Bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy” là một dạng toán hay và rất quan trọng bởi đó là một dạng bài tập luôn luôn xuất hiện trong đề thi đại học ở hầu như ở tất cả các năm và cũng đã có trong đề thi THPTQG năm 2015. Đối với nhiều học sinh, bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy xuất hiện trong đề thi của những năm gần đây được coi là bài toán tương đối khó, nhất là đối với học sinh trường THPT Đồng Đậu lại càng khó bởi tư duy của các em chưa cao.
Trang 1“Bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy” là một dạng toán hay và rất quan
trọng bởi đó là một dạng bài tập luôn luôn xuất hiện trong đề thi đại học ở hầu như ở tất
cả các năm và cũng đã có trong đề thi THPTQG năm 2015 Đối với nhiều học sinh, bài
toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy xuất hiện trong đề thi của những năm gần đâyđược coi là bài toán tương đối khó, nhất là đối với học sinh trường THPT Đồng Đậu lạicàng khó bởi tư duy của các em chưa cao
Chính vì vậy, qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH và ôn thi THPT QG năm
2015 cho học sinh trường THPT Đồng Đậu phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các bài
toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy này, bản thân tôi nhận thấy nếu ta mạnh dạn vàthêm chút kiên trì dạy các em có cách nhìn và hướng nghĩ , hướng tư duy để biết cáchphân tích, loại trừ tìm ra phương pháp giải trong mỗi bài toán thì sẽ kích thích được khảnăng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học sinh khi học bài toán hìnhhọc trong hệ trục tọa độ Oxy
Ở đây tôi chỉ giới thiệu một số bài toán về tam giác , tứ giác trong hệ trục tọa độ Oxy đã
và đang xuất hiện trong đề thi đại học; đề thi THPT QG được sắp xếp từ mức độ dễ nhìnđến mức độ nhìn tổng hợp(phức tạp hơn) để tìm ra lời giải của mỗi bài toán Mặc dù rấtnhiệt huyết với chuyên đề được rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy của mình nhưng vẫn cònrất nhiều hạn chế, vậy mong quý thầy cô góp ý kiến để tôi có thể hoàn thiện chuyên đề ,cũng như phương pháp giảng dạy của mình được tốt hơn
II Mục đích nghiên cứu::
- Học sinh biết cách phân loại ,định hướng phương pháp giải trong mỗi bài toán hình họctrong hệ trục tọa độ Oxy
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng caokhả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau
III Đối tượng nghiên cứu:
- Các dạng toán hình học về tam giác , tứ giác trong mặt phẳng Oxy có trong các đề thiđại học ở các năm 2002-2015 và đề thi HSG ở các khối,
Trang 2- Phân loại các dạng tam giác, tứ giác trong hệ trục tọa độ Oxy và định hướng tư duytìm ra phương pháp giải cho mỗi bài toán.
