MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ,GIỎI ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy” là một dạng toán hay và rất quan trọng bởi đó là một dạng bài tập luôn luôn xuất hiện trong đề thi đại học ở hầu như ở tất cả các năm và cũng đã có trong đề thi THPTQG năm 2015. Đối với nhiều học sinh, bài toán hình học trong hệ trục tọa độ Oxy xuất hiện trong đề thi của những năm gần đây được coi là bài toán tương đối khó, nhất là đối với học sinh trường THPT Đồng Đậu lại càng khó bởi tư duy của các em chưa cao.

CHUN ĐỀ ”MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ,GIỎI ÔN THI THPT QUỐC GIA” GV thực hiện: ……………… A MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài : “Bài tốn hình học hệ trục tọa độ Oxy” dạng tốn hay quan trọng dạng tập luôn xuất đề thi đại học ở tất năm có đề thi THPTQG năm 2015 Đối với nhiều học sinh, tốn hình học hệ trục tọa độ Oxy xuất đề thi năm gần coi tốn tương đối khó, học sinh trường THPT Đồng Đậu lại khó tư em chưa cao Chính vậy, qua q trình giảng dạy học sinh ơn thi ĐH ơn thi THPT QG năm 2015 cho học sinh trường THPT Đồng Đậu phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải tốn hình học hệ trục tọa độ Oxy này, thân nhận thấy ta mạnh dạn thêm chút kiên trì dạy em có cách nhìn hướng nghĩ , hướng tư để biết cách phân tích, loại trừ tìm phương pháp giải tốn kích thích khả tư học sinh, tạo hứng thú học tập học sinh học toán hình học hệ trục tọa độ Oxy Ở tơi giới thiệu số tốn tam giác , tứ giác hệ trục tọa độ Oxy xuất đề thi đại học; đề thi THPT QG xếp từ mức độ dễ nhìn đến mức độ nhìn tổng hợp(phức tạp hơn) để tìm lời giải tốn Mặc dù nhiệt huyết với chuyên đề rút từ kinh nghiệm giảng dạy nhiều hạn chế, mong q thầy góp ý kiến để tơi hồn thiện chun đề , phương pháp giảng dạy tốt II Mục đích nghiên cứu:: - Học sinh biết cách phân loại ,định hướng phương pháp giải tốn hình học hệ trục tọa độ Oxy - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác III Đối tượng nghiên cứu: - Các dạng tốn hình học tam giác , tứ giác mặt phẳng Oxy có đề thi đại học năm 2002-2015 đề thi HSG khối, - Phân loại dạng tam giác, tứ giác hệ trục tọa độ Oxy định hướng tư tìm phương pháp giải cho toán IV Phương pháp nghiên cứu: -Tham khảo sách, báo, tài liệu - Thực tiễn giảng dạy V Đối tượng áp dụng chuyên đề : -Học sinh khá, giỏi trung học phổ thông VI Dự kiến số tiết giảng dạy: - 10 tiết B NỘI DUNG I Ôn tập kiến thức bản: Phương trình đường thẳng →  x = x0 + at - Đường thẳng qua điểm A( x0 ; y0 ) có VTCP u = (a; b) có PTTS   y = y0 + bt → - Đường thẳng qua điểm A( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) có PTTQ a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = - Đường thẳng qua hai điểm A( xA ; y A ) B( xB ; yB ) có phương trình: - x − xA y − yA = ( xB − xA ≠ 0; yB − y A ≠ ) xB − x A y B − y A Đường thẳng qua hai điểm A(a;0) B(0; b) với a≠ b≠ có phương trình: x y + =1 a b Đường thẳng song song trùng với oy có phương trình ax + c = 0(a ≠ 0) Đường thẳng song song trùng với ox có phương trình by + c = 0(b ≠ 0) Đường thẳng qua gốc tọa độ có phương trình ax + by = (a + b2 ≠ 0) Nếu (d) vng góc với (d’): ax + by + c = (d) có phương trình bx-ay+m = Nếu (d) song song với (d’): ax + by + c = (d) có phương trình ax+by+m = 0(m ≠ c) Đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y=kx + b Đường thẳng qua điểm A( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình y-y0 =k(x-x ) (d): y=kx + b vuông góc với (d’): y=k'x + b' ⇔ k.k'=-1 k = k ' (d): y=kx + b song song với (d’): y=k'x + b' ⇔  b ≠ b ' Khoảng cách góc +Khoảng cách từ A( x0 ; y0 ) đến (∆): ax + by + c = tính cơng thức: d ( A; ∆) = ax + by0 + c a + b2 +Cho đường thẳng (∆): ax + by + c = - M, N phía với đường thẳng (∆) ⇔ (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) > - M, N khác phía với đường thẳng (∆) ⇔ (ax M + by M + c)(ax N + by N + c) < - Cho hai đường thẳng (∆): ax + by + c = (∆’): a'x + b'y + c ' = : • Phương trình hai đường thẳng phân giác góc tạo ∆ ∆’ là: ax + by + c a + b2 =± • cos(∆, ∆ ') = a'x + b ' y + c ' a '2 + b '2 aa '+ bb ' a + b a '2 + b '2 • ∆ ⊥ ∆’ ⇔ a a’+b b’=0 Đường tròn 2 - Đường tròn (C) tâm T(x0; y0), bán kính R có phương trình ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R - Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = với a + b − c > phương trình đường tròn với tâm T(-a; -b) bán kính R = a + b − c - Cho đường thẳng (∆) : ax + by + c = đường tròn (C) có tâm T(x0; y0) bán kính R Lúc (∆) tiếp xúc (C) ⇔ d (T ; ∆) = R ⇔ ax + by0 + c a + b2 = R II Phân loại định hướng tư phương pháp giải toán: Một số toán tam giác: 1.1) Gợi ý số hướng tư để tìm phương pháp giải toán: -Nếu toán liên quan đường cao hay trực tâm tam giác nghĩ đến vấn đề vng góc -Nếu tốn liên quan đường trung tuyến nghĩ đến tính chất trung điểm -Nếu toán liên quan hai đường trung tuyến hay trọng tâm tam giác nghĩ đến tính chất trọng tâm hay tọa độ trọng tâm tam giác -Nếu tốn liên quan tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nghĩ đến đường trung trực tam giác khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến đỉnh tam giác -Nếu toán liên quan đường phân giác trong tam giác nghĩ đến tính đối xứng từ điểm biết qua đường phân giác góc -Nếu tốn liên quan tâm đường tròn bàng tiếp góc tam giác cần sử dụng đến định nghĩa tính chất tâm đường tròn bàng tiếp góc tam giác ………………… 1.2) Phân loại tam giác: a) Tam giác thường: Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 2), B(− 3; −1) Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Hướng nghĩ: toán xuất trực tâm ⇒ quan hệ vng góc; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ⇒ khoảng cách từ tâm đến đỉnh tam giác đường trung trực tam giác Giải: Gọi H trực tâm tam giác OAB ta có: uuur uuur  AH OB =  x + y − =  x = ⇔ ⇔ r Vậy H ( 3; −1)  uuur uuu  y + =  y = −1  BH OA = Gọi I ( x0 ; y0 ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ta có  x0 + y0 = x0 + ( y0 − )  IA = IB = IO ⇔ IA2 = IB = IO ⇔  2 2  x0 + y0 = x0 + + ( y0 + 1)  x = − ⇔ ⇒ I (− 3;1)  y0 = ( ) *Lưu ý : Bài sử dụng viết pt đường cao để tìm trực tâm H pt đường trung trực để tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H (−1; −1) , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình x + y − = Hướng nghĩ: Bài toán xuất đường phân giác ⇒ tính đối xứng hạ từ điểm biết; đường cao hình chiếu ⇒ vng góc Giải: Gọi d1 : x − y + = 0, d : x + y − = Từ H kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng d1 cắt d1 I cắt AC H’ Đường thẳng HH’ qua H(-1;-1) vng góc d1 có phương trình: x + y + = Do I = HH '∩ d1 ⇒ I (−2;0) Do d1 đường phân giác góc A nên H’ đối xứng với H qua d1 , suy I trung điểm HH’ ⇒ H '(−3;1) Đường thẳng AC qua H’(-3; 1) vng góc với d1 có pt: 3x − y + 13 = Do A = AC ∩ d1 ⇒ A ( 5;7 ) uuur Đường thẳng CH qua H(-1; -1) vng góc AH nên nhận AH (−6; −8) có pt: 3x + y + = 3 x − y + 13 = 10 ⇒ C (− ; ) 3 x + y + = Mà C = AC ∩ CH nên tọa độ điểm C thỏa mãn hpt:  1  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1÷ Đường tròn 2  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D (3;1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương Hướng nghĩ: Bài toán xuất hai đường thẳng cắt tiếp xúc với đường tròn ⇒ tính chất tiếp tuyến qua điểm Giải: Ta có BD = BF ⇒  ÷ = ( x − ) + (3 − 1) 2 2 ⇒ x = hay x = -1 (loại) ⇒ F (2; 3) 1  Đường thẳng AB qua điểm B  ;1÷ , F (2; 3) nên có pt: x − y + = 2  Do phương trình BD : y = 1, phương trình EF : y = 3, nên BD // EF ⇒ ∆ABC cân A Suy đường thẳng AD vng góc với BD có pt: x − = Đường thẳng AB cắt AD A nên ta có: A (3; 13 ) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ  từ đỉnh A H  17  ; − ÷ , chân đường phân giác góc A D(5;3) trung điểm  5 cạnh AB M (0;1) Tìm tọa độ đỉnh C Giải: Ta có H ∈ AH AH ⊥ HD nên AH có phương trình: x + y − = Do A(3 − 2a; a) Do M trung điểm AB nên MA=MH a = Suy ( − 2a ) + ( a − 1) = 13 ⇔  a=−  Do A khác H nên A(−3;3) Phương trình đường thẳng AD y − = 2 Gọi N điểm đối xứng M qua AD Suy 1 + y −3 =  ⇒ N (0;5) N ∈ AC tọa độ điểm N thỏa mãn hệ  1.x + 0.