Tư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳngTư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳngTư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳngTư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳngTư duy logic cách giải một số bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm: A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) , C (xC ; yC ) , M (x0 ; y0 ) − − → • Tọa độ vectơ: AB = (xB − xA ; yB − yA ) • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là: J xA + xB yA + yB ; 2 • Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là: G 1.2 x A + x B + x C yA + yB + yC ; 3 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: → − − − • Vectơ →(→ = ) vectơ phương đường thẳng d u u có giá song song trùng với đường thẳng d → − − − • Vectơ →(→ = ) vectơ pháp tuyến đường thẳng d n n có giá vng góc với đường thẳng d − • Đường thẳng ax + by + c = có vectơ pháp tuyến → = (a; b) n • Hai đường thẳng song song có vectơ phương (vectơ pháp tuyến) • Hai đường thẳng vng góc có vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ phương đường thẳng − − • Nếu →, → vectơ phương, vectơ pháp tuyến đường u n − − − − thẳng d →.→ = Do đó, → = (a; b) → = (b; −a) u n u n • Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, vơ số vectơ phương − Nếu → vectơ pháp tuyến (vectơ phương) đường thẳng n − d k →(k = 0) vectơ pháp tuyến, vectơ phương n d 1.2.2 Bốn loại phương trình đường thẳng • Phương trình tổng qt đường thẳng: (a2 + b2 > 0) (1) − Đường thẳng qua điểm M (x0 ; y0 ) nhận → = (a; b) vectơ n pháp tuyến có phương trình dạng: ax + by + c = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = (2) Đặc biệt: đường thẳng qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn: x y + =1 (3) a b − * Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) nhận vectơ → = (p; q) làm vectơ n phương, có phương trình tham số là: x = x0 + pt y = y0 + qt (4) Có phương trình tắc là: x − x0 y − y0 = p q (p, q = 0) (5) Đặc biệt: đường thẳng qua điểm phân biệt A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) có phương trình dạng: x − xA y − yA = xB − xA yB − yA (6) • Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình đường thẳng với hệ số góc dạng: y = k(x − x0 ) + y0 Chú ý: (7) – Khơng phải đường thẳng có hệ số góc Các đường thẳng dạng x = a khơng có hệ số góc Do vậy, giải tốn dùng hệ số góc, ta phải xét trường hợp đặc biệt − – Nếu → = (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng hệ số n a góc k = − , b = b 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng Cho A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) đường thẳng ∆ : ax + by + c = Khi đó: • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) < A, B hai phía khác ∆ • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) > A, B phía ∆ 1.2.4 Chùm đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; d2 : a2 x + b2 y + c2 = Khi đường thẳng qua giao điểm I hai đường thẳng có phương trình dạng: λ (a1 x + b1 y + c1 ) + µ (a2 x + b2 y + c2 ) = (8) λ2 + µ2 > 1.3 Góc khoảng cách • Góc hai vectơ v, w tính dựa theo công thức: cos(u, w) = u.w |v| |w| (9) − − • Giả sử →1 , →2 vectơ pháp tuyến đường thẳng d1 n n d2 Khi đó: − − |→1 →2 | n n cos(d1 , d2 ) = → (10) − | |→ | |n1 −2 n • Độ dài vectơ u = (a; b) là: |u| = a2 + b2 (11) • Khoảng cách hai điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) là: AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 (12) • Diện tích tam giác ABC là: S= − − − → → (AB.AC)2 − AB.AC (13) • Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng d : ax + by + c = tính cơng thức: d(M ;d) = 1.4 |ax0 + by0 + c| √ a2 + b2 (14) Phương trình đường trịn • Đường trịn tâm I(a; b), bán kính R có dạng: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (15) • Phương trình: x2 + y + 2ax + 2by + c = 0, (a2 + b2 − c > 0) (16) phương trình đường trịn với tâm I(−a; −b) bán kính a2 + b2 − c R= • Phương trình tiếp tuyến đường trịn điểm M (x0 ; y0 ) (x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) = (17) • Vị trí tương đối đường thẳng ∆ đường trịn (C) tâm I, bán kính R – Nếu d(I;∆) > R ∆ (C) khơng cắt – Nếu d(I;∆) = R ∆ (C) tiếp xúc I hình chiếu I lên d – Nếu d(I;∆) < R ∆ (C) cắt hai điểm M, N Khi trung điểm H M N hình chiếu I lên M N M N = R2 − d2 (I,∆) 1.5 (18) Phương trình Elip • Elip tập hợp điểm M di động thỏa mãn M F1 + M F2 = 2a với F1 , F2 cố định, F1 F2 = 2c, a > c > số cho trước • F1 (−c; 0),F2 (c; 0) gọi tiêu điểm, F1 F2 = 2c gọi tiêu cự M F1 , M F2 bán kính qua tiêu • Các điểm A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) gọi đỉnh elip Đoạn thẳng A1 A2 = 2a gọi trục lớn, B1 B2 = 2b gọi trục nhỏ • Phương trình tắc Elip có hai tiêu điểm F1 (−c; 0), F2 (c; 0) là: x2 y + =1 (19) a2 b Trong a > b > 0, b2 = a2 − c2 c • Tâm sai e = a • Cho elip (E) có phương trình tắc (19) Hình chữ nhật P QRS với P (−a; b), Q(a; b), R(a; −b), S(−a; −b) gọi hình chữ nhật sở Elip • Nếu M ∈ (E) M, F1 , F2 khơng thẳng hàng đường thẳng phân giác ngồi góc F1 M F2 tiếp tuyến (E) M Chú ý: Các HD khơng liên quan đến nội dung Nếu em khơng hiểu lại đọc lại phần Lời nói đầu HD ĐA: E(3; −1), F (5; 5), D(3; 3), A(1; 1),B(3; 5),C(7; 1) HD Gọi H = M E ∩AC Em nhận chứng minh BH ⊥ AC chứ? Vậy ta tìm tọa độ H, phương trình HB, tham số hóa tọa độ B, C, tìm B, C (vì M trung điểm), phương trình AI cuối tọa độ A ĐA: Xem HD40 − tr.36 HD Gọi K trung điểm DH Em chứng minh AK ⊥ KM Bây tìm phương trình KM , tọa độ K, phương trình BD, tọa độ B, C ĐA: Xem HD41 − tr.47 HD ĐA: Có hình vng thỏa mãn (3; 3),(1; 1) ∈ (d), (3; −1), (5; 1) 9 11 11 13 11 ∈ (C) ; , ; ∈ (d), ; , ; ∈ (C) 5 5 5 5 HD Hãy chứng minh tam giác ABC tam giác cân đỉnh A Y HD53 − tr.51/ N HD34 − tr.33 HD Hãy vẽ đường trịn đường kính F K Em có nhận điều thú vị không? Nhớ chứng minh Y HD57 − tr.51/ N HD46 − tr.47 HD ĐA: A(1; 1), B(2; −1), C(1; −2) HD Gọi k hệ số góc đường thẳng OB Ta viết phương trình OB Khi B = OB ∩ (C2 ), C đối xứng với A qua OB Ngoài − − − − → → OC.AB = ĐA: Xem HD27 − tr.26 HD Em có phát GA = GD = GB DG ⊥ AK khơng? Hãy chứng minh điều 10 Y HD25 − tr.26/ N HD33 − tr.33 HD 10 ĐA: A(−7; 10), B(7; 4), AB : 3x + 7y − 49 = HD 11 Bài giống ví dụ 22 trang 40 ĐA: Xem HD18 − tr.25 HD 12 Vẽ hình tìm đường vng góc với BC Y HD57 − tr.51/ N HD47 − tr.47 rb PJ = Từ đó, tìm P Tìm P PI rc viết phương trình BC tiếp tuyến chung qua P hai đường tròn HD 13 Em có nhận ĐA: Xem HD31 − tr.33 HD 14 Em có thấy ý a) quen quen khơng? Nó giống tốn có hai người hẹn bờ sông Ý b) tương tự Nhớ phải kiểm tra xem A, B có phía so với d không Y HD16 − tr.25/ N HD39 − tr.36 11 Một số kĩ thuật 2.1 2.1.