Vận dụng tương tự để giải quyết một số bài toán hình học không gian

A ĐẶT VẤN ĐỀ : Phát triển lực trí tuệ cho học sinh nhiệm vụ, mục đích công tác giảng dạy, mong muốn giáo viên học sinh, đặc biệt môn toán trường trung học phổ thông Toán học nói chung, hình học nói riêng mảnh đất màu mỡ khai thác để phát triển tư duy, tương tự hóa thao tác tư quan trọng cần rèn luyện Tương tự hóa hiểu trình suy nghĩ phát giống hai đối tượng để từ kiện biết đối tượng dự đoán kiện chưa biết tương ứng với đối tượng Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học không gian, với sở mặt phẳng phận không gian ta trọng tách phận phẳng khỏi không gian hình vẽ (các phần tách thường thiết diện, giao tuyến….) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến toán hình học phẳng để từ giải toán ban đầu Trong trình giảng dạy nhận thấy học sinh e ngại học môn hình học không gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính mà có nhiều học sinh học yếu môn học này, phần giáo viên gặp không khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Để giải tập hình học không gian cách thành thạo yếu tố quan trọng biết kết hợp kiến thức hình học không gian hình học phẳng, phải tìm mối liên hệ chúng; tương tự HHP HHKG, giúp học sinh ghi nhớ lâu kiến thức hình học, vận dụng tốt kiến thức học Vì để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 chọn đề tài “VẬN DỤNG TƯƠNG TỰ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN" Việc sử dụng phương pháp giải toán hình học phẳng để giải toán hình học không gian tương tự mở rộng số toán phẳng sang toán không gian giúp hoạt động giảng dạy học tập môn hình học đạt hiệu cao B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng q p cắt I Một đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng q p Một đường thẳng di động song song với ∆ cắt hai đường thẳng q, p A B Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB Nhận xét: Bài toán có phương pháp giải đơn giản kết quả: Quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB đường thẳng IM M trung điểm đoạn thẳng AB (hình 1) p A M I B q Hình Bây ta xét toán tương tự toán không gian sau: Bài toán 1': Trong không gian, cho hai nửa mặt phẳng (P) (Q), có giao tuyến đường thẳng d đường thẳng ∆ cắt (P) (Q) Một đường thẳng di động song song với ∆ cắt (P) (Q) A B Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB Giải Ta xét trường hợp đặc biệt đường thẳng di động song song với ∆ nằm mặt phẳng (R) chứa đường thẳng ∆ cắt đường thẳng d I Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) (Q) theo hai đường thẳng q p Trong mặt phẳng (R) quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB đường thẳng IM hình vẽ 2) Cho mặt phẳng (R) di động song song với đoạn thẳng IM vạch nửa mặt phẳng (d,M) kết toán Tóm lại, quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB nửa mặt phẳng chứa đường thẳng d trung điểm đoạn thẳng PQ PQ d I A p ∆ B M q R Hình Bài toán 2: Trong mặt phẳng, chứng minh độ dài cạnh dài tam giác khoảng cách lớn hai điểm nằm cạnh tam giác Giải A A M N C B H C B N Hình Hình Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh tam giác ABC Ta xét trường hợp đặc biệt: + Nếu M N trùng với hai điểm hai đỉnh tam giác ABC suy MN ≤ max{AB, BC, AC} + Nếu M N trùng với đỉnh tam giác Giả sử M trùng với A - Nếu N