Khai thác và xây dựng một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào giảng dạy môn toán ở trường THPT

Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về giải toán hình học không gian ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động cho thấy: Số lượng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Về mặt lý luận

Trí thông minh là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết

đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất Chính vì vậy, Nghị quyết của Bộ chính trị về cải cách giáo dục đã nhấn mạnh nhiệm vụ phát triển trí thông minh cho học sinh THPT Nghị quyết đã chỉ ra rất rõ yêu cầu “Phát triển

tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”

Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng

việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, sáng tạo Chú trọng đến hoạt động tự học của học sinh và để học sinh chiếm lĩnh được tri thức, áp dụng vào trong thực tế Chính vì vậy, việc phát triển trí thông minh cho các em học sinh ở cấp THPT thông qua môn Toán là hết sức

cần thiết

Về mặt thực tiễn

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT Như chúng ta đã biết, Toán

là khoa học suy diễn trừu tượng nhưng Toán học THPT lại mang tính trực quan,

cụ thể bởi vì mục tiêu của môn Toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này Một mặt khác toán học còn có tính thực triễn Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống Mỗi mô hình toán học là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống Dạy học toán học ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại

một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học Mỗi tiết học là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán

Những năm gần đây trong chương trình các môn học nói chung và môn Toán nói riêng, nội dung kiến thức được đánh giá là quá tải với học sinh Hơn nữa những áp lực thi cử, học thêm quá nhiều Học sinh thường học toán theo khẩu lệnh, lắp ráp máy móc các kiến thức có sẵn mà thiếu chủ động nghiên cứu tìm tòi toán rất hạn chế Sự say mê tìm hiểu kiến thức cơ bản để hiểu sâu và nhớ

kỹ đặc biệt là sự vận dụng kiến thức trong thế chủ động tự giác còn hạn chế Trong thực tế luôn đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của con người Mỗi vấn đề đó luôn liên quan và gắn chặt với một hoặc nhiều bài toán của các ngành khoa học, đặc biệt là toán học Chính vì

lẽ đó, bài toán thực tế mặc nhiên có mặt và ngày càng xuất hiện với tần xuất nhiều hơn trong các đề thi THPT QG và đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán của bài toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

Mỗi bài toán thực tế hình học không gian đều quy chiếu về bài toán hình học không gian mà bài toán hình học không gian lại trở về cách giải quyết bản

chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Hay nói một cách khác “mỗi bài

toán hình học không gian luôn chứa đựng và quy về một bài toán hình phẳng tương ứng” Khi đứng trước một bài toán thực tế hình học không gian học sinh

thường lúng túng và chưa biết định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán thực tế hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải

Thêm vào nữa, người giáo viên ngoài việc nắm chắc các dạng toán về hình học không gian và các phương pháp giải chúng, cần phải biết thiết kế các bài toán khác nhau làm tư liệu giảng dạy, ra các đề thi, đề kiểm tra nhằm đánh giá năng lực của học sinh và tránh hiện tượng cóp nhặt, trùng lặp trong các sách

Cơ sở của cách xây dựng đó cũng hệ thống phương pháp giải một số lớp các bài toán mới về hình học không gian, từ đó học sinh nắm chắc và rèn kỹ năng giải Toán, phát triển tư duy Toán học

Thêm vào nữa, khi giảng dạy trên lớp 12A1 và 12A4 trường THPT Bến Tre về dạng toán hình học không gian, đặc biệt các bài toán hình học không gian gắn với thực tế, tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về giải toán hình học không gian ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng (trước tác động) cho thấy:

Số lượng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém

(Bảng điểm có phụ lục I kèm theo)

Tìm hiểu và trao đổi với các đồng nghiệp ở các trường THPT trên địa bàn Thành phố Phúc Yên khi giảng dạy bài toán hình học không gian ở các trường bạn, chúng tôi cũng nhận được sự phản hồi về kết quả rất thấp của học sinh khi làm bài toán dạng này Trước vấn đề trên chúng tôi thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải chủ đạo về bài toán hình học không gian thông qua việc thiết kế, xây dựng bài toán đó là một việc cần thiết cho học sinh, để giúp học sinh có thêm kiến thức và làm tốt bài tập dạng này