( y − 1) = Đường thẳng AC có phương trình : x − y + 15 = Đường thẳng BC có phương trình: x − y − =  x − y + 15 = Suy tọa độ điểm C thỏa mãn hệ :  2 x − y − = Dó C (9;11) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hcho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y −1 = Tìm tọa độ đỉnh A C Hướng nghĩ: Bài toán xuất trọng tâm tam giác ⇒ tính chất trọng tâm; đường phân giác ⇒ tính đối xứng hạ từ điểm biết Giải: uuuu r uuur   Gọi M trung điểm AC, ta có BM = BG ⇔ M  ;1÷ 2   Gọi N điểm đối xứng B qua phân giác ∆ góc A H giao điểm ∆ với đường thẳng BN Đường thẳng BN có phương trình : x + y + = x + y + = ⇒ H (−1; −2) x − y −1 = => Tọa độ H nghiệm hệ phương trình :   x N = x H − xB = ⇒ N (2; −5)  y N = y H − y B = −5 H trung điểm BN ⇔  Đường thẳng AC qua điểm M, N nên có pt : 4x – y – 13 = A giao điểm đường thẳng ∆ đường thẳng AC nên tọa độ A nghiệm  x − y − 13 = ⇒ A(4;3) x − y −1 = hệ :   xC = xM − x A = ⇒ C (3; −1)  yC = yM − y A = −1 M trung điểm AC ⇔  2 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M (− ; ) trung điểm cạnh AB, điểm H (−2; 4) điểm I (−1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C Giải: uuur IM (− ; ) Ta có M ∈ AB AB ⊥ IM nên đường thẳng 2 AB có phương trình: x − y + 33 = A ∈ AB ⇒ A(a;7 a + 33) Do M trung điểm AB nên uuur uuur B (−a − 9; −7 a − 30) Ta có HA ⊥ HB ⇒ HA.HB =  a = −4 ⇒ a + 9a + 20 = ⇒   a = −5 +Với a = −4 ⇒ A(−4;5), B (−5; −2) Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình x + y − = B M I A H C c = Do C khác A nên C ( 4;1) c = Do C (6 − 2c; c) Từ IC = IA ⇒ ( − 2c ) + ( c − 1) = 25 ⇒  2 +Với a = −5 ⇒ A(−5; −2), B (−4;5) Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình x − y + = Do C (t ; 2t + 8)  t = −1  t = −5 Từ IC = IA ⇒ ( t + 1) + ( 2t + ) = 25 ⇒  2 Do C khác A nên C (−1;6) *Nhận xét:Như vậy, chân đường cao sử dụng quan hệ vng góc tâm đường tròn ngoại tiếp sử dụng đường trung trực tam giác Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC có A(5; 2) Phương trình đường trung trực đoạn BC x + y − = 0, trung tuyến CC ' : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C Hướng nghĩ:Kết hợp đường trung trực đường trung tuyến ⇒ tính chất trung điểm tính chất trọng tâm tam giác Giải: Gọi d : x + y − = Gọi M giao đường thẳng d với BC; G trọng tâm tam giác ABC A Do M ∈ d nên gọi tọa độ M ( t ;6 − t ) uuuu r uuur + 2a 14 − 2a  ; ÷    + 2a  14 − 2a +3 = 0⇒ a = − Mà G ∈ CC ' nên ta có:  ÷−    41  ⇒ M − ; ÷  6  Theo tính chất trọng tâm ta có: AM = AG ⇒ G  Đường thẳng BC qua M vng góc với d nên có phương trình: −3x + y − 23 = 2 x − y + =  14 37  ⇒C ; ÷  3   −3 x + y − 23 = Khi tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:      Mà M  − ; ÷ trung điểm BC nên có tọa độ điểm B  − ; ÷  6   3 41 19  Vậy B  − 19   14 37  ; ÷, C  ; ÷  3  3  Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), phương trình BC : x − y − = , tâm đường tròn nội tiếp I (1;0) Tìm tọa độ đỉnh B, C Hướng nghĩ: Xuất tâm đường tròn nội tiếp tam giác ⇒ khoảng cách từ tâm đến cạnh tam giác Giải: Gọi E hình chiếu vng góc I cạnh AB Kẻ đường thẳng qua I vng góc với AI đồng thời cắt cạnh AB P cắt cạnh AC Q Khi : IE = d ( I ; BC ) = ; Mà ∆IAP vuông I có IE đường cao nên ta có: 1 IA.IP 5 = + ⇒ IP = Suy ra: AP = = IE IA IP IE Đường thẳng PQ qua I vng góc với AI có phương tình: y = Do P ∈ PQ nên gọi P(a;0) Ta có :  a=  5 125 125 AP = ⇔ AP = ⇔ ( a − 1) + 52 = ⇔ 4 a = −  ⇒ P ( ;0) P (− ;0) 2   +) Với P( ;0) ⇒ Q  − ;0 ÷   -AB qua A, P có pt: x + y − 14 = -AC qua A, Q có pt: x − y + = x − y − = ⇒ B ( 4; −1) 2 x + y − = 2 x − y + = ⇒ C (−4; −5) -Tọa độ điểm C thỏa mãn hpt:  x − y − = Tương tự, với P(− ;0) ⇒ Q( ;0) B(−4; −5) C (4; −1) 2 Khi :-Toạ độ điểm B thỏa mãn hpt:  Vậy : B (−4; −5) C (4; −1) C (−4; −5) B (4; −1) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B x + y − 18 = , phương trình đường trung trực BC 3x + 19 y − 279 = Đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y + = Tìm tọa độ · đỉnh A biết BAC = 1350 Hướng nghĩ:-Bài tốn xuất đường cao ⇒ quan hệ vng góc; đường trung trực ⇒ vng góc trung điểm; · -Điểm khác có BAC = 1350 ⇒ ∆HBA vuông cân H Hướng dẫn: Gọi M trung điểm