KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ TRONG KHÔNG GIAN từ một bài tập đại số TRONG SÁCH HÌNH học

Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa 3 biến số. Thực tế cho thấy khi các em làm những dạng toán này thường là các em còn lúng túng và không xét hết các trường hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm không đáng có. Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm toán cơ bản nhất và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. Do đó tôi đã mạnh dạn hướng dẫn các em sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải các bài toán Đại số trong chương trình trung học phổ thông. Đó cũng chính là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài: “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.”

LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong chương trình tốn học trường trung học phổ thông, phương pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Phương pháp toạ độ xem phương pháp toán học cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải đối tượng mặt phẳng không gian Phương pháp toạ độ công cụ chủ yếu chương trình hình học lớp 10 lớp 12 việc hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn hình học phương pháp cần thiết Ngoài việc giúp em củng cố kiến thức toạ độ giúp em thấy rõ ứng dụng to lớn phương pháp tốn hình học tiền đề để em học tốt chương trình hình học lớp 12 2.Cơ sở thực Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tơi có u cầu học sinh làm Bài 89, trang 138, sách tập hình học 12 nâng cao, em lúng túng ngạc nhiên lại tập đại số Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, người thường hay nghĩ đến tốn hình học giải tích Thực tế cho thấy nhiều tốn đại số giải theo cách nhìn Đại số khó phức tạp, khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học vận dụng phương pháp toạ độ vào lời giải ngắn gọn, dễ hiểu so với phương pháp khác Sẽ khơng có nhiều người nghĩ phương pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán đại số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức… Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp toạ độ phương pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải tốn chứa “Cái hồn hình học” mà nhiên ta chưa nhìn thấy Năm học 2012-2013, phân công giảng dạy lớp 12B2, 12B6 Tuy lớp ban khoa học tự nhiên, cịn phận khơng nhỏ học sinh tiếp thu chậm, kĩ làm kém, tư chưa rõ ràng Đặc biệt em lúng túng gặp tốn đại số có chứa ẩn số mà số phương trình(hoặc điều kiện) liên quan tới ẩn số lại Yêu cầu tốn thường là: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nhất, có nghiệm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa biến số Thực tế cho thấy em làm dạng toán thường em cịn lúng túng khơng xét hết trường hợp tham số, mắc sai lầm khơng đáng có Chính mà lần lên lớp, thân trăn trở, làm để truyền đạt cho em dễ hiểu? Dạy cho em kĩ làm toán đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Do tơi mạnh dạn hướng dẫn em sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian vào giải tốn Đại số chương trình trung học phổ thơng Đó nhận thức ý tưởng chọn đề tài: “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong phạm vi đề tài đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ giải toán hệ phương trình ẩn, tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa biến số thơng qua vài ví dụ IV ỨNG DỤNG Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp số kỹ biết đưa toán từ ngơn ngữ đại số ngơn ngữ hình học để giải Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có thêm nhìn phương pháp giải lớp tốn giải hệ phương trình, giá trị lớn nhỏ qua việc sử dụng phương pháp toạ độ không gian Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc dạy học Mặc dù cố gắng nhiều, vấn đề đưa nhiều cịn thiếu sót, hạn chế Mong góp ý q thầy bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! ………………… NỘI DUNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong hệ trục toạ độ Oxyz uuuu r r r r M  x; y; z  � OM  xi  y j  zk Tọa độ điểm: , r r r i  (1;0;0); j  (0;1;0); k  (0;0;1) với M � Oxy  � M  x; y;  ; M �Ox � M  x;0;0  M � Oyz  � M  0; y; z  ; M �Oy � M  0; y;0  đặc biệt: M � Oxz  � M  x;0; z  ; M �Oz � M  0;0; z  r r r r r u   x; y; z  � u  xi  y j  zk Toạ độ vectơ: Các công thức tính toạ độ vectơ: uuu r AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  r ur u   x; y; z  u '   x '; y '; z '  Cho r ur u  u ' � {x  x '; y  y '; z  z '} r ku   kx; ky; kz  r ur u �u '   x �x '; y �y '; z �z '  r ur u.u '  x x ' y y ' z.z ' Tích vơ hướng: Các cơng thức tính độ dài góc rr r r u.v  � u  v r u  x2  y  z AB  x  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A  B r ur r ur u.u ' cos u; u '  r ur  u u'   xx ' yy ' zz ' x  y  z x '2  y '2  z '2 2 r ur r u với ; u ' ≠ 6.Một số tính chất vectơ Tính chất 1: Đẳng thức xảy Tính chất 2: Đẳng thức xảy và hướng Tính chất 3: Đẳng thức xảy và phương Mặt cầu Phương trình mặt cầu: x  a Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R:    y  b   z  c  R2 x  y  z  2ax + 2by + 2cz + d =  a  b  c  d   Dạng 2: 2 2 2 (1) (2) Khi đó: Mặt 2 cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R  a  b  c  d 7.2.Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng:  Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng   Tính: d  I,  Nếu: d  I ,    R :    � C   � d  I ,    R :    � C  d  I ,    R :   ,  C  ; điểm phân biệt;  tiếp xúc nhau,   gọi tiếp tuyến mặt cầu 7.3.Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng  P  : Ax + By + Cz + D = Tính: Nếu: d  I, P   1) Aa +Bb +Cc+D A2  B2  C d  I ,  P    R :  P  � C   � ; d  I ,  P    R :  P  � C  2) hình chiếu I (P)  H;r  đường tròn R2  d  I ; P   với H     tiếp xúc điểm H hình chiếu I 3)     (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C) d I, P  R: P , C II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ Khi giải phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu đề tốn sang ngơn ngữ toạ độ, sau dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối chuyển kết từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp Bài 1.(Bài tập 89- Ơn tập chương Sách tập Hình học 12 nâng cao) a) Chứng minh: x   y   z  �6 với x, y, z ≥ -2/5 x+ y+ z= b) Tìm giá trị lớn hàm số f(x)= x  m  x  n  m  n với x, m, n ≥ x+ m+ n= c) Chứng minh: ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  ( x  1)2  ( y  1)  ( z  1)2 Giải u r ≥ 2 với x, y, z r a) Xét hai véc tơ u  (1,1,1) ; v  ( x  2, y  2, z  ) u rr u.v  x   y   z  u r r u  ; v  5( x  y  z )   Ngồi tính u rr u r r u.v �u v Vậy = hay x   y   z  �6 Dấu “=” xảy khiurx= y= z= 2.r b) Xét hai véc tơ u  (1,1,1) ; v  ( x  m , x  n , m  n ) ur r f(x)= u.v  x  m  x  n  m  n u r r u  3; v  Ngồi tính u r r ur r u.v �u v Vậy f(x)= = hay maxf(x)= x= m= n=1/3 c) Ta xem thức độ lớn véctơ, cần xác định điểm không gian Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) M(x; y; z) Khi AB= 2 MA  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)2 ; MB  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1) Từ bất đẳng thức MA+ MB ≥ AB, ta suy ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  ( x  1)2  ( y  1)  ( z  1) 2 ≥r uuur uuuu Dấu “=” xảy M nằm điểm A; B hay AM  t AB với 0≤ t≤ Hay x= 1- 2t; y= 1; z= -1+ 2t với 0≤ t≤ Bài Chứng minh rằng: a, b, c  R, ta có: abc(a + b + c)  a4 + b4 + c4 Giải r � u �   ab; bc; ca  �r v  ac; ba; bc  2 Ta có: VT = a bc + ab c + abc xét hai véctơ �  r �u  a 2b  b c  c a � r �r 2 2 2 �v  a c  b a  b c  u �r r u.v  a bc  ab c  abc � �  rr r r u.v �u v 2 2 2  Từ VT = a bc + ab c + abc  a b + b c2 + c2a2 (1) r r �a  a  b  c  b � �r r 2 2 2 �  �a.b  a b  b c  c a r r a   a2 ; b2 ; c2  b   b2 ; c2 ; a  xét thêm: rr r r a.b �a b � a 2b  b 2c  c a �a  b  c Do Từ (1) (2) (2) abc(a + b + c)  a + b + c4  �ab bc ca   � �ac ba bc � �2 2 �a  b  c �b c a  Đẳng thức xảy b c a   c a b � a bc 2 Bài Cho ba số thực x, y, z thỏa: x  y  z  Tìm GTLN GTNN F  2x  y  z  Giải Xét mặt cầu (S): x  y  z  , tâm O, bán kính R = mặt phẳng (): x  y  z  = 2 Đường thẳng  qua O vuông góc với () có phương trình �x  2t � �y  2t  t �R  �z   t � giá trị tham số t tương ứng với giao điểm  (S) t =  �2 � � 2 1�  ; ; � � ; ; � � 3 � � �   (S) cắt điểm: A B 3 � d  A, ( )   4   9 3 22  22   1 d  B, ( )   2 ; 4    9 3 22  22   1 4 d  M , ( )   Lấy M(x; y; z)  (S), 2x  y  z  22  22   1  F � F �4 Ln có   � F �12  Vậy F = đạt x = y = ; z =  Max F = 12 đạt x = y = ; z = d  A, ( )  �d  M , ( )  �d  B, ( )  Bài Giải bất phương trình: x   x   50  x �12 Giải � �x �1 � � �x � � � 50 x� � � 3 x 50 Điều kiện: Trong hệ toạ độ Oxyz xét vectơ: r � u  (1,1,1) � �r v  ( x  1, x  3, 50  3x ) � r �u  �r � � �u  x   x   50  3x  48  �r r u.v  x   x   50  x � � rr r r ۣ u.v u v Suy ra(1) Đẳng thức 50 �x � Vậy nghiệm bất phương trình cho Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001) Cho số x, y, z thoả mãn điều kiện: �x; y; z �1 (1) � � �x  y  z  / (2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F= cos(x2 + y2 + z2) (3) Giải Sự có mặt số x, y, x toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ độ Ta xác định hệ toạ độ đề-các vng góc Oxyz hình vẽ z Dựng hình lập phương ABCO.A1B1C1O1 có cạnh J Cắt hình lập phương O1 A1 trục Ox, Oy, Oz Q điểm có toạ độ K(3/2; 0; 0); H B1 L(0; 3/2; 0); J(0; 0; 3/2)) phẳng (KLJ) với hình lập phương A L y C O M Thiết diện tạo mặt MNPQRS C1 S mặt phẳng : x+ y+ z= 3/2, cắt ABCO.A1B1C1O1 tức lục giác R P N K B x Gọi điểm H(x;y;z) thuộc thiết diện 2 Ta có: OH = x  y  z Đặt T= x2 + y2 + z2 3 / OI khoảng cách từ O(0;0;0) tới mp(KLJ) OI =  3/ Ta có T = OI2 = 3/4 với I tâm lục giác MNPQRS Max T đạt H điểm M, N, P, Q, R, S lục giác MNPQRS đó: Max T =OM2 mà M(1;0;1/2) � OM2=5/4 Ta có : 0