Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 trường THPT quan sơn 2 với chuyên đề sử dụng phương pháp véctơ để giải một số bài toán hình học không gian

Trong cải cách giáo dục phổ thông, một trong các nhiệm vụ cơ bản củachương trình hình học là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vàoviệc nghiên cứu một số hình hình học, một số

Nội dung Trang

Toán học là một môn khoa học công cụ Tuy nó không trực tiếp sản xuất ravật chất nuôi sống con người nhưng là một môn khoa học công cụ nên bất kỳmột môn khoa học nào cũng cần phải có Toán học.

Để học tốt bộ môn Toán học không phải là chuyện đơn giản Có ngườihọc rất nhiều, rất chăm nhưng chỉ giải được các bài toán thông thường, đơn giản,quen thuộc mà thôi Còn đứng trước một bài toán mới thì rất lúng túng, gặpnhiều khó khăn Phải chăng tư duy toán học còn hạn chế chưa chịu khó suynghĩ, chưa định hướng, linh hoạt áp dụng kiến thức, định lí vào giải toán

Trong cải cách giáo dục phổ thông, một trong các nhiệm vụ cơ bản củachương trình hình học là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vàoviệc nghiên cứu một số hình hình học, một số quan hệ hình học Việc sử dụngvectơ để giải bài toán hình học” Chính vì vậy, việc giáo viên hướng dẫn họcsinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xuthế cải cách giáo dục hiện nay

Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mớichỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) và phương pháp toạ độ (lớp12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng

Hơn nữa, năm học 2015- 2016 tôi được phân công dạy lớp 11A1 có tiết tựchọn, được phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 qua thực tế giảngdạy, tôi thấy có một số học sinh tư duy tốt Với tư tưởng không chỉ dạy kiếnthức cho các em mà còn dạy hình thành ở các em phương pháp suy luận, khảnăng vận dụng, kết nối các kiến thức để đưa ra phương pháp giải mới cho cácbài toán Giáo viên phải thực hiện điều đó và hướng dẫn học sinh ngay trong các

tiết học tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Dạy học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn 2 với chuyên đề: “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian”

2 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn :

- Trang bị cho học sinh giải các bài toán hình học không gian bằng phương phápvéc tơ

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó giúp họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán

- Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn môn toán của nhà trường

- Phát triển ở học sinh những năng lực phẩm chất trí tuệ góp phần tích cực vàoviệc giáo dục tư tưởng đạo đức thẩm mỹ của người công dân.

3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh khối 11trường THPT Quan sơn 2

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của học sinh thông quatrao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận:

Một trong những phương thức phát triển năng lực tư duy sáng tạo tronggiải toán là rèn luyện khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của hệ thốngkiến thức Toán được học trong nhà trường Trong chương trình toán học phổ

thông, phương pháp vectơ đóng một vai trò quan trọng Đó là một công cụ khá

mạnh và hữu hiệu để giải một số bài toán hình học một cách nhanh gọn và dễ

hiểu Xét về mặt khoa học, phương pháp vectơ khá trừu tượng, có nhiều công

thức khó nhớ và nhiều bài toán khó hiểu Cái khó hơn nữa là việc chuyển các sựkiện hình học của bài toán được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang

ngôn ngữ vectơ và ngược lại Tuy nhiên, đây là một chủ đề khá “lôi cuốn”đối

với những học sinh đam mê toán học, bởi nó đòi hỏi người học phải tư duy, tìmtòi và sáng tạo

Việc nghiên cứu đề tài này là thực hiện yêu cầu của việc đổi mới phươngpháp dạy học nói chung, dạy học môn Toán trong chương trình Trung học phổthông nói riêng Trong đó, việc phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo củahọc sinh trong quá trình học tập có ý nghĩa rèn luyện các em trở thành nhữngcon người năng động, có khả năng chủ động giải quyết được các vấn đề đặt ratrong học tập cũng như trong cuộc sống sau này

2 Thực trạng nghiên cứu:

Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ

có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ Khái niệm trục toạ độ, hệ trụctoạ độ học sinh đã được làm quen trong chương trình toán cấp 2 Trong chươngtrình hình học THPT, Ban cơ bản: Ở lớp 10 học sinh làm quen với phương phápvéctơ, sau đó dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng Sang lớp 11 họcsinh được làm quen với véctơ trong không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứuquan hệ vuông góc trong không gian Ở lớp 12 vectơ được sử dụng để nghiêncứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ độ trong không gian.Nhưng chưa đi sâu vào việc trình bày lời giải các bài toán hình học không gianbằng phương pháp véc tơ Một số định lí đóng vai trò “bản lề ” trong việcchuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí về hai véctơ cùngphương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trongmặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳngtrong không gian