thuộc cạnh AB AC hiển nhiên - Nếu N thuộc BC: Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC Nếu N thuộc đoạn thẳng BH ⇒ MN ≤ AB Nếu N thuộc đoạn thẳng CH ⇒ MN ≤ AC ⇒ MN ≤ max{AB, BC, CA} + Nếu M N không trùng với đỉnh tam giác Giả sử M ∈ AB, N ∈ AC Nối B với N (hình 3) Như suy MN ≤ max{AB, BN, NA} ≤ max{AB, NB, CA} ≤ max{AB, BC, CA} Tóm lại ta có: MN ≤ max{AB, BC, CA} Bây ta xét toán tương tự toán không gian sau: Bài toán 2': Trong không gian, chứng minh cạnh dài tứ diện khoảng cách lớn hai điểm nằm tứ diện Nếu toán trực tiếp giải nói toán khó học sinh phổ thông Tuy nhiên ta nhìn toán góc độ đơn giản ta dễ thấy có toán hình học phẳng tương tự với toán coi hình tứ diện hình học không gian tương tự với tam giác hình học phẳng A M N B D P Q C Hình Giải Thật vậy, M, N nằm tứ diện ABCD suy M nằm mặt tứ diện Giả sử M ∈ (ABC), N ∈ (ACD) (hình 3) Đường thẳng AM cắt BC Q, đường thẳng AN cắt CD P Áp dụng toán 2, ta có: MN ≤ max{AQ, AP, PQ} ≤ max{AB, BC, CA, PQ, AP} ≤ max{AB, BC, CA, BD, CD, AD} Vậy ta có: MN không lớn cạnh lớn tứ diện nên cạnh dài tứ diện khoảng cách lớn hai điểm nằm tứ diện (đpcm) Bài toán 3: Trong mặt phẳng, cho góc xOy điểm M nằm góc đó; ∆ đường thẳng qua M cắt Ox, Oy A B Xác định vị trí đường thẳng ∆ để diện tích tam giác OAB đạt giá trị lớn Giải: x A P M O Q B y Hình Qua M ta kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy Q; song song với Oy cắt Ox P (hình 6) Vì M cố định nên P Q cố định Do PM//Oy QM//Ox suy ra: OP BM BQ OP OQ BQ OQ OB ⇒ = = + = + = = AO AB OB OA OB OB OB OB Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: OP OQ  OP OQ  ⇒ OA.OB ≥ 4.OP.OQ + 1=   ≥4 OA OB  OA OB  Mặt khác, SOAB = OA.OB.sinO ≥ 2.OP.OQ.sinO = 4SOPQ Do SOPQ không đổi nên: maxSOAB = 4.SOPQ Dấu có OP OQ ⇔ AB//PQ = OA OB Từ ta có cách dựng: Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox Oy, cắt Oy Ox P Q Qua M kẻ đường thẳng ∆ song song với PQ ∆ đường thẳng cần dựng Nhận xét: Qua lời giải ta thấy bước quan trọng kẻ thêm hình (MP//Oy MQ//Ox) tìm mối liên hệ diện tích tam giác OAB diện tích tam giác cố định OPQ Khai thác phương hướng vậy, ta giải toán không gian sau: Bài toán 3': Trong không gian, cho góc tam diện Oxyz điểm M nằm góc tam diện; (α) mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Xác định vị trí mặt phẳng (α) để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn Giải Qua M kẻ đường thẳng song song với tia Ox, Oy, Oz; cắt mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) điểm A', B' C' (hình 4) Do M cố định nên điểm A', B' C' cố định O B' A' A R C C' z x Q M P B y Hình Gọi P, Q, R giao điểm đường thẳng AM với OA', CM với OC', BM với OB' Suy P ∈ BC, Q ∈ AB, R ∈ AC Lấy điểm A", B", C" đối xứng với điểm A', B', C' qua điểm M Trên tia Ox, Oy, OZ lấy điểm A 0, B0, C0 cho: OA0 = MA", OB0 = MB", OC0 = MC" VOA'B 'C ' OA0 OB0 OC MA' MB' MC ' = = VOABC OA.OB.OC OA OB OC MA' MB' MC ' PM MK MQ Mặt khác, ta có OA + OB + OC = AP + BK + CQ = ⇒ Áp dụng bất đẳng thức Cô si: MA' MB ' MC '  MA' MB' MC '  + + 1=  (*)  ≥ 27 OA OB OC  OA OB OC  Do M cố định suy ra: MA', MB', MC' không đổi Từ (*) ta có: OA.OB.OC ≥ 27.MA'.MB'.MC' Suy ra: VOABC ≥ VOA'B'C' ⇒ Min VOABC = 27.VOA'B'C' ⇔ MR MP MQ MA' MB' MC ' = = = ⇔ = = AR BP CQ OA OB OC ⇔ M trọng tâm tam giác ABC Từ ta có cách dựng hình toán: Gọi ∆ đường thẳng qua M song song với Ox cắt mặt phẳng (Oyz) A' Gọi (α) mặt phẳng chứa Ox M cắt mặt phẳng (Oyz) theo đường thẳng ∆ ' ⇒ A ∈ ∆ ' Trên ∆ ' lấy điểm P cho A' nằm O R thõa mãn: OP = OA' Đường thẳng MR cắt Ox A Dựng điểm B, C tương tự với điểm A Theo chứng minh ta dựng mặt phẳng (α) qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn Theo cách dựng mặt phẳng (α) (đpcm) Bài toán 4: Trong mặt phẳng, tìm điểm từ kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn cho trước vuông góc với Nhận xét: Đây toán đơn giản dễ dàng ta có kết quả: Quỹ tích điểm thỏa mãn toán đường tròn đồng tâm với đường tròn cho có bán kính R.( với R bán kính đường tròn cho) Với kết ta dự đoán kết toán sau: Bài toán 4': Trong không gian, tìm quỹ tích điểm từ dựng đến mặt cầu cho trước ba tiếp tuyến đôi vuông góc Dự đoán: quỹ tích mặt cầu đồng tâm với mặt cầu cho Để chứng minh dự đoán ta phải chứng minh M điểm thuộc quỹ tích OM không đổi (O tâm mặt cầu cho) Giải Gọi M điểm thuộc quỹ tích toán; MA, MB, MC ba tiếp tuyến từ M đến mặt cầu cho trước (O;R) (hình 5) Ta có: MA = MB = MC MA ⊥ MB, MB ⊥ MC, MC ⊥ MA Do tam giác ABC tam giác đường vuông góc AI hạ từ A xuống MO đường cao ∆ ABC Đặt: MA = a; OA = R, ta có: AB2 = MA2 + MB2 = 2a2 ⇒ AB = BC = CA = a ⇒ BI = AB = AB = a 3 Mặt khác tam giác vuông BMO ta có: BM.BO = BI.BO ⇒ MO = BM BO a.R R = = BI a Vậy điểm M thuộc quỹ tích phải nằm mặt cầu (O; R ) Trong toán toán ta vận dụng sụ tương tự từ lời giải toán hình học phẳng để tìm lời giải toán hình học không gian Tuy nhiên có toán tương tự lời, phương pháp giải lại hoàn toàn khác nhau, hình học phẳng lại đơn giản chuyển sang hình học không gian khó Chính lẽ mà vận dụng tương tự hình học phẳng hình học không gian để giải toán hình học không gian cung cấp thêm phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải toán áp dụng cho số toán hình học không gian Nếu giải toán hình học không gian nhờ vào tương tự với toán tương tự hình học phẳng đòi hỏi học sinh có kiến thức vững vàng hình học phẳng, có trí tưởng tượng hình học không gian tốt trình suy nghĩ từ toán hình học phẳng đề xuất toán tương tự hình học không gian sau tìm cách giải toán đòi hỏi học sinh kiến thức cần thiết mà cần em có khả nhìn nhận vấn đề góc độ nhiều phương diện khác Muốn thực điều đo trước tiên phải nắm hiểu yếu tố, mối quan hệ tương tự có tính chất hình học phẳng hình học không gian Sau sử dụng kiến thức hình học không gian áp dụng tính chất tương tự lời giải toán hình học phẳng để giải toán đặt ra, nhiều toán đặt lại khó Trong điều kiện giảng dạy người thầy giáo khai thác vấn đề tạo điều kiện thuận lợi cho phát triển lực trí tuệ đặc biệt lực tương tự hóa học sinh học hình học không gian Bài toán 5: Trong mặt phẳng, ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm điểm chân đường trung tuyến 1/3 chiều dài đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Đây toán hình học phẳng, ta khai thác yếu tố "đường trung tuyến" Nhận xét: Nếu ta nhìn đường trung tuyến góc độ: Đường trung tuyến đường nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện ta có khái niệm đường trọng tuyến tứ diện đường nối đỉnh tứ diện với trọng tâm mặt đối diện Khi ta có toán tương tự: Bài toán 5': Trong không gian, bốn đường trọng tuyến hình tứ diện đồng quy điểm, điểm chân đường ¼ độ dài đường Giao điểm bốn đường trọng tuyến tứ diện gọi trọng tâm tứ diện Ta lại xem yếu tố "đường trung tuyến" tam giác góc độ tương tự với mặt "trung tuyến" tứ diện (mặt trung tuyến tứ diện mặt phẳng chứa cạnh qua trung điểm cạnh đối diện tứ diện) Khi ta có toán tương tự với toán sau: Bài toán 5": Trong không gian, sáu mặt trung tuyến tứ diện đồng quy điểm Bây ta xem "đường trung tuyến" tam giác góc độ khác nữa: Coi tương tự với đường nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ diện lúc ta có toán sau: Bài toán 5"': Trong không gian, ba đường thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện tứ diện đồng quy điểm Nhận xét: Vậy từ toán đường trung tuyến tam giác, theo góc độ ta có toán tương tự 5', 5", 5"' Bây ta xét toán đường cao tam giác Bài toán 6: Trong mặt phẳng, ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm trực tâm tam giác Nhận xét: Nếu tứ diện ta gọi đường cao tứ diện đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đối diện tứ diện, đường cao tam giác coi tương tự với đường cao tứ diện Ta có toán tương tự sau: Bài toán 6': Trong không gian, bốn đường cao tứ diện trực tâm đồng quy điểm Dưới góc độ khác ta nhìn đường cao tam giác tương tự với mặt cao tứ diện trực tâm (mặt cao tứ diện mặt phẳng chứa cạnh tứ diện vuông góc với cạnh đối diện Chỉ tồn với tứ diện trực tâm) ta có toán tương tự Bài toán 6": Trong không gian, sáu mặt cao tứ diện trực tâm đồng quy điểm Nhận xét: Bài toán tam giác Bài toán 6' 6" trường hợp tứ diện trực tâm Vậy ta có kết luận sau: "Trong không gian, bốn đường cao, sáu mặt cao tứ diện trực tâm đồng quy điểm (Điểm gọi trực tâm tứ diện) Từ toán cho thấy kết tương tự "giả thiết", dạy học người thầy cần làm rõ cho học sinh biết tính chất đó, kết tương tự sai, người thầy cần điều chỉnh đường suy luận tương tự cho học sinh theo hướng đắn, hợp lí theo tính chất toán học, giúp học sinh tìm cách bác bỏ giả thuyết tương tự sai Bây giờ, ta xét bất đẳng thức liên hệ yếu tố tam giác qua toán sau Bài toán 7: Gọi ha, hb, hc; ma, mb, mc; r; R độ dài đường cao; đường trung tuyến; bán kính đường tròn nội tiếp; bán kính đường tròn ngoại tiếp ma mb mc R tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng: h + h + h ≤ + r a b c Giải Gọi A1, B1, C1 O trung điểm cạnh BC, CA, AB tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác A C1 ma B1 O B C A1 m OA OA a Ta có: AA1 ≤ OA + OA1 ⇒ h ≤ h + h a a a Tương tự ta có: mb OB OB1 ≤ + hb hb hb mc OC OC1 ≤ + hc hc hc (1) (2) (3) Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có: ma mb mc OA OB OC OA1 OB1 OC1 + + ≤ + + + + + hb hc hb hc hb hc  1  OA OB OC1 ma mb mc + + ≤ R  + + ÷+ + + hb hc hb hc  hb hc  1 a b c a+b+c a+b+c mà h + h + h = 2S + 2S + 2S = 2S = (a + b + c ).r = r a b c 2SOBC 2SOCA 2SOAB S +S +S OA OB OC + + = 2Sa + 2Sb + 2Sc = OBC OCA OAB = hb hc S ABC ABC ABC ABC a b c ma mb mc R Vậy ta có: h + h + h ≤ + r a b c ⇔ Đẳng thức xảy O trọng tâm cảu tam giác ABC ⇔ ABC Từ toán ta suy nghĩ để tìm bất đẳng thức tương tự tứ diện: để sử dụng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OA 1, OB1, OC1 tam giác phải tương tự với trục tam giác mặt tứ diện Khi ta có AA1 tam giác phải tương tự với khoảng cách từ đỉnh đến tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện với đỉnh Ta có toán tương tự sau: Bài toán 7': Gọi ha, hb, hc, hd ; ma, mb, mc, md; r; R độ dài đường cao; đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện tứ diện; bán kính mặt cầu nội tiếp; bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác nhọn m m m m R a b c d ABC Chứng minh rằng: h + h + h + h ≤ + r a b c d Giải A O B D A1 C Gọi O, A1, B1, C1, D1 tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên BCD, ACD, ABD, ABC tứ diện ABCD AA1 = ma, BB1 = mb, CC1 = mc, DD1 = md m OA OA a Ta có: AA1 ≤ OA + OA1 ⇒ h ≤ h + h a a a Tương tự ta có: mb OB OB1 ≤ + hb hb hb mc OC OC1 ≤ + hc hc hc md OD OD1 ≤ + hd hd hd (1) (2) (3) (4) Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có: ma mb mc md OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1 + + + ≤ + + + + + + + hb hc hd hb hc hd hb hc hd  1 1  OA OB OC1 OD1 ma mb mc md + + + ≤ R  + + + ÷+ + + + hb hc hd hb hc hd  hb hc hd  1 1 OA1 OB1 OC1 OD1 mà h + h + h + h = r h + h + h + h = a b c d a b c d ma mb mc md R Suy ra: h + h + h + h ≤ + r (đpcm) a b c d ⇔ Nhận xét: Từ toán ta thấy ta xét tính tương tự: đường trung tuyến tam giác tương tự đường trọng tuyến tứ diện cho ta toán tương tự không không gian, ta nhìn vào cách giải toán cho ta kết toán tương tự 7' Thông thường ta nhìn vào chất vấn đề, tạm thời bỏ qua yếu tố bên dễ đưa ta đến kết tương tự Vì dạy học, người thầy cần hướng dẫn học sinh đề xuất 10 giải toán tương tự với toán hình học phẳng biết phải dựa vào yếu tố tương tự hình học phẳng hình học không gian mà phải quan tâm đến cách giải toán, nhìn vào chất vấn đề ta thu kết tốt Tương tự làm vậy, ta có số toán khái niệm tương tự Bài Hình học phẳng toán Ba đường trung trực ứng với ba cạnh tam giác đồng quy điểm Tồn đường tròn ngoại tiếp tam giác Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng d: Ax+By+C=0 là: d (M , d ) = 10 Ax0 + By0 + C A +B 2 d (M , d ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C P M /S( I , R ) = MI − R Gọi a, b, c, R độ dài Cho góc tam diện Oxyz, ba góc cạnh BC, CA, AB bán kính phẳng đỉnh α, β, γ Các góc đường tròn ngoại tiếp tam giác nhị diện đối diện với mặt sin α sin β sin γ ABC ta có: = = A, B, C ta có: a b c sin A 12 Sáu mặt phẳng trung trực ứng với sáu cạnh tứ diện đồng quy điểm Tồn mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 là: Khái niệm phương tích điểm Khái niệm phương tích điểm M đường tròn (I,R) M mặt cầu S(I,R) P M / ( I , R ) = MI − R 11 Hình học không gian = sin B = sin C = 2.R a = b +c -2bc.cosA b2=a2+c2 – 2ca.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC Trong tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy điểm điểm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 Độ dài đường trung tuyến m a qua đỉnh A tam giác ABC xác định theo độ dài cạnh a, b, c tam giác ABC sau: ma2 = ( b2 + c2 ) − a sin A sin B sin C cosα = cosβ.cosγ+sinβ.sinγ.sinA cosA = sinB.SinC.cosα-cosB.cosC Trong tứ diện bốn đường trọng tuyến đồng quy điểm điểm chia đường trọng tuyến theo tỉ lệ 3:1 Độ dài đường trọng tuyến qua đỉnh A tứ diện ABCD tính theo độ dài cảu cạnh tứ diện sau: ma2 = ( a + b2 + c ) − ( d + e2 + f ) đó: a, b, c độ dài cạnh tứ diện qua đỉnh A d, e, f độ dài cạnh tứ diện không qua A 11 13 14 Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm đường phân giác góc tam giác ứng với đỉnh chia cạnh đối