Phương pháp giải các bài toán toạ độ trong không gian

Phương pháp giải các bài toán toạ độ trong không gian với hầu hết các dạng toán cơ bản và nâng cao của chương 3 Hình học lớp 12 Phương pháp toạ độ trong không gian. Dùng cho học sinh có thể tự học và tự rèn luyện theo các dạng đã sắp xếp từ dễ đến khó.

O

z

y

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

Lời nĩi đầu Đây là một tài liệu giúp các em cĩ thêm một số phương pháp học tập mơn Tốn, với những gợi

ý về phương pháp giải Tốn mang tính chất gợi mở

Trước khi đọc lời giải của dạng tốn, các em nên suy nghĩ, tìm tịi lời giải theo lối tư duy của

mình dựa trên nền tảng kiến thức đã học, cách suy nghĩ của riêng mình hay đã được thầy cơ ở lớp

hướng dẫn, nếu chưa tìm ra hãy cố gắng suy nghĩ thêm một chút nữa Khi nào các em cảm thấy khĩ

khăn hay chưa cĩ một phương hướng nào để tìm ra thì mới đọc lời giải cho dạng bài tốn ở tài liệu

này Trong đây chỉ là một hướng giải cho một bài tốn theo cách thơng thường, chưa phải là cách tốt nhất và đây là tài liệu trợ giúp mà khơng phải là chìa khố vạn năng Các em hãy tìm tịi, sáng tạo cho mình một lối đi riêng, hồn thiện tri thức của mình

Chúc các em thành cơng !

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

A NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1.Hệ trục toạ độ trong khơng gian.

2.Toạ độ của véctơ.

nếu = x + y + z thì toạ độ véctơ u =(x,y,z) và x: hồnh độ, y: tung độ, z: cao độ.

với i = (1,0,0) , j = (0,1,0) , k =(0,0,1)

3.Các cơng thức liên quan đến toạ độ.

Cho a = (x,y,z)

b = (x’,y’,z’) thì

1 a = b 

' ' '

x x

z z



�

� 

�

� 

�

(hiểu là :2 véctơ bằng nhau khi hồnh độ,tung độ,cao độ = nhau)

2 + b = (x + x’,y + y’, z + z’).

a - b = (x - x’, y - y’, z - z’)

3 k =(k.x, k.y, k.z)  2 véctơ và cùng phương  = = (điều kiện: khi mẫu ≠ 0)

4 Tích vơ hướng của 2 véctơ là 1 số được xác định bởi cơng thức : a b = x.x’ + y.y’

5 Độ dài của 1 vectơ :

2 2

x

( vì

2 2

2

a a a

2 2

2 ' '

x

.

' ' '

' ' '

) , cos(

z y x z y x

z z y y x x b

a

b a b a

















((vì theo định nghĩa tích vơ hướng :

b a

b a b a b

a b

a b a

) , cos(

) , cos(

4 Tính chất quan trọng của 2 vectơ vuơng gĩc : ab a b 0  x.x'y.y'z.z'0

### - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là

thử thách - - - - -###

1

Hệ trục Oxyz gồm Ox,Oy,Oz đơi một vuơng gĩc

Ox : trục hồnh

Oy : trục tung

Oz : trục cao

mp (Oxy) : z = 0

mp (Oyz) : x =0

mp (Ozx) : y=0

Các véctơ đơn vị i , j , k lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz

A B

C D

C' D'

B

C

A

D

A

B [,]

O

M

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

5.Toạ độ của một điểm: M(x,y,z)  OM (x,y,z) hay OM x.iy.jz.k (với O là gốc toạ độ )

Các điểm đặc biệt : Gốc toạ độ: O(0,0,0) và

) , 0 , ( 0

: ) (

) , 0 ( 0 : ) (

) 0 , , ( 0

: ) (

z x M y

Oxz mp M

z y M x

Oyz mp M

y x M z

Oxy mp M



















Chú ý : mp (Oxy) do khuyết z nên có z=0)