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm Dựa vào hệ điểm Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện với hệ điểm A1 , A2 , , An Đối với toán này, ta đặt M (x; y) khai thác giả thiết Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2), trực tâm H(−1; 3) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác Để giải toán này, ta cần biết đến đường thẳng Euler tam giác Định lý (Đường thẳng Euler) Cho tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I thẳng hàng Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Euler tam giác chứng minh Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Xét phép vị tự V = V(G;− ) Ta có: V(∆ABC) = ∆DEF Do đó, V biến đường cao AJ tam giác ABC thành đường cao DK tam giác DEF Dễ thấy DK 12 đường trung trực đoạn thẳng BC Vậy I trực tâm tam giác DEF −→ − − → Tức V(H) = I Do H, G, I thẳng hàng GH = −2GI Quay trở lại tốn, ta dễ dàng tìm tọa độ điểm I lời giải −→ − − → Giả sử I(x; y) Ta có: GH = (−2; 1); GI = (x − 1; y − 2) −→ − − → Vì GH = −2GI nên:  x = −2(x − 1) = −2 ⇔ y = −2(y − 2) = Vậy I 2; 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm hai đường Giao hai đường thẳng Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 : ax + by + c = 0, d2 : mx + ny + p = (nếu có) nghiệm hệ phương trình: ax + by + c = mx + ny + p = (20) Giao đường thẳng đường tròn Cho đường thẳng d đường tròn (C): d: x = x0 + mt y = y0 + nt , (C) : (x − a)2 + (y − b)2 = R2 Tọa độ giao điểm d (C) (nếu có) nghiệm hệ phương trình:  x = x0 + mt  (21) y = y0 + nt   + (y − b)2 = R2 (x − a) 13 ? Hệ giải nào? Giao đường thẳng Elip x = x0 + mt x2 y2 elip (E) : + = Tọa độ a b y = y0 + nt giao điểm d (E) (nếu có) nghiệm hệ phương trình: Cho đường thẳng d :  x = x0 + mt   y = y0 + nt  x2 y   + =1 a2 b2 (22) Giao hai đường tròn Tọa độ giao điểm hai đường tròn: (C1 ) : x2 + y + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0; (C2 ) : x2 + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = (nếu có) nghiệm hệ phương trình: x2 + y + 2a1 x + 2b1 y + c1 = x2 + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = (23) Ví dụ Cho hai đường tròn: (C1 ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25; (C2 ) : x− 2 + y+ 2 = 25 Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) chúng lời giải Tọa độ giao điểm (nếu có) hai đường trịn nghiệm hệ phương 14 Lập bảng biến thiên hàm số f (k) k −2 −∞ f (k) + − + + √ 29 f (k) +∞ √ √6 17 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: max f (k) = f − √ = 29 > Do đó, phương trình đường thẳng cần tìm là: y = − x + 5 nhận xét Cách làm cách làm "trâu bị" Khối lượng tính tốn q lớn Ta cần tìm cách làm khác nhẹ nhàng Muốn ta cần phân tích trường hợp d • Trường hợp d cắt cạnh BC F Khi đó: d(B,d) + d(C,d) = BD + CE ≤ BC Dấu "=" xảy d ⊥ BC Tức d chứa đường cao AH tam giác 38 • Trường hợp d khơng cắt cạnh BC Gọi I trung điểm