Phương pháp giải các bài toán toạ độ trong không gian với hầu hết các dạng toán cơ bản và nâng cao của chương 3 Hình học lớp 12 Phương pháp toạ độ trong không gian. Dùng cho học sinh có thể tự học và tự rèn luyện theo các dạng đã sắp xếp từ dễ đến khó.
1 Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ khơng gian Lời nói đầu Đây tài liệu giúp em có thêm số phương pháp học tập mơn Tốn, với gợi ý phương pháp giải Tốn mang tính chất gợi mở Trước đọc lời giải dạng toán, em nên suy nghĩ, tìm tòi lời giải theo lối tư dựa tảng kiến thức học, cách suy nghĩ riêng hay thầy cô lớp hướng dẫn, chưa tìm cố gắng suy nghĩ thêm chút Khi em cảm thấy khó khăn hay chưa có phương hướng để tìm đọc lời giải cho dạng toán tài liệu Trong hướng giải cho tốn theo cách thơng thường, chưa phải cách tốt tài liệu trợ giúp mà khơng phải chìa khố vạn Các em tìm tòi, sáng tạo cho lối riêng, hồn thiện tri thức Chúc em thành cơng ! PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hệ trục toạ độ không gian z Hệ trục Oxyz gồm Ox,Oy,Oz đôi vng góc Ox : trục hồnh Oy : trục tung Oz : trục cao mp (Oxy) : z = mp (Oyz) : x =0 mp (Ozx) : y=0 Các véctơ đơn vị i , j , k thuộc Ox,Oy,Oz O x 2.Toạ độ véctơ = x + y + z toạ độ véctơ u =(x,y,z) x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ với i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k =(0,0,1) 3.Các công thức liên quan đến toạ độ Cho a = (x,y,z) b = (x’,y’,z’) �x x ' � a = b �y y ' (hiểu :2 véctơ hoành độ,tung độ,cao độ = nhau) �z z ' � + b = (x + x’,y + y’, z + z’) a - b = (x - x’, y - y’, z - z’) k =(k.x, k.y, k.z) véctơ phương = = (điều kiện: mẫu ≠ 0) Tích vô hướng véctơ số xác định công thức : a b = x.x’ + y.y’ Độ dài vectơ : b x' y ' z ' Góc véctơ a x2 y2 z2 a, b ,ký hiệu ( a a a a ) (a, b ) : cos(a, b) a.b a b x.x' y y ' z.z ' x y z x' y ' z ' ((vì theo định nghĩa tích vơ hướng : a.b a b cos( a, b) cos( a, b) a.b a b )) Tính chất quan trọng vectơ vng góc : a b a.b 0 x.x' y y ' z.z ' 0 ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### y Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian 5.Toạ độ điểm: M(x,y,z) OM ( x, y, z ) hay OM x.i y j z.k (với O gốc toạ độ ) M mp (Oxy ) : z 0 M ( x, y ,0) Các điểm đặc biệt : Gốc toạ độ: O(0,0,0) M mp (Oyz ) : x 0 M (0 y, z ) M mp (Oxz ) : y 0 M ( x,0, z ) Chú ý : mp (Oxy) khuyết z nên có z=0) M trục Ox (khuyết y,z y=z=0) nên M(x,0,0) M trục Oy M(0,y,0) M trục Oz M(0,0,z) ( hiểu nôm na :Trục hay mp khuyết = ) Cơng thức tính toạ độ véctơ theo toạ độ đầu mút Cho A(xA,yA,zA) B(xB,yB,zB) AB = (xB - xA; yB - yA ; zB -zA ) (sau trừ trước) BA VD : MN AB A trước sau trước sau Cơng thức tính độ dài đoạn thẳng AB : AB = AB = ( xB x A ) ( yB y A ) ( z B z A ) Hay viết : AB = ( x A x B ) ( y A y B ) ( z ¢ z B ) 8.Tích có hướng véctơ , ( vectơ ) Ký hiệu : [ u, v ] (( uv )) với u (a, b, c) v (a ' , b' , c ' ) b c c a a b | ;| | ;| | ) = ( bc’ - b’c ; ca’ - a’c ; ab’ - a’b ) : [ u, v ] = ( | b' c ' c ' a ' a ' b' a b | = a.b’ - a’.b với định thức cấp tính cơng thức : | a ' b' ** Các tính chất tích có hướng : [,] a) Tích có hướng [ u, v ] véctơ vng góc với véctơ u ur r ur r � � mu m.u � � B b) Đặt ]= �ur r � �ur r mv m.v � � r r r r r r c) Độ dài véctơ có hướng : |[ u , v ]| = u v sin(u, v) O r r d) Độ dài véctơ [ u , v ] số đo diện tích hình bình hành OAMB r r r e) Điều kiện để véctơ phương [ u , v ]= Ứng dụng tích có hướng uuu r uuur � AB a) Tính diện tích hình bình hành Shbh ABCD= | � � , AD �| uuu r uuur A b1: Tính : AB, AD uuu r uuur r AB, AD � b2 : Tính tích có hướng � � �= u r D' b3 : Shbh = u (đơn vị diện tích ) D b) Tính thể tích hình hộp (hay khối hộp) A' * Định nghĩa hình hộp : hình gồm tất mặt hình bình hành uuu r uuur uuu r D � AB , AD AA ** Cách tính thể tích hình hộp : V = | � � � '| uuur uuur uuur B1: Tính AB , AD , AA ' uuu r uuur r A �= u ( véctơ ) AB , AD B2 : Tính � � � M A B C' C B' C B ### - - - - - Khoâng thất bại , tất thử thách - - - - -### Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian uuu r uuur uuu r r uuur AB, AD � AA ' = u AA ' = số m ( Tích vơ hướng số ) B3 : Tính � � � B4 : Tính giá trị tuyệt đối số m r uuur uuur uuu AB , AC � AD | (các bước giống phần b) c) Tính thể tích tứ diện ABCD : VtứdiệnABCD = | � � � 10 Tính r r chấtr liên r quan tích vơ hướng tích có hướng a) u v � u.v r r r r r b) u v phương � [ u , v ]= c) , , đồng phẳng [ , ] = 11 Phương trình mặt cầu a)Định nghĩa: Điểm M mặt cầu S(I,R) IM = R (1) b) Xây dựng : Gọi M(x,y,z) tâm I(a,b,c) IM = thay vào (1) = R (bình phương vế ) (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2 c) Phương trình mặt cầu S có tâm I(a,b,c) bán kính R : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2 *** d) Các dạng phương trình mặt cầu : Dạng 1: (dạng tổng quát) TâmI (a, b, c ) � (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2 � bán kính R � Dạng : ( dạng khai triển) (S) : x2 + y2 +z2 + 2ax + 2by +2cz + d = Vd 1: Cho (S) : (x-3)2+(y-5)2+(z+ )2 = (dạng 1) 2 Vd 2: Cho (S) : x +y +z + 6x + 8y - 10z - = (dạng 2) (Tìm tâm theo quy tắc:”chia đơi ,đổi dấu” ) 12 Phương trình mặt phẳng a) Định nghĩa véctơ pháp tuyến mp () Nếu giá vng góc với mp () * Chú ý : Nếu mp () có VTPT véctơ k VTPT mp () VD: mp( ) có VTPT =(2,4,-10) mp () có VTPT = (1,2,-5) =(20,40,-100) =(-2,-4,10) b) Phương trình tổng qt mp Cho mp () có VTPT =(A,B,C) Đi qua M(x0,y0,z0) Phương trình tổng quát mp ( ) : A.(x - x0) + B.(y - y0) + C.(z - z0) = Hay khai triển rút gọn ,ta có dạng : Ax + By + Cz + D = 13 Các trường hợp riêng pt mp () :Ax + By + Cz + D = + Nếu A = (khuyết hệ số A) () // chứa Ox + Nếu B = () // chứa Oy + Nếu C = () // chứa Oz + Nếu D = () qua gốc toạ độ O(0,0,0) 14.Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn z ( Dùng mp() qua điểm nằmtrên trục Ox,Oy,Oz) Nếu mp () qua M(a,0,0) Ox P N(0,b,0) Oy P(0,0,c) Oz O M N y ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### x M Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian pt mp () : + + = ( gọi pt mp theo đoạn chắn ) VD: mp () qua M(3,0,0) Ox N(0,5,0) Oy P(0,0, -7) Oz pt mp () : + + = - 35x - 21y +15z +105 = (do chuyển vế, rút gọn ) 15 Vị trí tương đối mp : Cho mp () : Ax + By + Cz + D = (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = + mp cắt ≠ ≠ ( cần tỉ số khác đủ ) + () // (’) = = ≠ + () (’) = = = Chú ý : với điều kiện Mẫu số ≠ 16 Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mp Gọi M(x0,y0,z0) mp () : Ax + By + Cz + D = Khoảng cách từ M đến mp () ,ký hiệu d(M,()) d(M,()) = MH ( với H hình chiếu M lên mp ( ) Thì : d(M,()) = M H 17 Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số đường thẳng + Định nghĩa vectơ phương đt d ( với ≠ ) VTCP đt d giá song song trùng với d * Chú ý : Nếu mp () có VTCP véctơ k VTCP mp () VD: mp( ) có VTCP =(2,4,-10) mp () có VTCP = (1,2,-5) = (20,40,-100) = (-2,- 4,10) * Phương trình tham số đt d Đi qua M(x0,y0,z0) Có VTCP = (a,b,c) là: với t tham số Và tương ứng giá trị tham số t ta có tương ứng toạ độ điểm thuộc