cạnh BC ; H hình chiếu vng góc B lên cạnh AC Khi M thuộc đường trung trực d’ 3x + 19 y − 279 = BC; phương trình BH x + y − 18 = -Do AC ⊥ BH nên AC có phương trình dạng: −3x + y + m = Vì C = AC ∩ d ; H = AC ∩ BH nên ta có:  3m − 152 m − 24  C ( m + 5; 2m + 15 ) , H  ; ÷ 10   10 -Do M ∈ d nên gọi tọa độ M (93 − 57t;3t ) Mà  207 + 41m −21 − 41m  MC ⊥ d ⇒ M  ; ÷ 38   Ta có : HM = MC Từ ta tìm tọa độ điểm H, M, C , suy tọa độ điểm B · Theo giả thiết BAC = 1350 , suy ∆HBA vuông cân H , ta có HA = HB , mà A ∈ CH Từ ta tìm tọa độ điểm A(4;8) Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC có tâm   đường tròn ngoại tiếp trọng tâm có tọa độ I ( 4;0 ) , G  ; ÷ Tìm tọa độ 3 11   đỉnh A, B, C tam giác ABC biết đỉnh B nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = điểm M ( 4; ) nằm đường cao kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Giải: Gọi B ( a;1 − 2a ) ∈ d uuur uuur Gọi N trung điểm AC suy BN = BG (1) uuur uuur  Mà BN = ( xN − a; yN + 2a − 1) , BG =  11 2 − a; 2a − ÷ 3 3   11  11 − a   xN − a =  − a ÷     xN = ⇒ Theo (1) suy   y + 2a − =  2a −   yN = a  ÷  N 2 3  11 − a  ; a ÷ suy N    uur  − a  uuuu r ; a ÷, BM = ( − a; 2a + 1) Ta có IN =    A M mà N H G I (d) B C uur uuuu r uur uuuu r IN / / BM ⇔ ∃k ∈ ¡ : IN = k BM 3 − a a = = k ( − a)   ⇔ ⇔ ⇒ B ( 1; −1) , N ( 5;1) k = a = k ( 2a + 1)   r uur AC qua N ( 5;1) có VTPT n = IN = ( 1;1) suy AC có phương trình x + y − = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ( 4;0 ) , bán kính R = IB = 10 nên có phương trình: ( x − ) + y = 10 Suy tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: y = 6− x  x + y − =  y = − x  ⇔ ⇔  x =  2 2 ( x − ) + y = 10 ( x − ) + y = 10   x =  Vậy A ( 3;3) , B ( 1; −1) , C ( 7; −1) A ( 7; −1) , B ( 1; −1) , C ( 3;3) *Nhận xét: Ở sử dụng tính chất trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến đỉnh bán kính đường tròn Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình x + y − = 0, x − y − = Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D ( 4; −2 ) Viết phương trình đường thẳng AB, AC; biết hoành độ điểm B không lớn Giải A H B K M C D Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tamuugiác ABC, K giao điểm BC r uu r AD, E giao điểm BH AC Ta kí hiệu nd , ud vtpt, vtcp đường thẳng d Do M giao điểm AM BC nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình:  x=  x − y − =  ⇒ M  ;−  ⇔   ÷ 2 2 3 x + y − = y = −  uuur uuur AD vng góc với BC nên nAD = uBC = ( 1;1) , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1( x − ) + 1( y + ) = ⇔ x + y − = Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A ( 1;1)  x + y − = y =1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x − y − = x = ⇔ ⇒ K ( 3; − 1)  x + y − =  y = −1 · · · · Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK , mà KCE (nội tiếp chắn cung »AB ) Suy = KCE = BDA · · , K trung điểm HD nên H ( 2; ) BHK = BDK Do B thuộc BC ⇒ B ( t ; t − ) , kết hợp với M trung điểm BC suy C ( − t;3 − t ) uuur uuur HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; − t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên uuur uuur t = HB AC = ⇔ ( t − ) ( − t ) + ( t − ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 14 − 2t ) = ⇔  t = Do t ≤ ⇒ t = ⇒ B ( 2; −2 ) , C ( 5;1) Ta có uuur uuur uuur uuur AB = ( 1; −3) , AC = ( 4;0 ) ⇒ nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) Suy AB : x + y − = 0; AC : y − = *Nhận xét: có đường trung tuyến ta sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng Tuy nhiên, điểm từ quan hệ vng góc ta nghĩ đến tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng hai góc đối diện 1800 Mà năm gần 10  Vậy D  − ; 12  ÷  5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB,N điểm thuộc AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M (1; 2) N (2; −1) Giải: Ta có MN = 10 Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD (a>0) Ta có: AM = a AC 3a , AN = = 4 Nên MN = AM + AN − AM AN cos∠MAN = 5a 5a = 10 ⇒ a = Do -Gọi I(x; y) trung điểm CD Ta có : IM = AD = BD = , nên ta có hệ phương trình IN = +Với