Sử dụng quan hệ vuông góc giải quyết một số bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng ở trường phổ thông

A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Trong trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực nhận thấy phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” có nhiều ưu điểm phù hợp với công tác giảng dạy môn Toán trường phổ thông nói chung dạy học tập toán nói riêng Tuy nhiên để có thành công phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” lực chuyên môn lực sư phạm giáo viên đòi hỏi người giáo viên nhiều thời gian tâm huyết Để có giảng thu hút học trò, giúp học trò phát triển tư môn toán dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, thường trăn trở với khó khăn học trò trình tiếp cận toán Bài toán hình học giải tích mặt phẳng toán thường xuất kì thi quan tâm đặc biệt học trò, bên cạnh toán khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt với em có lực trung bình Băn khoăn trước khó khăn học trò, tìm tòi định chọn phương pháp dạy học “Phát giải vấn đề” để giúp em tiếp cận loại toán cách hiệu Trong số toán hình giải tích mặt phẳng có lớp toán thiên tính chất hình phẳng túy gây cho học trò nhiều khó khăn tiếp cận Vì chọn đề tài “Phát giải vấn đề toán hình giải tích từ mối quan hệ giưã điểm, điểm đường thẳng” để nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận toán hình giải tích mặt phẳng thông qua phương pháp dạy học: “Phát giải vấn đề” III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh khối 10, 11 trường THPT Đông Sơn I - Học sinh khối 12 ôn thi vào trường đại học trường THPT Đông Sơn I IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác liên quan đến hình học phẳng - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Giảng dạy tiết tập toán lớp 11a2, 12a2 trường THPT Đông Sơn I để nắm bắt tình hình thực tế học sinh B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số điểm cần lưu ý 1.1 Những toán liên quan đến tam giác vuông (đặc biệt tam giác vuông cân), hình chữ nhật (đặc biệt hình vuông), hình thang vuông ta đặt cạnh a Từ sử dụng giả thiết, định lý Pitago, định lý hàm số côsin… xác định yếu tố cần thiết thuận lợi cho việc giải toán Bài toán khoảng cách toán góc thường sử dụng chủ đề 1.2 Vẽ hình xác, từ dự đoán xem có hai đường thẳng vuông góc với hay không Từ sử dụng định lý Pitago, phương pháp vectơ hay cộng góc để chứng minh dự đoán Việc phát yếu tố vuông góc mấu chốt để giải toán 1.3 Sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để so sánh khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Từ sử dụng toán khoảng cách phương pháp tham số hóa để giải toán Một số tính chất hình học phẳng vận dụng vào toán phương pháp tọa độ mặt phẳng Tính chất Các hệ thức lượng tam giác vuông Tính chất Định lý hàm số cosin, hệ định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin, hệ định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác Tính chất Cho hình vuông ABCD Gọi M, N trung điểm AB BC Khi AN ⊥ DM Chứng minh Gọi cạnh hình vuông a Ta có uuuu r uuuur uuur uuur uuur uuuur AN DM = AB + BN DA + AM uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur = AB DA + AB AM + BN DA + BN AM ( )( ) a2 a2 = 0+ − + = 2 Suy AN ⊥ DM Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có tính chất sau Tính chất Cho hình vuông ABCD Gọi M , N thuộc AB BC uuuur uuuu r uuur uuur cho AM = kAB, BN = kBC Khi AN ⊥ DM Tính chất Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a