IV Phương pháp nghiên cứu:
-Tham khảo sách, báo, tài liệu - Thực tiễn giảng dạy
V Đối tượng áp dụng chuyên đề :
-Học sinh khá, giỏi trung học phổ thông
VI Dự kiến số tiết giảng dạy:
- Đường thẳng song song hoặc trùng với oy có phương trình là ax + =c 0(a≠ 0)
- Đường thẳng song song hoặc trùng với ox có phương trình là by + =c 0(b≠ 0)
- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ 0 có phương trình là ax by 0 ( + = a2 +b2 ≠ 0)
- Nếu (d) vuông góc với (d’): ax by + + =c 0 thì (d) có phương trình là bx- y+m 0a =
- Nếu (d) song song với (d’): ax by + + =c 0 thì (d) có phương trình là
ax+by+m 0( = m c≠ )
- Đường thẳng có hệ số góc là k có phương trình là y=kx b +
- Đường thẳng đi qua điểmA x y( ; ) 0 0 và có hệ số góc k có phương trình lày-y =k(x-x ) 0 0
- (d): y=kx b + vuông góc với (d’): y=k'x b' + ⇔ k.k'=-1
- (d): y=kx b + song song với (d’): y=k'x b' '
Trang 3- Cho hai đường thẳng (∆): ax by + + =c 0 và (∆’): a'x b'y + + =c' 0 thì :
• Phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi ∆ và ∆’ là:
II Phân loại và định hướng tư duy phương pháp giải trong mỗi bài toán:
1 Một số bài toán về tam giác:
1.1) Gợi ý một số hướng tư duy để tìm ra phương pháp giải trong mỗi bài toán:
-Nếu bài toán liên quan đường cao hay trực tâm trong tam giác thì nghĩ đến vấn đề vuônggóc
-Nếu bài toán liên quan một đường trung tuyến thì nghĩ đến tính chất trung điểm
-Nếu bài toán liên quan hai đường trung tuyến hay trọng tâm trong tam giác thì nghĩ đến tính chất trọng tâm hay tọa độ trọng tâm trong tam giác
-Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì nghĩ đến đường trung trựctrong tam giác và khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đến các đỉnh của tam giác bằng nhau
-Nếu bài toán liên quan đường phân giác trong trong tam giác thì nghĩ đến tính đối xứng
từ điểm đã biết qua đường phân giác của góc đó
-Nếu bài toán liên quan tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác thì cần sử dụng đến định nghĩa và tính chất tâm đường tròn bàng tiếp của góc trong tam giác
………
1.2) Phân loại tam giác:
a) Tam giác thường:
Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 2), (B − 3; 1) − Tìm tọa
độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB
Hướng nghĩ: ở bài toán này đã xuất hiện trực tâm ⇒quan hệ vuông góc; tâm đường tròn
ngoại tiếp của tam giác⇒khoảng cách từ tâm đến các đỉnh của tam giác bằng nhau và
đường trung trực của tam giác
Giải: Gọi H là trực tâm của tam giác OAB thì ta có:
Trang 4Gọi I x y( ; ) 0 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB thì ta có
x
I y
*Lưu ý : Bài này cũng có thể sử dụng viết pt đường cao để tìm trực tâm H và pt đường
trung trực để tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác
ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểmH( 1; 1) − − , đườngphân giác trong của góc A có phương trình x y− + = 2 0và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+ 3y− = 1 0
Hướng nghĩ: Bài toán xuất hiện đường phân giác trong⇒tính đối xứng hạ từ điểm đã biết; đường cao và hình chiếu ⇒vuông góc
phân giác của góc A nên H’ đối xứng với H
qua d1 , suy ra I là trung điểm của HH’
D, E, F Cho D (3;1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độđỉnh A, biết A có tung độ dương
Hướng nghĩ: Bài toán xuất hiện hai đường thẳng cắt
nhau cùng tiếp xúc với đường tròn ⇒tính chất các
tiếp tuyến cùng đi qua một điểm
Giải:
2
= − + −
Trang 5phương trình EF : y = 3, nên BD // EF ⇒∆ABC cân tại A
Suy ra đường thẳng AD vuông góc với BD có pt: x− = 3 0
Đường thẳng AB cắt AD tại A nên ta có: A (3; 13
Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD Suy
ra N∈AC và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ
1
3 0
(0;5) 2
Đường thẳng BC có phương trình:2x y− − = 7 0.