diện thành hai phần có độ dài tương ứng tỉ lệ với độ dài hai cạnh góc Tồn đường tròn nội tiếp tam giác Gọi AA1, BB1, CC1, H, M, N, P đường cao, trực tâm, trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC I, J, K trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CH Khi A1, B1, C1, M, N, P, I, J, K nằm đường tròn (đường tròn Ơle) Các mặt phẳng phân giác góc nhị diện tương ứng với cạnh tứ diện đồng quy điểm moõi mặt phẳng phân giác góc nhị diện ứng với cạnh chia cạnh đối diện làm hai phần có độ dài tương ứng tỉ lệ với diện tích hai mặt góc nhị diện Tồn mặt cầu nội tiếp tứ diện Trong tứ diện có cạnh đối diện vuông góc với Gọi AA1, BB1, CC1, DD1, đường cao tứ diện ABCD gọi H giao điểm đường cao Gọi M, N, P, Q trọng tâm mặt tứ diện; gọi I, J, K, F thuộc đoạn thẳng HA, HB, HC, HD cho: HI HJ HK HF = = = = HA HB HC HD 15 16 12 điểm: A1, B1, C1, D1, M, N, P, Q, I, J, K,F nằm mặt cầu Một đường thẳng d cắt hai cạnh Một mặt phẳng (α) cắt cạnh AB, AC tam giác ABC lần AB, AC, AD tứ diện ABCD lượt B', C' Ta có: B', C', D' Ta có S ABC AB AC = S AB 'C ' AB ' AC ' VABC AB AC AD = VAB 'C ' AB ' AC '.A D ' Một điểm M nằm tam giác ABC, đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác A', B', C' Ta có Một điểm M nằm tứ diện ABCD, đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt tứ diện A', B', C', D' Ta có: MA ' MB ' MC ' + + =1 AA ' BB' CC' MA ' MB ' MC ' MD ' + + + =1 AA ' BB' CC' DD ' 12 C.KẾT LUẬN Trên giải số mối quan hệ tương tự nhỏ hình học phẳng hình học không gian thông qua số toán cụ thể, thể rõ tương tự tam giác tứ diện Qua việc khai thác mối quan hệ hình học phẳng hình học không gian giúp cho em học sinh nắm bắt kiến thức hình học không gian cách nhanh chóng, vững vàng học nhứng kiến thức hình học phẳng lớp có nhìn mối quan hệ hình học phẳng hình học không gian thể thống nhất, biện chứng Để hiểu sâu vấn đề này, việc ứng dụng việc giảng dạy học tập mong nhận ý kiến đóng góp rút kinh nghiệm đồng nghiệp để viết thêm đầy đủ, trở thành tài liệu tham khảo tốt phục vụ cho việc giảng dạy giáo viên kích thích hứng thú học tập, tìm tòi học sinh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Trần Ngọc Thắng 13 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải, Toán bồi dưỡng học sinh THPT HH 10, 11 ,NXB Hà Nội 2001 [2] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thông, NXB Giáo dục 199 [3] Nguyễn Đễ - Nguyễn Việt Hải, Các toán diện tích đa giác, NXB Hải Phòng [4] Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo Phương, Các toán chọn lọc hệ thức lượng tam giác tứ diện, NXB Giáo Dục 2001 [5] Văn Như Cương, Hình Học 10, 11, Hình hộp tứ diện, NXB Giáo Dục [6] Tài liệu tìm hiểu mạng 14 15 ... sang hình học không gian khó Chính lẽ mà vận dụng tương tự hình học phẳng hình học không gian để giải toán hình học không gian cung cấp thêm phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải toán áp dụng. .. quan hệ tương tự có tính chất hình học phẳng hình học không gian Sau sử dụng kiến thức hình học không gian áp dụng tính chất tương tự lời giải toán hình học phẳng để giải toán đặt ra, nhiều toán. .. cho số toán hình học không gian Nếu giải toán hình học không gian nhờ vào tương tự với toán tương tự hình học phẳng đòi hỏi học sinh có kiến thức vững vàng hình học phẳng, có trí tưởng tượng hình