Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người thực hiện: Lê Trọng Nguyên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán MỤC LỤC NỘI DUNG I Mở đầu …………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2.1 Cơ sở lý luận……………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề…………………………………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện…………………………… 2.3.1 Phương pháp chung………………………………… 2.3.2 Một số công thức áp dụng ………………………… 2.3.3 Bài toán hình chóp có góc tam diện vuông … 2.3.4 Bài toán hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương) ………… 2.3.5 Bài toán hình không gian tạo góc tam diện vuông ………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục ………………………………………………………… III Kết luận, kiến nghị ………………………………………… 3.1 Kết luận ………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………… TRANG 2 2 3 4 13 16 17 17 17 I MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài: Hình học không gian chủ đề lớn chương trình phổ thong Trong đề thi từ cấp sở đến cấp quốc gia có toán hình học không gian Vì vậy, việc tiếp xúc giải toán hình học không gian học sinh phổ thông tất yếu Để giải toán hình học không gian, chương trình phổ thông nhận diện tùy tập áp dụng phương pháp: Phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véc tơ Phương pháp tổng hợp trình bày chủ yếu chương trình Hình học 11 học kì chương trình Hình học 12, phương pháp yêu cầu học sinh phải có tư trừu tượng cao Phương pháp véc tơ trình bày phần nhỏ chương trình Hình học 11, phương pháp thường gặp Phương pháp tọa độ kết hợp chương trình Hình học giải tích lớp 12 Hình học không gian, cụ thể xây dựng hệ trục tọa độ Đề vuông góc hình vẽ toàn hình học không gian Mỗi phương pháp có hay riêng áp dụng vào toán cụ thể Trong trình giảng dạy, nhận thấy phương pháp tọa độ tỏ hữu hiệu số toán hình học không gian mà giải phương pháp tổng hợp tương đối vất vả Đối với học sinh vậy, trang bị phương pháp này, em tỏ linh hoạt việc giải toán hình học không gian Vì vậy, đưa phương pháp viết dạng hệ thống vào giảng dạy cho học sinh để em trang bị kiến thức cho kì thi cần thiết Phương pháp nêu số tập chương trình Hình học 12 Với suy nghĩ vậy, chọn vấn đề làm đề tài để viết, với cố gắng cá nhân chắn nhiều thiếu sót cần bổ sung Mong thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp quan tâm đóng góp ý kiến giúp đỡ! 1.2 Mục đích nghiên cứu: Nhằm giúp học sinh định hướng dạng toán hình học không gian giải phương pháp tọa độ Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải số toán hình học không gian phương pháp tọa độ Qua nâng cao khả tư duy, tạo hứng thú học tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối lớp 12 phân công giảng dạy sau học xong chương (Phương pháp tọa độ không gian) phần Hình học Đề tài nghiên cứu số dạng toán hình học không gian giải phương pháp tọa độ cách vận dụng phương pháp tọa độ để giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lí thuyết, vận dụng vào tập thông qua hệ thống ví dụ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi đứng trước toán, học sinh cần định hướng toán thuộc dạng gì? Và phương pháp áp dụng để giải toán đó? Vậy toán hình học không gian giải phương pháp tọa độ? Để xác định được, cần thông qua giả thiết hình vẽ toán: Để giải toán phương pháp tọa độ điều thiết phải có hệ tọa độ Đề vuông góc gian, mà để có hệ tọa độ trước hết cần có ba đường thẳng đồng quy đôi vuông góc, hay nói cách khác: cần có góc tam diện vuông Như vậy, ta hình dung rằng: toán hình học không gian muốn giải phương pháp tọa độ từ giả thiết toán phải xác định góc tam diện vuông để từ xây dựng hệ tọa độ Đề vuông góc Thông thường, toán dạng hình (tức từ giả thiết) có sẵn góc tam diện vuông, nhiên có toán để xác định hệ tọa độ (tức tạo góc tam diện vuông) cần kẻ thêm số đường phụ Trên thực tế, tập, toán hình không gian giải phương pháp tọa độ hình vẽ thường thuộc hình sau: - Hình chóp có góc tam diện vuông - Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông, hình hộp chữ nhật ( hình lập phương) - Hình tạo góc tam diện vuông kẻ thêm số đường phụ Sau xây dựng hệ trục tọa độ đối tượng điểm, véc tơ cần thiết phải xác định tọa độ, đối tượng đường thẳng, mặt phẳng cần thiết phải viết phương trình chúng 2.2 Thực trạng vấn đề: Trong trình giảng dạy, nhận thấy việc tiếp thu kiến thức, vận dụng kiến thức để giải toán hình học không gian phần lớn em học sinh mức trung bình gặp nhiều khó khăn Hơn nữa, nhiều năm qua đề thi từ cấp sở đến cấp quốc gia có toán hình học không gian, phần hình học mà học sinh học từ học kì lớp 11 học kì lớp 12 Nhiều học sinh cảm thấy lúng túng không tìm cách xử lí phương pháp nào, vấn đề Vì vậy, dạng tập trở thành vấn đề khó vượt qua học sinh Để giải vướng mắc học sinh toán hình học không gian, cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp túy, ta dùng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học không gian Lời giải phương pháp khắc phục số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu vận dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện: Để thực đề tài, phân chia thành hệ thống tập hình học không gian giải phương pháp tọa độ, tương ứng phần có sở lí thuyết để vận dụng Tiến hành xen kẽ hướng dẫn học sinh chữa tập lớp tiết học tự chọn Khi gặp toán sử dụng phương pháp hướng dẫn để học sinh sử dụng, nêu so sánh với phương pháp khác, từ rút kết luận Các tập giải phương pháp nhiều trường hợp giải ngắn gọn, nhanh chóng, tạo cho học sinh hứng thú học tập Các tập đề cập đến đề tài bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách tập, đề thi cấp quốc gia, lựa chọn theo hướng bản, có kiến thức để khai thác, khắc sâu 2.3.1 Phương pháp chung: Khi gặp toán hình học không gian, học sinh nhận dạng định hướng giải phương pháp tọa độ điều phải xây dựng hệ trục tọa độ Đề vuông góc gồm gốc trục tọa độ Thao tác chọn hệ trục là: Chọn đỉnh góc tam diện vuông làm gốc tọa độ, cạnh góc nằm trục tọa độ (lưu ý chọn chiều dương cho trục), hình có nhiều góc tam diện vuông chọn góc phù hợp để xây dựng hệ trục, hình chưa có góc tam diện vuông mà định hướng dựng việc kẻ thêm vài đường phụ cần xác định kẻ đường phụ phù hợp (các đường cần đơn giản, dễ xác định) Một thao tác chọn hệ trục là: z Hệ trục tọa độ Đề vuông góc ba chiều thường biểu diễn hình bên Vì vậy, vẽ hình nên vẽ cho góc tam diện vuông (sẽ chọn làm hệ trục) hình vào vị trí hình vẽ O y bên Chú ý: Đơn vị trục chọn khác tùy toán, thường chọn x Sau xây dựng hệ trục, cần thực bước tiếp theo: - Xác định tọa độ điểm, véc tơ cần phải tính - Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng có liên quan đến yêu cầu toán - Áp dụng công thức hình học giải