Suy ra tọa độ điểm C thỏa mãn hệ : − − =22x x y−3y+ =7 015 0
Dó đó C(9;11)
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hcho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1),
trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
x − y − 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và C
Hướng nghĩ: Bài toán xuất hiện trọng tâm tam giác⇒tính chất trọng tâm; đường phân
giác trong⇒tính đối xứng hạ từ điểm đã biết
Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong ∆
của góc A và H là giao điểm của ∆ với đường thẳng BN
Đường thẳng BN có phương trình : x + y + 3 = 0
Trang 6=> Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình : 3 0 ( 1; 2)
A là giao điểm của đường thẳng ∆ và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm
Hướng nghĩ:Kết hợp đường trung trực và đường trung tuyến⇒tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm trong tam giác
Trang 7Do M∈d nên gọi tọa độ M t( ;6 −t)
Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC
có A(1;5),phương trình BC x: − 2y− = 6 0, tâm đường tròn nội tiếp I(1;0) Tìm tọa độ các đỉnh B C,
Hướng nghĩ: Xuất hiện tâm đường tròn nội tiếp tam giác ⇒khoảng cách từ tâm đến các cạnh của tam giác bằng nhau
Giải:
Gọi E là hình chiếu vuông góc của I trên cạnh AB
Kẻ đường thẳng qua I và vuông góc với AI đồng thời cắt cạnh AB tại P và cắt cạnh AC tại Q
Trang 8Khi đó :-Toạ độ điểm B thỏa mãn hpt: 2 6 0 (4; 1)
( 4; 5)
B − − và C(4; 1) − hoặc C( 4; 5) − − và B(4; 1) −
Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x+ 3y− = 18 0, phương trình đường trung trực của BC là 3x+ 19y− 279 0 = Đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x y− + = 5 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng · 0
135
BAC=
Hướng nghĩ:-Bài toán xuất hiện đường cao⇒quan hệ vuông góc; đường trung trực⇒
vuông góc và trung điểm;
-Điểm khác ở đây là có ·BAC= 135 0 ⇒∆HBA vuông cân tại H
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC ; H là hình chiếu vuông góc của B lên cạnh AC Khi
đó M thuộc đường trung trực d’ 3x+ 19y− 279 0 = của BC;
Theo giả thiết ·BAC= 135 0 , suy ra ∆HBA vuông cân tại H , ta có HA HB= , mà A CH∈
Từ đó ta tìm được tọa độ điểm A(4;8).
Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm lần lượt có tọa độ là ( )4;0 , 11 1;
3 3
Tìm tọa độ các
đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng ( )d : 2x y+ − = 1 0
và điểm M( )4; 2 nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC
Giải: Gọi B a( ;1 2 − a)∈d.
Gọi N là trung điểm AC suy ra BNuuur= 3BGuuur (1)
Trang 9AC đi qua N( )5;1 và có VTPT n INr uur= =( )1;1 suy ra AC có phương trình x y+ − = 6 0.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I( )4;0 , bán kính R IB= = 10 nên cóphương trình: ( )2 2
A
Trang 10tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4; 2 − ) Viết phương trình các đường
thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3
Giải
M K H
D
C B
A
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và
AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n uuur uurd, d
lần lượt là vtpt, vtcp của đường
thẳng d Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương
AD x− + y+ = ⇔ + − =x y Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm
A là nghiệm của hệ phương trình
BHK =BDK , vậy K là trung điểm của HD nên H( )2; 4
Do B thuộc BC ⇒B t t( ; − 4), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C(7 −t;3 −t)
Trang 11đây bài toán hình học tọa độ Oxy trong đề thi đại học-THPT QG liên quan góc hình
học cũng đã xuất hiện khá nhiều
Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.
Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D,
E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A,
B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên
FDA FCA= = ABE = ADE⇒ H nằm trên đường phân giác
trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra
được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam
giác DEF Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
d x y− + = Mặt khác H là giao của d và d’ nên H( )2;3
Ta có DAC DFC· = · =EF· C EAC= · ⇒AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông
và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm
là I ); điểm H( )2; 2 là trực tâm tam giác ABC.
Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I).
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết
N
C B
A
Trang 12điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm của HM, HN Do đó
Trang 13M N
H
C B
, kết hợp với K là trung điểm HN suy ra H( )2; 2
Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là trung điểm HM
ABC là B( ) ( ) ( )5;1 ,C 2; 4 ,A 1;1 (A là giao của đường thẳng AH và AC)
*Nhận xét :Đây là bài toán có hướng nghĩ tương tự như bài 13, học sinh có thể dễ dàng nhận ra điều đó
Bài 15
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc (Oxy) cho tam giác ABC và đườngthẳng ∆ có phương trình ∆ − :x 3y− = 1 0 Giả sử D( ) ( ) ( )4; 2 ,E 1;1 ,N 3;3 theo thứ tự là chânđường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh
Trang 14của tam giác ABC biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng ∆ vàđiểm M có hoành độ lớn hơn 2
Giải:
Vì các điểm đối xứng với trực tâm của tam giác qua
các đường thẳng chứa cạnh, qua trung điểm các
cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác,
nên D E M N, , , cùng nằm trên một đường tròn
*Nhận xét :Ở bài này vẫn dùng quan hệ vuông góc cùng với tính chất đối xứng để suy
ra tứ giác nội tiếp Khi đó ta giải quyết được bài toán
Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại
tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm (1; 5 ,) 7 5; , 13 5;
(M, N, P không trùng với các
đỉnh của tam giác ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua
điểm Q(− 1; 1) và điểm A có hoành độ dương
Giải:
Trang 15
I K P
N
M
C B
A
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập
được phương trình này là: x2 +y2 + 3x− 29 0 = suy ra tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ là 3; 0
Suy ra pt AC: 2(x− + − = ⇔ 1) y 5 0 2x y+ − = 7 0 Khi đó tọa độ A, C là nghiệm của hệphương trình:
: 3 18 0
DE x− y+ = và BD=2 5, điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 Xác định tọa độ các điểm
A, B, C
Hướng nghĩ: Biết một đường thẳng , một điểm, một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
song với đường thẳng đã cho
Giải:
Ta có:
Trang 16uur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc
đường thẳng ∆ : 4x+ 3y− = 12 0và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C
là điểm nằm trên ∆ sao cho AC=AO và các điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biếtđiểm C có hoành độ bằng 24
5 Tìm tọa độ các đỉnh A, B
Hướng nghĩ:Khi bài toán xuất hiện tâm đường tròn bàng tiếp góc O thì ta luôn nghĩ đến
định nghĩa và tính chất của đường tròn bang tiếp và kết hợp với giả thiết của bài toán ,từ
đó sẽ tìm ra lời giải cho bài toán.
Xét tương tự đối với KF , ta cũng có F là trung điểm của OD và KD=KO
Suy ra tam giác CKD cân tại K Do đó , hạ KH ⊥ ∆, ta có H là trung điểm của CD
Như vậy:+A là giao của ∆ và đường trung trực d1 của đoạn thẳng OC; (1)
+B là giao điểm của ∆ và đường trung trực d2 của đoạn thẳng OD, với D là điểm đối xứng của C qua H và H là hình chiếu vuông góc của K trên ∆ (2)
Trang 17Từ đó trung điểm E của OC có tọa độ là 12; 6
Suy ra phương trình của d1 : 2x y− − = 6 0
Do đó , theo (1) tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường
cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x+2y+1=0, 3x+y-1=0 Tính diện tích tam giác ABC
Bài 2: Cho điểm A(2; 3) và hai đường thẳng d2: x+2y-7=0 Tìm tọa độ các điểm B trên d1
và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0)
Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:x-4y-2=0, cạnh BC song song với d Phương trình đường cao BH: x+y+3=0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1) Tìmtọa độ các đỉnh A, B, C
Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình
x-3y-7=0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x+y+1=0 Xách định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; 0), phương trình các cạnh AB: 4x+y+14=0, AC: 2x+5y-2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Bài 6: Cho tam giác ABC biết ba chân đường cao tương ứng với ba đỉnh A, B, C lần