M trục Ox (khuyết y,z  y=z=0) nên M(x,0,0)

M trục Oy  M(0,y,0)

M trục Oz  M(0,0,z) ( hiểu nôm na :Trục nào hay mp nào khuyết cái gì thì cái đó = 0 )

6 Công thức tính toạ độ véctơ theo toạ độ 2 đầu mút

Cho A(xA,yA,zA) và B(xB,yB,zB)  AB = (xB - xA; yB - yA ; zB -zA ) (sau trừ trước)

trước sau trước sau

7 Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB là : AB = AB = (x B  x A)2(y B  y A)2 (z B  z A)2

¢

2 A

) (x A  x B  y  y B  z  z B

8.Tích có hướng của 2 véctơ , ( là 1 vectơ )

Ký hiệu : [ v u, ] (( hoặc u )) với v u (a,b,c)

và v (a,'b,'c')

thì : [ v u, ] = ( |

' '

|

c b

c b

' '

|

a c

a c

' '

|

b a

b a

) = ( bc’ - b’c ; ca’ - a’c ; ab’ - a’b )

với định thức cấp 2 được tính bởi công thức : |

' '

|

b a

b a

= a.b’ - a’.b

** Các tính chất của tích có hướng :

a) Tích có hướng [ v u, ] là 1 véctơ vuông góc với cả 2 véctơ u và

ur r ur r

ur r ur r c) Độ dài của véctơ có hướng : |[ ,u vr r

]| = sin( , )u vr r u vr r d) Độ dài véctơ [ ,u vr r

] bằng số đo diện tích hình bình hành OAMB

e) Điều kiện để 2 véctơ và cùng phương  [ , u vr r

]= 0r

9 Ứng dụng của tích có hướng.

a) Tính diện tích hình bình hành Shbh ABCD= |��uuur uuurAB AD, ��|

b1: Tính : uuur uuurAB AD,

b2 : Tính tích có hướng ��uuur uuurAB AD, �� = ur

b3 : Shbh = ur

(đơn vị diện tích )

b) Tính thể tích hình hộp (hay khối hộp)

* Định nghĩa hình hộp : là hình gồm tất cả các mặt là hình bình hành

** Cách tính thể tích hình hộp : V = | ��uuur uuur uuurAB AD AA, �� '|

B1: Tính ABuuur , ADuuur , uuurAA'

B2 : Tính ��uuur uuurAB AD, �� = ur ( là 1 véctơ )

2

A

BA



z

y

x

O P

M

N

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

B3 : Tính ��uuur uuur uuurAB AD AA, �� ' = ur.uuurAA'

= số m ( Tích vơ hướng là 1 số )

B4 : Tính giá trị tuyệt đối của số m.

c) Tính thể tích của tứ diện ABCD : VtứdiệnABCD = 1

6|��uuur uuur uuurAB AC AD, ��. | (các bước giống như ở phần b)

10 Tính chất liên quan giữa tích vơ hướng và tích cĩ hướng

a) urvr�u vr r. 0

b) ur và vr cùng phương � [ , u vr r

]= 0r

c) , , đồng phẳng  [ , ] = 0

11 Phương trình mặt cầu.

a)Định nghĩa: Điểm M  mặt cầu S(I,R)  IM = R (1).

b) Xây dựng : Gọi M(x,y,z) và tâm I(a,b,c)  IM = thay vào (1)

 = R (bình phương 2 vế )  (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2

c) Phương trình mặt cầu S cĩ tâm I(a,b,c) và bán kính R là :

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2

*** d) Các dạng phương trình mặt cầu :

Dạng 1: (dạng tổng quát)

(S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2  ( , , )

bán kính R

TâmI a b c

�

�

�

Dạng 2 : ( dạng khai triển)

(S) : x2 + y2 +z2 + 2ax + 2by +2cz + d = 0 

Vd 1: Cho (S) : (x-3)2+(y-5)2+(z+ )2 = 6 (dạng 1) 