Từ những suy nghĩ trên tôi mạn phép trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp

và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm “ Khai thác và xây dựng một số bài

toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào giảng dạy môn toán ở trường THPT ” nhằm góp phần nâng cao

chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT Phần nghiên cứu của chúng tôi đã sử dụng để giảng dạy cho lớp 11 và 12, các lớp bồi bưỡng HSG

Toán 11, 12, đặc biệt là học sinh ôn thi THPT QG trong năm học 2017 – 2018

và năm học 2018 - 2019

Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau:

*) Sáng kiến kinh nghiệm này đưa ra một số cách thức xây dựng và khai

thác hướng giải các bài toán hình học không gian mới gắn với bài toán thực tế

từ các bài toán hình học phẳng đã biết mà cơ sở của phương pháp này chính là con đường sáng tạo ra những dạng toán trên Hướng thứ nhất, sáng kiến kinh

nghiệm này xây dựng các bài toán mới hình học không gian mới gắn với bài toán thực tế từ các bài toán hình học phẳng Hướng thứ hai, sáng kiến sẽ khai thác cách giải bài toán hình học không gian gắn với bài toán thực tế với mục

đích chuyển đổi bài toán từ lạ về quen, về các bài toán hình học phẳng đã biết kết quả Cả hai hướng đều nhắm tới mục đích sử dụng các yếu tố đặc trưng bài toán của hình học hình học phẳng, đưa ra cách giải quyết, khai thác mở rộng cho bài toán, phát triển bài toán hình học phẳng thành bài toán hình học không gian, trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho Sau đó ta sẽ phân tích ngược lại từ tính chất của hình học không gian và hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học không gian

*) Giúp học sinh biết cách giải một số lớp bài toán về hình học không gian nhìn nhận dưới góc độ hình học phẳng dựa trên việc khai thác các tính chất hình học phẳng để quy bài toán hình học không gian về bài toán hình học phẳng rồi định hướng tìm lời giải bài toán hình học không gian Biết quy những bài toán mới về bài toán quen thuộc đã được giải quyết Trên cơ sở phương pháp đã được định hướng đối với mỗi bài toán cụ thể, các em có thể hình thành tổng hợp phương pháp giải và xây dựng các bài toán tương tự

*) Nghiên cứu các dạng toán này còn giúp học sinh biết được việc phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để chỉ ra điểm mấu chốt của bài toán

và bổ trợ cho việc giải bài toán hình học không gian Qua đó giúp các em chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học không gian Đồng thời rèn kỹ năng sáng tạo Toán cho học

sinh sao cho mọi nơi mọi lúc các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

*) Giúp cho các bạn đồng nghiệp một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán của mình Qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ thiết kế được nhiều hơn các lớp bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế càng sát thực với các đề thi THPT QG và thi chọn học sinh giỏi toán và truyền sự say mê này đến các học sinh của mình

2 Tên sáng kiến:

Khai thác và xây dựng một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào giảng dạy môn toán ở trường THPT.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Dương Ngọc Anh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên – tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0976520928 E_mail: anh.btpy@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Dương Ngọc Anh - Trường THPT Bến Tre - thị xã Phúc Yên – tỉnh Vĩnh Phúc

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Lĩnh vực giáo dục, cấp THPT, bộ môn Toán

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Từ 01/02/2017 đến 02/02/2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

- Về nội dung của sáng kiến:

KHAI THÁC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

I KIẾN THỨC CƠ SỞ

1) Một số kết quả của phần quan hệ vuông góc trong không gian

1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các

2 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một

trong các định lí , hệ quả sau :

3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một

trong các định lí , hệ quả sau :

4 Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Cách 1: (theo phương pháp hình học)

 Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng)

qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai

 / /  0

a

a a

7 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải

đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong

 Nếu MA  I    

 

,,

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

 Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

  và   là đường thẳng '  a cắt   ở M và cắt

  ở ' N đồng thời vuông góc với cả   và   '

 Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau   và   '

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đườngthẳng đó

Phương pháp :

 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b

.Tính khoảng cách từ b đến mp(P)

 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm

h

a b c

a a a

B h

 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :

2) Thể tích của khối đa diện:

Các công thức thể tích của khối đa diện:

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’,

B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt

C B

Phương pháp 1: Xây dựng bằng kiến thức hình học không gian

Phương pháp 2: Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học không gian sau đó phát triển bài toán hình học phẳng để hình thành lên bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế

Mỗi phương pháp xây dựng đều có những ưu điểm riêng cho từng bài toán cụ thể Tuy nhiên phương pháp 2 thường hiệu quả hơn trực quan hơn và cho chúng ta có cái nhìn hệ thống hơn Bằng cách phân tích trên hình phẳng tương ứng với bài toán (trong không gian hai chiều), định hướng theo bản chất hình học phẳng của bài toán hình học không gian để thu lại cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán (trong không gian ba chiều) Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán hình học không gian dựa trên bài toán hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học

sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán

Các bước tiến hành xây dựng bài toán:

Bước 1: Thiết kế bài toán hình học không gian

Xuất phát điểm từ bài toán hình học phẳng, trên cơ sở phân tích các yếu tố

và dữ kiện hình phẳng, phát triển và mở rộng hình phẳng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều, thiết lập các yêu cầu của bài toán mới như chứng minh tính vuông góc, song song hoặc tính thể tích của các khối đa diện,

Từ đó, ta nhận được bài toán hình học không gian tương ứng với bài toán hình học phẳng đã cho

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ đã chỉ ra

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

1.2 Khai thác một bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế có thể được tiến hành như sau:

Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học không gian qui bài toán lạ bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế về bài toán hình học phẳng quen thuộc

Bằng cách phân tích bản chất của bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế để đưa về bài toán hình phẳng tương ứng với bài toán hình học không gian Từ việc phân tích bài toán hình học không gian chuyển đổi về bài toán hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác cũng giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Xây dựng các bài toán thực tế liên quan đến thể tích khối đa diện và khối tròn xoay:

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Như vậy, nếu phát triển bài toán hình học trên từ không gian hai chiều (tức là bài toán hình học trong mặt phẳng) thành bài toán hình học trong không gian ba chiều (tức là bài toán hình học không gian), ta thêm các dữ kiện như sau: Gắn với thực tiễn bằng cách gắn thêm không gian ba chiều bằng cách bổ sung chiều cao bằng 2m vào hình chữ nhật ở trên để có được khối hộp chữ nhật biết

ba kích thước Ta được bài toán: Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ xây 2 vách (hình vẽ dưới đây) Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước?

5m 2m

Vậy ta có bài toán hình học không gian, như sau:

“ Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật trong một phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m, chỉ xây

2 vách (hình vẽ bên) Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó

và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể)

5m 2m

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

+) Viết công thức tính thể tích tính thể tích khối hộp chữ nhật V H, V H'

+) Tính thể tích của mỗi viên gạch

+) Tính thể tích của khối hộp to bao quanh

+) Từ đó suy ra số viên gạch cần sử dụng và thể tích thực của bồn tắm

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Như vậy, nếu phát triển bài toán hình học trên từ không gian hai chiều (tức là bài toán hình học trong mặt phẳng) thành bài toán hình học trong không gian ba chiều (tức là bài toán hình học không gian), ta thêm các dữ kiện như sau:

Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu

Bài toán tìm thể tích khối nón khi biết chu vi đáy và đường sinh

Vậy ta có bài toán hình học không gian như sau:

“ Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm Người ta muốn

làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng bao nhiêu.”

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

+) Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

I

S

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

+) Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn

đáy của hình nón sẽ có độ dài là x

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2

Xét hình vuông ABCD có cạnh bằng a Nếu chia hình vuông đó thành ba

hình chữ nhật bằng nhau thì diện tích của hình vuông ban đầu không đổi so với tổng diện tích của ba hình chữ nhật con

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Cũng phát triển bài toán hình học phẳng như ở trên thành bài toán hình học trong không gian, ta xây dựng như sau:

Cho hình vuông ABCD, ta tạo thành các hình trụ (không đáy) theo hai cách

sau:

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba hình chữ nhật bằng nhau và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2 So sánh V1

với V2

Vậy ta có bài toán hình học không gian như sau:

“ Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba hình chữ nhật bằng nhau và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.”