Đường thẳng CD uuur pháp tuyến IM (0; 4) trình: y + =  x = ⇒ I ( 1; −2 )  y = −   ( x − 1) + ( y − ) = 16 uuur  17 ⇔  I (1; − 2) ⇒ IM (0; 4) x =  2   17  ( x − ) + ( y + 1) =   ⇒ I  ; − ÷ qua I có véctơ  5  nên có phương  y = −   17  uuur  12 16  I +Với  ; − ÷⇒ IM  − ; ÷ Đường thẳng CD qua I có véctơ pháp tuyến 5   5 uuur  12 16  IM  − ; ÷ nên có phương trình x − y − 15 =  5 *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn dựa vào kiện toán ta thiết lập mối quan hệ để tìm độ dài cạnh hình vng từ tìm lời giải cho tốn Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm C ( 3; −3) điểm A thuộc đường thẳng d : 3x + y − = Gọi M trung điểm BC, đường thẳng DM có phương trình x – y – = Xác định tọa độ điểm A, B, D Giải: A ∈ d ⇒ A ( t ; − 3t ) Ta có: d ( C , DM ) = t = d ( A, DM ) ⇒   4t − = ⇔ t − = ⇔   t = −1 Với t = ⇒ A ( 3; −7 ) (loại A, C phải khác phía DM) Với t = −1 ⇒ A ( −1;5 ) (thỏa mãn) Giả sử D ( m; m − ) uuur uuur  AD ⊥ CD (m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) = Ta có  AD = CD ⇒ (m + 1)2 + (m − 7)2 = (m − 3)2 + (m + 1) ⇔ m = ⇒ D(5;3)   30 Gọi I tâm hình vng ⇒ I trung điểm AC ⇒ I ( 1;1) Do I trung điểm BD ⇒ B ( −3; −1) Vậy, A ( −1;5 ) , B ( −3; −1) , D(5;3) *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác tính chất hình vng ta có mối liên hệ khoảng cách từ C đến DM khoảng cách từ A đến DM với C điểm biết tọa độ Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho ba đường thẳng d1: 3x − y − = ; d2: x + y − = d3: x − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A, C thuộc d3, B thuộc d1 C thuộc d2 Bài 3: Cho hình vng ABCD có A(-2; 6), đỉnh B thuộc d: x − y + = Gọi M, N lần 14 ) 5 lượt hai điểm hai cạnh BC, CD cho BM=CN Biết AM cắt BN I ( ; Xác định tọa độ điểm C 2 Bài 4: Cho hình vng ABCD có tâm I ( ; ) Các đường thẳng AB, CD qua M (−4; −1) , N ( −2; −4) Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết điểm B có hồnh độ âm Bài 5: Cho hình vng ABCD có đỉnh C (1; 2) Gọi M trung điểm cạnh BC Đường thẳng DM có phương trình x + y − = Đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ điểm A, B, D Bài 6: Cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc d: x − y − = Đường thẳng BC, CD qua M (4;0) , N (0; 2) Biết tam giác AMN cân A, xác định đỉnh hình vng Bài 7: Cho (C): ( x − 2)2 + (y− 3)2 = 10 nội tiếp hình vng ABCD Xác định đỉnh hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M (−3; −2) điểm A có hồnh độ dương Bài 8: Cho hình vng ABCD có D(5;1) Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm thuộc đường chéo AC cho AC=4AN Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN 3x − y − = M có tung độ dương Bài 9: Cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x − y − = đường thẳng BC qua điểm M (4;0) , đường thẳng CD qua điểm N (2;0) tam giác AMN cân A Viết phương trình đường thẳng BC b)Bài tốn hình thoi: *Đặc điểm : Hình thoi hình bình hành có cạnh có hai đường chéo vng góc Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCD hình thoi với AC = 2BD, tâm   I(2; 1) Điểm M  0; ÷ thuộc đường thẳng AB , điểm N (0;7) thuộc đường thẳng CD  3 Tìm tọa độ đỉnh B, biết B có hồnh độ dương Giải: -Gọi H hình chiếu vng góc I cạnh AB E điểm đối xứng N qua I I ⇒ E ∈ AB (vì ABCD hình thoi) ⇒ E ( 4; −5 )   -Đường thẳng AB qua hai điểm M  0; ÷,  3 31 E ( 4; −5 ) có phương trình: x + y − = Ta có : IH = d ( I ; AB ) = ; AC = BD ⇒ IA = IB 1 = + ⇒ IB = Vì IAB tam giác vng I nên ta có IH IA IB − t   -Do B ∈ AB ⇒ gọi tọa độ điểm B  t; ÷, t >   t = 1(t / m) 2  − 4t  − 1÷ = ⇒  Mà IB = ⇔ IB = ⇔ ( t − ) +  t = − (l )    Với t = ⇒ B(1; −1) *Nhận xét: Bài biết hai điểm nằm hai cạnh đối diện hình thoi tâm hình thoi thường sử dụng tính chất đối xứng qua tâm hình thoi Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD biết đường thẳng AC có phương trình x − y − = ; đỉnh A(3;5) điểm B thuộc đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình thoi ABCD Giải: r Gọi I tâm hình thoi ABCD n(a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB (a + b2 > 0) ur Đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến n '(2; −1) -Ta có tam giác IAB vng I nên r ur n n ' r u r AI 2 cos∠IAB = = ⇔ cos( n; n ') = ⇔ r ur = AB 5 n n' b = ⇔ 2a − b = a + b ⇔ 3b + 4ab = ⇔  b = − 4a  r +Với b=0, chọn a=1 ⇒ n(1;0) đường thẳng qua A(3; 5) có phương trình: x − = Mà B = AB ∩ d ⇒ B(3; −2) Đường thẳng BD qua B(3; -2) vuông góc với AC có phương trình : x + y + = 1 3 Mà I = AC ∩ BD ⇒ I  ; − ÷ Do I trung điểm AC BD nên tọa độ 5 5  13 31   13  C  − ; − ÷, D  − ; ÷   5  r 4a +Với b = − , chọn a = ⇒ b = −4 ⇒ n(3; −4) Khi AB qua A(3; 5) có phương trình: 3x − y + 11 = Giải tương tự trường hợp ta B(−1; 2), C (−1; −3), D(3;0)  13 31   13  Vậy B(3; −2) , C  − ; − ÷, D  − ; ÷ B(−1; 2), C (−1; −3), D(3;0)   5  2 *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác tính vng góc hai đường chéo hình thoi kết hợp với điều kiện tốn để tìm góc ⇒ pt cạnh AB ⇒ tọa độ điểm B , ta giải toán Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh 32 BD x − y = , đường thẳng AB qua điểm P(1; 3) , đường thẳng CD qua Q(−2; −2 3) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết AB = AC điểm B có hồnh độ lớn Giải: r Gọi I tâm hình thoi ABCD n(a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB (a + b2 > 0) ur Đường thẳng AC có vectơ pháp tuyến n '(1; −1) -Ta có tam giác IAB vng I nên cos∠ABI = BI = AB r ur n.n ' r ur 3 ⇔ cos(n; n ') = ⇔ r ur = ⇔ a − b = 3a + 3b 2 n n' ( ( ) )  a = −2 + b ⇔ a + 4ab + b = ⇔   a = −2 − b  r +Với a = −2 + b , chọn b=1 ⇒ n −2 + 3;1 2 ( ) ( Khi AB qua P(1; 3) có phương trình Mà B = AB ∩ BD ⇒ B ( 2; ) (thỏa mãn) ( ) ) −2 x + y − + = -Do DC / / AB DC qua Q(−2; −2 3) nên DC có phương trình: ( − ) x + y − + = Mà D = DC ∩ BD ⇒ D(−4; −4) Lại có I trung điểm BD nên tọa độ I(-1; -1) -Ta có AC ⊥ BD AC qua I(-1; 1) có phương trình x + y + =  A = AC ∩ AB ⇒ A(−1 − 3; −1 + 3) Mà  C = AC ∩ CD ⇒ C (−1 + 3; −1 − 3) r +Với a = −2 − b , chọn b=1 ⇒ n −2 − 3;1 ( ) ( ) Khi AB qua P(1; 3) có phương trình ( + ) x − y − =   ; ÷(loại)  1+ 1+  Mà B = AB ∩ BD ⇒ B  Vậy B(2; 2), A ( −1 − 3; −1 + ) , C ( −1 + 3; −1 − ) , D ( −4; −4 ) *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác đặc điểm hình thoi kết hợp với điều kiện tốn để tìm góc ⇒ pt cạnh AB ⇒ tọa độ điểm B , ta giải toán Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC x + y − 31 = , hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm Giải: -Gọi I tâm hình thoi ABCD Do B ∈ d1 nên gọi tọa độ điểm B(a;8 − a) 33 +Đường thẳng BD vng góc với AC qua B(a;8 − a) nên có phương trình dạng: x − y − 8a + = −25 + 56a 225 − 8a   −5 − 4a 25 − 17 a  ; ; ÷ , I trung điểm BD ⇒ D  ÷ 50 50  25    −5 − a 25 − 17 a − +3= 0⇒ a = Do D ∈ d : x − y + = Khi ta có: 25  9 Do B(0;8), D(−1;1), I  − ; ÷  2 +Đường thẳng BD qua B(0;8), D(−1;1) có phương trình x − y + = Do A ∈ AC nên gọi tọa độ điểm A(31 − 7t; t ) Ta có: 7(31 − 7t ) − t + 225 − 50t d ( A; BD) = = ; BD = 50 50 50 t = Khi S ABCD = 2S ABD = d ( A; BD).BD = 75 ⇔ 225 − 50t = 75 ⇔  t = -Với t = ⇒ A(−11;6)(loai ) -Với t = ⇒ A(10;3), suy C (−11;6) Vậy A(10;3), B(0;8), D(−1;1), C (−11;6)  Mà I = AC ∩ BD ⇒ I  *Nhận xét:Bài cần nắm đặc điểm hình thoi học sinh dễ dàng làm Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có góc ∠ABC = 600 , đường tròn (C) có tâm I bán kính R=2 tiếp xúc với tất cạnh hình thoi (tiếp xúc với AB CD M N, tung độ I dương) Biết phương trình đường thẳng MN: x + y − = 0, đường thẳng AD không vuông góc với trục tung qua điểm P(3; 0) Viết phương trình đường thẳng AD, AB Giải: Gọi Q = MN ∩ AD Gọi véctơ pháp tuyến đường thẳng AD r n(a; b), (a + b > 0) ur Đường thẳng MN có véctơ pháp tuyến n '(1; 3) -Tam giác NQD vuông N Ta có: ∠MQD = 300 r ur ⇔ cos(n; n ') = ⇔ a + b = 3a + 3b 2 a = ⇔ 2a − 2ab = ⇔  a = b r -Với a = , chọn b = ⇒ n(0;1) ⇒ AD có phương trình y=0 (không thỏa mãn) r -Với a = b , chọn b = ⇒ a = ⇒ n( 3;1) Khi AD qua P(3; 0) có phương trình : 3x + y − 3 = Tâm I đường tròn tâm hình thoi ⇒ I ∈ MN -Ta có: I ∈ MN ⇒ gọi tọa độ I ( − t 3; t ) , t > Ta có: 34 d ( I ; AD) = ⇔ 3(1 − t 3) + t − 3) t = − 3(t / m) = ⇔ −2t − = ⇔  t = −2 − 3(l ) ⇒ I (4 − 3; − 3) d ( I ; AD) 0 +Ta có: ∠ADC = 60 ⇒ ∠DAC = 60 ⇒ IA = sin 600 = Mà A ∈ AD ⇒ gọi tọa độ điểm A ( − m; 3m ) Khi IA = 16 ⇔ IA2 = ⇒ 3   A − ; − ÷   +Đường thẳng AB qua A vng góc MN có phương trình: 3x − y + − = Vậy phương trình AB: 3x − y + − = ; AD: 3x + y − 3 = *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ ∠ABC = 600 ⇒ ∠MQD = 300 , kết hợp với điều kiện tốn từ ta có lời giải tốn Bài tập tự luyện: Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết AB : x + y + = 0; BD : x − y + = Đường thẳng AD qua điểm M(1; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ĐS: B(−4;1), D(0;5) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC : x + y − = Điểm E(9; 4) nằm đường thẳng AB, điểm F(-2; -5) nằm đường thẳng CD AC = 2 Xác định tọa độ A, B, C, D biết điểm C có hồnh độ âm ĐS: A(0;1), B(−3;0), C (−2;3), D(1; 4) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3)     AC =2 BD Điểm M  2; ÷ thuộc đường thẳng AB, điểm N  3; ÷ thuộc đường thẳng CD  3  13  Viết phương trình đường thẳng BD, biết hồnh độ điểm B nhỏ c)Bài toán hình chữ nhật: *Đặc điểm: Hình chữ nhật hình bình hành có góc vng , có hai đường chéo Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm hai đường thẳng d1 : x − y − = 0, d : x + y − = Trung điểm cạnh giao điểm d1 tia Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Giải: 9 3 Ta có: I = d1 ∩ d ⇒ I  ; ÷, M = d1 ∩ Ox ⇒ M (3;0) 2 2 Giả sử M trung điểm cạnh AD -Đường thẳng AD qua M vng góc với MI có phương trình: x + y − = Ta có AB = IM = Theo : S ABCD = AB AD = 12 ⇒ AD = 2 ⇒ AM = Do A ∈ AD ⇒ gọi tọa độ điểm A(a;3 − a) Khi đó: AM = ⇔ AM = ⇒ A(2; 1) A(4; -1) 35 -Với A ( 2;1) ⇒ C (7; 2), D ( 4; −1) , B ( 5; ) -Với A(4; −1) ⇒ C ( 5; ) , D ( 2;1) , B ( 7; ) *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ diện tích hình chữ nhật ta tìm lời giải Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) , phương trình đường thẳng AB x − y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm Giải: Ta có d ( I ; AB ) = y 5 ⇒ AD = 5, AB=2 IA = IB = 2 Do A, B giao điểm đường thẳng AB x − y + =  A, B nghiệm phương trình:  2 ( x − ) + y = ( ) giải hệ ta đượcA(-2; 0), B(2; 2) (vì xA < ) ⇒ C (3;0), D(−1; −2) với đường tròn tâm I bán kính R = Vậy tọa độ x *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ tính vng góc hình chữ nhật,kết hợp giả thiết tốn ta có lời giải Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cho AB=2BC 3 với điểm A(1;3) trọng tâm tam giác ACD điểm G(− ; ) Hãy tìm tọa độ đỉnh cong lại hình chữ nhật ABCD biết xD>0 Giải Gọi M,uuurN trung điểm AB, CD Do G trọng tâm tam giác ACD nên uuu r uuur NA = NG ⇒ N (−1;1) ⇒ AN = (−2; 2) Vì ABCD hình chữ nhật AB = 2BC nên AMND hình vuông Gọi I trung điểm AN ⇒ I (0; 2) Đường thẳng DM là: x + y − = AN t = ⇔ 2t = ⇔  Đặt D(t; − t) ∈ DM, ID= 2t , AN = 2 Ta có ID = t = −1 -Với t = ⇒ D(1;1) : N trung điểm CD ⇒ C (−3;1) I trung điểm DM ⇒ M (−1;3) M trung điểm AB ⇒ B (−3;3) -Với t = −1 ⇒ D(−1;3) : loại Vậy: B(−3;3) , C (−3;1) , D(1;1) *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ tính chất trọng tâm tam giác,đặc điểm hình chữ nhật,ta tìm lời giải tốn Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; đường thẳng BD qua điểm M (− ;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Giải 36 A B N Gọi N điểm thuộc AC cho MN//AD Suy MN có phương trình x − y + = Vì N thuộc AC, nên tọa độ I K M D x + 3y = ⇒ A(−3;1) x − y + = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ  C  x − y + = ⇒ N (−1; ) điểm N thỏa mãn hệ   x + y = Đường trung trực ∆ MN qua trung điểm MN vng góc với AD, nên có phương trình x + y = Gọi I K giao điểm x + y = , tọa độ điểm x + 3y = ∆ với AC AD Suy tọa độ điểm I thỏa mãn hệ  x + y = Do I(0; 0), K(-2; 2) x − y + = uuur uur uuur uuur AC = AI ⇒ C (3; −1); AD = AK ⇒ D(−1;3); uuur uuur BC = AD ⇒ B (1; −3) K thỏa mãn hệ  *Nhận xét: Bài ta cần sử dụng đặc điểm hình chữ nhật kết hợp giả thiết tốn ,từ tìm lời giải Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: x + y + = A(-4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5; -4) Giải