đt d VD nhận biết : Cho đt (d) đt (d) d qua M(1,2,-3) b) Phương trình tắc đt d d có VTCP = (5,-6,0) Bằng cách khử t pt tham số ,ta có pt tắc đt (d) : = = ( với abc ≠ 0) 18 Vị trí tương đối đt Cho đt (d) : (d’) : TH1: * d d’ véctơ , phương [ , ] =[ , ] = TH2 : ** d// d’ M'o [,]= [ , ] ≠ Mo d' TH3 : d,d’ cắt TH4 : d,d’ chéo , không đồng phẳng [, ] ≠ 19 Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đt ( ) : qua M0 có VTCP khoảng cách từ M đến ( ) : d(M, )= B1: Tính , B2: Tính [,] = B3: Tính độ dài || độ dài || ,rồi thay vào cơng thức 20 Cơng thức tính khoảng cách đường thẳng chéo d d d' d Mo d M'o Mo d d' Mo M'o M'o M d' d ### - - - - - Khoâng thất bại , tất thử thách - - - - -### Mo Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Cho đt ( ) : qua M có VTCP d ( ’) : qua M’ có VTCP ’ Khoảng cách đt : d( , ’) = (**) d' Mo B1: Tính véctơ có hướng [ , ’] M'o B2: Tính tích vơ hướng [ , ’] = số cụ thể B3: Tính độ dài véctơ có hướng |[ , ’]| B4: Thay kết vào cơng thức (**) B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG Cần học thuộc nắm vững công thức Cần thiết làm cần vẽ hình minh hoạ ( có thể) Dạng 1: Tìm toạ độ trung điểm đoạn thẳng.(Toạ độ trung điểm trung bình cộng đầu mút ) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB : Dạng : Tìm toạ độ trọng tâm tam giác (Toạ độ trọng tâm trung bình cộng đỉnh ) Toạ độ trọng tâm G ABC : Dạng 3: Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ( trung bình cộng đỉnh) Toạ độ trọng tâm I tứ diện ABCD : Dạng : Chứng minh điểm A,B,C,D không đồng phẳng c/m : , , không đồng phẳng uuur uuur uuur c/m : [AB,AC].AD �0 uuur uuur uuur B1: Tính AB,AC,AD uuur uuur AB.AC� B2: Tính véctơ có hướng � ( véctơ) � uuur uuur u� uur B3: Tính tích vô hướng [AB,AC].AD = m ( số ) + Nếu m �0 A,B,C,D khơng đồng phẳng + Nếu m= A,B,C,D đồng phẳng Dạng : Tính độ dài đường cao AH ΔABC A 2.S ABC Ta có: AH (*) > BC uuur uuur C1) b1: Tính diện tích S ABC | [AB,AC] | (x B x C ) (y B y C ) (z B z C ) b3: Thay vào (*) � AH ? C2) : Vì AH= d(A,BC) (vận dụng cơng thức 19 ) uuu r uuur � � AB,BC � � AH (*) uuur BC r uuur B1: đt BC có VTCP u BC ? b2: Tính độ dài BC = B H C ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian u u u r u u u r uuu r uuur r AB,BC � B2: Tính AB,BC � � � �= u r uuur B3: Tính độ dài u , BC thay vào (*) uuu r uuur ^ ^ Dạng 6: Tìm số đo góc VD: tính ABC Hiểu ABC = ( BA,BC ) uuu r uuur B1: Tính BA , BC uuu r uuur uuu r uuur A BA.BC B2: Ta có : cos B cos( BA,BC ) (cơng thức tính góc ) BA.BC x.x' y.y' z.z' = x y z x' y' z' B ? C ^ B3: Dùng máy tính , tìm góc B � B^ = ? ta nhấn : shift cos ( �4 ) Dạng 7: Tìm số đo góc đường thẳng AB ,CD (Cách làm tương tự dạng ) Lưu ý : Góc đt AB,CD góc nhọn ,có số đo 0α0 �90� uuur uuur B1: tính AB , CD uuur uuur uuur uuur B2: tính cos( AB , CD ) ,rồi suy góc ( AB , CD ) = α B3: tùy theo α : + Nếu α �900 (AB,CD) = α + Nếu α > 900 (AB,CD) = 1800 - α > VD : cosB = uuur uuur + Nếu ( AB , CD ) = 700 � (AB,CD)= 700 uuur uuur + Nếu ( AB , CD ) = 1790 � (AB,CD)= 10 > uuur uuur �uuur AB, AC � AD (*) Dạng : Tính thể tích tứ diện ABCD theo công thức VABCD � � A uuur uuur uuur B1: Tính AB , AC , AD uuu r uuur � AB, B2: tính tích có hướng � � AC � uuu r uuur uuur AB, AC � B3: tính tích vơ hướng � � � AD = m B B4: tính giá trị tuyệt đối m ,rồi thay vào công thức (*) VD: D C Dạng 9: Tìm toạ độ hình chiếu điểm trục toạ độ mp toạ độ Gọi M(m,n,p) toạ độ hình chiếu M(m,n,p) lên : trục Ox H(m,0,0) trục Oy K(0,n,0) trục Oz