Gọi M trung điểm AD Khi AC ⊥ BM Chứng minh Ta có uuur uuuu r uuu r uuur uuu r uuuu r AC.BM = AB + BC BA + AM uuu r uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r = − AB + AB AM + BC.BA + BC AM ( = − a + + + a )( ) a = Suy AC ⊥ BM Tính chất Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B lên AC M , N trung điểm AH , CD Khi BM ⊥ MN Chứng minh Gọi E trực tâm tam giác MBC Khi ME / / AB (vì vuông góc với BC ) Do M trung điểm AH nên ME đường trung bình tam giác HAB Suy AB ⇒ ME / / = NC Suy MECN hình bình hành ⇒ MN / / CE Vì E trực tâm tam giác MBC nên BM ⊥ CE ⇒ BM ⊥ MN ME / / = Thay đổi hình thức tính chất ta có hệ sau 6.1 Cho hình thang ABCD vuông A D, AB = CD Gọi H hình chiếu D AC M CH MB ⊥ MD lên trung điểm Khi 6.2 Cho tam giác ABC vuông B có hai trung tuyến BN CM Gọi H hình chiếu B lên CM , E trung điểm CH Khi EN ⊥ EB Trên tính chất khai thác nhiều toán II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG - Kiến thức sở môn toán em hầu hết tập trung mức độ trung bình - Kết khảo sát số lớp phần giải tập toán phần hình giải tích mặt phẳng qua tìm hiểu giáo viên dạy môn toán, có khoảng 10% học sinh hứng thú với toán hình giải tích mặt phẳng III GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Đưa toán cụ thể tiết dạy học tập, phân tích toán cụ thể để định hướng cho học sinh cách giải toán mang tính chất tương tự IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua việc kiểm tra khảo sát cho thấy có 70% em học sinh có hứng thú với học số có khoảng 40% em học sinh biết cách vận dụng cách linh hoạt, số em chuẩn bị thi vào trường đại học - Đề tài làm tài liệu tham khảo cho em học sinh học khối 10 em học sinh khối 12 THPT ôn thi vào trường đại học cao đẳng V BÀI TẬP ÁP DỤNG -Trong khuôn khổ đề tài, sau xin trình bày số toán hình học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vuông, hình thang vuông, hình chữ nhật hình vuông - Ở toán có phân tích toán đưa hướng giải để giúp em học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng hơn, qua học sinh vận dụng cho toán tương tự Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A B M ( 9; −1) trung điểm AB, CD : 2x − y − = Tìm toạ độ C biết AB = BC = AD Phân tích toán Bài toán theo hướng sau: Hướng thứ Vì C ∈ CD nên ta tham số hóa điểm C (ẩn c) Hình thang vuông có cạnh liên hệ với qua đẳng thức AB = BC = AD, nên đặt độ dài cạnh x ta tính tất cạnh lại theo x Để tìm C, ta tính độ dài đoạn thẳng MC Chú ý ( ) d M , CD có Lời giải Đặt AB = 6x Suy BC = 6x, AD =4x Do CD = 2x 10 Ta có d ( M ,CD ) = Suy SMCD = 15x SMCD = Mặt khác 4x + 6x 3x.4x 3x.6x 6x − − = 15x2 2 Suy x = Suy MC = 3x = 10 ( ) Vì C ∈ CD : 2x − y − = ⇒ C c; 2c − Khi c = 2 MC = 10 ⇔ c − + 2c − = 90 ⇔  c =  ( ) ( ) Từ suy C ( 0; −4) , C ( 6;8) Hướng thứ hai Nếu viết phương trình đường thẳng MC tìm · tọa độ C Ta tìm cách tính cosMCD , từ sử dụng toán góc Lời giải Đặt AB = 6x Suy BC = 6x, AD = 4x Do CD = 2x 10, MD = 5x, MC = 5x Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác MCD ta có MC + DC − MD · cos MC , CD = cosMCD = = 2MC DC ( ) Gọi MC : a ( x − 9) + b( y + 1) = ( a2 + b2 # 0) Ta có ( ) cos MC , CD = ⇔ ( ) 2a − b a2 + b2 = ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = * Nếu b = ⇒ 3a2 = ⇒ a = (loại) Nếu b ≠ 0, chia hai vế phương trình (*) cho b2 ta có a  =3 a a 3 ÷ − 8 ÷ − = ⇒  b ⇒  b  b a = −  b MC : 3x + y − 26 =  MC : x − 3y − 12 = Từ suy C ( 6;8) , C ( 0; −4) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông ( ) A −3; − , trung điểm M BC nằm đường thẳng ∆ : 2x − y − = Gọi H ( ) hình chiếu A lên trung tuyến BN tam giác ABC Biết I 1; trung điểm BH Tìm tọa độ đỉnh B C Phân tích toán Dựa vào tính chất hay hệ 6.2 ta có MI ⊥ AI Từ viết phương trình MI tìm tọa độ M Lời giải Gọi P trung điểm AH Ta có MN / / = IP nên MNPI hình bình hành Vì IP / / MN ⇒ IP ⊥ AC Từ P trực tâm tam giác AIN Suy NP ⊥ AI ⇒ MI ⊥ AI ( ) Đường thẳng MI qua I 1; vuông góc với AI nên MI : x + 3y − 28 = ( ) Do M 7; uuur uuuur  11 11 E = BN ∩ AM ⇒ AE = AM ⇒ E  ; ÷ Gọi  3 Suy BN : 2x + y − 11 = ( ) Đường thẳng AH qua A −3; − vuông góc với BN nên AH : x − 2y − = ( ) ( ) ( ) Dẫn đến H 5; Suy B −3; 17 , C 17; − Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ( ) A 3; − , đỉnh C thuộc đường thẳng ∆ : 2x − y + = E điểm đối xứng với D ( ) qua C Hình chiếu vuông góc D lên đường thẳng BE H −3; 13 Tìm tọa độ đỉnh B, C Phân tích toán Nút thắt toán AH ⊥ HC Từ tìm tọa độ đỉnh C Dễ thấy BE / / AC nên lập phương trình BE Từ tham số hóa đỉnh B uuur uuur (ẩn b) Dựa vào phương trình BA.BC = để tìm b Lời giải Lấy F đối xứng với E qua B Khi A trung điểm DF Trong tam giác vuông HDE , HDF ta có AH = AD, CH = CD Suy · ¶ +H ¶ =D ¶ +D ¶ = 900 ⇒ AH ⊥ HC AHC =H 2 uuuu r uuur Suy nHC = HA 6; − 18 = 1; − ⇒ HC : x − 3y + 42 = ( ) ( ) ( ) Do C 3; 15 ( ) Vì HE song song với AC : x = nên HE : x = −3 ⇒ B −3; b uuur ( ) uuur ( ) Suy AB −6; b + , CB −6; b − 15 Ta có uuur uuur b = 13 AB CB = ⇔ 36 + b + b − 15 = ⇔  ⇔ b = −  ( ( ) ( )( ) ) ( ( ) B −3; 13 ≡ H  B −3; −  ) Vậy B −3; − , C 3; 15 Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M trung điểm AB, đỉnh C 6; − Tìm tọa độ đỉnh D biết DM : 2x − y + = ( ) Phân tích toán Ta tính góc · MDC , từ viết phương trình đường thẳng CD dựa vào toán góc Dẫn đến tọa độ đỉnh D Lời giải Đặt cạnh hình vuông 2x Áp dụng định lý Pitago ta tính MD = MC = x Suy 5x2 + 4x2 − 5x2 · cosMDC = = 2.x 5.2x Gọi phương trình đường thẳng CD CD : a ( x − 6) + b( y + 4) = Ta có ( ) cos DM , DC = ⇔ 2a − b a2 + b2 = a = ⇔ 3a2 − 4ab = ⇔  3a − 4b = ( ) Với a = 0, chọn b = ⇒ CD : y + = ⇒ D −4; − ( ) Với 3a − 4b = 0, chọn a = b = ⇒ CD : 4x + 3y − 12 = ⇒ D 0; ( ) ( ) Vậy D −4; − , D 0; Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M 7; 10 trung điểm BC Hình chiếu vuông góc A lên BD H 5; , ( ) ( ) đường trung tuyến AK tam giác AHD có phương trình x + 4y − 13 = Viết phương trình cạnh BC Phân tích toán Từ tính chất ta có AK ⊥ K M Do lập phương trình đường thẳng K M , suy tọa độ K , D Từ lập phương trình BD, AH Suy tọa độ A Lưu ý rằng, đường thẳng BC qua M song song với AD Lời giải Gọi E trực tâm tam giác ABK Khi K E / / AD (cùng vuông góc với AB ) Vì K trung điểm DH nên K E đường trung bình tam giác ADH Suy AD ⇒ K E / / = BM Do K EBM hình bình hành Dẫn đến MK / / BE ⇒ MK ⊥ AK KE / / = Suy ( ) ( ) MK : 4x − y − 18 = ⇒ K 5; ⇒ BD : x = 5, AH : y = ⇒ A 1; ( ) Vì K trung điểm DH nên D 5; ⇒ AD : x + 2y − = Vì BC / / AD ⇒ BC : x + 2y − 27 = Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A  22  D, AB = AD = DC Điểm M  − ; ÷ thuộc đoạn BC ( )  5 cho 3BM = 2MC , điểm N −2;4 thuộc đoạn CD cho ND = 2NC Tìm toạ độ đỉnh hình vuông biết A có hoành độ dương Phân tích toán Mấu chốt toán dự đoán chứng minh AM ⊥ MN Từ viết phương trình AM tham số hóa điểm A Từ độ dài MN , sử dụng định lý Pitago ta tính độ dài cạnh hình thang cho Lời giải Bằng phương pháp véc tơ ta chứng minh AM.MN = Ta có AM ⊥ MN Suy AM : 3x + 4y + 10 = Suy