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

+) Tính R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, suy ra là V1 +) Tính R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, suy ra là V2

Suy ra tỉ số thể tích

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

+) Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả (Kết quả đúng)

1.4 Bài toán 1.4

Bước 1: Xây dựng bài toán hình học không gian

*) Bài toán hình phẳng:

Cho tam giác OAB cân tại O, có chiều cao OH bằng 3 lần cạnh đáy BC Trên đường cao OH lấy điểm H’sao cho OH=3OH’ Khi đó AH, A’H’ hoàn toàn tính được, nếu biết HH’

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Mở rộng bài toán hình học phẳng ở trên thành bài toán hình học trong không gian, như sau:

Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA là đường sinh, AB là đường kính đáy, HH’ với hình trụ tròn xoay nội tiếp khối nón Khối nón và khối trụ có

sự liên hệ giữa chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với nhau Nếu biết thể tích của khối trụ tròn xoay đó thì có thể tính được diện tích xung quanh của khối nón tương ứng Ta có bài toán hình học không gian như sau:

“Cho một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó Người ta thả vào đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 16 3

( )

9 dm



Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón Tính diện tích xung quanh S xq của bình nước.”

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

- Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao h Ta có h  3R

- Tính chiều cao của khối trụ là h1  2R , bán kính đáy là r

- Trong tam giác OHA có H A' '/ /HA

- Suy ra đường sinh của hình nón

- Từ đó tính được diện tích xung quanh S xq của bình nước

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

- Gọi bán kính đáy hình nón là R, chiều cao h Ta có h  3R

- Chiều cao của khối trụ là h1 2R , bán kính đáy là r

- Trong tam giác OHA có H A' '/ /HA

- Diện tích xung quanh S xq của bình nước S xq  Rl 4 10

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả (Kết quả đúng)

Sau đây là một kết quả đã biết về hình học phẳng và phát triển sang bài toán hình học không gian

*) Phân tích dữ kiện và phát triển bài toán:

Mở rộng bài toán hình học phẳng ở trên thành bài toán hình học trong không gian, như sau:

Gắn hình chữ nhật với thiết diện của khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ cắt bởi mặt phẳng song song với đáy của khối trụ Ta cũng có kết quả là trong các khối hộp chữ nhật nội tiếp trong khối trụ tròn xoay thì khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất Ta có bài toán hình học không gian như sau:

“Người ta phải cưa một thân cây hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để được một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ Hỏi thể tích cực đại của khối

gỗ sau khi cưa xong là bao nhiêu?”

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán

+) Gọi x y m, ( ) là các cạnh của thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x2 y2  1 2 Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại

+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy ra thể tích khối gỗ sau khi cưa xong

Bước 3 Trình bày lời giải bài toán theo các bước đã chỉ ra ở bước 2

+) Gọi x y m, ( ) là các cạnh của thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x2 y2  1 2

(đường kính của thân cây là 1m) Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của thiết diện là cực đại, nghĩa là khi x y. cực đại Ta có: 2 2 1

8 4

2 2

V    m (thiết diện là hình vuông)

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả (Kết quả đúng)

Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các bài toán hình phẳng gốc rồi phát triển thành các bài toán hình học không gian được ra dưới dạng trắc nghiệm khách quan sau đây :

Bài 1.6 (Đề thi KSCĐ lần 1 –

THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc

năm 2017 - 2018) Cho mô ̣t tấm

tôn hı̀nh chữ nhâ ̣t ABCD có

60

AD cm Ta gâ ̣p tấm tôn theo

2 cạnh MN và QP vào phía trong

sao cho BA trùng với CD để

được lăng trụ đứng khuyết hai

đáy Khối lăng tru ̣ có thể tı́ch lớn

nhất khi x bằng bao nhiêu?

Bài 1.7 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa năm 2017 -

2018) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc

với đáy SA 2 a Gọi M N, là lượt là trung điểm của SB SC, Thể tích khối đa diện

a

C

3

3 3

a

Bài 1.8 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018)

Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A1 Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của

tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian

phía trong lều là lớn nhất?

Bài 1.9 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018)

Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có hình chóp A ABCD'. là một hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 2a Cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy một góc 45 0 Tính

thể tích V của lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '

a

3

4 3

a

V 

Bài 1.10 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018)

Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Gọi M

là trung điểm của cạnh BC, góc giữa A M' và đáy (ABC) bằng 0

30 Tính thể tích

V của lăng trụ ABC A B C ' ' '?