tích để thực tính toán Một yêu cầu phương pháp là: Nắm bắt chặt chẽ kiến thức hình học giải tích, vận dụng thành thạo linh hoạt công thức hình giải tích thực giải toán 2.3.2 Các công thức áp dụng ur đề tài: uu r Một số công thức véc tơ: với u1 ( x; y; z ), u2 ( x '; y '; z ') ta có: ur ur uu r ur 2 + u1 ± u2 = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) , ku1 = (kx1 ; ky1 ; kz1 ) , u1 = x + y + z ur uu r ur uu r + u1.u2 = xx '+ yy '+ zz ' , u1 ⊥ u2 ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = ur uu r ur uu r u1.u2 xx '+ yy '+ zz ' r = + cos (u1 , u2 ) = ur uu u1 u2 x + y + z x '2 + y '2 + z '2 r ur uu r y z z x x y    n = u , u +  2 =  y' z' ; z' x' ; x' y' ÷   uuu r + AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) , AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) Phương trình mặt phẳng: r + Mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến n = (a; b; c) có phương trình là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = + Mặt phẳng (α ) qua điểm A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với abc ≠ có x − x0 y − y0 z − z0 + + = phương trình theo đoạn chắn: a b c Công thức tính góc: + Góc hai đường thẳng: hai đường thẳng d1 , d có véc tơ phương lần ur uu r u1.u2 ur uu r ur uu r r lượt u1 , u2 góc d1 , d tính bẳng: cos (d1 , d ) = cos (u1 , u2 ) = ur uu u1 u2 r + Góc đường thẳng mặt phẳng: đường thẳng d có véc tơ phương u , mặt r phẳng (α ) có véc tơ pháp tuyến n , góc d (α ) ϕ tính bằng: rr u.n sinϕ = r r u.n uu r + Góc hai mặt phẳng: mặt phẳng (α ) có véc tơ pháp tuyến nα , mặt phẳng ( β ) uu r có véc tơ pháp tuyến nβ , góc (α ) ( β ) tính bằng: uu r uu r nα nβ uu r uu r cos ((α ),( β )) = cos( nα , nβ ) = uu r uu r nα nβ Công thức khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : ax + by + cz + d = là: ax + by + cz + d d ( M ,(α )) = 2 a +b +c + Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ qua điểm M có véc tơ uuuuur r   r  MM , u  r phương u là: d ( M , ∆) = u + Khoảng cách hai đương thẳng chéo ∆1 ∆ biết ∆1 qua điểm M , ur uu r có véc tơ phương u1 ∆ qua điểm M , có véc tơ phương u2 ur uu r uuuuuur u1 , u2  M 1M   ur uu r là: d (∆1 ; ∆ ) = u1 , u2    2.3.3 Bài toán hình chóp có góc tam diện vuông: Bài toán dạng liên quan đến hình chóp có đáy tam giác vuông hình chữ nhật cạnh bên vuông góc với đáy (cạnh bên tương ứng với góc vuông đáy) Ví dụ 1.1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AB = AD = SD = a, CD = 2a Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)? Phân tích: Trên hình vẽ toán ta thấy SD, AD, CD đôi vuông góc Vì ta xây dựng hệ trục tọa độ gốc D, trục chứa cạnh SD, AD, CD Giải: Chọn hệ tọa độ Dxyz với z D(0;0;0), A(a;0;0), C (0;2a;0), S (0;0; a) K S éo dài BC cắt AD E ⇒ E (2a;0;0) Mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (SEC) có phương trình là: x y z + + = hay x + y + z − 2a = K D 2a a a I y C Gọi d khoảng cách từ A đến mặt phẳng A (SBC) thì: B E x a − 2a a a = (đvđd) 1+1+ Nhận xét: Bài toán trên, giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp không khó không phái đơn giản Trước hết cần chứng minh được: d ( A,( SBC )) = d ( AK ,( SBC )) = d ( I ,( SBC )) = d ( I , SB ) Sau dựng tính d ( I , SB ) Nhưng làm không dễ, qua cho ta thấy thuận lợi phương pháp tọa độ toán đáng kể Ví dụ 1.2: Cho hình chop