+ Số đơn vị Lipit đã dùng là:
200x400y (đơn vị)
+ Chi phí bỏ ra để mua nguyên liệu:
T x y, 100000x70000y VNĐ
Theo giả thiết ta có:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên
là miền tứ giác ABCD với A 0,3 ; 1,1 ,
B 1, 6 1 ,1 , C 1, 6 ; 0, 2 , D 0, 6 ; 0, 7
(phần màu vàng như hình bên)
Trang 3Ta có: T 0,3 ; 1,1 107000, T 1, 6 ; 1 ,1237000; T 1, 6 ; 0, 2174000; T 0, 6 ; 0, 7109000
Do đó, T x y đạt giá nhỏ nhất nhất là 107000 khi , 0, 3
1,1
x y
Vậy gia đình giành giải nhất đã mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn
Ví dụ 3: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II Để sản xuất một đơn vị
sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau Số máy trong một nhóm và số
máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng
sau:
Nhóm Số máy trong mỗi nhóm
Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một
đơn vị sản phẩm Loại I Loại II
Một đơn vị sản phẩm I lãi ba nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi năm nghìn đồng.Hãy lập phương án
để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất
Giải:
Gọi x y, x0,y0 lần lượt là số sản phẩm của loại I và loại II
Theo giả thiết ta có:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác OABCD với O là gốc tọa độ, A 0; 2 ,
B 2; 2 , C 4;1 , D 5; 0 (được biểu diễn bằng phần màu vàng như hình vẽ sau)
Số tiền lãi thu được là T x y, 3x5y (nghìn đồng)
Ta có: T 0;0 0, T 0; 2 10, T 2; 2 16; T 4;1 17; T 5;0 15
Do đó, T x y đạt giá lớn nhất là 640 khi , 4
1
x y
Vậy phương án sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II sẽ cho lãi cao nhất
Trang 4DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP VÀ 3 VÍ DỤ MINH HỌA THẦY ĐÃ TRÌNH BÀY TRÊN, CÁC EM HÃY GIẢI QUYẾT NHANH CHO
THẦY