A ( −2 + 4t; −1 − 3t ) Đặt AB = 2a ⇒ NC = a, MC = 3a · , cosMCN = 5 Từ a = 10 Suy AN = 2a = Suy 25t + 30t − 55 = ⇒ t = ⇒ A ( 2; −4) (vì xA > 0) Tam giác ABN vuông cân nên B ( −4; −2) Chú ý B, M phía so với AN Từ tìm C ( −5;5) , D ( 4;2) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy A 2; − , B −4; − , C −5; , D 4; Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm M 6; nằm cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt đoạn BD N 1; ( ) ( ) Đỉnh C thuộc đường thẳng ∆ : x − 2y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông cho, biết đỉnh C có tọa độ nguyên đỉnh A có hoành độ nhỏ Phân tích toán Gọi I trung điểm AM Dự đoán chứng minh IMN vuông cân I nên tìm tọa độ I , suy tọa độ A Vì C ∈ ∆ : x − 2y + = nên ta tham số hóa điểm C với ẩn c Từ tìm tọa độ tâm E hình vuông cho theo c Từ tính chất EN ⊥ AC ta tìm c Suy tọa độ C , E , B, D · · Lời giải Ta có tam giác NAM vuông N NMB = NBA = 450 nên tam giác NAM vuông cân N Gọi I trung điểm AM Khi tam giác IMN vuông cân I Gọi H trung điểm MN IH đường trung trực MN Do ( ) IH : 5x − y − 13 = ⇒ I t; 5t − 13 IM = Ta có MN ( ) ( ) ⇔ t − + 5t − 17 = 13 ( ) ( ) ( ) ( ) Vì đỉnh A có hoành độ nhỏ nên A ( 0; 0) Vì C ∈ ∆ : x − 2y + = ⇒ C ( 2c − 6; c) Gọi E tâm hình vuông Khi uuuu r uuur    c c E  c − 3; ÷ Suy AC ( 2c − 6; c) , NE  c − 4; − 5÷ Ta có 2    t = ⇔ 26t − 182t + 312 = ⇔  ⇔ t = I 4; A 2; 10  ⇔ I 3; A 0;   uuuu r uuur c  AC NE = ⇔ 2c − c − + c  − 5÷ = 2  ( )( ) c = ⇔ 5c − 38c + 48 = ⇔  c =  ( ) ( ) MC : x = 6, NE : x + y − = ⇒ B ( 6; 0) ⇒ D ( 0; 6) Vậy A ( 0; 0) , B ( 6; 0) , C ( 6; 6) , D ( 0; 6) Vì C có tọa độ nguyên nên C 6; ⇒ E 3; Do Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua A Điểm E −11; 15 thuộc ( ) đường thẳng DH , BC : x − 3y + = 0, đường trung tuyến kẻ từ C tam giác ACH có phương trình 7x − 11y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Phân tích toán Trước hết tìm tọa độ C Gọi M trung điểm AH Mấu chốt toán dự đoán chứng minh CM ⊥ DH Viết phương trình DH tìm H , M , A, B ( ) Lời giải Gọi M trung điểm AH Vì C = BC ∩ CM nên C 7; Ta chứng minh CM ⊥ DH phương pháp vectơ Ta có 10 uuuu r uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r CM DH = CA + CH AB + AH r uuuu r uuur uuur uuu = CA.AH + CH AB = −AH + CH HB = 2 )( ( ( ) ) ( )  13 ;  Suy CM ⊥ DH Do DH : 11x + 7y + 16 = ⇒ H  −   3 5 ( 9 ÷ 5 ) Suy AH : 3x + y + = ⇒ M  − ; − ÷ ⇒ A −1; − ( ) Đường thẳng AB vuông góc với AC nên AB : x + y + = ⇒ B −5; ( ) ( ) ( ) Vậy A −1; − , B −5; , C 7; Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Biết ( ) G 3; trọng tâm tam giác ABD Đường thẳng qua A vuông góc với ( ) BG cắt BD E 1; Tìm tọa độ đỉnh hình vuông cho biết rẳng đỉnh A có tung độ lớn Phân tích toán Hình vuông cho có hai đường chéo vuông góc với I Dự đoán GE / / AD Từ suy tam giác IGE vuông cân I Do tìm tọa độ I Lời giải Gọi I tâm hình vuông ABCD Khi AI ⊥ BE , BG ⊥ AE nên G trực tâm tam giác ABE Suy GE ⊥ AB ⇒ GE / / AD Từ suy tam giác IGE vuông cân I ( ) Đường trung trực GE ∆ : x = ⇒ I 2; t Ta có IE = t = ⇒ 1+ t − = ⇒  ⇒ t = GE ( ) ( ) ( ) ( ) I 2;  I 2;  TH1 I 2; Ta có uur uuu r xA − = 3.1 IA = 3IG ⇒  ⇒ A 5; (loại điều kiện yA > 1) y − = −  A ( ) ( ) ( ) TH2 I 2; Ta có uur uuu r x − = 3.1 IA = 3IG ⇒  A ⇒ A 5; yA − = 3.1 ( ) 11 ( ) uur uur x − = −1 ID = 3IE ⇒  D ⇒ D −1; y − = 3.1  D ( ) ( ( ) ) Suy C −1; − , B 5; − ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy A 5; , B 5; − , C −1; − ; D −1; ( ) Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M 5; 3 trung điểm AB Điểm E thuộc AC cho AE = AC Biết DE : 3x − y + = Viết phương trình cạnh CD Phân tích toán Mấu chốt toán dự đoán chứng minh tam giác EMD vuông cân Từ tìm điểm E , D Gọi I giao điểm ME CD Từ định lý Talet ta tìm tọa độ I Từ viết phương trình đường thẳng CD Lời giải Đặt cạnh hình vuông a Sử dụng định lý Pitago định lý hàm số cosin ta có MD = 5a2 a 2 a 5a2 ÷ − 2.a DE = a2 +  cos450 =  ÷   2  a   3a  a 3a 5a2 ÷ − ME =  ÷ +  cos450 =    ÷  Suy tam giác EMD vuông cân D Do ( ) ME : x + 3y − 14 = ⇒ E −1; ( ) Vì D ∈ DE : 3x − y + = ⇒ D d; 3d + Ta có d = 2 ED = EM ⇔ d + + 3d + = 40 ⇔  ⇔ d = −3 ( ) ( ) ( ( ) D 1; 11  D −3; −  ) Gọi I = ME ∩ CD Ta có uur uuuu v EM EA = = ⇒ ME = 3EI EI EC −6 = x +  17  I ⇒ ⇒ I  −3; ÷ 3  2 = yI − ( ( ) ) 12 Từ suy có hai phương trình đường thẳng CD thỏa mãn yêu cầu toán CD : x = −3, CD : 4x − 3y + 29 = Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M ( ) ( ) trung điểm CD Biết rằng, H −7; hình chiếu B lên CM , I −11; − trung điểm BH , đỉnh C có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh A, B, C , D Phân tích toán Gọi N trung điểm AB Ta có C , I , N thẳng hàng · CN ⊥ BH nên viết phương trình CN Tính góc BCN Sử dụng toán góc ta viết phương trình BC Lời giải Gọi N trung điểm AB Khi NI / / AH tính chất đường trung bình nên NI ⊥ BH Lại có AMCN hình bình hành nên AM//CN Do C , I , N thẳng hàng NB Ta có : tanBCN = BC = ⇒ cos BCN = Vì CN qua I vuông góc với IH nên CN : x + 2y + 15 = ( ) Vì I trung điểm BH nên B −15; − 10 Gọi BC : a ( x + 15) + b( y + 10) = (a2 +b2 # 0) Ta có ( ) cos BC , CN = ⇔ a + 2b a2 + b2 a = 3a − 4ab = ⇔  ⇒ 3a = 4b = BC : y + 10 = ⇒  BC : 4x + 3y + 90 = ( ) ( ( ) ) C 5; − 10  C −27;  Vì C có hoành độ dương nên C 5; − 10 Đường thẳng CD qua C vuông góc với BC nên CD : x = Đường thẳng HM qua H song song với CN nên ( ) ( ) HM : x + 2y − = ⇒ M 5; ⇒ D 5; 10 ( ) Suy A −15; 10 ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy A −15; 10 , B −15; − 10 , C 5; − 10 , D 5; 10 Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, ( ) AC = 2AB M −11; trung điểm BC Điểm E thuộc đoạn AC cho ( ) EC = 3EA Giao điểm AM BE I 7; Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết E nằm đường thẳng ∆ : 2x + y − 27 = 13 Phân tích toán Giả thiết cho tam giác vuông mà cạnh góc vuông gấp đôi cạnh góc vuông nên ta nghĩ đến việc dựng hình vuông để từ phát yếu tố vuông góc Chẳng hạn, gọi H trung điểm AC Dựng hình vuông BAHD Theo tính chất 6.1 ta có AM ⊥ BE Đây mấu chốt toán Lời giải Gọi H trung điểm AC Dựng hình vuông BAHD Từ giả thiết suy M , E trung điểm HD HA Theo tính chất 6.1 ta có AM ⊥ BE Suy ( ) BE : 3x − y − 18 = ⇒ E 9; ⇒ IE : 3x − y − 18 = ( ) Vì BH đường trung trực ME nên BH : x = −1 ⇒ B −1; − 21 ( ) Ta có F −1; trung điểm ME Khi ( ) uuur uuur 0 = −1 − x H FB = 3HF ⇔  ⇒ H −1; 19 − 30 = − y  H ( ) ( ( ) ) Vì E trung điểm AH nên A 19; − ( ) Vì H trung điểm AC nên C −21; 39 ( ) ( ) ( ) Vậy A 19; − , B −1; − 21 , C −21; 39 ( ) Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M 10; trung điểm AD Đường trung tuyến kẻ từ C tam giác BCM có phương trình ∆ : x − 5y − 50 = Tìm tọa độ đỉnh D biết C có tọa độ nguyên Phân tích toán Đặt cạnh hình vuông tham số Sử dụng định lý Pitago, · định lý hàm số côsin để tính góc MCE Từ đó, sử dụng toán góc ta lập phương trình đường MC , từ tìm tọa độ điểm C , D Lời giải Lấy F đối xứng với M qua A Khi BCMF hình bình hành Suy BM , CF cắt trung