BC D, E, P hình chiếu B, C, I lên d Khi tứ giác BCED hình thang P I đường trung bình d(B,d) + d(C,d) = BD + CE = 2P I ≤ 2AI Dấu "=" xảy d ⊥ AI Ta cần so sánh 2AI BC suy cách làm ? Em tự làm dựa theo nhận xét Ví dụ 20 Cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7), điểm C nằm đường thẳng (d1 ) : x − y + = Đường thẳng qua đỉnh D trung điểm đoạn thẳng AB (d2 ) : 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ B C biết điểm B có hồnh độ dương Y HD37 − tr.36/ N HD15 − tr.25 Ví dụ 21 Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), đường phân giác góc A có phương trình x − y = Điểm I(2; 1) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ đỉnh B C biết BC = √ góc BAC nhọn Y HD57 − tr.51/ N HD12 − tr.11 39 Ví dụ 22 Cho đường thẳng d : x − 2y + = hai điểm A(1; −1), B(2; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho: a) M A + M B nhỏ b) |M A − M B| lớn Y HD16 − tr.25/ N HD14 − tr.11 Ví dụ 23 Cho đường trịn (C) : x2 + y − 6x − 2y + = đường thẳng (d) : x − y = Tìm tọa độ A, B thuộc d điểm E, D thuộc (C) cho ABDE hình vng Y HD35 − tr.33/ N HD43 − tr.47 Ví dụ 24 Cho hình bình hành ABCD có A(−2; −1) Điểm C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H, K, E hình chiếu A lên CD, BD, BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEK (C) : x2 + y + x + 4y + = Tìm tọa độ đỉnh B,C,D Chìa khóa tốn có điểm đặc biệt nằm đường trịn (C) Em tìm điểm Y HD17 − tr.25/ N HD59 − tr.51 Ví dụ 25 Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm K thuộc đoạn BC − → −→ − cho CK = 3KB Điểm G thỏa mãn AG = −2GK Điểm D thuộc BC cho GB = GD Biết D(7; −2), phương trình AK 3x − y − 13 = điểm A có tung độ âm Viết phương trình AB Y HD52 − tr.51/ N HD9 − tr.10 Ví dụ 26 Cho hình bình hành ABCD có N trung điểm cạnh CD đường thẳng BN : 13x − 10y + 13 = 0, điểm M (−1; 2) thuộc đoạn AC cho AC = 4AM Gọi H điểm đối xứng N qua C Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành, biết 3CA = 2AB điểm H thuộc đường thẳng ∆ : 2x − 3y = 40 lời giải 20 Ta có: d(M,BN ) = √ 269 Giả sử H(3h; 2h) Đặt I = AC ∩ BD, G = AC ∩ BN Dễ thấy G trọng tâm tam giác BCD Từ ta có:   CG = CI = AC 3 AM = AC  ⇒ MG = AC 12 Do đó: 4 32 CG = M G ⇒ d(C,BN ) = d(M,BN ) ⇒ d(H,BN ) = 2d(C,BN ) = √ 5 269 ⇔ |39a − 20a + 13| 32 √ =√ ⇔ 269 269 a=1 a=− 45 19 Vì H M nằm khác phía BN nên H(3; 2) Mặt khác: CM = AC = AB = CD = CN = CH 4 nên tam giác M HN vng M Ta có: M H : y − = 0; M N : x + = 0, N (−1; 0), C(1; 1), D(−3; −1) −→ − −→ − Mà CM = 3M A nên A − ; Do I − ; 3 3 41 ,B 13 ; 3 Thư giãn THƠ TẶNG NGƯỜI U TỐN Hồng Ngọc Thế Em chả thích người học tốn đâu Vì anh định chuẩn đầu Điều kiện, giới hạn quy tắc Em có vô đến đâu Em chả yêu người làm tốn đâu Epsilon bảo giàu Phần ảo có cho thật Định lý có lãng mạn đâu Em chả lấy người dạy tốn đâu Vì anh nguyên tố Ước chung mà đủ Chia hết, lấy để mai sau Em chả bỏ người yêu toán đâu Theo anh, em tính chuyện trầu cau u tốn, u thơ em biết Anh yêu em đến bạc đầu GIẢ SỬ Ta có, giả sử câu cửa miệng người học toán Các nhà khoa học tổ chức thí nghiệm để chứng minh ảnh hưởng nghề nghiệp đến hành vi ứng xử Họ đưa kỹ sư, nhà vật lý nhà toán học vào phịng riêng biệt có hộp thức