Một số người cho rằng giờ học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi là chỉviệc ra bài tập cho học sinh ngồi làm, mục đích là rèn luyện “kĩ năng giải toáncho học sinh” Việc dạy tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi không hoàn toàn nhưvậy Nếu trong các tiết học theo phân phối chương trình, thầy và trò cần trao đổi,truyền đạt các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa để học sinh thu lượm đượckiến thức và kỹ năng giải toán một cách tốt nhất thì trong giờ học tự chọn, bồidưỡng học sinh giỏi, người thầy cần định hướng giúp học sinh tìm ra nhữngphương pháp giải mới, hay nhằm phát huy tính sáng tạo, khả năng học tập ở các

em Để làm được điều này, người thầy cần phải chuẩn bị bài giảng một cáchcông phu và tổ chức các hoạt động dạy học tích cực để học sinh có thể hiểu sâuhơn các kiến thức cơ bản, hình thành kỹ năng giải toán và kích thích niềm yêutoán

Việc hướng dẫn các em nắm chắc kiến thức cơ bản, biết liên kết, móc nốicác bài toán nhằm giúp các em hiểu sâu và nhớ lâu, từ đó mở rộng bài toán, đitìm kiến thức mới Đó chính là cách tốt nhất để hình thành năng lực học toáncho các em

Việc hình thành cho học sinh phương pháp học và tự học Toán là nhiệm

vụ của người giáo viên Toán Cụ thể là dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự đitìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tínhchân thực của bài toán , giúp các em có trí tưởng tượng phong phú, lập luậnlôgic, trình bày khoa học và một thế giới quan duy vật biện chứng

Trường THPT Quan sơn 2 là trường ở vùng cao biên giới phía tây tỉnhThanh Hóa Hiện nay, chất lượng học tập của đa số học sinh còn thấp Các emchưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh Nhà trườngchưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhậnthức phù hợp với từng đối tượng học sinh Học sinh hổng kiến thức từ lớp dướirất lớn Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới Đặcbiệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa Cho nênviệc nâng cao chất lượng đại trà là nhiệm vụ trong tâm của nhà trường Việc bồidưỡng học sinh giỏi được chú ý nhưng chưa được đề cao, chưa tạo được hứngthú với nhiều học sinh

Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó Đội ngũ giáo viên của trường đang trựctiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng

đó Theo tôi, đây là vấn đề hạn chế đang tồn tại, nếu ta không có giải pháp hợplí

- Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo

hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản

3.2 Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ:

Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra

3.3.1 Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của giáo viên:

- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá, tự chọn với các bài tập ở mức độ vừa phải Giáo viên đưa ra phương pháp giải,

ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bàitoán Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ởmức độ đơn giản

- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh kháhơn ở mức độ những bài toán cao hơn

3.3.2.Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của giáo viên:

Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của họcsinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tănglên

3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp:

Chúng ta biết rằng không có một chìa khoá vạn năng nào có thể dùng để

mở khoá “giải” mọi bài toán Vì vậy trong đề tài này tôi đã phân chia, sắp xếpcác bài tập thành những dạng khác nhau, và trong mỗi dạng đó tôi cố gắng lựa

chọn các ví dụ, bài tập điển hình nhất, qua đó nhằm rèn luyện cho học sinh các

kĩ năng biến đổi vectơ đơn giản làm tiên đề cho các kĩ năng chuyển các sự kiệncủa bài toán diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ vàngược lại

Các bài toán minh hoạ cho các dạng toán:

Dạng 1 Phần quan hệ song song:

Bài toán 1 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi

và chỉ khi              AB kCD              

Bài toán 2 Cho hai a b , không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi đó :AB//(P)               AB xa yb                             

Bài toán 3 Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).

Theo bài ra:

+M là trọng tâm của tam giác

N

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

DM  DA DA

(1)+ N là trung điểm B1C1:  1 1

1 2

DN  DB DC

(2)+MN / / DA C  1 1  MN xDC1 yDA1

N

M

Suy ra: 1 1

1 2

AM  AA

(1)

+ N là trung điểm CC1:  1

1 2

AN  AC AC

(2)+ G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

x y

Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Giả sử E là tâm của mặt ABB 1 A 1 ;

N, I lần lượt là trung điểm của CC 1 và CD Chứng minh : EN//AI.