J(0,0,p) M(m,n,p) có toạ độ hình chiếu mp (Oxy) D(m,n,0) mp (Oyz) E(0,n,p) mp (Oxz) F(m,n,p) Dạng 10 : Tìm toạ độ điểm đối xứng điểm qua mp toạ độ hay trục toạ độ Điểm đối xứng M(x,y,z) qua mp (Oxy) M’(x,y,-z) mp (Oyz) M’(-x,y,z) mp (Ozx) M’(x,-y,z) Điểm đối xứng M(x,y,z) qua trục Ox M’(x,-y,-z) trục Oy M’(-x,y,-z) trục Oz M’(-x,-y,z) uuur uuur Dạng 11: Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( nghĩa : MA k.MB ) biết A,B uuur uuur B1: Gọi M(x,y,z) cần tìm , ta có : MA k.MB (*) ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 uuur uuur uuur B2: Tính MA , MB k MB B3: Thay vào (*) ,tìm x,y,z = ? Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian �x x' r r r r � B3: Tính độ dài véctơ nói Thay vào cơng thức (*) S = (đơn vị diện tích ) Dạng 21 : Tính số đo góc ABC A ^ uuu r uuur A ( AB, AC ) ^ uuu r uuur B ( BA,BC ) ^ uuu r uuu r B ? C ( CA,CB ) Rồi vận dụng cơng thức tính Cơsin góc véctơ , dùng MTBT để tìm số đo góc Dạng 22 : Chứng minh điểm A,B,C,D đỉnh tứ diện Chứng minh điểm A,B,C,D không đồng phẳng (Xem lại dạng ) Dạng 23 : Tìm toạ độ tâm bán kính mặt cầu * Nếu mặt cầu có pt dạng tổng quát : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 ** Nếu mặt cầu có pt dạng khai triển : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = > Lưu ý : Nếu mặt cầu (S) có pt : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 12x - 18y + 6z - = x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + 2z - = (( Chia vế cho )) Q Dạng 24 : Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm M,N,P,Q cho trước (Hiểu : M,N,P,Q thuộc (S) nên ta thay toạ độ M,M,P,Q vào pt (S) B1: Gọi pt mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = (1) I B2: Lần lượt thay toạ độ điểm M,N,P,Q vào pt (1) ,ta có pt B3: Giải hệ gồm pt phương pháp a,b,c,d = ? B4: Thay a,b,c,d vào pt (1) pt mặt cầu (S) Dạng 25 :Viết pt mặt cầu qua điểm M,N,P có tâm nằm mp (Oxy) Cách 1: C M N ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian 2 B1: Gọi pt mặt cầu (S) có dạng : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (1) Tâm I(-a ,-b,c) B2: Vì M,N,P (S) ,nên ta thay toạ độ M,N,P vào pt (1) có pt (*) Vì tâm I (Oxy) c = (**) B3: Kết hợp (*) (**) ,ta giải hệ pt a,b,c,d = ? (( giải hệ pt phương pháp thế)) Cách 2: B1: Gọi mặt cầu (S) có tâm I mp (Oxy) có bán kính R Toạ độ tâm I có dạng I(x,y,0) B2: mặt cầu (S) qua điểm M,N,P MI = NI = PI = R Hệ ; Giải hệ x,y,R= ? B3: biết pt mặt cầu (S) Dạng 26: Viết pt mặt cầu có bkính R, tiếp xúc với mp có tâm nằm đường thẳng cho trước VD: Mặt cầu (S) có bán kính R ; (S) tiếp xúc với mp (Oyz) (S) có tâm tia Ox B1: Gọi mcầu (S) có tâm I(m,0,0) Ox Ox B2: Để (S) tiếp xúc với mp (Oyz) : x = d[I,(Oyz)] = R (*) I B3: Tính khoảng cách : d[I,(Oyz)] , thay vào pt (*) để giải pt m=? R B4: Mcầu (S) có pt mặt cầu (S) : Oyz Dạng 27 : Viết pt mặt cầu có tâm I(a,b,c) tiếp xúc với mp () : Ax + By + Cz + D = 0H (( Có tâm ,chỉ cần tìm thêm bán kính đủ )) B1: Vì mcầu (S) có tâm I tiếp xúc với mp () Bán kính R = IH = d(I,) I B2: Tính khoảng cách d(I,) = > H B3: Mặt cầu (S) có pt mặt cầu (S) : Dạng 28 : Xét vị trí tương đối mp () : Ax + By + Cz + D = (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = B1: Lập tỉ số : , , , ( với điều kiện A’,B’,C’,D’ ≠ ) B2: Xét trường hợp : TH1 : Nếu ≠ ≠ () cắt (’) TH2 : Nếu = = ≠ () // (’) TH3 : Nếu = = = () (’) Đặc biệt : Nếu cần chứng minh mp () (’) vng góc ,ta cần c/m VTPT vng góc uu r B1: Tìm VTPT () nα ( A,B,C ) uur B2: Tìm VTPT (’) nα' ( A,B,C ) uu