ăn lại khơng có mở hộp Một ngày sau, phòng mở Trong phòng thứ nhất, anh kỹ sư ngáy khò khị, với hộp méo mó trống rỗng 42 mở Khi hỏi, giải thích đói, đập hộp vỡ thơi Trong phịng thứ hai, nhà vật lý đọc đẳng thức với hộp mở từ phía đáy Khi hỏi, giải thích q đói nghiên cứu điểm chịu áp lực hộp tác dụng lực lên, bụp Trong phịng thứ ba, nhà tốn học tốt mồ hơi, mồm lẩm bẩm: - Giả sử có mở hộp, giả sử có mở hộp HỎI ĐƯỜNG PYTHAGORAS 43 Ví dụ 27 Cho tam giác ABC có: AB : x − y + = 0; AC : 2x + y + = 0; BC : 4x − y − = Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm M ;6 chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích lời giải Ta có: A(−1; 1); B(3; 5); C(1; −3); SABC = 12 3 sin ABC = √ ; sin BAC = √ 34 10 Đường thẳng (d) cần tìm chia tam giác ABC thành phần có diện tích Dễ thấy: − + (1 + + 2) < nên C M hai phía khác so với AB Vậy đường thẳng (d) cắt AB AC cắt AB BC Trường hợp 1: (d) cắt AB AC Giả sử (d) cắt AB D(d; d + 2),(với −1 < d < 3), (d) cắt AC E(e; −1 − 2e),(với −1 < e < 1) Ta có: AD = 2(d + 1)2 ; AE = 5(e + 1)2 S∆ADE = AD.AE sin BAC = ⇔ (d + 1)2 (e + 1)2 = 16 −→ − −→ − Mặt khác, D, E, M ∈ (d) nên DM phương EM Ta có 4−d − 2d = − 2e + 2e Ta có hệ phương trình (d + 1)2 (e + 1)2 = 16 (3 − 2d)(7 + 2e) = (4 − d)(3 − 2e) 44 √  −17 + 34  d = 5√ Giải hệ ta Vậy  −2 + 34  e= √ √ −17 + 34 −7 + 34 ; ;E D 5 √ √ 34 − −1 − 34 ; 5 Ta có phương trình đường thẳng cần tìm: √ √ √ (d) : (6 − 34)x + (3 34 − 15)y + 81 − 34 = Trường hợp 2: (d) cắt AB BC Giả sử (d) cắt AB D(d; d + 2) (với −1 < d < 3), (d) cắt BC F (f ; 4f − 7) (với < f < 3) Tương tự trường hợp ta có: √  27 − 106  d = √  15 − 106 f = Trường hợp bị loại f < Ví dụ 28 Cho tam giác ABC có trực tâm H(−1; 4), tâm đường trịn ngoại tiếp I(−3; 0), trung điểm BC M (0; −3) Viết phương trình đường thẳng AB biết B có hồnh độ dương Y HD10 − tr.11/ N HD26 − tr.26 Ví dụ 29 Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4; 8) Gọi M điểm đối xứng với B qua C, N hình chiếu B lên M D Tìm tọa độ B, C, biết N (5; −4) Y HD21 − tr.26/ N HD54 − tr.51 ; Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạch BC, CA, AB tương ứng D, E, F Cho D(3; 1) EF : y − = Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ dương Ví dụ 30 Cho tam giác ABC có B 45 Y HD20 − tr.25/ N HD5 − tr.10 Ví dụ 31 Cho a + 2b + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= a2 + b2 − 2a − 2b + + a2 + b2 − 4a + 2b + Sao chun đề hình học giải tích lại có đại số nhỉ? Hơi lạ đấy, đề không cho a, b mà cho x, y em thấy giống gì? Y HD11 − tr.11/ N HD56 − tr.51 Ví dụ 32 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tam giác ACH ngoại tiếp đường tròn (T ) : x2 + y + 6x − 6y + = 0, điểm J(−1; −1) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH Viết phương trình đường thẳng BC Đây tốn khó giả thiết cho rời rạc không liên quan đến điều cần tìm Tuy nhiên, vẽ hình nêu nhận xét độ dài đoạn JH, JI (I tâm (T )) so với bán kính hai đường trịn tính góc IHJ Y HD58 − tr.51/ N HD22 − tr.26 Ví dụ 33 Cho hai đường trịn (C1 ) : x2 + y = 1, (C2 ) : x2 + y = điểm A(1; 0) Tìm tọa độ điểm C thuộc đường trịn (C1 ), điểm B thuộc đường tròn (C2 ) để tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trực tâm Y HD27 − tr.26/ N HD51 − tr.51 46 HD 41 ĐA: BC : 2x + y − 12 = 0, BC : 2x + 8y − 33 = HD 42 Em tìm tọa độ C chưa? Có A, C tìm tâm I hình vng Dựa vào tính chất I, viết phương trình đường thẳng đường trịn qua B ĐA HD37 − tr.36 HD 43 Em vẽ hình thử tìm phương trình hai đường chéo chưa? Hãy tìm thêm phương trình đường thẳng qua tâm hình vng Hãy tham số hóa tọa độ đỉnh Y HD4 − tr.10/ N HD35 − tr.33 HD 44 Có G, H, K dễ dàng tìm D, E, F Viết phương trình cạnh tìm tọa độ đỉnh ĐA: Xem HD1 − tr.10 HD 45 Em tìm tọa độ trực tâm H phải khơng? Tiếp theo viết phương trình EH, AC, CD, AH tìm tọa độ ba đỉnh ĐA: Xem HD38 − tr.36 HD 46 B, C giao điểm đường trịn đường kính KF với đường trịn tâm I Ngoài trung điểm J KF thuộc đường trịn tâm I Vậy ta tìm B, C AB đối xứng với BC qua BK ĐA: Xem HD57 − tr.51 HD 47 Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử K = AI ∩ (C) Khi IK ⊥ BC Gọi H = BC ⊥ IK Em dựa vào độ dài BC để tìm H ĐA: Xem HD57 − tr.51 HD 48 Hãy vẽ hình đường thẳng vng góc với đường thẳng AC Y HD2 − tr.10/ N HD19 − tr25 47 Bài tập tự luyện Cho đường thẳng d đường tròn (C): d : x − y + = 0, (C) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = điểm P (−1; 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) cho từ M kẻ tới (C) hai tiếp tuyến M A, M B (A, B tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ P tới đường thẳng AB lớn ĐA M (3, 4) Cho tam giác ABC cân A, biết phương trình đường thẳng AB, BC x + 3y + = x − y + = 0, đường thẳng AC qua điểm M (3; 0) Tìm tọa độ đỉnh tam giác Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp I(−2; 1) AIB = 90o , chân đường cao kẻ từ A đến BC D(−1; −1), đường thẳng AC qua điểm M (−1; 4) Tìm tọa độ đỉnh A, B biết đỉnh A có hồnh độ dương ĐA A(1, 5), B(2, −2) Cho tam giác ABC có trực tâm H(2; 0), trung tuyến CM : 3x + 7y − = Trung trực BC d : x − = Tìm tọa độ điểm A ĐA A(2; 2), A 2; 16 5 Cho ∆ABC, phân giác AD;x + y + = 0, đường cao BH: 27 2x − y + = AB qua M (1; 1); SABC = Tìm A, B, C Cho hình vng ABCD có M trung điểm AB, đường thẳng DM có phương trình 2x − y + = điểm C(1; −1) Tìm tọa độ điểm D 48 Cho đường thẳng: d1 : 3x − 2y − = 0, d2 : x + y − = 0, d3 : x − = Tìm tọa độ điểm A, C thuộc d3 , B thuộc d1 , D thuộc d2 cho ABCD hình vng ĐA: B(4; 4), D(2; 4), A, C ∈ {(3; 3), (3; 5)} Tam giác ABC trực tâm H(2, 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(1, 0), trung điểm BC thuộc đường thẳng (d) : x − 2y − = Tìm tọa độ B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E(6, −1) hoành độ điểm B nhỏ ĐA: b(2; 3),C(4; −1) Cho tam giác ABC cân B nộp tiếp đường tròn (C) tâm I(0; 5) Đường thẳng BI cắt đường tròn (C) M (5; 0) Đường cao kẻ từ 17 C cắt đường tròn (C) D − ; − Tìm tọa độ A, B, C biết 5 hoành độ điểm A dương ĐA: C(7, 4), A(1, −2) 10 Cho đường thẳng d : x + y + = A(2; 1), B(−1; −3), C(1; 3) Tìm M thuộc d cho: (a) |M A − M B| lớn (b) M A2 + M B − M C nhỏ −→ − → − → − − − (c) M A + M B + M C nhỏ 11 Cho tam giác ABC có A ∈ Ox(0 < xA < 2, 5) Hai đường cao hạ từ B, C có phương trình (d1 ) : x − y + = 0; (d2 ) : 2x + y − = Tìm tọa độ A, B, C để diện tích tam giác ABC lớn 49 ĐA: A ;0 ,B − ;− 