Vd 2: Cho (S) : x2+y2+z2 + 6x + 8y - 10z - 1 = 0 (dạng 2) 

(Tìm tâm theo quy tắc:”chia đơi ,đổi dấu” )

12 Phương trình mặt phẳng.

a) Định nghĩa véctơ pháp tuyến của mp ( )

Nếu giá của vuơng gĩc với mp ()

* Chú ý : Nếu mp () cĩ 1 VTPT thì véctơ k cũng là VTPT của mp ()

VD: mp( ) cĩ 1 VTPT =(2,4,-10)  mp () cĩ VTPT = (1,2,-5)

=(20,40,-100) =(-2,-4,10)

b) Phương trình tổng quát của mp

Cho mp () cĩ VTPT =(A,B,C)

Đi qua M(x0,y0,z0)  Phương trình tổng quát của mp ( ) là :

A.(x - x0) + B.(y - y0) + C.(z - z0) = 0

Hay khai triển và rút gọn ,ta cĩ dạng : Ax + By + Cz + D = 0

13 Các trường hợp riêng của pt mp ( ) :Ax + By + Cz + D = 0

+ Nếu A = 0 (khuyết hệ số A) thì () // hoặc chứa Ox.

+ Nếu B = 0 thì () // hoặc chứa Oy

+ Nếu C = 0 thì () // hoặc chứa Oz

+ Nếu D = 0 thì () đi qua gốc toạ độ O(0,0,0)

14.Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

( Dùng khi mp() đi qua 3 điểm nằmtrên 3 trục Ox,Oy,Oz)

Nếu mp () đi qua M(a,0,0)  Ox

N(0,b,0)  Oy P(0,0,c)  Oz

### - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là

thử thách - - - - -###

3

H

d

d'

d Mo

M'o

d

d' M'o

Mo

d' d

Mo

M'o

d M

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

 pt mp () : + + = 1 ( còn gọi là pt mp theo đoạn chắn )

VD: mp () đi qua M(3,0,0)  Ox

N(0,5,0)  Oy P(0,0, -7)  Oz  pt mp () : + + = 1  - 35x - 21y +15z +105 = 0 (do chuyển vế, rút gọn )

15 Vị trí tương đối giữa 2 mp :

Cho 2 mp () : Ax + By + Cz + D = 0

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

+ 2 mp cắt nhau  ≠ ≠ ( chỉ cần 1 tỉ số khác nhau là đủ )

+ () // (’)  = = ≠

+ ()  (’)  = = =

Chú ý : với điều kiện các Mẫu số ≠ 0

16 Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp

Gọi M(x0,y0,z0) và mp () : Ax + By + Cz + D = 0

 Khoảng cách từ M đến mp () ,ký hiệu d(M,())

 d(M,()) = MH ( với H là hình chiếu của M lên mp ( )

Thì : d(M,()) =

17 Phương trình đường thẳng.

a) Phương trình tham số của đường thẳng

+ Định nghĩa vectơ chỉ phương của đt d ( với ≠ )

là VTCP của đt d khi giá của song song hoặc trùng với d

* Chú ý : Nếu mp () có 1 VTCP thì véctơ k cũng là VTCP của mp ()

VD: mp( ) có 1 VTCP =(2,4,-10)  mp () có VTCP = (1,2,-5)

= (20,40,-100)

3 = (-2,- 4,10)

* Phương trình tham số của đt d Đi qua M(x0,y0,z0)

Có VTCP = (a,b,c)

là: với t là tham số

Và tương ứng mỗi giá trị của tham số t ta có tương ứng toạ độ 1 điểm thuộc đt d

VD nhận biết : Cho đt (d)  đt (d) d đi qua M(1,2,-3)

b) Phương trình chính tắc của đt d

Bằng cách khử t ở pt tham số ,ta có pt chính tắc của đt (d) là : = = ( với abc ≠ 0).

