Phương pháp giải các bài toán thể tích trong đề thi tuyển sinh

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bạn Download tài liệu www.k2pi.net 2012 gb oc uo c co m PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH-CĐ Ths Nguyễn Bá Thuỷ Trường THPT Bắc Yên Thành Theo cấu trúc đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ Bộ GD-ĐT ban hành đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ năm gần đây, phần HHKG chủ đề bắt buộc (chiếm khoảng 1,0điểm) Đây toán gây nhiều khó khăn cho thí sinh Nguyên nhân học sinh lựa chọn công cụ giải toán phù hợp, hay nói cách khác em chưa nắm “yếu quyết” để giải qiuyết loại toán Một loại toán thường gặp hình học không gian tổng hợp đề thi tuyển sinh toán thể tích Bài viết hi vọng phần giúp em học sinh giải khó khăn việc toán dạng Có thể chia toán thể tích thành loại toán sau: Loại 1: Các toán tính thể tích trực tiếp Đề giải toán thuộc dạng này, vấn đề quan trọng xác định đường cao đa diện Ví dụ (TSĐH 2009A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, có AB+AD=2a, CD=a Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết mặt phẳng (SBI) SCI) vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD? Giải: (SIB)  (ABCD) (SIC)  (ABCD) nên ta có SI  (ABCD) S Vậy SI đường cao hình chóp S.ABCD Ta tính SI: Có diện tích hình thang ABCD là: dt(ABCD)= 3a2 1 dt(ABI)  AB.IA  a , dt(CDI)  CD.ID  a A B 2 I 3a  dt(ICB)  dt(ABCD)  dt(IAB)  dt(ICD)  K D C BC  (AB  CD)2  AD2  a Kẻ IK  BC (K  BC) ta có BC  (SIK)  SKI  600 IK   SI  IK.tan SKI  2dt(IBC) 5a  CB 15a kh on 15a Suy thể tích khối chóp S.ABCD : V  SI.dt(ABCD)  (đvtt) Chú ý  Khối chóp có cạnh vuông góc với đáy cạnh đường cao  Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến đáy với mặt bên (Nói đơn giản đường cao mặt bên)  Khối chóp có mặt bên kề vuông góc với đáy đường cao cạnh bên chung mặt  Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy  Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Ngoài số trường hợp khác khai thác tính chất khác đa diện để xác định đường cao Ví dụ (TSĐH 2010B) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có Ab=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bạn Download tài liệu www.k2pi.net A' 2012 Giải: (Ở chúng tối giải phần tính thể tích nhằm minh họa cho viết mình) C' Gọi D trung điểm BC, ta có : B' m BC  AD  BC  A'D , suy : ADA '  600 3a Ta có : AA '  AD.tan ADA'  2 a dt(ABC)  Do thể tích khối lăng trụ cho : 3a 3 VABC.A 'B'C'  AA '.dt(ABC)  (đvtt) G A c co j C H D B gb oc uo Chú ý  Với lăng trụ đứng ta thường gặp loại: - Biết chiều cao cạnh đáy - Biết góc đường thẳng mặt phẳng - Biết góc giưa mặt phẳng  Với khối lăng trụ xiên: Vấn đề quan trọng xác định chiều cao lăng trụ on Loại 2: Các toán sử dụng công thức tỉ số thể tích Lưu ý: Đối với khối chóp tam giác S.ABC A’, B’, C’ điểm tương ứng thuộc V SA ' SB' SC ' cạnh SA, SB, SC ta có: S.A 'B'C '  VS.ABC SA SB SC Ví dụ (Đề dự bị 2007A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho a AM  Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCMN? S Từ M kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SD N N giao điểm (BCM) SD, SA  (ABCD) nên góc kh M SB (ABCD) SBA  600 Ta có SA  SB.tan SBA  a N Từ ta có: SM  SA  AM  a  a 31  3 SM SN   SA SA Dễ thấy: VS.ABCD  VS.ABC  VS.ADC  2VS.ABC  2VS.ADC Và VS.BCNM  VS.BCM  VS.CNM B C V V  VS.CNM V V Do đó: S.BCNM  S.BCM  S.BCM  S.CNM VS.ABCD VS.ABCD 2VS.ABC 2VS.ADC SM SB SC SM SN SC      SA SB SC SA SD SC 9 A D  Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bạn Download tài liệu www.k2pi.net 2012 D' C' B' A' D E uo M c co m 3a 10 3a Mà VS.ABCD  SA.dt(ABCD)  (đvtt)  VS.BCNM  3 27 Chú ý công thức áp dụng cho khối chóp tam giác, nhiều hs nhầm lẫn áp dụng cho khối chóp chóp tam giác dẫn đến kết sai!!! Loại 3: Các toán sử dụng phép phân chia khối đa diện Ta biết rằng: Nếu khối đa diện (H) phân chia thành khối đa diện (H1) (H2) thể tich (H) tổng thể tích (H1) (H2) Và nhiều trường hợp việc sử dụng phép phân chia khối đa diện giúp cho phương pháp tính thể tích khối đa diện, đặc biệt khối đa diện khối Ví dụ (TSĐH 2003A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có đáy hình vuông cạnh a, chiều cao AA’=b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích tứ diện BDA’M Giải: C O B gb oc A kh on Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi E giao điểm AC A’M Gọi O tâm đáy ABCD 3a Ta có: Vì M trung điểm CC’ nên ta có: CE  AC  a  OE  1 3a 3a  Do ABCD hình vuông nên OE  BD Do đó: dt(BDE)  BD.OE  a 2 2 1 Ta có: VA '.BMD  VA '.BED  VM.BED  AA '.dt(BDE)  MC.dt(BDE) 3 1 b a b   b   dt(BDE)  (đvtt) 3 2 Loại 4: Sử dụng thể tích để giải toán khoảng cách Trong nhiều trường hợp toán khoảng cách giải cách quy toán thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào công thức hiển nhiên sau : 3V h (Với V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao khối chóp đó) S V h (đối với khối lăng trụ) Như toán tìm khoảng cách quy toán tìm chiều S cao hình chóp lăng trụ Ví dụ (TSĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC tam giác vuông B Giả sử AB=a, AA’=2a; AC  a Gọi M trung điểm AC’ I giao điểm AM A’C 1) Tính thể tích tứ diện IABC 2) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bạn Download tài liệu www.k2pi.net 2012 Giải: (Do khuôn khổ báo không trình bày trọn vẹn lời giải mà trình bày lời giải cho ý 2)) 4a Theo phần 1) ta có VIABC  I Có BC  AC2  AB2  2a Kẻ IH  AC(H  AC)  IH  (ABC) Kẻ HE  BC(E  BC)  IE  BC (Định lí đường vuông góc) HE CH CB' 2 2a     HE  AB  Ta có AB CA CA ' 3 c co B' C' m M A' 16a 2a  4a  K C A 1 2a 2a H 2a  Nên dt(IBC)  IE.BC  2 3 E Gọi h khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) thì: B 4a 3 3.VIABC  2a h  dt(IBC) 2a 5 Trên số trao đổi xung quanh vấn đề giải toán liên quan đến thể tích đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ Hy vọng giúp em học sinh phần việc ôn tập, chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng tới Rất mong nhận góp ý quý đồng nghiệp bạn đọc kh on gb oc uo Do IE  IH  HE 