S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân với AB = AC = a, SA = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy M điểm cạnh SB, N điểm cạnh SC cho MN song song với BC AN vuông góc với CM Tính tỉ số MS ? MB Phân tích: Trên hình vẽ toán ta thấy SA, AB, AC đôi vuông góc Vì ta xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, trục chứa cạnh SA, AB, AC Giải: Chọn hệ tọa độ Axyz với z A(0;0;0), B(a;0;0), C (0; a;0), S (0;0; a) S Giả sử M ( x;0; a − x) (0 ≤ x ≤ a ) Do tam giác SAC vuông cân A N MS NS = ⇒ N (0; x; a − x) M MB NC uuur  AN = (0; x; a − x) A r Vậy ta có  uuuu y C CM = ( x; −a; a − x ) uuur uuuu r Do AN ⊥ CM ⇒ AN CM = ⇒ − ax + (a − x) = B d= = x 3− ⇔ x − 3ax + a = ⇒ x = a MS x −1 ⇒ = = MB a − x Nhận xét: Bài toán dung phương pháp véc tơ để giải hay, song phạm vi đề tài nên không không tiện trình bày Nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để tìm cách giải khó khăn Đối với toán trên, phương pháp tọa độ tối ưu 2 Ví dụ 1.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy SA = AB = a Tính cosin góc đường thẳng SC mặt phẳng (SBD)? Phân tích: Trên hình vẽ toán ta thấy SA, AB, AD đôi vuông góc Vì ta xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, trục chứa cạnh SA, AB, AD Giải: Chon hệ tọa độ Axyz với z A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0), S (0;0; a) S Mặt phẳng (SBD) có phương trình x y z + + =1⇔ x + y + z − a = a a a Tọa độ C ( a; a;0) ⇒ đường thẳng SC có uuu r A SC = (a; a; −a) véc tơ phương y D Gọi ϕ góc đường thẳng SC O mặt phẳng (SBD) B C a+a−a x sinϕ = = + + a + a + a 2 Nhận xét: Bài toán giải theo phương pháp sau: · - Chứng minh góc cần tìm CSO - Tính SC, SO, OC áp dụng định lí cosin tam giác SOC Nếu so sánh hai phương pháp ta thấy cách giải dùng phương pháp tọa độ nhanh tính toán Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với mặt đáy Gọi E trung điểm CD Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE)? Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) AB = 3a, AC = AD = 4a, BC = 5a Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)? 2.3.4 Bài toán hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương): Ví dụ 2.1: (00 ≤ ϕ ≤ 900 ) ⇒ cosϕ = Trong mục 2.3.3: Ví dụ 1.1 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 1.2 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 1.3 tác giả Bài tập 1, tập tham khảo từ TLTK số Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = a; AA ' = a M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B’C? Phân tích: Đối với toán có hình vẽ dạng này, hình có hai góc tam diện vuông B B’ Vậy chọn hệ tọa độ gốc B gốc B’ Với toán này, ta chọn hệ tọa độ gốc B Giải: Chọn hệ tọa độ Bxyz với z B (0;0;0), A(a;0;0), C (0; a;0), B '(0;0; a 2) B' C' a ⇒ M (0; ;0) A' uuuu r uuuur a ⇒ AM = (− a; ;0), B ' C = (0; a; −a 2) , uuur AC = ( −a; a;0) B M C y uuuu r uuuu r a 2   ⇒  AM , B ' C  = (− ; −a 2; −a ) uuuu r uuuu r uuur A a3 ⇒  AM , B ' C  AC = − x Khoảng cách hai đường thẳng AM B’C là: uuuu r uuuur uuur − a  AM , B ' C  AC a a   (đvđd) d= = = = uuuu r uuuu r 7  AM , B ' C  7a   Nhận xét: Bài toán giải phương B' C' pháp tổng hợp Tuy nhiên cần phải dựng đối tượng trung gian, cụ thể mặt phẳng chứa AM song song với A' E B’C (mp(AME) với E trung điểm BB’) Sau phải xác định B M d = d ( B ' C ;( AME )) C = d (C ;( AME )) = d ( B;( AME )) Dựng tính d ( B;( AME )) A (có thể áp dụng tính chất đường cao tứ diện vuông BAME) 10 Qua ta thấy áp dụng phương pháp tọa độ nhanh gọn toán Ví dụ 2.2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M,N trung điểm AD,BB’ P,Q điểm nằm đoạn AD’ Và BD cho AP = DQ = k (0 < k < a 2) a; Chứng minh MN ⊥ A ' C b; Chứng minh PQ song song với mặt phẳng (A’D’BC) k thay đổi Phân tích: Đối với toán có hình lập phương, chọn tám đỉnh hình lập phương làm gốc tọa độ, trục tọa độ chứa cạnh hình lập phương từ đỉnh chọn Bài toán nên chọn A làm gốc tọa độ Giải: Chọn hệ tọa độ Axyz với z A(0;0;0), D(a;0;0), B(0; a;0), A '(0;0; a) A' B' a a a; Ta có M ( ;0;0), N (0; a; ) D' 2 C' uuuu r N a a ⇒ MN = (− ; a; ) P 2 uuuur Lại có C ( a; a;0) ⇒ A ' C = ( a; a; −a ) A B uuuu r uuuu r y M a2 a2 Từ ⇒ MN A ' C = − + a − = Q 2 D C ⇒ MN ⊥ A ' C x k k ;0; ) 2 a −k k Do Q ∈ BD DQ = k ⇒ Q ( ; ;0) 2 uuur a − 2k k k ⇒ PQ = ( ; ;− ) 2 uuuu r uuur Lại có A ' B = (0; a; −a), BC = (a;0;0) r uuuu r uuur ⇒ Mặt phẳng (A’D’BC) có véc tơ pháp tuyến n =  A ' B, BC  = (0; −a ; −a ) r uuur r uuur Từ ta có n.PQ = ⇒ n ⊥ PQ ⇒ PQ // mp ( A ' D ' BC ) Ví dụ 2.3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Trên cạnh AA’ lấy điểm E 1 cho AE = Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = Qua tâm hình lập b; Do P ∈ A ' D AP = k ⇒ P ( 11 phương E,F dựng mặt phẳng (α ) Tính theo a khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (α ) ? Phân tích: Đối với toán có hình lập phương, chọn tám đỉnh hình lập phương làm gốc tọa độ, trục tọa độ chứa cạnh hình lập phương từ đỉnh chọn Bài toán nên chọn B làm gốc tọa độ Giải: Chọn hệ tọa độ Bxyz với z B (0;0;0), A(1;0;0), C (0;1;0), B '(0;0;1) B' C' 1 ⇒ D '(1;1;1), E (1;0; ), F (0; ;0) A' D' Tâm hình lập phương trung điểm I 1 I BD’ I ( ; ; ) 2 E Ta có B F C y uur 1 uur 1 IE = ( ; − ; − ), IF (− ; − ; − ) 2 A D uur uur x ⇒  IE , IF  = ( ; ; − ) 24 24 24 r Mặt phẳng (α ) mặt phẳng (IEF) có véc tơ pháp tuyến n(5;8; −9) ⇒ phương trình mặt phẳng (α ) 5( x − 0) + 8( y − ) − 9( z − 0) = hay x + y − z − = Khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (α ) −9 − 11 d= 2 = (đvđd) 170 + + 92 Ví dụ 2.4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M,N,P trung điểm cạnh BB’,CD,A’D’ a; Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b; Tính góc hai đường thẳng MP C’N Phân tích: Đối với toán có hình lập phương, chọn tám đỉnh hình lập phương làm gốc tọa độ, trục tọa độ chứa cạnh hình lập phương từ đỉnh chọn Bài toán nên chọn B’ làm gốc tọa độ Giải: 12 Chọn hệ tọa độ B’xyz với z B '(0;0;0), A '(a;0;0), C '(0; a;0), B(0;0; a) B C a; Đường thẳng A’Buuu điu qua A’ có r N véc tơ phương A ' B A D Đường thẳng B’D uđi M uuurqua B’ có véc tơ phương B ' D Gọi d khoảng cách hai đường B' thẳng A’B B’D uuuu r uuuur uuuur C' y  A ' B, B ' D  A ' B '   d= uuuu r uuuur A' P D'  A ' B, B ' D    x uuuur uuuu r uuuur Ta có D(a; a;0) ⇒ B ' D = (a; a; a ), A ' B = ( −a;0; a ), A ' B ' = ( −a;0;0) uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuur ⇒  A ' B, B ' D  = (−a ;2a ; −a ) ⇒  A ' B, B ' D  A ' B ' = a a3 a Vậy d = = (đvđd) 6a a a a b; Ta có D '( a; a;0), C (0; a; a) ⇒ M (0;0; ), N ( ; a; a), P( a; ;0) 2 uuur u u u u r u u u r u u u u r a a a ⇒ MP = (a; ; − ), C ' N = ( ;0; a) ⇒ MP.C ' N = ⇒ MP ⊥ C ' N 2 Vậy góc MP