r uur B3: Tìm tích vơ hướng nα nα' A.A' B.B' C.C' uu r uur nα nα' () (’) Dạng 28: Viết pt mặt phẳng thường gặp Cách 1: > Tìm mp () qua điểm M(x0,y0,z0) mp () có VTPT = (A,B,C) ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### 10 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 pt tổng quát mp () : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = Cách : > Định nghĩa véctơ phương mp : véctơ có giá song song nằm mp B1: Tìm điểm M(x0,y0,z0) mp () B2: Tìm cặp VTCP = (a,b,c) = (a’,b’,c’) uu r uu r uu r � u ,u B3: Véctơ pháp tuyến mp () nα � � �= (A,B,C) > B3: * mp () có VTPT = ( A,B,C) ** mp () qua M(x0,y0,z0) pt tổng quát mp () : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = Dạng 29 : Viết pt mp () qua điểm M,N,P cho trước B1: mp () có véctơ phương : = = ? = = ? uu r uu r uu r � u ,u B2: Ta có VTPT mp () : nα � �1 �= ? B3: mp () M N P có VTPT = (A,B,C) Đi qua M(x0,y0,z0) pt tổng quát mp (): Dạng 30 : Viết pt mp qua điểm A,B song song với trục Ox ( trục Oy ,Oz) B1: mp () qua A,B () nhận làm VTCP A B = =? B2: Vì () // Ox () có VTCP thứ = = (1,0,0) uu r uu r uu r � u ,u B3: Tìm VTPT mp () : nα � �1 � x mp ( ) có VTPT điểm qua pt tổng quát mp () O Dạng 31 : Viết pt mp () qua điểm M(x0,y0,z0) song song với mp () : Ax + By + Cz + D = B1: Vì mp () // () : Ax + By + Cz + D = Dạng pt mp () : Ax + By + Cz + m = (1) B2: Thay toạ độ điểm M vào pt (1) m = ? B3: Kết luận pt mp () Dạng 32 : Viết pt mp () qua điểm A,B vng góc với mp cho trước B1: () qua điểm A,B () có VTCP = = (1) uu r uu r A B2: () () nβ uα = (2) B r i (1,0,0 ) A ( VTPT mp () VTCP mp () uu r uu r uu r � u ,u B3: Từ (1) (2) VTPT mp () : nα � �1 �= ? Mà () qua điểm A pt tổng quát mp () : Dạng 33 : Viết pt mp () qua G(m,n,p) cắt trục toạ độ điểm A,B,C cho G trọng tâm ABC z B1: Gọi () cắt Ox,Oy,Oz A(a,0,0) ,B(0,b,0) C(0,0,c) C pt mặt phẳng chắn () : + + =1 (1) B2: Vì () qua G nên ta thay toạ độ G vào pt (1) ta pt (*) G O B3: Vì G trọng tâm ABC (**) B4: Kết hợp (*) (**) a,b,c = ? x A ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### y B 11 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Thay vào pt (1) pt mp () z Dạng 34 : Viết pt mp () qua H(m,n,p) cắt trục toạ độ A,B,C C cho H trực tâm ABC B1: Gọi mp () qua H cắt trục toạ độ A,B,C cho H trực tâm ABC H Ta có : OH (ABC) > uu r O B2 VTPT mp () nα = = (m,n,p) B Mà () qua H(m,n,p) A pt mp () : m(x - m) + n(y - n) + p(z - p) = x Dạng 35 : Tìm tham số m để mp song song VD: Cho mp () : Ax + By + Cz + D = (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = B1: Để () // (’) = = B2: giải hệ pt : > giá trị tham số m Dạng 36 : Tìm tập hợp điểm cách mp song song () () B1: Gọi điểm M(x,y,z) cách mp () () d(M,) = d(M,) (*) B2: Tính khoảng cách : d(M,) = ? d(M,) = ? > Thay vào (*) ,nhân chéo ,rút gọn M pt tổng quát mp dạng : Ax + By + Cz + k = B3: Kết luận : Tập hợp điểm M nằm mp có pt : Ax + By + Cz + k = > Có thể ghi nhớ : k= Dạng 37 : Tìm khoảng cách đường thẳng song song () : Ax + By + Cz + D= () : Ax + By + Cz + m= kết : d(,) = H Dạng 38: Tìm toạ độ điểm A trục Oz a) Cách điểm M(m,n,p) mp () : Ax + By + Cz + D = b) Cách mp () (’) Cách giải: Gọi A Oz A(0,0,z) a) b1: Vì A cách điểm M va mp () AM = d(A,) (*) b2: Tính : + độ dài AM = + khoảng cách d(A,) = thay vào pt (*) b3: Giải pt z= ? toạ độ A b)b1: Vì A cách mp () (’) d(A,) = d(A,’) (**) b2: Tính khoảng cách (theo z) b3: Thay vào (**) z = ? Dạng 39 : Viết pt mp () song song với mp () : Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = b1: Gọi mp () // () : Ax + By + Cz + D = mp () có dạng : Ax + By + Cz + m = b2: Từ pt mặt cầu (S) , Toạ độ tâm I(-a,-b,-c) I ### - - - - - Không thất bại , tất H thử thách - - - - -### y Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 12 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian bán kính R= b3: Để () tiếp xúc với (S) d(I,) = R (*) b4: Tính d(I,) = ? > thay vào pt (*) m = Dạng 40 : Tìm toạ độ điểm thuộc đt (d) có pt tham số (*) (t R) Dạng a) Nếu có t = Hằng số ,ta thay vào pt (*) ,tính toạ độ điểm M d Dạng b) Nếu chưa có t ,cần dựa vào giả thiết toán để tìm t ,sau thay t vào pt toạ độ Dạng c) Hỏi điểm A(m,n,p) có thuộc đt d hay không ? B1: thay toạ độ điểm A vào pt (*) để tìm t = ? B2: + có giá trị t điểm A d + có giá trị khác t trở lên A d Dạng 41: Viết pt tham số đường thẳng giao tuyến mp cho trước () : Ax + By + Cz + D = (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = �Ax By Cz D > �A’x B’ y C’z D’ �Ax By Cz D Cách 1: B1: Toạ độ điểm M d nghiệm hệ � �A’x B’ y C’z D’ Cho z = toạ độ M(x0,y0,z0) (*) uu r uu r � uu r uur udα n uu r � uu r r uu r = [ nα ,nβ ] với nα = (A,B,C) B2: Ta có �uu udβ n ud � uu r β Và nβ = (A’,B’,C’) α = (a,b,c) (**) B3: Từ (*) (**) pt tham số đt d : (t R) d �Ax By Cz D Cách : B1: toạ độ M d nghiệm hệ � �A’x B’ y C’z D’ B2: cho z = toạ độ M = cho z = toạ độ N = > B3: M,N d + VTCP d = = = (a,b,c) + d qua M pt tham số d �Ax By Cz D Cách 3: hệ � ta chọn z = t , tính x,y theo biến t �A’x B’ y C’z D’ pt tham số d : Dạng 42 : Viết pt tham số đường thẳng d qua điểm cho trước A(x0,y0,z0) B(x1,y1,z1) B1: d qua A,B * d qua A(x0,y0,z0) ** VTCP d : = = (x1- x0, y1 - y0,z1 - z0) = (a,b,c) A B2: pt tham số đt d : Dạng 43 : Viết pt tham số đường cao tứ diện (khi biết đỉnh) B d A B1: Gọi đt d đường cao AH tứ diện uu r uu r VTPT mp (BCD) VTCP đt d udα n D B H ### - - - - - Khoâng thất bại , tất thử thách - - - - -### d C 13 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 uu r uu r B2: Tính nα = [ , ] ud = = (a,b,c) B3: mà d qua A(x0,y0,z0) pt tham số đt d: A Dạng 44 : Tìm toạ độ hình chiếu điểm mp VD : Tìm toạ độ hình chiếu điểm A mp (BCD) B B1: tìm pt tham số đt d đường cao AH : (*) H > B2: viết pt tổng uu r quát mp (BCD) có : d C VTPT nα = [ , ] = (a,b,c) Mp (BCD) qua B pt tổng quát mp (BCD) : Ax+By+Cz+D=0 (**) B3 : + thay x,y,z (*) vào pt (**) t = + thay t vào pt (*) toạ độ hình chiếu H(x,y,z) D Dạng 45 : Viết pt đt qua điểm M vng góc với đường thẳng cho trước B1: Gọi đt ( ) qua M(x0,y0,z0) d1,d2 uu r uur � u uu r uur uur � Δ u d1 ud1 ,ud � �uur uur � u Δ � � � ( a,b,c ) d1 u u � d2 uu r �Δ uΔ B2: pt tham số đt ( ) d1 > ud Dạng 46 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d B1: Tìm điểm M0(x0,y0,z0) d M VTCP h B2: gọi h chiều cao hình bình hành Shbh = h || h= = (*) H Mo B3: Tính véctơ : , [,] tính độ dài : |[,]| ; || B4 : thay vào công thức (*) h = Dạng 47 : Tính khoảng cách đường thẳng chéo ’ : d( , ’) = Với : đt qua M có VTCP đt ’ qua M’ có VTCP M Dạng 48 : Chú ý dạng đặc biệt * Trục Ox : có VTCP = (1,0,0) ** mp (Oxy) có VTPT = (0,0,1) có pt : z = trục Oy : có VTCP = (0,1,0) Mp (Oxz) có VTPT = (0,1,0) có pt : y = M' trục Oz : có VTCP = (0,0,1) Mp (Oyz) có VTPT = (1,0,0) có pt : x = uur u d Dạng 49 : Mối quan hệ song song đường thẳng ; mặt phẳng + d//d’ = uu r uu r + () // () nα nβ α ### - - - - - Khoâng thất bại , tất thử thaùch - - - - -### d2 d uu r nα Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 