điểm đường Gọi I giao điểm CF với AB I trọng tâm tam giác BMF Do AI = AB Đặt cạnh hình vuông 6a Sử dụng định lý Pitago ta có CM = CI = ( 6a) + ( 3a) ( 6a) + ( 4a) 2 = a 45 = a 52 14 ( 3a) + ( 2a) IM = = a 13 Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác CMI ta có · cosICM = 45a2 + 52a2 − 13a2 = 2.a 45.a 52 65 Gọi CM : a x − 10 + by = Ta có ( ( ) cos CM , ∆ = ) ⇔ a − 5b = 65 26 a2 + b2 a  = ⇔ 1209a2 + 650ab − 351b2 = ⇔  b  a = − 27  b 31 C 25; − MC : x + 3y − 10 =  ⇔ ⇒   725 405  MC : 27x − 31y − 270 = C  − 26 ; − 26 ÷     65 ( ( ) ) Vì C có tọa độ nguyên nên C 25; − Ta có CM = 250 = a 45 ⇒ a = ( ) Gọi D x; y Ta có DM =  ⇔  DC = 10  ( ( ) ) ( 2   x − 10 + y = 50 ⇔  2  x − 25 + y + = 200 ) ( ( ( ) D 15;  D 11; −  ) ) Kiểm tra lại điều kiện MD ⊥ DC suy D 15; Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M , N trung điểm AC BC I 7; trung điểm AN , ( ) ( ) E 1; thuộc đoạn BM cho BM = 4BE Tìm tọa độ A, B, C biết điểm N có hoành độ âm Phân tích toán Bài toán cho tọa độ hai điểm I E Mấu chốt toán phát chứng minh tam giác EIN vuông cân E Từ tìm tọa độ N , A, B, C 15 Lời giải Gọi H trung điểm BN Khi IMNH hình chữ nhật nội tiếp đường tròn ( C ) BE BH = = BM BC HE / / CM Suy HE ⊥ EM ⇒ E ∈ C · Do IEN = 900 · · Lại EIN = EMN = 450 đường kính IN , HM Vì nên ( ) Từ suy tam giác EIN vuông cân E Suy ( ) EN : 3x − y = ⇒ N n; 3n n = Vì EN = EI ⇒ ( n − 1) + ( 3n − 3) = 40 ⇒ n = −1 2 (  ) ( ) Vì N có hoành độ âm nên N −1; − Vì I trung điểm AN nên A 15; Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có  uuuu r uuur xG + = 16  13  NG = NA ⇒  ⇒ G  ; − ÷ 3  y + = 1.8 G  1 3 Ta có BE = BM = BG = BG Suy 4  13  10  =  − ÷ uuur uuur xB −   ⇒ B −1; GB = GE ⇒  y + = 10  B Vì N trung điểm BC nên C −1; − 11 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Vậy A 15; , B −1; , C −1; − 11 Nhận xét Bài toán xây dựng từ tính chất Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B lên AC M , N trung điểm AH , CD Khi BM ⊥ MN Xét trường hợp đặc biệt, ABCD hình vuông Lúc này, kết BM ⊥ MN ta có BM = MN , hay tam giác BMN vuông cân M 16 Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có uuur uuuu r ·ACD = α với cosα = , điểm H thỏa mãn điều kiện HB = −2HC , K giao  4 điểm hai đường thẳng AH BD Cho biết H  ; − ÷, K 1; điểm B có  3 hoành độ dương Tìm tọa độ điểm A, B,C , D ( ) Phân tích toán Tìm tọa độ A thông qua tọa độ H , K đẳng thức K H BH = = K A AD Nếu đặt cạnh hình chữ nhật cho a từ giả thiết cosα = , ta tính đoạn thẳng liên quan qua a Từ tìm a Lời giải Từ giả thiết suy H thuộc cạnh BC BH = BC K H BH 2 = = ⇒ HK = K A Vì BH / / AD nên K A AD 3 uuur uuuu r      10  Suy HA = HK ⇔  xA − ; yA + ÷ =  ; ÷ =  ; ÷ ⇒ A(2; 2) 3  3  3   · Vì ∆ACD vuông D cosACD = cosα = nên AD = 2CD, AC = 5CD Đặt CD = a (a > 0) ⇒ AD = 2a ⇒ AB = a, BH = a Trong tam giác vuông ABH ta có AB + BH = AH ⇔ 25 125 a = ⇒ a = 9 Suy AB = 5, HB = (*) 17 Giả sử B (x; y) với x > 0, từ (*) ta có (x − 2)2 + (y − 2)2 = x = 3, y =  2   1  4 80 ⇔  x = − , y = (ktm)  x − ÷ +  y + ÷ =  5 3  3  uuur uuur uuur uuur B (3 ; 0) AD = BC ⇒ D −2; Suy Từ BC = BH ⇒ C −1; − Từ Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân B ( ( ) ) ( ) Lấy E cạnh BC cho BC = 3BE I 7; trung điểm AE Điểm F thuộc cạnh AC cho IF = IA Tìm tọa độ đỉnh C biết đỉnh A có hoành độ lớn 5, trung điểm AB thuộc đường thẳng ∆ : x + 3y − 12 = 0, đỉnh B thuộc đường thẳng x + y + = đường thẳng IF có phương trình x + 2y − 13 = Phân tích toán Mấu chốt toán