18 Vị trí tương đối giữa 2 đt

Cho 2 đt (d) : và (d’) :

TH1: * d  d’  3 véctơ , và cùng phương

 [ , ] = [ , ] =

TH2 : ** d// d’ 

 [,]= và [ , ] ≠

TH3 : d,d’ cắt nhau  

TH4 : d,d’ chéo nhau  , và không đồng phẳng

 [, ] ≠ 0

19 Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng.

Cho đt ( ) : đi qua M0 và có VTCP

 khoảng cách từ M đến ( ) là : d(M, )=

B1: Tính ,

B2: Tính [,] =

B3: Tính độ dài || và độ dài || ,rồi thay vào công thức

20 Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

4

d có VTCP = (5,-6,0)

Mo

M'o

d' d

Mo

M'o

A

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

Cho 2 đt ( ) : đi qua M và cĩ VTCP

( ’) : đi qua M’ và cĩ VTCP ’

Khoảng cách giữa 2 đt là : d( , ’) = (**)

B1: Tính véctơ cĩ hướng [ , ’]

B2: Tính tích vơ hướng [ , ’] = 1 số cụ thể

B3: Tính độ dài véctơ cĩ hướng |[ , ’]| B4: Thay các kết quả trên vào cơng thức (**)

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG.

Cần học thuộc và nắm vững các cơng thức Cần thiết khi làm bài cần vẽ hình minh hoạ ( nếu cĩ thể)

Dạng 1:

Tìm toạ độ trung điểm của 1 đoạn thẳng.(Toạ độ trung điểm bằng trung bình cộng của 2 đầu mút)

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :

Dạng 2 : Tìm toạ độ trọng tâm của 1 tam giác (Toạ độ trọng tâm bằng trung bình cộng của 3 đỉnh )

Toạ độ trọng tâm G của ABC là :

Dạng 3: Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ( bằng trung bình cộng của 4 đỉnh)

Toạ độ trọng tâm I của tứ diện ABCD là :

Dạng 4 : Chứng minh 4 điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng

 c/m : , , khơng đồng phẳng.

 c/m : [AB,AC].AD 0uuur uuur uuur�

B 1 : Tính AB,AC,ADuuur uuur uuur

B 2 : Tính véctơ cĩ hướng AB.AC��uuur uuur�� ( là 1 véctơ)

B 3 : Tính tích vơ hướng [AB,AC].ADuuur uuur uuur

= m ( là 1 số ) + Nếu m 0� thì A,B,C,D khơng đồng phẳng

+ Nếu m= 0 thì A,B,C,D đồng phẳng

Ta cĩ: 2.SABC

AH

BC

 (*) << hoặc AH = d(A,BC) >>

C1) b1: Tính diện tích SABC 1| [AB,AC] |

2

 uuur uuur

(x x ) (y y ) (z z )

b3: Thay vào (*) �AH ?

C2) : Vì AH= d(A,BC) (vận dụng cơng thức 19 )

 AB,BC

AH

BC

uuur uuur uuur (*)

B1: đt BC cĩ VTCP u BC ? r uuur 

### - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là

thử thách - - - - -###

5

B C

A

?

A

C

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

B2: Tính AB,BC uuur uuur � � �

�AB,BC�

uuur uuur

= u r

B3: Tính độ dài u r

, BC uuur rồi thay vào (*)

Dạng 6: Tìm số đo của 1 góc VD: tính ABC  Hiểu là ^ ABC = ( BA,BC ) ^ uuur uuur

B1: Tính BA uuur , BC uuur

B2: Ta có : cos B cos( BA,BC )  BA.BC

BA.BC

uuuruuur uuur uuur

(công thức tính góc )

=  

x.x' y.y' z.z'

B3: Dùng máy tính , tìm ra góc ^

B

VD : cosB = 3 2

4 ta nhấn : shift  cos  ( 3 2 4 ) �� B ^ = ?

Dạng 7: Tìm số đo góc của 2 đường thẳng AB ,CD (Cách làm tương tự dạng 6 )

Lưu ý : Góc giữa 2 đt AB,CD là góc nhọn ,có số đo 0α 90 0 � � 0

B1: tính AB uuur , CD uuur

B2: tính cos( AB uuur ,CD uuur ) ,rồi suy ra góc ( AB uuur ,CD uuur ) = α

B3: tùy theo α : + Nếu α � 900 thì (AB,CD) = α

+ Nếu α > 900 thì (AB,CD) = 180 0 - α <<< lấy góc bù >>>

VD: + Nếu ( AB uuur ,CD uuur) = 700 � (AB,CD)= 70 0

+ Nếu ( AB uuur ,CD uuur) = 1790 � (AB,CD)= 1 0 << Lấy góc bù >>

1

6

uuur uuur uuur

(*)

B1: Tính AB uuur , AC uuur , AD uuur

B2: tính tích có hướng ��uuur uuur AB, AC��

B3: tính tích vô hướng ��uuur uuur AB, AC�� AD uuur = m

B4: tính giá trị tuyệt đối của m ,rồi thay vào công thức (*)

Dạng 9: Tìm toạ độ hình chiếu của 1 điểm trên các trục toạ độ và các mp toạ độ

Gọi M(m,n,p) thì toạ độ hình chiếu của M(m,n,p) lên trên : trục Ox là H(m,0,0)

trục Oy là K(0,n,0) trục Oz là J(0,0,p)

M(m,n,p) có toạ độ hình chiếu trên mp (Oxy) là D(m,n,0)

mp (Oyz) là E(0,n,p)

mp (Oxz) là F(m,n,p)

<<nhớ nôm na : chiếu lên mp có khuyết cái gì thì thay cái đó bằng 0 ;

VD : mp(Oxy) khuyết z nên cao độ z = 0 >>

Dạng 10 : Tìm toạ độ điểm đối xứng của 1 điểm qua 1 mp toạ độ hay 1 trục toạ độ.

Điểm đối xứng của M(x,y,z) qua mp (Oxy) là M’(x,y,-z)

mp (Oyz) là M’(-x,y,z)

mp (Ozx) là M’(x,-y,z) Điểm đối xứng của M(x,y,z) qua trục Ox là M’(x,-y,-z)

trục Oy là M’(-x,y,-z) trục Oz là M’(-x,-y,z)

Dạng 11: Tìm toạ độ 1 điểm M chia 1 đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( nghĩa là : MA k.MB uuur uuur ) khi biết A,B

B1: Gọi M(x,y,z) cần tìm , ta có : MA k.MB uuur uuur (*)

6

B

C

C

A

D

B

+ Gọi M �mp (Oxy) � M(x,y,0)

M �mp (Oyz) � M(0,y,z)

M �mp (Ozx) � M(x,0,z)

+ Gọi M � trục Ox � M(x,0,0)

M � trục Oy � M(0,y,0)

M � trục Oz � M(0,0,z)

A

M

B

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

B2: Tính MA uuur , MB uuur và k MB uuur

B3: Thay vào (*) ,tìm được x,y,z = ?

<<vận dụng cơng thức toạ độ 2 véctơ bằng nhau : a ( x, y,z ) r và b ( x', y',z') r thì

x x'

z z'



�

�

� 

�

r r

>>

Dạng 12 : Tìm toạ độ đỉnh thứ tư của hình bình hành ((VD: Tìm toạ độ đỉnh D của hbh ABCD))

B1: Gọi D(x,y,z) là đỉnh của hbh ABCD ,ta cĩ AD uuur = BC uuur

B2: Tính AD uuur , BC uuur

B3: (Cho toạ độ 2 véctơ bằng nhau � x,y,z = ?

