TÌM HIỂU BẢN CHẤT VÀ CÁCH XÂY DỰNG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GẮN VỚI THỰC TIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Tìm hiểu chất xây dựng tốn HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre TÌM HIỂU BẢN CHẤT VÀ CÁCH XÂY DỰNG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GẮN VỚI THỰC TIỄN TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Lời mở đầu: Hình học khơng gian có phần quan trọng hình học phổ thơng nói riêng, mơn Tốn nói chung phần tiếp nối hình học phẳng cấp THCS có liên hệ gắn kết với hình học phẳng Bài tốn hình học khơng gian có mặt đề thi THPT QG với mức độ tương đối khó Đặc biệt, tốn hình học khơng gian gắn liền với thực tiễn toán xuất nhiều đề thi THPT QG dạng trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao mà đứng trước tốn học sinh thường lúng túng chưa biết định hướng tìm lời giải toán từ đâu Thêm vào nữa, toán hình học khơng gian mang chất tốn hình học phẳng Hay nói cách khác “mỗi tốn hình học khơng gian ln chứa đựng quy tốn hình phẳng tương ứng” Vì để giải dạng tốn cần tìm hiểu chất xây dựng phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại tốn Trong viết này, chúng tơi xin trao đổi bạn đồng nghiệp em học sinh chuyên đề “Tìm hiểu chất xây dựng tốn hình học khơng gian gắn với thực tiễn từ số tốn hình học phẳng” để giúp học sinh có thêm kiến thức làm tốt tập dạng đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT Các bước tiến hành xây dựng tốn: Bước 1: Thiết kế tốn hình học khơng gian Xuất phát điểm từ tốn hình học phẳng, sở phân tích yếu tố kiện hình phẳng, phát triển mở rộng hình phẳng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều, thiết lập yêu cầu toán chứng minh tính vng góc, song song tính thể tích khối đa diện, Trang Tìm hiểu chất xây dựng tốn HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Từ đó, ta nhận tốn hình học khơng gian tương ứng với tốn hình học phẳng cho Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn Bước 3: Trình bày lời giải toán theo sơ đồ Bước 4: Kiểm tra lại kết Các ví dụ cụ thể: 3.1 Bài tốn Bước 1: Xây dựng tốn hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5m, cạnh BC = 1m Trên cạnh AD, AB, CD, GH lấy điểm E, G, H, F cho AE=GB=CH=GF=0,1m Ta thấy diện tích hình vng S ABCD  5m S AGEF , S BCHG tính H D C F E A G B *) Phân tích kiện phát triển toán: Như vậy, phát triển tốn hình học từ khơng gian hai chiều (tức tốn hình học mặt phẳng) thành tốn hình học khơng gian ba chiều (tức tốn hình học khơng gian), ta thêm kiện sau: Gắn với thực tiễn cách gắn thêm không gian ba chiều cách bổ sung chiều cao 2m vào hình chữ nhật để có khối hộp chữ nhật biết ba kích thước Ta bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre 1m, 2m, xây vách (hình vẽ đây) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? 1dm VH' 1dm VH 2m 1m 5m Bài tốn tính thể tích khối hộp chữ nhật VH , VH ' , thể tích viên gạch, thể tích khối hộp to bao quanh, từ tính số gạch cần sử dụng thể tích thực bồn tắm Vậy ta có tốn hình học khơng gian, sau: “ Một bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m, xây vách (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể) 1dm VH' 1dm VH 2m 1m 5m Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn +) Viết cơng thức tính thể tích tính thể tích khối hộp chữ nhật VH , VH ' +) Tính thể tích viên gạch Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre +) Tính thể tích khối hộp to bao quanh +) Từ suy số viên gạch cần sử dụng thể tích thực bồn tắm Bước Trình bày lời giải tốn theo bước bước Gọi V thể tích khối hộp chữ nhật Ta có : V  5m.1m.2m  10m3 VH  0,1m.4,9m.2m  0,98m3 VH   0,1m.1m.2m  0,2m3 VH  VH   1,18m3 Thể tích viên gạch VG  0,2m.0,1m.0,05m  0,001m3 Số viên gạch cần sử dụng VH  VH  1,18   1180 viên VG 0,001 Thể tích thực bồn : V   10m3  1,18m3  8,82m3  8820dm3  8820 lít Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) 3.2 Bài toán Bước 1: Xây dựng toán hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Xét hình tròn có bán kính R = 6cm, tính độ dài cung tròn nào, biết số đo góc tâm chắn cung nhờ cơng thức l   R Từ cung tròn quấn thành đường tròn, ta tính bán kính đường tròn nhờ biết chu vi đường tròn *) Phân tích kiện phát triển tốn: Như vậy, phát triển tốn hình học từ khơng gian hai chiều (tức tốn hình học mặt phẳng) thành tốn hình học khơng gian ba chiều (tức tốn hình học không gian), ta thêm kiện sau: Cho miếng tơn hình tròn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bài tốn tìm thể tích khối nón biết chu vi đáy đường sinh Vậy ta có tốn hình học không gian sau: “ Cho miếng tôn hình tròn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung tròn hình quạt bao nhiêu.” Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải toán +) Gọi x (x>0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón +) Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r  x  r  x 2 +) Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = 2 R r  x2 R  4 2 +) Thể tích khối nón: V   r H   x     2  R2  x2 4 +) Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta tính V lớn x2 x2 R  8 4 x 2 R  x  6 I r N M R h S Bước Trình bày lời giải toán theo bước bước +) Gọi x (x>0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình tròn đường sinh hình nón đường tròn đáy hình nón có độ dài x Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r  x  r  R2  r  Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = Thể tích khối nón: V   r H   x     2  R2  x 2 R2  x2 4 x2 4 Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có:  x2 x2 x2   R  2 2  4 x x x 4 8 8 4 V2  (R2  )   8 8 4    x2 x2  R  Do V lớn 8 4 x   4 R   27    2 R  x  6 Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) 3.3 Bài toán Bước 1: Xây dựng tốn hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Xét hình vng ABCD có cạnh a Nếu chia hình vng thành ba hình vng diện tích hình vng ban đầu khơng đổi so với tổng diện tích ba hình chữ nhật *) Phân tích kiện phát triển tốn: Cũng phát triển tốn hình học phẳng thành tốn hình học khơng gian, ta xây dựng sau: Cho hình vng ABCD, ta tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau: Cách 1: gò hai mép hình vng để thành mặt xung quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 Cách 2: cắt hình vng làm ba gò thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2 So sánh V1 với V2 Vậy ta có tốn hình học khơng gian sau: “ Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự tính tạo thành hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau: Trang Tìm hiểu chất xây dựng tốn HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Cách 1: gò hai mép hình vng để thành mặt xung quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1 Cách 2: cắt hình vng làm ba gò thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2.” Khi đó, tỉ số V1 V2 Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn +) Tính R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, suy V1 +) Tính R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, suy V2 Suy tỉ số thể tích Bước Trình bày lời giải toán theo bước bước +) Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có 2R1   R1  27  V1  R12h  2 4 +) Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có 2R   R1   V2  3R12 h  2 4 +) Từ suy tỉ số Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) 3.4 Bài tốn Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bước 1: Xây dựng toán hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Cho tam giác OAB cân O, có chiều cao OH lần cạnh đáy BC Trên đường cao OH lấy điểm H’sao cho OH=3OH’ Khi AH, A’H’ hồn tồn tính được, biết HH’ H A A' H' O *) Phân tích kiện phát triển tốn: Mở rộng tốn hình học phẳng thành tốn hình học khơng gian, sau: Gắn tam giác OAB cân với khối nón có OA đường sinh, AB đường kính đáy, HH’ với hình trụ tròn xoay nội tiếp khối nón Khối nón khối trụ có liên hệ chiều cao với chiều cao, bán kính đáy với Nếu biết thể tích khối trụ tròn xoay tính diện tích xung quanh khối nón tương ứng Ta có tốn hình học khơng gian sau: “Cho bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo thể tích nước tràn ngồi 16 (dm3 ) Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy nón (như hình dưới) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Tính diện tích xung quanh Sxq bình nước.” Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải toán - Gọi bán kính đáy hình nón R , chiều cao h Ta có h  3R - Tính chiều cao khối trụ h1  2R , bán kính đáy r - Trong tam giác OHA có H ' A '/ /HA  r H ' A ' OH ' R    r  R HA OH 3 - Tính thể tích khối trụ V tính R - Suy đường sinh hình nón - Từ tính diện tích xung quanh Sxq bình nước H A A' H' O Bước Trình bày lời giải toán theo bước bước - Gọi bán kính đáy hình nón R , chiều cao h Ta có h  3R - Chiều cao khối trụ h1  2R , bán kính đáy r - Trong tam giác OHA có H ' A '/ /HA  r H ' A ' OH ' R    r  R HA OH 3 - Thể tích khối trụ V   r 2h1  2 R 16  R 2 9 - Đường sinh hình nón l  OA  OH  HA2  9R  R  10 Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre - Diện tích xung quanh Sxq bình nước Sxq   Rl  4 10 Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) Sau kết biết hình học phẳng phát triển sang tốn hình học khơng gian 3.5 Bài tốn Bước 1: Xây dựng tốn hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Trong hình chữ nhật có đường chéo hình vng có diện tích lớn *) Phân tích kiện phát triển tốn: Mở rộng tốn hình học phẳng thành tốn hình học khơng gian, sau: Gắn hình chữ nhật với thiết diện khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ cắt mặt phẳng song song với đáy khối trụ Ta có kết khối hộp chữ nhật nội tiếp khối trụ tròn xoay khối hộp chữ nhật có đáy hình vng tích lớn Ta có tốn hình học khơng gian sau: “Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích cực đại khối gỗ sau cưa xong bao nhiêu?” Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải tốn Trang 10 Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre +) Gọi x , y(m) cạnh thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x  y  12 Thể tích xà cực đại diện tích thiết diện cực đại +) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy thể tích khối gỗ sau cưa xong Bước Trình bày lời giải toán theo bước bước +) Gọi x , y(m) cạnh thiết diện Theo Định lí Pitago ta có: x  y  12 (đường kính thân 1m ) Thể tích xà cực đại diện tích thiết diện cực đại, nghĩa x.y cực đại Ta có: x  y  xy  xy  Dấu "  " xảy x  y  +) Thể tích khối gỗ sau cưa xong: V  1    m3 (thiết diện hình 2 vuông) Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) Hoàn toàn tương tự cách làm chọn tốn hình phẳng gốc phát triển thành tốn hình học không gian dạng trắc nghiệm khách quan sau : Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Cho tơn hình chữ nhật ABCD có AD  60cm Ta gập tơn theo cạnh MN QP vào phía cho BA trùng với CD để lăng trụ đứng khuyết hai đáy Khối lăng trụ tích lớn x bao nhiêu? A x  20cm B x  22,5cm C x  25cm D x  29cm Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Lê Văn Hưu - Thanh Hóa năm 2017 - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M , N lượt trung điểm SB, SC Thể tích khối đa diện ABCMN là: A a3 B a3 12 C Trang 11 a3 D 3a3 Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017 - 2018) Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh lớp tham quan dã ngoại trời, số có lớp 12A1 Để có chỗ nghỉ ngơi trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 dựng mặt đất phẳng lều bạt từ bạt hình chữ nhật có chiều dài 12m chiều rộng 6m cách: Gập đôi bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều rộng bạt cho hai mép chiều dài lại bạt sát đất cách x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng khơng gian phía lều lớn nhất? A x  B x  3 C x  D x  Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có hình chóp A ' ABCD hình chóp tứ giác với cạnh đáy 2a Cạnh bên lăng trụ tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích V lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' A V  2a3 B V  4a3 C V  2a 3 D V  4a 3 Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BC, góc A ' M đáy (ABC) 300 Tính thể tích V lăng trụ ABC.A ' B ' C ' ? A V  3a 24 B V  3a 12 C V  3a D V  3a Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Trang 12 Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre   600 , cạnh SC = Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a, góc BAC 4a Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V  21a B V  21a C V  15 3a3 D V  15 3a3 Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Chuyên Hưng Yên năm 2017 - 2018) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2BC, góc hai mặt phẳng  AA 'B  AA ' C  300 Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh AB, gọi K trung điểm AC Biết khoảng cách hai đường thẳng A ' A HK a Tính thể tích V lăng trụ ABC.A ' B ' C ' ? A V  3a 3 B V  3a C V  3a 3 D V  3a3 Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017 - 2018) Một xưởng khí nhận làm thùng phi với thể tích theo yêu cầu 2000 lít Hỏi bán kính đáy chiều cao thùng để tiết kiệm vật liệu nhất? A 1m 2m B 1dm 2dm C 2m 1m D 2dm 1dm Bài (Đề thi KSCĐ lần – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017 - 2018) Bạn Loan học sinh lớp 12, bố bạn thợ hàn Bố bạn định làm thùng hình trụ từ mảnh tơn có chu vi 120 cm theo cách đây: Bằng kiến thức học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm thùng tích lớn nhất, chiều dài, rộng mảnh tôn là: A 35 cm; 25 cm B 40 cm; 20 cm C 50 cm;10 cm D 30 cm; 30 cm Có thể nói rằng, kết biết hình học phẳng nhiều vơ kể có nhiều kết hay Nếu biết khai thác cách hợp lí kết Trang 13 Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre phát triển sang hình học khơng gian xây dựng nhiều tốn khác nhau, tùy thuộc vào mức độ khó dễ mà mong muốn có ứng dụng cách thiết thực giảng dạy phần hình học khơng gian Qua chuyên đề này, mong thầy cô giáo nghiên cứu áp dụng phương pháp vào thực tiễn dạy học để rút nhiều điều bổ ích để đạt hiệu cao việc xây dựng đề giải tốn hình học không gian truyền say mê đến học sinh Giúp em học sinh “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học”, hướng dẫn học sinh tự học, tự đọc tài liệu liên quan Vĩnh Phúc, ngày 22 tháng 02 năm 2018 Người viết Dương Ngọc Anh Trang 14 ... phẳng) thành tốn hình học khơng gian ba chiều (tức tốn hình học khơng gian) , ta thêm kiện sau: Gắn với thực tiễn cách gắn thêm không gian ba chiều cách bổ sung chiều cao 2m vào hình chữ nhật để có... Từ suy tỉ số Bước 4: Kiểm tra lại kết (Kết đúng) 3.4 Bài tốn Trang Tìm hiểu chất xây dựng toán HHKG GV: Dương Ngọc Anh-THPT Bến Tre Bước 1: Xây dựng toán hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: ... Sau kết biết hình học phẳng phát triển sang tốn hình học khơng gian 3.5 Bài tốn Bước 1: Xây dựng tốn hình học khơng gian *) Bài tốn hình phẳng: Trong hình chữ nhật có đường chéo hình vng có diện