dự đoán chứng minh IB ⊥ IF Từ viết phương trình IB, tìm B Lời giải Gọi M , N trung điểm AB AC M , I , N thẳng hàng BN ⊥ AC Ta có tam giác ABF nội tiếp đường tròn tâm I Suy 1· · · AFB = AIB = MIB Suy tứ giác BINF nội tiếp Do · · BIF = BNF = 900 hay BI ⊥ IF Suy ( ) BI : 2x − y − 11 = ⇒ B 3; − ( ) Vì M ∈ ∆ : x + 3y − 12 = ⇒ M 12 − 3m; m Suy uuuu r uuur MB 3m − 9; − − m , MI 3m − 5; − m uuuu r uuur Ta có MB MI = ⇔ 3m − 3m − + m + m − = ( m = ⇔ ⇔ m =  ) ( ( ) ( ) ( )( ( ( ) ) ) ) ( )( ) M 3; A 3; 11  ⇒ M 9; A 15;   ( ) ( ) Vì A có tung độ lớn nên ta chọn trường hợp M 9; , A 15; Đường thẳng BC qua B vuông góc với AB nên BC : x + y + = ( ) uuuur uuur x − = −2 MN = MI ⇒ N ⇒ N 3; Ta có y − = 3.2  N ( ) ( ) Vì AC qua A N nên AC : y = Từ suy C −9; Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ( ) cạnh không song song với trục tọa độ Điểm G −9; trọng tâm tam giác 18 ( ) ( ) ABD Đường thẳng AB qua M 1; , đường thẳng BC qua N 11; − Viết phương trình cạnh AB biết diện tích hình chữ nhật cho 450 AB uuurPhân tích toán Gọi VTPT nAB = a; b Từ viết phương trình ( ) AB BC Diện tích hình chữ nhật tính thông qua tích khoảng cách từ G đến AB BC uuur Lời giải Gọi VTPT đường thẳng AB nAB = a; b Khi ( ) ( ) ( ( ) ) AB : a x − + by = 0, BC : b x − 11 − a y + = Ta có SABCD = AB AD = ⇔ ( ) ( ) d G , BC 3d G , AB = 450 −10a + 5b −20b − 10a = 100 ⇔ 2a2 + 3ab − 2b2 = a2 + b2 2 2 a +b a +b ( ( ) ) 2a2 + 3ab − 2b2 = a2 + b2  3ab = 4b2  ⇔ ⇔ 3ab = −4a2 2a2 + 3ab − 2b2 = −2 a2 + b2    ( ) Vì hình chữ nhật đãuucho song song với trục tọa độ nên ur có cạnhuukhông ur ab ≠ Từ suy nAB = 4; nAB = 3; − ( ) ( ) Vậy AB : 4x + 3y − = 0, AB : 3x − 4y − = Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AM , G ( 5; −1) trung điểm AM Điểm E ( 3;5) thoả mãn uuur uuur CE = AB Viết phương trình đường thẳng AB Phân tích toán Để dễ dàng phát thêm mối quan hệ yếu tố toán, ta dựng hình vuông BACD Khi M tâm hình vuông này, E trung điểm CD Gọi I giao điểm EG với AB Từ định lý Talet ta tìm tọa độ I Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta tính góc hai đường thẳng AB GE Áp dụng toán góc ta viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Theo định lý Talet ta có 19  x − = u u r u u u r  I  17  GI GA 1  = = ⇒ GI = EG ⇔  ⇒ I  ; − 3÷ GE GD 3   y + = −6 I  Gọi H trung điểm AB Theo định lý Talet ta có ( ) AI GA 1 = = ⇒ AI = DE = AH ⇒ HI = AH DE GD 3 Trong tam giác vuông HIE ta có · tan HIE = HE 2AH · = = ⇒ cosHIE = HI 10 AH  Ta có GE : 3x + y − 14 = Gọi AB : a  x −  ( ) cos AB, GE = 10 ⇔ 3a + b 10 a2 + b2 = 17  ÷ + b y + = Ta có 3 ( ) 10 a = ⇔ 3a2 + 2ab = ⇔   4a + 3b = Với a = 0, chọn b = Khi AB : y + = Với 4a + 3b = 0, chọn a = b = −4 Khi AB : 3x − 4y − 29 = Nhận xét Bài toán ta có làm theo hướng khác sau Đặt AB = AC = a Khi BC = a Ta có ME = a a , MG = , GE = 10 ( ) Suy a = Gọi H x; y trung điểm AB  39  Từ độ dài HG, HE suy H ( 3; −3) , H  ; − ÷  5 Từ có đường thẳng AB y + = 0, 3x − 4y − 29 = Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A D có AB = 2AD = CD, C 11; , đỉnh A thuộc đường thẳng ∆1 : x + y − = 0, đỉnh D thuộc đường thẳng ∆2 : 2x − y = Gọi M trung điểm AB Hình chiếu A, B lên CM H K Tìm tọa độ đỉnh A biết ( HK = ) 12 đỉnh D có tọa độ nguyên 20 Phân tích toán Giả thiết cho hình thang vuông có cạnh góc vuông liên hệ với Từ đặt AD = a ta tính độ dài đoạn thẳng liên quan Ta tìm cách lập phương trình a, tính CD Từ tìm D A Lời giải Đặt AD = a Suy AB = 2a, CD = 3a, MC = a 5, BC = a Ta tính