lượt là A’(1; 1), B’(-2; 3), C’(2; 4) Viết phương trình cạnh BC
Bài 7: Cho tam giác ABC có AB: 5x+2y+7=0; BC x-2y-1=0 Phương trình đường phân giác trong góc A là x+y-1=0 Tìm tọa độ điểm C
Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(4; 3) Đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A
lần lượt có phương trình x+2y-5=0 và 4x+3y-10=0 Tìm tọa độ điểm B
Bài 9: Cho tam giác ABC biết A(-1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của cạnh BC là điểm
M(5; 5) Xách định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
Bài 10: Cho tam giác ABC có d: 2x-y-3=0 là đường phân giác trong của góc A Biết
B1(-6; 0), C1(-4; 4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên các đường thẳng AC,
AB Xác định tọa độ của A, B, C
Trang 18Bài 11: Cho tam giác ABC biết đường cao kể từ đỉnh C và đường trung trực đoạn BC lần
lượt là x-y+2=0; 3x+4y-2=0 Điểm A(4; 2) Tìm tọa độ các đỉnh B, C
Bài 12: Cho tam giác ABC biết đường cao kể từ đỉnh A và đường phân giác trong của
góc B lần lượt có phương trình là x-2y-2=0; x-y-1=0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(0; 2) thuộc đường thẳng AB và AB=2BC
Bài 13: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 12 6 6 + , A(-2; 0), B(4; 0), bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng 5 Tìm tọa độ điểm C biết tung độ của C dương
Bài 14: Cho tam giác ABC có BAC· = 135 0, đường cao BH: 3x+y+10=0, trung điểm của cạnh BC là ( ;1 3)
2 2
M − và trực tâm H(0; -10) Biết tung độ của điểm B âm Xách định tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 15: Cho tam giác ABC có trực tâm H, BC: x-y+4=0, trung điểm của cạnh AC là M(0; 3), đường co AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại N(7; 1) Xách định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
Bài 16: Cho tam giác ABC có A(-1; -3), B(5; 1) Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao
cho MC=2MB Tìm tọa độ điểm C biết rằng MA=AC=5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên
Bài 17: Cho tam giác ABC có đỉnh C(5; 1), M là trung điểm của BC, điểm B thuộc
đường thẳng d: x+y+6=0 Điểm N(0; 1) là trung điểm của AM, điểm D(-1; -7) không nằm trên đường thẳng AM và khác phía với A so với đường thẳng BC, đồng thời khoảng các từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau Xác định tọa độ các điểm A, B
Bài 18: Cho tam giác ABC có A(0; 2 3), B(-2;0), C(2;0) và BH là đường cao Tìm tọa độ điểm M, N trên đường thẳng chứa BH sao cho tam giác MBC, NBC và ABC có chu vi bằng nhau
Bài 19: Cho tam giác ABC có H(1; 1) là chân đường cao kẻ từ đỉnh A Điểm M là trung
điểm của cạnh BC và ·BHA HAM= · =MAC· Tìm tọa độ các điểm A, B, C
Bài 20: Cho tam giác ABC có AC>AB, C(6; 0) và hai đường thẳng d: 3x-y-10=0, ∆:3x+3y-16=0 Biết rằng đường thẳng d chứa đường phân giác trong góc A, đường thẳng ∆vuông góc với cạnh AC và ba đường thẳng ∆, d và trung trực của cạnh BC đồng quy tại một điểm Tìm tọa độ điểm B
Bài 21: Cho tam giác ABC có A(-1; 3), trọng tâm G(2; 2) Biết điểm B, C lần lượt là
thuộc các đường thẳng d : x +3y − 3 = 0 và d ' : x − y − 1 = 0 Viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua A có hệ số góc dương sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến ∆ là lớn nhất
Bài 22: Cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH là x= 3 3 Phương trìnhđường phân giác trong góc ·ABC ACB, · Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCbằng 3 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết đỉnh A có tung độ dương
b)Tam giác cân-đều:
*Đặc điểm: -Tam giác cân có: hai cạnh bên bằng nhau, hai góc bằng nhau, các loại