Do C thuộc d nên C(t; -2t-5) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, suy I trung điểm AC Do I ( t − −2t + ; ) 2 Tam giác BDN vuông N nên IN = IB, suy IN = IA Do ta có phương trình (5 − t −4 −2t + t −4 −2t + ) + ( −4 − ) = (−4 − ) + (8 − ) ⇔ t = Suy C(1;-7) 2 2 Do M đối xứng với B qua C nên CM=CB Mà CB = AD CM//AD nên tứ giác ACMD hình bình hành Suy AC//DM Theo giả thiết, BN⊥DM, suy BN⊥AC CB = CN Vậy B điểm đối xứng N qua AC Đường thẳng AC có phương trình: 3x + y + = 37 Đường thẳng BN qua N vng góc với AC nên có phương trình: x − y − 17 = Do B(3a+17 ; a) Trung điểm BN AC nên 3( 3a + 17 + a − )+ + = ⇔ a = −7 2 Vậy B(-4 ; -7) *Nhận xét: Bài ta cần sử dụng đặc điểm hình chữ nhật kết hợp giả thiết tốn ,từ tìm lời giải Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1; 2)   hình chiếu vng góc điểm A lên BD Điểm M  ;3 ÷ trung điểm cạnh BC, 2  phương trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Giải: Gọi K trung điểm HD Gọi P trung điểm AH Ta có PK song song nửa AD ⇒ PK ⊥ AB Mà MH ⊥ KB ⇒ P trực tâm tam giác ABK ⇒ BP ⊥ AK Lại có BPKM hình bình hành nên KM song song BP ⇒ AK ⊥ KM   -Đường thẳng KM qua M  2; ÷ vng góc với  3 AK: x + y − = có phương trình x − y + 15 =   Do K = AK ∩ MK ⇒ K  ; ÷ 2  Do K trung điểm HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) ⇒ phương trình BD: y – 2=0 -Đường thẳng AH qua H(1; 2) vng góc với BD nên AH có phương trình x – 1=0 Lại có A = AK ∩ AH ⇒ A(1;0)   -Đường thẳng BC qua M  2; ÷ song song với AD  3 nên BC có phương trình x + y − 12 = Vậy BC: x + y − 12 = *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ giả thiết toán ta chứng minh AK ⊥ KM ,từ ta tìm lời giải toán Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trình x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng AB có phương trình 3x − y − 23 = Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hồnh độ dương Giải: Gọi C ( c; c + ) ∈ d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC d :3x – y – 23 = Ta uur uu r c + 10 c − 10  ; ÷    có ∆AIM đồng dạng ∆CID ⇒ CI = AI ⇒ CI = IA ⇒ I  Mà I ∈ d nên ta có: c + 10 c − 10 −4 − 23 = ⇔ c = ⇒ C ( 1;5 ) 3 38 3t − 23  3t −   ÷⇒ B  2t − 5; ÷      Ta có: M ∈ d ⇒ M  t ; uuur  r  3t +  uuu 3t − 19  AB =  2t − 10; ÷, CB =  2t − 6; ÷     t = uuur uuu r Do AB.CB = ⇔ ( t − ) ( t − 3) + ( 3t + ) ( 3t − 19 ) = ⇔ t = 29    B( −3; −3) (l )  33 21  ⇒   33 21  ⇒ B  ; ÷ B ;   ÷  5    5  *Nhận xét: Điểm mấu chốt tốn khai thác từ tính vng góc hình chữ nhật kết hợp với giả thiết tốn ta tìm lời giải toán Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I đường thẳng AB: x − y − = xI = , trung điểm cạnh giao điểm d trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB, DA tiếp xúc với đường tròn (C): (x + 2) + (y − 2) = , đường chéo AC cắt (C) điểm M ( −16 23 ; ) N thuộc trục Oy 5 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm , điểm D có hồnh độ dương diện tích tam giác AND 10 Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 6, đường chéo AC: x + y − = Điểm M(0; 4) nằm cạnh BC, đường thẳng CD qua điểm N(2; 8) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đỉnh C có tùng độ số nguyên Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B, C thuộc trục tung Đường chéo AC: x + y − 16 = Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 48, đỉnh D(-3; 2) Đường phân giác · góc BAD có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm A có hồnh độ dương Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C(3; -1) Gọi M trung điểm cạnh BC, đường thẳng DM có phương trình y − = Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d: x − y + = điểm D có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh A D Bài 7: u Cho hình chữ nhật ABCD có AD: x + y − = , điểm I(-3; 2) thuộc BD cho uur ur IB = −2 ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết xD>0 AD=2AB Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD Gọi N trung điểm cạnh BC cho M điểm thuộc cạnh CD cho DC=4DM Biết tọa độ M(1; 2), phương trình đường thẳng AN x − y + = Tìm tọa độ điểm A biết xA