Dạng 13: Toạ độ một số điểm đặc biệt

Dạng 14: Cách chuyển đổi ngơn ngữ trong một số dạng bài tốn :

* Điểm M cách đều 2 điểm A,B � MA = MB (2 đoạn thẳng cĩ độ dài bằng nhau

)

* Điểm M cách đều 2 đường thẳng Δ và Δ ’ � d(M, Δ ) = d(M, Δ ’) < 2 khoảng cách bằng nhau

>

* Điểm M cách đều điểm A và đường thẳng Δ � MA = d(M, Δ )

* Điểm M cách đều 2 mp (P), (Q) � d[M,(P)] = d[M,(Q)]

 Hiểu nơm na : “ cách đều “ � “ khoảng cách, độ dài bằng nhau “

*** ) 2 véctơ vuơng gĩc ( hoặc 2 đoạn thẳng , 2 đường thẳng vuơng gĩc )

Sử dụng cơng thức : a b rr�a.b 0 r r

Dạng 15 : Tìm toạ độ điểm M � trục Ox và cách đều 2 điểm A,B cho trước

B1: Gọi M� Ox � M(m,0,0)

B2: Vì M cách đều A,B � MA = MB (*)

B3: Tính độ dài MA , MB theo m

B4: Thay vào (*) và giải phương trình � m= ?

Dạng 16 : Tìm tham số m để 2 véctơ a r , b r vuơng gĩc

<< Chuyển hố vuơng gĩc a r  b r thành Tích vơ hướng = 0 >>

B1: Để a b r r�a.b 0 r r

B2: Tính tích vơ hướng a r b r ,rồi cho = 0 để giải phương trình � m= ?

Dạng 17 : Xét sự đồng phẳng của 3 véctơ u r , v r , w ur

<< Ghi nhớ : [ u r , v r ] w ur = 0 thì đồng phẳng

[u r , v r ] w ur �0 thì khơng đồng phẳng >>

B1: Tính tích cĩ hướng [ u r , v r] = (( là 1 véctơ))

B2: Tính tích vơ hướng [ u r , v r ] w ur = (( là 1 số ))

B3: + Nếu [ u r , v r ] w ur = 0 � 3 véctơ u r , v r , w ur đồng phẳng

+ Nếu [ u r , v r ] w ur � 0 � 3 véctơ u r , v r , w ur khơng đồng phẳng

Dạng 18 : Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (( hoặc chứng minh 3 điểm khồng thẳng hàng ))

(Hiểu là: A,B,C thẳng hàng � AB uuur , AC uuur cùng phương

� AB uuur = k AC uuur

B1: Tính AB uuur= (x,y,z)

### - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là

thử thách - - - - -###

7

nghĩa là

A

C

A

?

I Q

P

M

N

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

AC uuur= (x’,y’,z’)

B2: lập tỉ số x ; y z ;

x' y' z'

+ Nếu x y z

x'  y'  z' � AB uuur , AC uuur cùng phương � A,B,C thẳng hàng + Nếu x y z

x' � � (( chỉ cần 2 tỉ số khác nhau là đủ ))y' z'

� AB uuur , AC uuur không cùng phương � A,B,C không thẳng hàng

Dạng 19 : Tính chu vi Δ ABC

B1: Ta có chu vi Δ ABC là : C ΔABC = AB + BC + CA (*)

B2: Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC ,CA

((vận dụng công thức độ dài đoạn thẳng))

B3: Thay vào (*)

Dạng 20 : Tính diện tích Δ ABC

Vận dụng công thức : S ΔABC 1 AB, AC

uuur uuur

(*)

B 1 : Tính ,

B 2 : Tính tích có hướng [ , ] = = (x,y,z) << là 1 véctơ >>

B 3 : Tính độ dài véctơ nói trên

Thay vào công thức (*)  S = (đơn vị diện tích )

^

^

^

A ( AB, AC )

B ( BA,BC )

C ( CA,CB )







uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Rồi vận dụng công thức tính Côsin của góc giữa 2 véctơ , dùng MTBT để tìm số đo góc