uu r r + d // () u d nα 14 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Dạng 50 : Mối quan hệ vng góc đường thẳng ; mặt phẳng + d d’ uu r uur + () () nα nβ uu r + d () = nα d uu r nα α Dạng 51 : Tìm véctơ vng góc với véctơ cho trước ( có nhiều véctơ ,nhưng ta tìm véctơ ) = [,] > Dạng 52 : Viết pt hình chiếu đường thẳng d mp () > VD: cho đt d : mp () :Ax+By+Cz+D=0 B1: Tìm M0(x0,y0,z0) d VTCP = Q uu r B2: tìm nα = (A,B,C) d u u r B3: Gọi * mp (Q) chứa d uu r ud ** (Q) () = [, nα ] = ? Mà (Q) chứa M0(x0,y0,z0) pt tổng quát mp (Q) H B4: gọi đường thẳng hình chiếu đt d mp () r r r r r � u Δ nQ � � n r � uΔ � = (Q) () �r �Q ,nα � ( a,b,c ) u Δ nα � B5: tìm giao điểm I = d () B6: ta có đt * qua I ** có VTCP pt tham số đt : Chú ý : d // () hình chiếu qua điểm I = () (Q) Tìm toạ độ I cách xét hệ , cho z = x,y = ? uu r nα α Dạng 53 : Viết pt mp (Q) chứa đt d mp (Q) vng góc với mp (P) B1: tìm M0(x0,y0,z0) d VTCP = Q B2: tìm = B3: gọi mp (Q) chứa đt d mp (P) uu rd = [ , ] = (A,B,C) ud- z0) = Mà mp (Q) qua M0(x0,y0,z0) pt tổng quát mp (Q) : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z Dạng 54 : Viết pt mp chứa điểm M đt d B1: Tìm toạ độ M0 d VTCP = uu r B2: tính = M nα B3: gọi mp (P) chứa M đt d P = [ , ] = = (A,B,C) (1) Mà () qua M(x0,y0,z0) Từ (1) ,(2) pt mp (P): (2) Dạng 55 : Viết pt đt qua điểm cắt đt cho trước B1: Viết pt mp () chứa M đt d1 > M0 A α P d1 uu r ud d d2 ### - - - - - Không thất bại , tất M B thử thách - - - - -### β uu r nα 15 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 B2: Viết pt mp ( ) chứa M đt d2 B3: đt cắt d1 d2 nên = () () B4: viết pt giao tuyến () () > Dạng 56 : Viết pt mp chứa đường thẳng cắt B1: gọi M0 d M0 = ? B2: mp (P) chứa đt d,d’ (P) có cặp VTCP : , B3: = [ , ] = (A,B,C) (1) B4: mà (P) qua M0 (2) , Từ (1) ,(2) pt tổng quát mp (P) uu r nP d d’ Dạng 57 : Viết pt mp (P) qua điểm M0 song song với đt d,d’ cho Ptrước B1: mp (P) // d ,d’ d = [ , ] = (A,B,C) (1) B2: (P) qua M0(x0,y0,z0) (2) từ (1) ,(2) pt tổng quát mp (P) I uu r nP M0 Dạng 58 : Viết pt đường vng góc chung đt chéo d,d’ (( đt có pt tham số )) Cách 1: P A B1: gọi A,B đoạn thẳng vng góc chung d,d’ d’ d với A d A(x0 + at, y0 + bt ,z0 + ct ) B d’ B(x0’+ a’t’, y0’+ b’t’ ,z0’ + c’t’) B2 : ta có (*) B3 : tính (( theo t , t’)) ,rồi tính tích vơ hướng hệ (*) B B4 : giải hệ toạ độ A,B = ? B5: đt AB có * qua A ** có VTCP = pt tham số đt AB : Cách : B1: gọi AB đoạn thẳng vng góc chung đt d,d’ uu r uu r � uu r uu r uur u Δ ud � u ,ud ' � r uur � u Δ � B2: gọi đt ( ) đt chứa AB �uu d � � u Δ ud' � B3: Viết pt mp () chứa đt d r uu r uu r uu r uu r uu � u ,u ( ) có cặp VTCP u Δ ,ud nα = � �Δ d � Và () qua điểm M0 d pt mp () B4: Viết pt mp ( ) chứa đt d’ r uu r uu r uu r uu r uu � u ,u ( ) có cặp VTCP u Δ ,ud ' nα = � Δ d � � Và () qua điểm M0’ d’ pt mp () B5: Viết pt đt = () () > Dạng 59 : Tính độ dài đường vng góc chung đt chéo Cách : Tức ta tìm khoảng cách đt chéo > Cách : (( hiểu tìm độ dài đoạn vng goc chung )) B1 : tìm toạ độ đầu mút đoạn vng góc chung AB > B2 : tính độ dài đoạn AB d Dạng 60 : Tìm góc đt d mp (P) (( ghi nhớ : góc có số đo 900 )) + d // (P) góc (d,P) = 00 ### - - - - - Không thất bại , tất achỉ thử thách - - - - -### P Δ d' 16 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 + d (P) góc (d,P) = 900 Tổng quát : Góc đt d mp (P) góc tạo đt d và đt với hình chiếu d lên mp (P) Cách giải : B1: tính góc ( , ) = a0 B2: + a0 nhọn góc đt d (P) : (d,P) = 900 - a0 (( lấy góc phụ )) + a0 = 900 (d,P) = 900 + a0 tù (d,P) = a0 - 900 d Dạng 61 : Tìm toạ độ giao điểm đt d mp (P) B1: với đt d ,ta xác định điểm M0(x,y,z) = (x0+at, y0+bt,z0+ct) (1) B2: thay toạ độ M0 vào pt mp (P) : Ax + By + Cz + D = P tìm t = ? thay vào (1) toạ độ M0 Dạng 62 : Viết pt đt d nằm mp (P) , qua điểm A vng góc với đt a B1: ta có d qua A(x0,y0,z0) (1) a Và = [ , ] = = (a,b,c) (2) B2: từ (1) (2) pt tham số đt d Dạng 63 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đt d Cách 1: xem công thức 19 Cách : B1: gọi H(x,y,z) hình chiếu M đt d : B2: ta có = (*) B3: tính ((( theo biến t ))) Và tính = ? B4: giải pt (*) t = ? toạ độ H độ dài MH = Cách : B1: viết pt mp (P) qua M vng góc với đt d = = B2: pt tổng quát mp (P) B3: tìm toạ độ giao điểm H d (P) B4: khoảng cách từ M đến d độ dài đoạn MH d(M,d) = MH = Dạng 64 : Viết pt đt qua điểm M(x0,y0,z0) vng góc với mp (P) cho trước B1: d (P) = = = (a,b,c) (1) B2: mà d qua M0(x0,y0,z0) (2) pt tham số đt d : Dạng 65 : Viết pt đt d qua điểm M ,đồng thời song song với mp (P) (P’) B1: gọi đt cần tìm d Vì = [ , ] = = (a,b,c) (1) B2: mà d qua M0(x0,y0,z0) (2) P Từ (1) ,(2) pt tham số đt d : Dạng 66 : Viết pt mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M B1: tìm toạ độ tâm I B2: ta có (P) nhận VTPT = = ? (1) P’ B3: mp (P) qua M(x0,y0,z0) (2) Từ (1) ,(2) pt mp (P) : A(x -x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = Dạng 67: Viết pt mp trung trực đoạn thẳng AB AM d d H M h d H Mo d H M d I M ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### 17 Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Định nghĩa : mp trung trực đoạn thẳng mp qua trung điểm vng góc với đoạn thẳng B1: tìm toạ độ trung điểm I AB toạ độ I (1) B2: mp trung trực (P) nhận làm VTPT = (2) A từ (1) ,(2) pt tổng quát mp (P) I Dạng 68: Viết pt mp (P) qua điểm M ,đồng thời vng góc với mp () () uur uu r � uu r uu r uu r �nPα n � (1) n ,n r nPα � B1: ta có �uur uu β � � �nPβ n B2: mà (P) qua M (2) từ (1) (2) pt tổng quát mp (P): Dạng 69 : Chứng minh đường thẳng vng góc với mp B1: tìm VTCP đt : ; tìm VTPT mp : B2: phương đt d// (P) P )) > ((xem công thức số B α β Dạng 70 : Phương pháp giải tốn hình học cách chọn Hệ trục toạ độ Nhận dạng : thường gặp dạng tốn có yếu tố : Hình lập phương ,hình hộp chữ nhật, hình tam diện vng , hình có cạnh vng góc đơi B1: Chọn hệ trục Oxyz B2: tìm toạ độ tất điểm B3: dựa vào yêu cầu toán ,ta chuyển phép toán tương ứng có liên quan toạ độ VD : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a (như hình vẽ : hình a ) Hãy xây dựng trục B' A' D' z D' B A B' A' C' C' B A D a C Hình a B1: chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình b với : gốc O A Ox AD Oy AB Oz AA’ B2: A(0,0,0) B(0,a,0) C(a,a,0) D(a,0,0) A’(0,0,a) B’(0,a,a) C’(a,a,a) D’(a,0,a) D a C Hình b x Chúc em học tập tốt ! ### - - - - - Không thất bại , tất thử thách - - - - -### y ... Chủ đề: Phương pháp toạ độ không gian 5 .Toạ độ điểm: M(x,y,z) OM ( x, y, z ) hay OM x.i y j z.k (với O gốc toạ độ ) M mp (Oxy ) : z 0 M ( x, y ,0) Các điểm đặc biệt : Gốc toạ độ: O(0,0,0)... Tìm toạ độ trung điểm đoạn thẳng. (Toạ độ trung điểm trung bình cộng đầu mút ) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB : Dạng : Tìm toạ độ trọng tâm tam giác (Toạ độ trọng tâm trung bình cộng đỉnh ) Toạ. .. D C Dạng 9: Tìm toạ độ hình chiếu điểm trục toạ độ mp toạ độ Gọi M(m,n,p) toạ độ hình chiếu M(m,n,p) lên : trục Ox H(m,0,0) trục Oy K(0,n,0) trục Oz J(0,0,p) M(m,n,p) có toạ độ hình chiếu mp