C’N 900 Nhận xét: Các ví dụ phần giải phương pháp hình học tổng hợp, nói tương đối khó: Cần phải kẻ thêm nhiều đường phụ, sử dụng công thức hình học đồng dạng, diện tích, thể tích,… phải tính toán nhiều Đối với mức độ tư học sinh trung bình chưa hẳn giải toán phương pháp tổng hợp Tuy nhiên, biết áp dụng phương pháp tọa độ lại khó Qua đây, ta thấy “hay” phương pháp Nhưng chưa phải tất cả, thuận lợi tăng thêm biết vận dụng vào toán hình không gian chưa có góc tam diện vuông ta tạo Điều thể qua phần sau Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng C’N MP? Trong mục 2.3.4: Ví dụ 2.1 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 2.2 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 2.3 tác giả Ví dụ 2.4 tham khảo từ TLTK số Bài tập tham khảo từ TLTK số Bài tập 2, tập tham khảo từ TLTK số 13 Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Trên tia AA’, AB, AD (có chung gốc A), lấy điểm M, N, P khác A cho AM = m , AN = n , AP = p Tìm liên hệ m, n, p cho mặt phẳng (MNP) qua đỉnh C’ hình lập phương? Bài tập 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC ' = c a; Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD) b; Tính khoảng cách từ điểm A’ đến đường thẳng C’D c; Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ 2.3.5 Bài toán hình không gian tạo góc tam diện vuông: Dạng toán này, chưa sẵn có góc tam diện vuông, thiết phải có quan hệ vuông góc để làm tiền đề xây dựng góc tam diện vuông việc kẻ thêm vài đường phụ Thông thường, hình có hai đường thẳng vuông góc cắt nhau, đường thẳng thứ ba không đồng quy vuông góc với hai đường thẳng trước Ví dụ 3.1: Cho hình vuông ABCD tam giác SAD cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA BD? Phân tích hình vẽ: z Hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) S vuông góc có giao tuyến AD Gọi I, J trung điểm AD,BC Tam giác SAD nên D C SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) Vây ta có ba tia IA, IJ, IS đôi I J y a vuông góc SI = B A x a a Chọn hệ trục tọa độ Ixyz với I (0;0;0), A( ;0;0), J (0; a;0), S (0;0; ) 2 a a ⇒ D(− ;0;0), B( ; a;0) 2 uur uuur uuu r  SA, BD  AB   uur uuur Khoàng cách hai đường thẳng SA BD là: d =  SA, BD    uur a uuu r a uuur Ta có SA = ( ;0; − ), BD = (− a; − a;0), AB = (0; a;0) 2 14 uur uuur 3a 3a a ⇒  SA, DB  = (− ; ;− ) ⇒ d = 2 3a = 3a a 21 (đvđd) = 7 7a 4 Nhận xét: Bài toán giải phương pháp tổng hợp phức tạp, cần qua nhiều bước có nhiều đường phụ phải kẻ Từ ta thấy phương pháp tọa độ có ứng dụng rộng, vấn đề dạng toán lập hệ trục tọa độ Nếu toán có hình chóp tứ giác lập hệ trục với gốc tâm đáy Ví dụ sau nêu kiểu lập hệ trục Ví dụ 3.2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C AC = a; BC = b ; cạnh SA = h vuông góc với mặt đáy D trung điểm AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SD? Giải: z Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với mặt S' phẳng (ABC) đường thẳng song S song với SA Trên đường thẳng lấy điểm S’sao cho CS ' = AS (S, S’ nằm phía so với mặt phẳng (ABC)) C B y Ta có ba tia CA, CB, CS’ đôi vuông D góc CS ' = AS = h A x Chọn hệ tọa độ Cxyz với C (0;0;0), A(a;0;0), B(0; b;0), S '(0;0; h) uuu r uuur uuur a b a b a b ⇒ S ( a;0; h), D( ; ;0) ⇒ SD = (− ; ; − h), BC = (0; −b;0), CD = ( ; ;0) 2 2 2 uuu r uuur ab ⇒  SD, BC  = (−bh;0; ) Khoảng cách hai đường thẳng BC SD là: abh uuu r uuur uuur −  SD, BC  CD ah   d= = = uuu r uuur (đvđd)  SD, BC  a 2b a + 4h 2   bh + Ví dụ 3.3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng 15 A’C mặt đáy 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’)? Giải: z Kẻ CH ⇒ CH ⊥ AB Vậy ba tia HB, HC, HA’ đôi vuông góc C' A' Chọn hệ trục tọa độ Hxyz hình vẽ Ta có H (0;0;0) a a a HA = HB = ⇒ B ( ;0;0), A( − ;0;0) B' y 2 A 3a 3a C A' H = ⇒ A '(0;0; ) 2 H 3a 3a B HC = ⇒ C (0; ;0) 2 x uuur a 3a uuur a 3a Ta có AA ' = ( ;0; ), AC = ( ; ;0) 2 2 ⇒ mặt phẳng (ACC’A’) có véc tơ pháp tuyến là: r ur uu r ur uu r r n = u1 , u2  với u1 = (1;0;3), u2 = (1; 3;0) ⇒ n = (−3 3;3; 3) Phương trình mặt phẳng (ACC’A’) là: −3 x + y + z − 3a = Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’) là: d ( B,( ACC ' A ')) = 3a (đvđd) 13 Nhận xét chung: Qua ví dụ, ta thấy thuận lợi khả áp dụng phong phú phương pháp tọa độ việc giải toán hình học không gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình học không gian Phương pháp học sinh tiếp nhận học chương trình hình học giải tích lớp 12 Tuy nhiên, không nên lạm dụng phương pháp mà quên phương pháp tổng hợp phương pháp giải hay phát triển tư tốt Cũng phải ý phận toán hình không gian giải phương pháp tọa độ Trên thực tế, có toán giải phương pháp tọa độ hay phương pháp tổng hợp Nói chung, Phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian phương pháp hay, thể vượt trội số trường hợp, công cụ cần thiết hành trang học sinh, trang bị công cụ này, học sinh dễ dàng ứng phó với dạng toán áp dụng Trong mục 2.3.5: Ví dụ 3.1 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 3.2 tham khảo từ TLTK số Ví dụ 3.3 tham khảo từ TLTK số Bài tập tham khảo từ TLTK số Bài tập 2, tập tham khảo từ TLTK số Bài tập 4, tập tham khảo từ TLTK số 16 Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h , đáy tam giác ABC vuông C, AC = b, BC = a Gọi M trung điểm AC N điểm cho uuu r uur SN = SB a; Tính độ dài đoạn thẳng MN b; Tìm liên hệ a, b, h để MN vuông góc với SB Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP? Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O, cạnh a Góc · BAC = 600 , đường cao SO = a Tính: a; Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)? b; Khoảng cách hai đường thẳng AD SB? c; Cosin góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD)? · Bài tập 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M, N trung điểm AA’, CC’ Tính AA’ theo a để BMDN hình vuông? Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A với AB = a, AC = a hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm M BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’? 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục: Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tiến hành kiểm hai đối tượng hai lớp có lực học tương đương: lớp 12A10 12A11 Lớp 12A11 hướng dẫn sử dụng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian, lớp 12A10 chưa hướng dẫn Với hình thức kiểm tra làm tự luận, thời gian tiết học (45 phút), với đề bài: Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC vuông A, AB = 3a, AC = AD = 4a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)? Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN? Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? 17 Kết thu sau: Lớp Số HS Giỏi SL % Khá Trung bình SL % SL % 12A11 Lớpthực nghiệm 46 15 32,61 16 34,78 15 12A10 Lớp đối chứng 45 11,11 11 24,44 19 Yếu SL % 32,61 0 42,23 10 22,22 Từ bảng kết nêu cho thấy lớp dạy thực nghiệm có kết học tập đạt cao Như cách sử dụng phương pháp tọa độ việc giải số toán hình học không gian học sinh giải yêu cầu đề tốt hơn, gọn hơn, hiệu Điều phản ánh kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp vào giải toán, em có tư tích cực, độc lập tạo cho em mạnh dạn, tự tin , yêu thích, ham mê với môn toán III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Phương pháp tọa độ ứng dụng nhiều vào toán hình học không gian, toán chứng minh, toán tính góc, tính khoảng cách, toán tính diện tích, tính thể tích khối đa diện,… Nhưng với khuôn khổ đề tài có hạn nêu phần ví dụ số toán điển hình, chủ yếu tính khoảng cách góc, phù hợp với trình độ nhận thức lực tư phận học sinh trung bình Qua đề tài nhận thấy, phải cho học sinh làm nhiều toán với cách giải khác nhau, giúp em không thấy phương hướng đứng trước dạng tập dạng khác Đồng thời thấy ưu điểm việc sử dụng phương pháp tọa độ việc giải số toán hình học không gian biết cách vận dụng tốt phương pháp Thông qua rèn luyện kỹ trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, logic Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Kết áp dụng đề tài vào giảng dạy thể qua phần 2.4 Trong thời gian tới, thân tiếp tục đưa đề tài vào giảng dạy học sinh trung bình trở lên với mong muốn em đạt kết tốt học tập, đặc biệt kì thi 3.2 Đề xuất: Việc dạy hình học không gian cần phải kiên trì, uốn nắn kiểm tra thường xuyên liên tục Mỗi toán thường có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải 18 thành thạo quy trình giải dạng Do tập yêu cầu học sinh cần bước quy trình giải Học sinh làm thành thạo cách cho tiến hành sử dụng cách khác cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Quá trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải toán hình học không gian Bản thân suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , Do xây dựng đề tài cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tuy vậy, trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý Hội đồng khoa học nhà trường đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Trọng Nguyên 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* Sách giáo khoa Hình học 11 Hình học 12 – nâng cao Sách tập Hình học 11 Hình học 12 – nâng cao Đề thi Đại học, Cao đẳng năm từ 2002 đến 2016 Chuyên đề luyện thi vào đại học: Hình học giải tích Tác giả: Trần Văn Hạo (Chủ biên) Các giảng luyện thi môn Toán: Tập Tác giả: Phan Huy Khải (Chủ biên) Ôn thi tốt nghiệp: Hình học không gian Tác giả: Nguyễn Hồng Điệp 20 ... cứu: Nhằm giúp học sinh định hướng dạng toán hình học không gian giải phương pháp tọa độ Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải số toán hình học không gian phương pháp tọa độ Qua nâng cao... toán hình học không gian, cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp túy, ta dùng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học không gian Lời giải phương pháp khắc phục số khó khăn mà học sinh... áp dụng phong phú phương pháp tọa độ việc giải toán hình học không gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình học không gian Phương pháp học sinh tiếp nhận học chương trình hình học giải