Dạng 22 : Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện

 Chứng minh 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng

(Xem lại dạng 4 )

Dạng 23 : Tìm toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu

* Nếu mặt cầu có pt dạng tổng quát : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

** Nếu mặt cầu có pt dạng khai triển : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

 << “ chia đôi ,đổi dấu “>>

Lưu ý : Nếu mặt cầu (S) có pt là : 3x2 + 3y2 + 3z2 + 12x - 18y + 6z - 5 = 0

 x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + 2z - = 0 (( Chia 2 vế cho 3 )) 

Dạng 24 : Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M,N,P,Q cho trước

(Hiểu là : M,N,P,Q thuộc (S) nên ta thay toạ độ của M,M,P,Q vào pt (S)

B1: Gọi pt mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1)

B2: Lần lượt thay toạ độ của 4 điểm M,N,P,Q vào pt (1) ,ta có 4 pt mới

B3: Giải hệ gồm 4 pt trên bằng phương pháp thế  a,b,c,d = ?

B4: Thay a,b,c,d vào pt (1)  pt mặt cầu (S)

Dạng 25 :Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm M,N,P và có tâm nằm trên mp (Oxy) <hoặc mp (Oyz);

(Ozx)>

Cách 1:

8

Ox

R I

H

I

H

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong khơng gian

B1: Gọi pt mặt cầu (S) cĩ dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1)  Tâm I(-a ,-b,-c)

B2: Vì M,N,P  (S) ,nên ta thay lần lượt toạ độ M,N,P vào pt (1)  cĩ 3 pt là (*)

Vì tâm I  (Oxy)  c = 0 (**)

B3: Kết hợp (*) và (**) ,ta giải hệ 4 pt  a,b,c,d = ? (( giải hệ 4 pt bằng phương pháp thế))

Cách 2:

B1: Gọi mặt cầu (S) cĩ tâm I  mp (Oxy) và cĩ bán kính R

 Toạ độ tâm I cĩ dạng I(x,y,0)

B2: mặt cầu (S) đi qua 3 điểm M,N,P  MI = NI = PI = R  Hệ ; Giải hệ  x,y,R= ?

B3: đã biết  pt mặt cầu (S)

Dạng 26: Viết pt mặt cầu cĩ bkính R, tiếp xúc với 1 mp và cĩ tâm nằm trên 1 đường thẳng cho trước.

VD: Mặt cầu (S) cĩ bán kính R ; (S) tiếp xúc với mp (Oyz) và (S) cĩ tâm  tia Ox

B1: Gọi mcầu (S) cĩ tâm I(m,0,0)  Ox

B2: Để (S) tiếp xúc với mp (Oyz) : x = 0

 d[I,(Oyz)] = R (*)

B3: Tính khoảng cách : d[I,(Oyz)] , rồi thay vào pt (*) để giải pt

 m = ?

B4: Mcầu (S) cĩ  pt mặt cầu (S) :

Dạng 27 : Viết pt mặt cầu cĩ tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với 1 mp ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

(( Cĩ tâm rồi ,chỉ cần tìm thêm bán kính là đủ ))

B1: Vì mcầu (S) cĩ tâm I và tiếp xúc với mp ()

 Bán kính R = IH = d(I,)

B2: Tính khoảng cách d(I,) =

<< vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp >>

B3: Mặt cầu (S) cĩ  pt mặt cầu (S) :

Dạng 28 : Xét vị trí tương đối của 2 mp ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

và (’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

B1: Lập các tỉ số : , , , ( với điều kiện A’,B’,C’,D’ ≠ 0 )

B2: Xét các trường hợp :

TH1 : Nếu ≠ ≠  () cắt (’)

TH2 : Nếu = = ≠  () // (’)

TH3 : Nếu = = =  ()  (’)

Đặc biệt : Nếu cần chứng minh 2 mp () và (’) vuơng gĩc ,ta cần c/m 2 VTPT vuơng gĩc

B1: Tìm VTPT của () là n uur α ( A,B,C )

B2: Tìm VTPT của (’) là n uur α' ( A,B,C )

B3: Tìm tích vơ hướng n n uur uur α α'  A.A' B.B' C.C' 0  

 n uur uur α n α'  ()  (’)

Dạng 28: Viết pt mặt phẳng thường gặp.

Cách 1: << Tìm 1 VTPT và 1 điểm đi qua >>

Tìm mp () đi qua điểm M(x0,y0,z0)

mp () cĩ 1 VTPT = (A,B,C)

### - - - Không bao giờ là thất bại , tất cả chỉ là

thử thách - - - - -###

9

Gv : Đỗ Thanh Minh 0945099779 Chủ đề: Phương pháp toạ độ trong không gian

 pt tổng quát của mp () là : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

 Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = 0

Cách 2 : << Tìm 1 điểm đi qua và cặp Véctơ Chỉ Phương >>

Định nghĩa véctơ chỉ phương của 1 mp : là 1 véctơ có giá song song hoặc nằm trên mp

B1: Tìm điểm M(x0,y0,z0)  mp ()

B2: Tìm ra 1 cặp VTCP = (a,b,c)

B3:  Véctơ pháp tuyến của mp () là n uur α  � ��u ,u uur uur 1 2� = (A,B,C)

<< Vận dụng công thức Tích có hướng >>

B3: * mp () có VTPT = ( A,B,C)

** mp () đi qua M(x0,y0,z0)

 pt tổng quát của mp () là : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

 Rút gọn có dạng : Ax + By + Cz + D = 0

Dạng 29 : Viết pt mp ( ) đi qua 3 điểm M,N,P cho trước

B1: mp () có 2 véctơ chỉ phương : = = ?

= = ?

B2: Ta có VTPT của mp () là : n uur α  � ��u ,u uur uur 1 1�= ?

B3: mp () có VTPT = (A,B,C)

Đi qua M(x0,y0,z0)   pt tổng quát của mp ():

Dạng 30 : Viết pt mp đi qua 2 điểm A,B và song song với trục Ox ( hoặc trục Oy ,Oz)

B1: mp () đi qua A,B  () nhận làm 1 VTCP

= = ?

B2: Vì () // Ox  () có VTCP thứ 2 là = = (1,0,0)

B3: Tìm VTPT của mp () là : n uur α  � ��u ,u uur uur 1 1�

 mp ( ) có VTPT và điểm đi qua  pt tổng quát của mp ()

Dạng 31 : Viết pt mp ( ) đi qua 1 điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) và song song với 1 mp ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

B1: Vì mp () // () : Ax + By + Cz + D = 0

 Dạng pt của mp () là : Ax + By + Cz + m = 0 (1)

B2: Thay toạ độ của điểm M vào pt (1)  m = ?

B3: Kết luận về pt mp ()

Dạng 32 : Viết pt mp ( ) đi qua 2 điểm A,B và vuông góc với 1 mp cho trước

B1: vì () đi qua 2 điểm A,B  () có 1 VTCP = = (1)

B2: vì ()  ()  n uur uur β u α = (2)

( VTPT của mp () chính là 1 VTCP của mp ()

B3: Từ (1) và (2)  VTPT của mp () là : n uur α  � ��u ,u uur uur 1 1� = ?

Mà () đi qua điểm A  pt tổng quát của mp () :

Dạng 33 : Viết pt mp ( ) đi qua G(m,n,p) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A,B,C sao cho G là

trọng tâm ABC

B1: Gọi () cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại A(a,0,0) ,B(0,b,0) và C(0,0,c)

 pt mặt phẳng chắn () : + + =1 (1)

B2: Vì () đi qua G nên ta thay toạ độ G vào pt (1) ta được 1 pt (*)

B3: Vì G là trọng tâm ABC  (**)

B4: Kết hợp (*) và (**)  a,b,c = ?

10

r

x O

B A

A

A B

O C

B y z

G