Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học không gian

Để giải toán hình học không gian, đối với chương trình phổ thông có thể nhận diện tùy từng bài tập và áp dụng một trong các phương pháp: Phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ

BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Trọng Nguyên Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

MỤC LỤC

I Mở đầu ……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.1 Cơ sở lý luận……… 3

2.2 Thực trạng của vấn đề……… 3

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện……… 4

2.3.1 Phương pháp chung……… 4

2.3.2 Một số công thức áp dụng ……… 5

2.3.3 Bài toán về hình chóp có một góc tam diện vuông … 6

2.3.4 Bài toán về hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương) ………… 8

2.3.5 Bài toán về một hình không gian có thể tạo một góc tam diện vuông ……… 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ……… 16

III Kết luận, kiến nghị ……… 17

3.1 Kết luận ……… 17

3.2 Kiến nghị ……… 17

I MỞ ĐẦU:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Hình học không gian là một chủ đề lớn trong chương trình phổ thong Trong các

đề thi từ cấp cơ sở đến cấp quốc gia luôn có các bài toán về hình học không gian

Vì vậy, việc tiếp xúc và giải toán hình học không gian đối với học sinh phổ thông

là tất yếu

Để giải toán hình học không gian, đối với chương trình phổ thông có thể nhận diện tùy từng bài tập và áp dụng một trong các phương pháp: Phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véc tơ Phương pháp tổng hợp được trình bày chủ yếu trong chương trình Hình học 11 và học kì 1 của chương trình Hình học

12, phương pháp này yêu cầu học sinh phải có sự tư duy trừu tượng cao Phương pháp véc tơ được trình bày ở một phần nhỏ trong chương trình Hình học 11, phương pháp này thường ít gặp Phương pháp tọa độ là sự kết hợp giữa chương trình Hình học giải tích lớp 12 và Hình học không gian, cụ thể là xây dựng hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trên hình vẽ của bài toàn hình học không gian Mỗi phương pháp đều có cái hay riêng khi áp dụng vào một bài toán cụ thể

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy phương pháp tọa độ tỏ ra rất hữu hiệu đối với một số bài toán hình học không gian mà nếu giải bằng phương pháp tổng hợp sẽ tương đối vất vả Đối với học sinh cũng vậy, khi được trang bị phương pháp này, các em tỏ ra linh hoạt hơn trong việc giải các bài toán hình học không gian Vì vậy, đưa phương pháp này được viết dưới dạng hệ thống vào giảng dạy cho học sinh để các em trang bị kiến thức cho các kì thi là cần thiết Phương pháp này chỉ được nêu ra ở một số bài tập trong chương trình Hình học 12 Với suy nghĩ như vậy, tôi đã chọn vấn đề này làm đề tài để viết, nhưng chỉ với sự cố gắng của cá nhân thì chắc chắn còn nhiều thiếu sót cần bổ sung Mong được các thầy cô giáo, các bạn bè đồng nghiệp quan tâm và đóng góp ý kiến giúp đỡ!

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Nhằm giúp học sinh định hướng được dạng bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ năng giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Qua đó nâng cao khả năng tư duy, tạo hứng thú học tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối lớp 12 được phân công giảng dạy sau khi đã học xong chương 3 (Phương pháp tọa độ trong không gian) phần Hình học

Đề tài nghiên cứu về một số dạng bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ và cách vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lí thuyết, vận dụng vào bài tập thông qua hệ thống ví dụ

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận:

Khi đứng trước một bài toán, học sinh cần định hướng được bài toán đó thuộc dạng gì? Và những phương pháp nào có thể áp dụng để giải bài toán đó? Vậy những bài toán về hình học không gian như thế nào thì có thể giải được bằng phương pháp tọa độ?