đường của đỉnh cân trùng nhau và các loại đường xuất phát từ hai đỉnh còn lại tương ứng bằng nhau
Trang 19Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC cân tại C, các đường thẳng AB, AC có phương trình lần lượt là x+ 2y= 0 và x y− + = 6 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết trọng tâm G nằm trên trục tung
Hướng nghĩ: Có trọng tâm ⇒ dùng tính chất trọng tâm hoặc tọa độ trọng tâm, tam giác
Giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh CB
Do A AB= ∩AC⇒tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương
Do G∈ Oy ⇒gọi tọa độ điểm G(0; )m
-Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:
DoB AB∈ ⇒ gọi tọa độ điểm B( 2 ; ) − t t
Mà M là trung điểm của BC ⇒C(4 2 ;3 + t m− − 2 t)
;
3 3
B m
B − C
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A
có đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆: x-y-4=0 Xác định tọa độ điểm
B và C, biết diện tích tam giác bằng 8
Hướng nghĩ: Tam giác ABC cân ⇒đường trung , tuyến đường cao, đường trung trực trùng nhau
Giải :
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên∆→ H là trung điểm của BC Ta có
9 ( , )
A
Trang 202 2
11 2 3 97
B hoặc ( ;3 5), ( ; )11 3
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có
đỉnh A(6 ; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình
Đường thẳng BC đi qua H và song song d, suy ra BC
có phương trình x+y+4=0
Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x+y+4=0 và B, C đối
xứng nhau qua H(-2 ; -2) , do đó tọa độ B, C
có dạng B(t; -4-t), C(-4-t; t)
Điểm E(1 ; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam
giác ABC, suy ra: uuur uuurAB CE = ⇔ − 0 (t 6)(5 + + − − − − =t) ( 10 t)( 3 t) 0
C B
H
d
Trang 211 3
1 3
Hướng nghĩ: -Tam giác ABC đều⇒ba cạnh bằng nhau⇒diện tích tam giác đều;
-Tam giác ABC đều⇒tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau
Giải:
Gọi M =AI∩BC Giả sử AB x x= ( > 0), ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội
tiếp tam giác ABC
-Do tam giác ABC đều nên 2 3 3 2 3 2
Trang 22Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính 2 2 3
4 ( 2) ( 2)
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại B, có AB : 3x y− − 2 3 0 = Tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC là I(0 ;2) _Điểm B thuộc trục Ox Tìm tọa độ điểm C
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có AB : x+ 2y− = 2 0; AC: 2x y+ + = 1 0, Điểm
M(1 ; 2) thuộc cạnh BC Tìm tọa độ điểm D sao cho uuur uuurDB DC.
nhỏ nhất
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, đỉnh B thuộc d : x − 4 y − 2 = 0, cạnh AC song
song với d Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình x y+ + = 3 0, điểm M(1 ; 1) nằm
trên AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của AB Biết rằng ( ; )11 5
A, B, C biết A có tung độ dương
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có trực tâm H(-3; 2) Gọi D, E là chân đường cao kẻ
từ B và C Biết điểm A thuộc đường thẳng d : x − 3 y − 3 = 0, điểm F(-2; 3) thuộc đường
thẳng DE và HD=2 Tìm tọa độ điểm A
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi N là trung điểm của AB Gọi E và F lần lượt là
chân đường cao hạ từ đỉnh B, C của tam giác ABC Tìm tọa độ của đỉnh A biết rằng
11 13
(7;1), F( ; )
5 5
E và phương trình đường thẳng CN là 2x y+ − = 13 0
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại B, với A(1; -1), C(3; 5) Điểm B nằm trên đường
thẳng d: 2x y− = 0 Viết phương trình các đường thẳng AB, BC
Bài 8: Cho hai đường thẳng d1: 2x y− + = 1 0 và d2: x+ 2y− = 7 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d1; d2 một tam giác cân đáy thuộc đường thẳng đó
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A Biết AB: 2x y+ − = 1 0; BC: x+ 4y+ = 3 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC
b) Tam giác vuông:
từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền