Ứng dụng của tỉ số thể tích trong một số bài toán hình học không gian

Qua việc thamkhảo tài liệu thì việc tính thể tích khối đa diện hay tỉ số thể tích giữa các khối đadiện thường dùng bằng cách phân chia, lắp ghép các khối đa diện và lập tỉ số thểtích giữ

MỤC LỤC

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3.1 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện 4 2.3.2 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích 8 2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách 13 2.3.4 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác 17 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Do đó việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối

Trong năm học 2016 – 2017 này việc thi THPT Quốc Gia môn Toán đượcchuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, trong đó có khoảng ba đến bốn câu về khối

đa diện(dựa theo các đề tham khảo của bộ) và để giải quyết vấn đề này với lượngthời gian rất ngắn là một vấn đề khá khó với phần đông học sinh Qua việc thamkhảo tài liệu thì việc tính thể tích khối đa diện hay tỉ số thể tích giữa các khối đadiện thường dùng bằng cách phân chia, lắp ghép các khối đa diện và lập tỉ số thểtích giữa các khối đa diện để đưa về yêu cầu cần xác định Đó là loại câu hỏi mangtính phân loại cao của đề thi

Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giảicác bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất cóhiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần nhữngkiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được

Nhưng qua việc nghiên cứu tài liệu, học tập ở đồng nghiệp thì thấy có rất ít tài liệunghiên cứu hay bàn sâu vào vấn đề này hoặc có những tài liệu khi viết về vấn đềnày thường không triệt để hoặc quá phức tạp cho học sinh, với mong muốn đơngiản hóa vấn đề để các em học sinh dể tiếp cận, được rèn luyện nhiều, xử lý tốt mộtcâu khó trong đề thi Trước kì thi THPT Quốc Gia đến gần, với mong muốn có thểcung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để giải quyết một số bài toán

hình học không gian, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong một số bài toán hình học không gian” Mong rằng với tài liệu này, được sự

hưởng ứng của đồng nghiệp; các em học sinh thêm tự tin để giải quyết tốt bài toán

về thể tích khối đa diện

- Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này sẽ nghiên cứu về kỹ năng phân chia, tách ghép khối đa diện và sửdụng tỉ số thể tích khối đa diện để giải quyết bài toán về thể tích nằm trong trươngtrình toán phổ thông; luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổthông Với trách nhiệm của một người giáo viên muốn đưa đến học sinh nhữngđiều tốt đẹp nhất hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũngnhư cho học sinh trong các bài toán trắc nghiệm về thể tích khối đa diện

- Phương pháp nghiên cứu

Với mục tiêu là rèn luyện về kỹ năng sử dụng tỉ số thể tích giữa các khối đa diệnnên phương pháp nhiên cứu mà tác giả đã sử dụng trong đề tài là phương pháp

nghiên cứu xây dựng trên cơ sở lý thuyết, trong phần ví dụ đều cho ở hai dạng câuhỏi tự luận và câu hỏi trắc nghiệm khách quan; trình bày lời giải đầy đủ của một vídụ.

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đóthành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V B h. ,Khối chóp 1 .

3

V  B h, Khối hộp chữ nhật V abc, …) rồi cộng các kết quả lại

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ vàkhối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường caohay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tínhthể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ

Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)

Cho khối chóp S.ABC, trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’,B’, C’ khác điểm S CMR: ' ' '

.

' ' '

Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và

A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’ Ba điểm S, H, H’

cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng

.

' ' 1

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:

Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n 3), trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi đó ta có

1 1 2

1 2

' . 1 1 1

'

n n

A A A A

S A A A

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An

thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)

Bài toán 3: Hai hình chóp   H ; H  có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai chiều cao

Bài toán 4: Hai hình chóp   H ; H  có cùng độ dài chiều cao thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích đáy

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Hình học không gian là một vấn đề khó và rộng đòi hỏi học sinh phải có tư duytrừu tượng cao, phải có khả năng phân tích, tổng hợp, đánh giá…, vì thế mà khiđứng trước một bài toán yêu câu tính thể tích hoặc tỉ số thể tích để định hướngđược cách giải thường gặp khó khăn và đề tài góp một phần nhỏ trong định hướng

và giải quyết vấn đề trên

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Dựa vào bốn bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó

2.3.1 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện

Ví dụ 1 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung

điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp

S.ICM và S.ABCD [1]

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là trọng tâm

của tam giác BCD, do đó

ISCM

S ABCD

V

Ví dụ 2 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, D’ lần

lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số thể

tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) [1]

OO’//AC’ ( O' SC) Do tính chất các đương thẳng song

song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C

Do đó ' ' ' '

1 1

Xét hai hình chóp A.HOK và A.SBD có chung mặt

phẳng đáy nên có chung chiều cao; Do H, K, O lần

lượt là trung điểm của SB, SD, BD nên

.

Ví dụ 4 (Đề tham khảo lần 3 của Bộ giáo dục & đào tạo năm 2017)

Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V  là thể tích của khối đa diện có các đỉnh

là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V



 C 2

3

V V



 D 5

8

V V



Chọn đáp án A

Ví dụ 5 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm E và F lần lượt là

trung điểm của C’B’ và C’D’ Khối lập phương bị mặt phẳng (AEF) chia thành hai phần, khối chứa điểm C có thể tích bằng V 1 , khối còn lại có thể tích bằng V 2 Khi

D A

C'

B' B

* Bài tập tham khảo:

Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H

và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp

H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

ĐS: .

.

1 32

H MNP

S ABC

V

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng ()

qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính SM

SC để mặt phẳng () chia hình chópthành hai phần có thể tích bằng nhau

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a;

SA SB SC 2a   Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp

AB BC a AD   a SA ABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a [2]

2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN

1

4 1 ( ) 2

' '

b b

c c ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là trọng tâm của

tam giác ABC, do đó 2 1

Mặt khác 1

2

ACDN ACDS

V SC  (2) Từ (1) và (2) suy ra 1

12

AIMN ACDS

Ví dụ 5 (Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Tính thể tích V của khối chóp S ABC. có độ dài các cạnh SA BC  5 ,a SBAC 6a

và SCAB 7 a [3]

A 35 2 3

2

2

V  a C V  2 95 a3 D V  2 105 a3

Giải

Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường

thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một

cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.

Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S

(Các mặt bên có đường trung tuyến bằng một nữa

1 4

S ABC S AMC S ANB S PBC S MNP

4

AC

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh

rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a [2]

C A

Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD có hai cạnh đối AB C D 2a  và AB, CD tạo với nhau

góc 300 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng a Tính thể tích khối tứ

diện [3]

2 a

1 a 3

Ví dụ 8 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt

phẳng (ABC) bằng 600 Gọi A’; B’; C’ tương ứng là các điểm đối xứng của A; B; C qua S Thể tích của khối bát diện có các mặt: ABC; A’B’C’; A’BC; B’CA; C’AB;

AB’C’; BC’A’; CA’B’ là

Bài 1 Cho khối tứ diện ABCD có ABC BAD   90 , 0 CAD  120 , 0 AB a AC ,  2 ,a

Bài 2 Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Mp(AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a

ĐS:

3 ' ' ' '

16 45

S A B C D

a

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, P

lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP

Bài 5 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' biết cạnh AB a , SA 2a Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của cạnh A C' ' và B C' ' Tính thể tích của khối đa diện ABC MNC '

Bài 6 Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và

xoy = yoz = zox =60 A, B, C là các điểm tương ứng trên Ox, Oy, Oz Biết

OA= a; OB = 2a; OC = 3a Thể tích khối chóp O.ABC theo a là:

a

V 

ĐS: Đáp án đúng: B

Bài 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc

A bằng 600.Hình chiếu của B’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.Biểt

BB’= a.Thể tích khối hộp là:

2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách

Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xácđịnh chân đường cao Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cáchthông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường caocủa khối đa diện Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABCBAD  90 0, AD = 2a, BA

= BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ

3 2 ( ,( ))

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’

= a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường

thẳng AM và B’C [2]

Giải

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’Suy ra B’C//

(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có

.

.

1 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có

BH AE Hơn nữa BM  (ABE)  BM AE, nên ta được

a BH

  BHM vuông tại B nên

( ,( ))

7 14 24.

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = 1

A ABC ABC A B C

V

3 3 ' ' ' ' ' '

( ',( ' '))

14 14

d A BCC B

a

Ví dụ 5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc

với đáy, SA a Khoảng cách giữa AB và SC bằng: [4]

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,

AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.

ĐS: ( ,( )) 2 5

5

a

d A IBC 

Bài 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M

thuộc AD sao cho AM = 3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)

Bài 4 Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.

Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện

ĐS: 1 2 3 4

3

ABCD ACB

V

S

Bài 5 Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện Gọi r 1 , r 2 , r 3 , r 4 lần

lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện Gọi h 1 , h 2 , h 3 , h 4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện

Bài 6 Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I,AB = a,BC = a 3,

H là trung điểm của AI Biết SH vuông góc với đáy và tam giác SAC vuông tại S

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCN) bằng:

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a 3 và vuông góc

với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của CD Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM) bằng:

ĐS: Đáp án đúng: B

2.3.4 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác

Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theocông thức 1

2

S  ah, trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đagiác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn Khi

đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện Sau đây làmột số ví dụ minh hoạ

Ví dụ1 (ĐH khối A – 2002)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của SB và SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết

(O là trọng tâm của tam giác ABC)

Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với ABC 60 0 SA SB SC 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy Khoảng cách từ H đến (SAB) bằng 2cm và thể tích khối chóp S.ABCD bằng  3

60 cm Diện tích tam giác

Giải Vì SA SB SC  nên hình chiếu H của S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lại có đáy là hình thoi và ABC 60 0 nên tam

giác ABC đều do đó H là trọng tâm tam giác ABC Gọi I là

tâm hình thoi, khi đó 2 2 1. 1

V S

d H SAB

* Bài tập tham khảo:

Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,

BC = b, AA’ = c (c 2 2 2

a b

  ) Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với CA’cắt

lăng trụ theo một thiết diện

a) Xác định thiết diện đó

b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)

ĐS: Thiết diện AMN có diện tích 2 2 2

2

AMN

ab a b c S

Bài 3 Cho hình hộp đứng ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 120 , 0

AA a Diện tích thiết diện của hình hộp qua B vuông góc với CD là

Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy vuông tại B với AB a BC a ,  2,SA 2a và SA vuông góc với đáy Biết mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABC

Trong tiết học ôn tập ở lớp thực nghiệm 12A2 tuần học thứ 36 năm học 2016

-2017 tôi đưa ra 2 bài tập: bài 1(Ví dụ 3 trong mục 2.3.1 ), bài 2 ( Ví dụ 6 trongmục 2.3.2).Trong tuần 37 tôi tiếp tục cho các em ở lớp đối chứng 12A1 làm 2 bàitrên So sánh kết quả giữa hai lớp, nhận thấy khi áp dụng sáng kiến thì các em12A2 đã bớt lúng túng hơn trong việc giải phương trình vô tỷ, số lượng các em đạtloại khá giỏi trong lớp 12A2 cao hơn rõ rệt Cụ thể như sau:

Lớp thực nghiệm 12A2 Lớp đối chứng 12A1