Để xác định được, cần thông qua giả thiết và hình vẽ của bài toán: Để giải được bài toán bằng phương pháp tọa độ thì điều đầu tiên nhất thiết phải có là một hệ tọa

độ Đề các vuông góc trong gian, mà để có được một hệ tọa độ như vậy thì trước hết cần có ba đường thẳng đồng quy đôi một vuông góc, hay nói cách khác: cần có một góc tam diện vuông

Như vậy, ta cũng đã hình dung được rằng: một bài toán về hình học không gian muốn giải được bằng phương pháp tọa độ thì từ giả thiết của bài toán phải xác định được ít nhất một góc tam diện vuông để từ đó xây dựng được hệ tọa độ Đề các vuông góc Thông thường, những bài toán dạng này thì trong hình (tức là từ giả thiết) đã có sẵn một góc tam diện vuông, tuy nhiên có những bài toán để xác định được hệ tọa độ (tức là tạo một góc tam diện vuông) cần kẻ thêm một số đường phụ Trên thực tế, các bài tập, bài toán hình không gian giải được bằng phương pháp tọa

độ thì hình vẽ của nó thường sẽ thuộc một trong các hình sau:

- Hình chóp có một góc tam diện vuông

- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, hình hộp chữ nhật ( hoặc hình lập phương)

- Hình có thể tạo được một góc tam diện vuông bằng kẻ thêm một số đường phụ Sau khi xây dựng được hệ trục tọa độ thì các đối tượng điểm, véc tơ cần thiết phải xác định được tọa độ, các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng cần thiết phải viết được phương trình của chúng

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức, vận dụng kiến thức để giải bài toán hình học không gian đối với phần lớn các em học sinh mức trung bình khá còn gặp nhiều khó khăn Hơn nữa, trong nhiều năm qua các đề thi từ cấp cơ sở đến cấp quốc gia đều có bài toán về hình học không gian, phần hình học

mà học sinh được học từ học kì 2 lớp 11 và học kì 1 lớp 12 Nhiều học sinh cảm thấy lúng túng không tìm ra cách xử lí bằng phương pháp nào, ngay cả những vấn

đề rất cơ bản Vì vậy, dạng bài tập này trở thành vấn đề khó vượt qua đối với học sinh

Để giải quyết vướng mắc của học sinh về bài toán hình học không gian, ngoài cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp thuần túy, ta cũng có thể dùng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học không gian Lời giải của phương pháp này sẽ khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu và vận dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Để thực hiện đề tài, tôi phân chia thành hệ thống các bài tập hình học không gian

có thể giải bằng phương pháp tọa độ, tương ứng mỗi phần có chỉ ra cơ sở lí thuyết

để vận dụng

Tiến hành xen kẽ hướng dẫn học sinh trong khi chữa bài tập trên lớp cũng như trong các tiết học tự chọn Khi gặp bài toán có thể sử dụng phương pháp này thì hướng dẫn để học sinh sử dụng, có thể nêu sự so sánh với các phương pháp khác,

từ đó rút ra kết luận

Các bài tập giải bằng phương pháp này trong nhiều trường hợp được giải quyết ngắn gọn, nhanh chóng, tạo cho học sinh hứng thú trong học tập

Các bài tập đề cập đến trong đề tài được bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi cấp quốc gia, được lựa chọn theo hướng cơ bản, có kiến thức để khai thác, khắc sâu

2.3.1 Phương pháp chung:

Khi gặp bài toán về hình học không gian, học sinh nhận dạng và định hướng có thể giải được bằng phương pháp tọa độ thì điều đầu tiên là phải xây dựng được hệ trục tọa độ Đề các vuông góc gồm gốc và các trục tọa độ

Thao tác chọn hệ trục là: Chọn đỉnh của góc tam diện vuông làm gốc tọa độ, các cạnh của góc đó sẽ nằm trên các trục tọa độ (lưu ý chọn chiều dương cho trục), nếu hình có nhiều góc tam diện vuông thì chọn một góc phù hợp nhất để xây dựng hệ trục, nếu hình chưa có góc tam diện vuông mà định hướng có thể dựng được bằng việc kẻ thêm một vài đường phụ thì cần xác định kẻ đường phụ phù hợp (các đường này cần đơn giản, dễ xác định)

Một thao tác nữa khi chọn hệ trục là:

Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc ba

chiều thường được biểu diễn như hình

bên Vì vậy, khi vẽ hình thì nên vẽ cho

góc tam diện vuông (sẽ chọn làm hệ

trục) của hình ở vào vị trí như hình vẽ

bên

Chú ý: Đơn vị của các trục có thể chọn

là 1 hoặc khác tùy từng bài toán, nhưng

thường chọn là 1

z

y

x

O

Sau khi đã xây dựng được hệ trục, cần thực hiện được các bước tiếp theo:

- Xác định tọa độ các điểm, các véc tơ cần phải tính

- Viết phương trình các đường thẳng, các mặt phẳng có liên quan đến yêu cầu của bài toán

- Áp dụng các công thức của hình học giải tích để thực hiện tính toán

Một yêu cầu nữa của phương pháp này là: Nắm bắt chặt chẽ các kiến thức về hình học giải tích, vận dụng thành thạo và linh hoạt các công thức của hình giải tích khi thực hiện giải bài toán

2.3.2 Các công thức áp dụng trong đề tài:

Một số công thức về véc tơ: với u x y z u x y z 1( ; ; ), ( '; '; ') 2

ta có:

+ u 1 u2 (x1x y2; 1y z2; 1 z2)

, ku1 (kx ky kz1; 1; 1)



1

u  x  y z

 + u u1 2 xx' yy zz' '

 

, u1 u2  xx' yy zz' ' 0

 

1 2

( , )

u u xx yy zz cos u u

u u x y z x y z

 

 

 

' ' ' ' ' '

y z z x x y

n u u

y z z x x y

  

+ AB(x B  x y A; B  y z A; B  z A)



, AB (x B  x A)2 (y B  y A)2 (z B  z A)2

Phương trình mặt phẳng:

+ Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M x y z và có véc tơ pháp tuyến ( ; ; )0 0 0 n( ; ; )a b c có phương trình là: a x x(  0)b y y(  0)c z z(  0) 0

+ Mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c với abc 0 có phương trình theo đoạn chắn: x x0 y y0 z z0 1

Công thức về tính góc:

+ Góc giữa hai đường thẳng: hai đường thẳng d d có các véc tơ chỉ phương lần1, 2

lượt là u u 1, 2

thì góc giữa d d được tính bẳng: 1, 2 1 2 1 2 1 2

1 2

u u cos d d cos u u

u u

 

 

 

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u, mặt phẳng ( ) có véc tơ pháp tuyến n, góc giữa d và ( ) là  được tính bằng:

u n

sin

u n

 

 

 

+ Góc giữa hai mặt phẳng: mặt phẳng ( ) có véc tơ pháp tuyến n 

, mặt phẳng (  )

có véc tơ pháp tuyến n , góc giữa ( ) và (  ) được tính bằng:

(( ),( )) ( , )

n n cos cos n n

n n

 

 

 

 

 

Công thức về khoảng cách:

+ Khoảng cách từ điểm M x y z đến mặt phẳng ( ) :( ; ; )0 0 0  ax by cz d   0 là:

( ,( )) ax by cz d

d M

a b c

+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua điểm M và có một véc tơ0

chỉ phương u là: d M( , ) MM u0,

u

 

 

+ Khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau 1 và 2 biết 1 đi qua điểm M ,1

có một véc tơ chỉ phương u1 và 2 đi qua điểm M , có một véc tơ chỉ phương 2 u2

1 2

, ( ; )

,

u u M M d

u u

  

2.3.3 Bài toán về hình chóp có một góc tam diện vuông:

Bài toán dạng này liên quan đến hình chóp có đáy là tam giác vuông hoặc hình chữ nhật và một cạnh bên vuông góc với đáy (cạnh bên tương ứng với góc vuông của đáy)

Ví dụ 1.1:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,

AB AD SD a CD    a Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)?

Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SD, AD, CD đôi một vuông góc.

Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc D, các trục lần lượt chứa các cạnh SD,

AD, CD.

Giải:

Chọn hệ tọa độ Dxyz với

(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 ;0), (0;0; )

éo dài BC cắt AD tại E  E a(2 ;0;0)

Mặt phẳng (SBC) chính là mặt phẳng

(SEC) có phương trình là:

1

x y z

a a a  hay x y 2z 2a0

Gọi d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(SBC) thì:

I A

x E

B

z S

2 6

6

d    

Nhận xét: Bài toán trên, nếu giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp tuy không

quá khó nhưng cũng không phái đơn giản Trước hết cần chứng minh được:

d A SBC d AK SBC d I SBC d I SB Sau đó dựng và tính

( , )

thuận lợi của phương pháp tọa độ trong bài toán này là đáng kể

Ví dụ 1.2:

Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân với AB AC a SA a  , 

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy M là một điểm trên cạnh SB, N là một điểm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM Tính tỉ số MS

MB?

Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SA, AB, AC đôi một vuông góc.

Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, các trục lần lượt chứa các cạnh SA,

AB, AC.

Giải:

Chọn hệ tọa độ Axyz với

(0;0;0), ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )

Giả sử M x( ;0;a x ) (0 x a)

Do tam giác SAC vuông cân tại A và

(0; ; )

MS NS

N x a x

MB NC  

Vậy ta có (0; ; )

AN x a x

CM x a a x









Do AN CM   AN CM. 0

2

ax a x

2

5 1 2

MS x

MB a x



N M

A

B x

z S

Nhận xét: Bài toán này có thể dung phương pháp véc tơ để giải cũng khá hay,

song do phạm vi của đề tài nên không không tiện trình bày Nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để tìm cách giải sẽ rất khó khăn Đối với bài toán trên, phương pháp tọa độ vẫn là tối ưu nhất

Ví dụ 1.3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD Cạnh bên SA vuông góc với

mặt đáy SA AB a  Tính cosin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)?

Phân tích: Trên hình vẽ của bài toán này ta thấy SA, AB, AD đôi một vuông góc.

Vì vậy ta có thể xây dựng hệ trục tọa độ gốc A, các trục lần lượt chứa các cạnh SA,

AB, AD.

Giải:

Chon hệ tọa độ Axyz với

(0;0;0), ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )

Mặt phẳng (SBD) có phương trình là

x y z

x y z a

a a a      

Tọa độ C a a( ; ;0) đường thẳng SC có

một véc tơ chỉ phương là SC ( ; ;a a a )



Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng (SBD) thì

1 3

1 1 1

a a a sin

a a a

3

cos

O

D

C

A

B x

y

z S

Nhận xét: Bài toán này có thể giải theo phương pháp sau:

- Chứng minh góc cần tìm là CSO

- Tính SC, SO, OC rồi áp dụng định lí cosin trong tam giác SOC.

Nếu so sánh giữa hai phương pháp trên thì ta thấy cách giải dùng phương pháp tọa

độ vẫn nhanh hơn và tính toán ít hơn

Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a và vuông

góc với mặt đáy Gọi E là trung điểm CD Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE)?

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) AB3 ,a

AC AD a BC  a Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)?

2.3.4 Bài toán về hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông hoặc hình hộp chữ nhật (hoặc hình lập phương):

Ví dụ 2.1:

Trong mục 2.3.3: Ví dụ 1.1 được tham khảo từ TLTK số 2 Ví dụ 1.2 được tham khảo từ TLTK

số 3 Ví dụ 1.3 là của tác giả Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ TLTK số 5.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.

AB a AA a M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C?

Phân tích: Đối với bài toán có hình vẽ dạng này, trong hình đã có hai góc tam diện vuông tại B và B’ Vậy có thể chọn hệ tọa độ gốc B hoặc gốc B’ Với bài toán này, ta chọn hệ tọa độ gốc B.

Giải:

Chọn hệ tọa độ Bxyz với

(0;0;0), ( ;0;0), (0; ;0), '(0;0; 2)

(0; ;0)

2

a

M



( ; ;0), ' (0; ; 2)

2

a

      

, ( ; ;0)

AC  a a

2

2

2

a

 

3 2 , '

2

a

AM B C AC

  

C'

A'

B'

M z

y

x

C B

A

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là:

3

4

2

7 7 7

, '

2

a

d

a

AM B C



  

Nhận xét:

Bài toán trên có thể giải bằng phương

pháp tổng hợp Tuy nhiên cần phải dựng

được các đối tượng trung gian, cụ thể là

mặt phẳng chứa AM và song song với

B’C (mp(AME) với E là trung điểm

BB’)

Sau đó phải xác định được

( ' ;( ))

d d B C AME

d C AME( ;( ))d B AME( ;( ))

Dựng và tính d B AME( ;( ))

(có thể áp dụng tính chất đường cao

trong tứ diện vuông BAME)

E

C'

A'

B'

M

C B

A