a theo hai hướng sau: Hướng thứ Ta có · cosBMC = MB + MC − BC a2 + 5a2 − 2a2 = = 2.MB MC 2.aa 5 Vì MA = MB nên MH = MK = Do a = MB = MK = : = · 5 cosBMC Hướng thứ hai Ta có uuur uuuur uuuu r uuuu r uuur uuuur uuuu r uuuur 12 AB MC = AH + HK + K B MC = HK MN = a = 12a ) ( Mặt khác uuur uuuur uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuur uuur uuuu r AB MC = AB MA + AD + DC = AM MA + AB DC = −2a2 + 6a2 = 4a2 ) ( Từ suy 4a2 = 12a ⇒ a = Vì D ∈ ∆2 : 2x − y = ⇒ D ( m; 2m) Ta có ( ) ( ) CD = ⇔ 11 − m + − 2m m = = 81 ⇔ 5m − 38m + 56 = ⇔  m = 28  Vì D có tọa độ nguyên nên D ( 2; 4) Vì đường thẳng AD qua D vuông góc với CD nên AD : x = Ta có A giao điểm ∆1 AD nên A ( 2; 7) Bài 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi E trung điểm AB Đường thẳng qua E vuông góc với BD cắt BC F Biết D 1; , AF : 5x + 7y − 36 = 0, E thuộc đường thẳng ∆ : x + y + = Tìm tọa độ ( ) B, C biết đỉnh A có tọa độ nguyên Phân tích toán Mấu chốt toán dự đoán chứng minh AF ⊥ DE Từ viết phương trình DE Suy tọa độ điểm E Ta có A 21 giao điểm AF với đường tròn đường kính DE Từ tìm A, B, C Lời giải Trước hết ta chứng minh AF ⊥ DE Thậy vậy, ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur AF DE = AB + BF DA + AE uuur uuur uuur uuur = AB AE + BF DA = BE BA − BC BF (1) ( )( ) Gọi I giao điểm BD với EF Vì · · · · DAE = DIE = 900 DIF = DCF = 900 nên tứ giác DAEI , DICF nội tiếp Suy BE BA = BI BD = BC BF (2) ( ) Từ (1) (2) suy AF ⊥ DE Suy DE : 7x − 5y + 33 = ⇒ E −4; Khi đường tròn đường kính DE có phương trình 2  3  9 37 C : x + ÷ + y − ÷ = 2     Tọa độ đỉnh A nghiệm hệ phương trình ( ) 5x + 7y − 36 =  2  3  9 37 ⇔ x + + y − =  ÷  ÷  2  2   36 − 7y x = ⇔  37y − 417y + 968 =  ( )  36 − 7y x=   121 y = 8, y =  37 ( ) Vì A có tọa độ nguyên nên A −4; Vì E trung điểm AB nên B −4; − Ta uuur uuur xC + = BC = AD ⇔ ⇒ C 1; −  có yC + = ( ( ) ( ) ) Vậy B −4; − , C 1; − C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 22 I KẾT LUẬN - Bài toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nói chung đề thi đại học nói riêng năm gần thuộc nhóm câu hỏi nâng cao Để giải ngững toán này, việc nắm vững kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng, học sinh phải biết vận dung tính chất túy hình học phẳng vào toán Vì giáo viên cần phải giúp cho học sinh định hướng cách giải toán thông qua hệ thống tập - Trong đề tài đưa số toán điển hình minh họa cho việc định hướng cách giải cho học sinh, qua giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học,đông thời phát triển tư học toán tạo niềm vui hứng thú học toán II KIẾN NGHỊ Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải toán Đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh khối 10 học sinh ôn thi vào trường đại học cao đẳng Thanh hóa, ngày 10 tháng năm 2016 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Thị Tú Lệ 23 ... thẳng Từ sử dụng toán khoảng cách phương pháp tham số hóa để giải toán Một số tính chất hình học phẳng vận dụng vào toán phương pháp tọa độ mặt phẳng Tính chất Các hệ thức lượng tam giác vuông Tính... bày số toán hình học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vuông, hình thang vuông, hình chữ nhật hình vuông - Ở toán có phân tích toán đưa hướng giải để giúp em học sinh tiếp cận toán cách dễ... mức độ trung bình - Kết khảo sát số lớp phần giải tập toán phần hình giải tích mặt phẳng qua tìm hiểu giáo viên dạy môn toán, có khoảng 10% học sinh hứng thú với toán hình giải tích mặt phẳng