2 ;C ; −3 12 Cho tam giác ABC đường thẳng ∆ : x − 3y − = Giả sử D 4; , E 14 ; 19 , N (3; 3) theo thứ tự chân đường cao từ A, B 10 trung điểm AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết trung điểm M BC nằm ∆ hoành độ điểm M nhỏ 13 Cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0)và trung điểm BC I(6; 1) Đường thẳng AH : x + 2y − = Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DEx − = điểm D có tung độ dương ĐA: A(−1; 2), B(4; −3), C(8; 5) 50 −→ − −→ − HD 49 Em chứng minh AH = 2IM chưa? Hai tam giác ABH, M N I đồng dạng (N trung điểm AC) Điểm B giao điểm BC đường tròn tâm I ĐA: Xem HD10 − tr.11 HD 50 Có yếu tố vng góc "quyết định" tốn Em vẽ hình tự phát Y HD3 − tr.10/ N HD23 − tr.26 HD 51 Bài nên sử dụng hệ số góc để làm cho tiện Gọi k hệ số góc đường thẳng OB Hãy tìm tọa độ B, C theo k Y HD27 − tr.26/ N HD8 − tr.10 HD 52 Sử dụng hai tính chất GA = GD = GB DG ⊥ AK ta viết phương trình GD, tìm tọa độ G, A, K, B ĐA: Xem HD25 − tr.26 HD 53 ĐA: A 3; 13 HD 54 Gọi I tâm hình chữ nhật Em chứng minh IN = IA Từ tìm I, C Y HD21 − tr.26/ N HD32 − tr.33 HD 55 ĐA: C1 (2; −1), D1 , B1 ∈ {(4; 1), (−4; 3)}, C2 (−1; −4),B2 , D2 ∈ {(−1; 0), (−2; −5)} HD 56 Giả thiết đề giống phương trình đường thẳng, S giống tổng hai đoạn thẳng Em có thấy quen quen khơng? Y HD18 − tr.25/ N HD11 − tr.11 HD 57 ĐA: C(0; 2), B ;− 5 HD 58 Đường thẳng BC tiếp tuyến chung hai đường tròn tâm I, J Ngoài ra, P = BC ∩ IJ Em tìm tọa độ P Y HD31 − tr.33/ N HD13 − tr.11 HD 59 Gọi I tâm hình bình hành Em chứng minh I ∈ (C) Y HD30 − tr.33/ N HD17 − tr.25 51 Mục lục Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: 1.2.2 Bốn loại phương trình đường thẳng 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng 1.2.4 Chùm đường thẳng 1.3 Góc khoảng cách 1.4 Phương trình đường trịn 1.5 Phương trình Elip 5 5 7 Một số kĩ thuật 12 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 12 2.1.1 Dựa vào hệ điểm 12 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm hai đường 13 2.1.3 Điểm thuộc đường 15 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên đường thẳng 15 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 17 2.4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cách điểm cho trước khoảng cho trước 18 2.5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, tạo với đường thẳng khác góc cho trước 19 2.6 Viết phương trình đường phân giác góc 20 2.7 Viết phương trình đường trịn qua ba điểm 23 2.8 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm đường tròn 24 Phương pháp giải toán 27 Bài tập tự luyện 48 52 ...• Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ phương − Nếu → vectơ pháp tuyến (vectơ phương) đường thẳng n − d k →(k = 0) vectơ pháp tuyến, vectơ phương n d 1.2.2 Bốn loại phương. .. tìm tọa độ H, phương trình HB, tham số hóa tọa độ B, C, tìm B, C (vì M trung điểm), phương trình AI cuối tọa độ A ĐA: Xem HD40 − tr.36 HD Gọi K trung điểm DH Em chứng minh AK ⊥ KM Bây tìm phương. .. thẳng Để tìm tọa độ hình chiếu H M lên đường thẳng d ta có cách: 15 • Cách 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d Điểm H giao điểm d ∆ • Cách 2: Tham số hóa tọa độ H ∈ d dựa vào