Bài 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA 1 và ABC Chứng minh : MN//(AA 1 C 1 ).

Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB 1 , CC 1 , AA 1 G là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1.

Bài toán 5 Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : AB              AB                AB2

Bài toán 6 Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương a, điểm A thuộc

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng xa yb m  2

.Nếu xa yb  0 thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m

a ; đường thẳng d 2 đi qua A 2 và có véc tơ chỉ phương a2

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.

Phương pháp giải:

+ Góc giữa hai đường thẳng : 1 2

os

.

a a c

Ví dụ 4: Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O

và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu củađoạn thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng 5

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh

SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính thể tích củahình chóp

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở             SA a SB b SC c                              ,                              ,                

Ta tính độ dài đường cao của hình chóp SO.

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

Lời giải:

SM CN c

Ví dụ 7: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh

SA vuông góc vuông góc với đáy, SA  3 Mặt phẳng   song song với cácđường thẳng SB và AC, mặt phẳng   song song với các đường thẳng SC và

AB Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng   và  

Lời giải:

Chon hệ véc tơ cơ sở

             AS a AB b AC c                             ,                              ,                

.Giả sử m n , là các véc tơ bất kì khác 0,

tương ứng vuông góc hai mặt phẳng  

m n c

Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1 BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc, biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.

Dạng 3 Phần quan hệ vuông góc:

Bài toán 9 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi  AB CD  0.

Bài toán 10 Cho hai a b , không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không

thuộc (P) Khi đó :AB(P) . 0

Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M và N là các điểm thuộc các

đường chéo BA1 và CB1 sao cho:

1 1

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A

Vẽ SO(ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.

Chứng minh: DC(SOE)).

4 Hiệu quả của sáng kiến:

Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi hướng dẫn học sinh sử dụngvéc tơ để giải các bài toán hình học phẳng, các bài toán về đại số thì học sinhvận dụng rất tốt và hứng thú Từ thực trạng trên trong quá trình dạy lớp 11 tôi đãmạnh dạn dần dần hình thành phương pháp bằng cách phát triển từ bài toán cơbản đến bài toán ở mức độ khó hơn trong quá trình giảng dạy chính khoá cũngnhư dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông,trang bị thêm phương pháp giải toán hình học không gian cho học sinh, để khiđứng trước bài toán hình học không gian học sinh có thể tự tin lựa chọn mộttrong ba phương pháp để giải

Tôi nhận thấy, việc khai thác phương pháp véc tơ để giải các bài hình họckhông gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiềucách giải khác nhau khi đứng trước bài toán hình học không gian là điều rất cầnthiết Hơn nữa, phương pháp này không đòi hỏi học sinh phải tư duy trực quancao, mà chỉ cần học sinh nắm vững một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa

và một số kỹ năng biến đổi thuần tuý về mặt đại số thì có thể vận dụng phươngpháp để giải các bài hình học không gian một cách đơn giản và nhanh chóng Từ

đó giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài toán khó cũng như công việc khótrong cuộc sống, hình thành ở bản thân các em tính kiên trì sáng tạo trong côngviệc

Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng

ở trên vào quá trình dạy học, tôi thấy không có gì trở ngại, khó khả thi trong việcvận dụng các biện pháp này Những dạng toán, bài toán, phương pháp giải mớinhư vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của học sinh lại vừa giúp họcsinh được lĩnh hội những tri thức phương pháp mới trong quá trình giải toán

Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn

vị kiến thức trong bài Học sinh nắm được các kiến thức và phương pháp giảimới các bài toán hình học không gian, học tập một cách tích cực hơn, đặc biệt là

đã hình thành được cho học sinh phương pháp tư duy mới Học sinh đã bắt đầuham thích những dạng toán mà trước đây các em rất “ngại” - bởi vì luôn gặpphải những kiến thức yêu cầu tư duy cao Sau thời gian thực nghiệm học sinhcảm thấy yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt là kiến thức về hình học không gian

Việc thực nghiệm các biện pháp sư phạm cho thấy các biện pháp sư phạmđều có tính khả thi, bước đầu đem lại hiệu quả tốt

Mức độ lĩnh hội, tiếp thu kiến thức tôi thu được trước và sau khi vận

dụng linh hoạt đề tài vào việc ôn luyện cho học sinh lớp 11A1 gồm 33 em họcsinh với việc bồi dưỡng học sinh giỏi như sau:

Trước khi vận dụng đề tài vào việc ôn luyện và bồi dưỡng: