MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Đề tài áp dụng cho tất học sinh bậc trung học phổ thông - Giáo viên dùng làm tài liệu tham khảo Thời gian áp dụng sáng kiến - Từ tháng năm 2010 đến tháng năm 2015 Tác giả - Họ tên: PHẠM VĂN PHI - Năm sinh: 1984 - Nơi thường trú: Nam Trực, Nam Định - Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Sư phạm tốn - Chức vụ: TKHĐ, giáo viên mơn Tốn - Nơi làm việc: Trường THPT C Nghĩa Hưng - Địa liên hệ: Trường THPT C Nghĩa Hưng - Điện thoại: 0902277186 Đơn vị áp dụng sáng kiến - Trường THPT C Nghĩa Hưng - Địa chỉ: Khu Đơng Bình, thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, NĐ - Điện thoại: 035033728748 MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các tốn Phương pháp tọa độ mặt phẳng tốn khơng đơn giản học sinh phổ thơng, nằm chương trình lớp 10 học sinh lớp 12 thấy toán khó, làm cách để giải tốt tốn? Theo quan điểm cá nhân, có hai hướng tiếp cận toán, hướng thứ sử dụng tốn với tính chất sẵn có tốn, hướng thứ hai vận dụng tính chất hình học sơ cấp toán phức tạp, mức độ cao Để tiếp cận hai hướng giải rõ ràng điều người học cần phải nắm lí thuyết, lí thuyết phép tốn véc tơ, phép biến đổi véc tơ, khái niệm điểm, phương trình đường thẳng cơng thức liên quan đến góc khoảng cách Những khái niệm điều quan trọng để tiếp cận tốt toán, không thuộc nhớ không kĩ chẳng dẫn đến đâu Khi nắm khái niệm liên quan rồi, người học lúc cần phát huy tính chất hình giải tốn, hình tam giác, người học cần khai thác tính chất đường đặc biệt tam giác: đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường trung bình; tiếp đến phải phát huy đặc điểm điểm đặc biệt tam giác trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác số mối quan hệ điểm Khơng vậy, người học cần phát huy tam giác đặc biệt tam giác cân, tam giác vng, tam giác đều, … hình tứ giác mà điển hình hình chữ nhật, hình vng, hình thang, hình bình hành, hình thoi… rõ ràng toán bản, cần nắm cách giải tam giác chuyển sang tứ giác điều đơn giản; nhiên tốn mức độ cao liên quan đến tính chất hình học sơ cấp hình có, lúc người học cần phải phát huy tối đa lực thân may tiếp cận có hiệu tốn II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bài viết đưa nhằm hỗ trợ phần cho người học có cách tiếp cận tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng cách hiệu nhất, giải khó khăn dạng tốn mang lại III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 10 - Học sinh lớp 12, ôn thi THPT Quốc gia - Giáo viên Toán IV GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Trong viết đề cập đến số định hướng từ toán tính chất sẵn có giả thiết toán tập trung đến dạng toán liên quan đến điểm đường thẳng; hướng tiếp cận tốn sử dụng tính chất hình sơ cấp (tính song song, vng góc, thẳng hàng, đồng quy …) tiếp cận toán đường tròn tiếp tục nghiên cứu bổ sung sau B NỘI DUNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT CƠ BẢN Điểm - đường thẳng a Phương trình đường thẳng r - Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) nhận n = ( a; b ) làm véc tơ  x = x0 + at phương có phương trình tham số là:   y = y0 + bt r - Đường thẳng qua điểm A ( x0 ; y0 ) nhận n = ( a; b ) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng qt dạng: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = hay ax + by + c = - Đường thẳng d vng góc với d’: ax + by + c = d có phương trình dạng : bx − ay + c ' = - Đường thẳng d song song với d’: ax + by + c = d có phương trình dạng: ax + by + c ' = ( c ' ≠ c ) b Khoảng cách góc - Khoảng cách hai điểm AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) - Khoảng cách từ A ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = tính công thức d ( A; ∆ ) = ax0 + by0 + c a + b2 - Khoảng cách hai đường thẳng song song: d ( d ; ∆ ) = d ( M ; ∆ ) với M ∈d - Khi xác định diện tích tam giác ABC d ( A; d ) = 2S ABC ; với BC d ≡ ( BC ) - Cho hai đường thẳng cắt d: ax + by + c = d’: a ' x + b ' y + c ' = , thì: +) cos ( d , d ' ) = aa '+ bb ' a + b a '2 + b ' +) Phương trình đường phân giác tạo hai đường thẳng d, d’ là: ax + by + c a +b 2 = a'x + b' y + c' a '2 + b '2 c Điểm Đối với tốn xác định điểm, quan điểm “hình học” điểm giao đường (đường thẳng, đường tròn), tìm điểm tình việc xác định tương giao đường; quan điểm “đại số” điểm gồm thành phần hoành độ tung độ, tìm điểm tình tìm mối quan hệ hai thành phần điểm để từ đưa tốn tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình Lưu ý điểm M thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = , ta gọi điểm  −at − c   −bt − c  M  t; ; t ÷ với t tham số (đây gọi tham số ÷ M  b    a  hóa điểm M) Khi việc xác định điểm M cần tìm yếu tố liên quan đến điểm M, yếu tố vng góc, khoảng cách, song song, góc, diện tích … hay yếu tố hình học có liên quan Một số toán sở viết phương trình đường thẳng Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng cho trước góc xác định Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua điểm cách điểm cho trước khoảng không đổi xác định Khai thác đường đặc biệt tam giác: + Đường cao, trực tâm: Yếu tố vng góc + Đường trung tuyến, trọng tâm: Đường trung tuyến AE, G trọng tâm tam giác, ta có: x A + xB + xC   xG = uuur uuur AE = AG  y + y + y A B C y = G  · D = CA · D ; điểm + Đường phân giác: Đường phân giác AD, BA M thuộc AB, M’ điểm đối xứng M qua phân giác AD, M’ thuộc AC + Đường trung trực, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Vận dụng yếu tố trên, sau ta tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, vận dụng hướng thứ toán Các ví dụ đưa phân tích trích từ đề thi ĐH - CĐ năm gần đề thi thử ĐH số trường Ví dụ 1: (B - 02) Cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo 1  I  ;0 ÷, phương trình đường thẳng AB x - 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ 2  đỉnh A, B, C, D hình biết A có hồnh độ âm Giải: • Nhận xét: Đây tốn u cầu tìm điểm, ta có hai hướng tìm điểm theo hai quan điểm đại số hình học rõ ràng Khai thác thêm giả thiết hình chữ nhật ta có tiếp cận tốn theo hướng sau: Cách Tham số hóa điểm A nằm đường thẳng AB A(2a -2; a), (2a-2 < 0) + Đường thẳng AD vuông góc với AB nên đường AD có phương trình dạng 2x + y + c = , đường AD qua điểm A nên ( 2a − ) + a + c = ⇒ c = − 5a Vậy đường AD có phương trình dạng: 2x + y + - 5a = Theo giả thiết ABCD hình chữ nhật, AB = 2AD nên ta có d ( I ; AB ) = Hay +2 12 + ( −2 ) d ( I , AD ) 2 + − 5a a = ⇔ − 5a = ⇔  a = 2(l ) Suy A(- 2; 0), = 2  +2 Do I trung điểm AC nên ta có tọa độ C(3; 0) + Đường thẳng CB vng góc với AB nên có dạng: 2x + y + c’ = 0, CB qua điểm C nên ta có 2.3 + c’ =0 ⇒ c ' = −6 , đường BC có phương trình x + 2y - = x + y − = x = ⇔ + B = BC ∩ AB nên tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình:  x − y + = y = Vậy B(2; 2), I trung điểm BD nên tọa độ D(-1; - 2) Cách AB · cosCAB = = AC Nhận thấy, từ giả thiết ta có AB AB + BC 2 = AB  AB  AB +  ÷   = 1  + Viết phương trình đường thẳng AC: Đi qua I  ;0 ÷ tạo với đường thẳng AB 2  · · = góc xác định CAB mà cosCAB r + Gọi VTPT đường thẳng AC n = ( a; b ) (a, b không đồng thời 0) 1  Đường thẳng AC qua điểm I nên có dạng: a  x − ÷+ b ( y − ) = hay 2  a − 2b a · c os AC , AB = c os CAB ⇔ = ( ) ax + by − = Ta có 12 + ( −2 ) a + b a = ⇔ a − 2b = a + b ⇔ 3a + 4ab = ⇔  3a+4b = TH1 Với a = 0, phương trình đường AC y = x − y + =  x = −2 ⇔ Khi đó, tọa độ A nghiệm hệ  (t/m) y = y = Vậy A(- 2;0) Do I trung điểm AC, nên tọa độ C ( 3;0 ) + Đường thẳng CB vuông góc với AB nên có dạng: 2x + y + c’ = 0, CB qua điểm C nên ta có 2.3 + c’ =0 ⇒ c ' = −6 , đường BC có phương trình x + 2y - = x + y − = x = ⇔ + B = BC ∩ AB nên tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình:  x − y + = y = Vậy B(2; 2), I trung điểm BD nên tọa độ D(-1; - 2) Cách Gọi M trung điểm AB, theo giả thiết ABCD hcn, AB = 2AD nên ta có tam giác MIA vuông M, IM = d ( I ; AB ) AM = 2IM Mà IM = d ( I ; AB ) = +2 12 + ( −2 ) nên AI = AM + IM = ( IM ) = + IM = + Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, đường trịn có 2 1  5 tâm I, bán kính IA có phương trình là:  x − ÷ + y =  ÷ 2  2 A, B giao điểm đường thẳng AB đường tròn (I; IA) nên tọa độ điểm A, B x − y + =  2 thỏa mãn hệ phương trình  1 5  x − ÷ + y =  ÷     Giải hệ ta A ( −2;0 ) , B ( 2;2 ) (vì A có hồnh độ âm) I trung điểm hai đường chéo AC, BD nên suy C ( 3;0 ) , D ( −1; −2 ) • Nhận xét: Đối với cách thứ nhất, có lối suy nghĩ đơn giản, phù hợp với học sinh mức độ trung bình khá, lời giải có thiên hướng đại số hóa, khơng cần nhiều phép biến đổi phức tạp mà giải toán cách tối ưu Cách ta thấy sử dụng tốn viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng cho trước góc xác định, lối tư đơn giản địi hỏi cần có suy luận để xác định góc (điều giả thiết khơng đưa ra) Đối với cách thứ 3, hướng sử dụng hình học để xác định điểm rõ ràng, không điểm giao hai đường thẳng mà điểm giao đường thẳng đường trịn Ví dụ (D-12) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD; đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x - y + = 0,   đường thẳng BD qua điểm M  − ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật   ABCD? Giải: • Nhận xét: Bài tốn u cầu tìm tọa độ điểm nên trước tiên ta phải nghĩ đến hai hướng sau: Hướng thứ viết phương trình hai đường thẳng qua điểm cần tìm tọa độ giải hệ (hướng hình học) Hướng thứ hai gọi tọa độ điểm lập hệ phương trình để giải (hướng đại số hóa) Trên sở ta có cách tiếp cận tốn sau: Cách x + 3y =  x = −3 ⇔ + A = AD ∩ AC , nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ PT:  x − y + = y =1 Vậy A(- 3; 1) + Viết phương trình đường thẳng BD: Đi qua M tạo với đường thẳng AD · góc α mà α = DAC xác định r Gọi n = ( a; b ) VTPT đường BD (a, b không đồng thời 0), đường thẳng 1  BD qua M, nên đường BD có dạng: a  x + ÷+ b ( y − 1) = 3  hay ax + by + a · − b = (1) Theo tính chất hình chữ nhật, ta có ·ADB = DAC · suy cos ·ADB = cos DAC hay 10 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương a < 70 ) ( ( Do C có hồnh độ dương, nên B −2 − 74 − a ; a , C −2 + 74 − a ; a uuur uuur AC ⊥ BH , suy : AC.BH = ⇔ ( 74 − a − )( ) ) 74 − a + + ( a + ) ( −1 − a ) =  a = −7 (l ) ⇔ a + 4a − 21 = ⇔   a = (tm)  ( ) Vậy C −2 + 65;3 • Nhận xét : Cách sử dụng tính chất trọng tâm tính chất đường thẳng Euler tam giác, lời giải với phép suy luận đơn giản, dễ biến đổi, nhiên để sử dụng tính chất HS phải biết phải chứng minh trước sử dụng Cách đề xuất Bộ GD đưa khơng sử dụng tính chất trọng tâm, sử dụng giả thiết ban đầu toán, nhiên lời giải khó khăn phương trình đường thẳng BC không đơn giản Rõ ràng ta có định hướng tiếp cận tốn giả thiết có nhắc đến suy luận đến hai ba yếu tố : Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài tập vận dụng Bài 3.1 (THTT 2014) Cho tam giác ABC biết A(- ; 1), trực tâm H(1; 3), trung điểm cạnh BC điểm M(5; 5) Xác định tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Định hướng cách giải: uuur + Áp dụng tính chất trọng tâm AG = r uuuu AM , suy tọa độ điểm G uuur r uuu + Áp dụng tính chất đường thẳng Euler HG = HI , suy tọa độ điểm I (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 25 + Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, tâm I, bán kính IA + Viết phương trình đường BC: Qua M vng góc với AH + Tọa B, C giao BC đường tròn (I; IA) Bài 3.2 (Chuyên Phan Bội Châu - NA) Cho tam giác ABC có trực tâm H(-1; 4), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(-3; 0) trung điểm cạnh BC M(0; -3) Viết phương trình đường thẳng AB, biết B có hồnh độ dương Định hướng cách giải: uuur r uuu + Áp dụng tính chất đường thẳng Euler HG = HI , suy tọa độ trọng tâm G uuur + Áp dụng tính chất trọng tâm AG = r uuuu AM , suy tọa độ điểm A + Viết phương trình đường BC: Qua M vng góc với AH + Tọa B, C giao BC đường trịn (I; IA) + Viết phương trình đường AB: Qua A, B Định hướng khoảng cách tiếp cận tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A ( −4; −1) , B ( 3; −2 ) tâm I thuộc đường thẳng x − y + = Tìm tọa độ đỉnh C, D biết hình bình hành ABCD có diện tích 34 đỉnh C có hồnh độ âm Giải: + Theo tính chất hình bình hành, ta có SVIAB = S ABCD Theo giả thiết S ABCD = 34 ⇒ SVIAB = Mặt khác SVIAB = 17 2S d ( I , AB ) AB ⇒ d ( I , AB ) = VIAB (1) AB Mà đường AB qua điểm A, B có phương trình : x + 7y + 11 = (2) AB = ( + 4) 2 + ( −2 + 1) = Gọi I ( t ; t + ) ∈ d (3) 26 Từ (1), (2), (3) ta có : t + ( t + ) + 11 12 + t = −1(tm) 17 = ⇔  21 t = (l )  Với t = -1, suy I(-1 ; 1) Áp dụng tính chất trung điểm I, suy tọa độ C(2; 3) D ( −5;4 ) Ví dụ 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB, BD lần lựot có phương trình x + y + = x − y − = , điểm M thuộc cạnh BC cho MC = MB diện tích tam giác MBD 11 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết D có hoành độ dương Giải: + Theo giả thiết MC = MB hay BM = BC Lại có SVDMB = 1 d ( D; BC ) BM ; SVDBC = d ( D; BC ) BC 2 Nên SVDMB = SVDBC , mà S ABCD = 2SVDBC ⇒ S ABCD = 6SVDMB , kết hợp giả thiết nên suy diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD = 22 3x + y + = + B = BA ∩ BD nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ PT:  , suy B(1; 2x − y − = -1) + Đường BC vng góc với AB qua điểm B nên có pt: 4x - 3y - = + Gọi D ( t ;2t − 3) ∈ BD Ta có d ( D, AB ) d ( D, BC ) = S ABCD Hay 3t + ( 2t - 3) +1 4t - 3( 2t - 3) - t = = 22 ⇔ ( t − 1) = 25 ⇔  t = −4 32 + 42 32 + 42 Với giả thiết hoành độ D dương, nên với t = ta có D(6; 9) + Đường DC qua D song song với AB nên có phương trình 3x + 4y - 54 = 27 4 x − y − = + C = CD ∩ CB nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ PT:  , suy 3x + y − 54 =  81 39  C  ; ÷ Gọi I giao điểm hai đường chéo, I trung điểm BD nên  10  7  I  ;4 ÷ 2   11  I trung điểm AC nên suy tọa độ điểm A ; ữ 10 ã Nhn xét: Rõ ràng tốn với giả thiết diện tích cho ta định hướng sử dụng khoảng cách để giải toán Bài tập vận dụng Bài 4.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I ( 3;3) AC = BD   4 3  13  ÷ thuộc đường thẳng CD  3 Điểm M  2; ÷ thuộc đường thẳng AB , điểm N  3; Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ Định hướng cách giải: + Tìm tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I , + Viết PT (AB) qua M, N’ + Tính IH = d ( I , AB ) = , tính IB 10 + Tham số điểm B(t) thuộc đường AB, vận dụng đoạn IB tính điểm B + Viết phương trình đường BD : Qua B, I Bài 4.2 (A 2012) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm thuộc cạnh CD cho CN = ND , biết ổ 11 Mỗ ; ữ ữ ỗ ữ, AN :2 x = y - = Tỡm ta nh A ỗ ố2 ứ nh hướng cách giải: 28 Đặt cạnh AB = a Þ AN = a 10 a 5 , AM = , S AMN = a 12 + Tính d ( M ; AN ) = Þ a =3 + Tham số tọa độ điểm A(t ) Ỵ AN , + Lập khoảng cách AM theo tham số t, giải phương trình AM = 10 Þ A Bài 4.3 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vng ABCD biết đỉnh ỉ 17 A( 1;3) , M ( 6;4) ẻ BC , N ỗ ; ữ ữ ỗ ữẻ DC Tỡm ta cỏc nh B, C, D ỗ ố2 2ứ nh hng v cách giải: r + Gọi n ( a; b) ( a + b > 0) VTPT AD, lập PT cạnh AD (theo a, b) + Lập PT cạnh DC qua N vng góc với AD (theo a, b) + Mà: d ( M , AD ) = d ( A; DC ) , suy mối quan hệ a b, Chọn a (hoặc b) + Suy phương trình AD, DC, AB + Suy tọa độ B, D, tọa độ tâm I, từ suy tọa độ C Bài 4.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I, biết cạnh AB, CD có phương trình AB : x − 3y − = , CD : x − 3y − 18 = I thuộc đường thẳng d : x + y − = Viết phương trình cạnh cịn lại hình vng, biết điểm B có hồnh độ nhỏ Định hướng cách giải + Do I ∈ d nên I ( a;1 − a ) , GPT d ( I ; AB ) = d ( I ; CD ) ⇒ I ( 2; −1) ⇒ d ( I ; AB ) = 29 + Lập PT cạnh BC: Vng góc với AD thỏa mãn d ( I ; BC ) = + Lập phương trình đường AD: Vng góc với AB thỏa mãn d ( I ; AD ) = Bài 4.5 Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có AB = AD, điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng (d ) : x − y − 25 = cắt đoạn thẳng AD CD theo thứ tự M N cho BM ⊥ BC tia BN tia phân giác góc MBC Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ D số dương) Bài 4.6 Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x + y + = A ( −4;8 ) Gọi M điểm đối xứng với B qua C, N hình chiếu vng góc B MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N ( 5; −4 ) Bài 4.7 Trong mặt phẳng ( C ) : x2 + y2 − 2x − y = với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn điểm M ( 6;2 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho MA3 + MB = 90 10 Bài 4.8 Trong mặt ( C ) : x + y − 18 x − y + 65 = phẳng Oxy, cho hai đường tròn 2 ( C ') : x + y = Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B tiếp điểm Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB 24 Định hướng Góc, tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng Định hướng góc phân tích qua ví dụ đầu viết, dựa toán sở viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng cho trước góc xác định Ta phân tích thêm số ví dụ với tốn định hướng góc để giải tốn Ví dụ 11 (Chun Quốc học - Huế 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD Biết đường thẳng AC có phương trình 2x - y - = 0; đỉnh A(3; 5) điểm B thuộc đường thẳng d: x + y - = Tìm tọa độ đỉnh 30 B, C, D hình thoi Giải: +Gọi I tâm hình thoi, ta có AC BD vng góc với cắt trung điểm I đường, theo giả thiết suy AI = 2BI Trong tam giác vuông IAB, ta có · cos BAI = AI = AB AI AI + IB = IB ( IB ) + IB qua A tạo với AC góc ϕ mà cosϕ = Như đường thẳng AB = r + Gọi n = ( a; b ) VTPT đường thẳng AB, AB qua A nên có phương trình dạng: a ( x − 3) + b ( y − ) = hay ax + by - 3a - 5b = Đường AB qua A tạo với AC góc ϕ mà cosϕ = Nên ta có 2a − b a + b 2 + ( −1) = b = ⇔ 2a − b = a + b ⇔ 4a − 4ab + b = ( a + b ) ⇔ 3b + 4ab = ⇔  3b + 4a=0 TH1 Với b = 0, đường AB là: x - = 0, tọa độ điểm B thỏa mãn hệ PT: x + y −1 = , suy B(3; -2)  x − = + Viết phương trình đường thẳng BD: Đi qua B vng góc với AC, đường BD có phương trình x + 2y + = x + 2y +1 = + Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ PT:  , suy điểm 2 x − y − = 1 3 I  ;− ÷ 5 5  13 31   13  + I trung điểm AC, BD nên tọa độ C  − ; − ÷, D  − ; − ÷ 5   5 31 TH2 Với 3b+4a =0, chọn b = -4, a = 3, ta phương trình AB: 3x - 4y + 11 = x + y −1 = tọa độ điểm B thỏa mãn hệ PT:  , suy B(-1; 2) 3 x − y + 11 = + Viết phương trình đường thẳng BD: Đi qua B vng góc với AC, đường BD có phương trình x + 2y - = x + y − = + Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ PT:  , suy điểm I ( 1;1) 2 x − y − = + I trung điểm AC, BD nên tọa độ C ( −1; −3) , D ( 3;0 ) • Nhận xét: Sử dụng tính chất hình thoi giả thiết, ta tính góc · , góc đỉnh A nằm đường AC cho, nhờ ta có định hướng BAI sử dụng góc viết phương trình đường thẳng Sau ta xét thêm số ví dụ định hướng góc giải tốn Ví dụ 12 (chun Vĩnh Phúc 2014) Cho hình vng ABCD có M trung điểm cạnh BC, phương trình đường DM: x - y - = C(3; -3) Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d có phương trình 3x + y - = Tìm tọa độ A, B, D Giải CD · D M = CD = cos C = + Ta có DM CD + CM 2CM ( 2CM ) + CM = r + Gọi n = ( a; b ) VTPT đường thẳng CD (a, b không đồng thời 0), CD qua C nên có phương trình dạng: a ( x − 3) + b ( y + 3) = hay ax + by - 3a + 3b = 32 Đường CD qua C tạo với DM góc ϕ mà cosϕ = a −b a + b 12 + ( −1) = Nên ta có 5 ⇔ a − b = 2 a + b ⇔ 5a − 10ab + 5b = ( a + b ) ⇔ 3a + 3b + 10ab = 3a + b = ⇔ 3b + a=0 TH1 3a + b = 0, chọn a = 1, b = -3, ta đường CD: x - 3y - 12 =  x − y − 12 = + Tọa độ điểm D thỏa mãn hệ PT:  , suy D(-3; -5) x − y − = + Viết phương trình đường DA: Đi qua D vng góc với DC Khi đường AD có phương trình: 3x + y + 14 = 3 x + y + 14 = + Tọa độ A thỏa mãn hệ PT:  (Vô nghiệm) 3 x + y − = TH2 a +3 b = 0, chọn a = 3, b = -1, ta đường CD: 3x - y - 12 = 3 x − y − 12 = + Tọa độ điểm D thỏa mãn hệ PT:  , suy D(5; 3) x − y − = + Viết phương trình đường DA: Đi qua D vng góc với DC Khi đường AD có phương trình: x + 3y - 14 =  x + y − 14 = + Tọa độ A thỏa mãn hệ PT:  , suy A(-1; 5) 3 x + y − = + Gọi I tâm hình vng, I trung điểm AC nên I(1; 1), I trung điểm BD nên tọa độ B(-3;-1) Vậy A(-1; 5), B(-3;-1), D(5; 3) Một số tập định hướng góc: Bài 5.1 Cho hình chữ nhật ABCD với AB = AD Gọi N điểm thuộc cạnh AB thỏa mãn AN = AB Biết đường thẳng DN có phương trình x + y − = I ( 1;3) tâm hình chữ nhật ABCD Tìm tọa độ đỉnh B 33 Định hướng cách giải: + Đặt AD = a, dựa vào giả thiết tốn, tính đoạn thẳng AN, ND, DN, AB theo A, giải tam giác DNB suy · cos NDB = 10 + Viết phương trình đường thẳng BD: Đi qua I · · tạo với đường DN góc NDB mà cos NDB = 10 + D = DN ∩ DB , nên suy tọa độ điểm D + I tâm hcn, I trung điểm BD nên suy tọa độ B Bài 5.2 ( A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử  11  M  ; ÷và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A  2 Định hướng cách giải: + Đặt AD = a Tính đoạn AN, AM MN theo a, · = giải tam giác AMN ⇒ cos NAM · ⇒ NAM = 450 + Viết phương trình đường thẳng AM: Qua M tạo với đường AN góc 450 + Tìm tọa độ A = AN ∩ AM Bài 5.3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phương trình cạnh BC x + y − = , phương trình đường chéo BD x + y − = , đường chéo AC qua M ( −5;2 ) Hãy tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Định hướng cách giải: + Tìm tọa độ B = BC ∩ BD + Viết PT đường thẳng AC : Đi qua M tạo với · BC góc j = DBC , với cosj = cos ( BD, BC ) 34 + Xác định tọa độ điểm I = AC ∩ BD , suy tọa độ điểm D + Xác định tọa độ điểm C = AC ∩ BC , suy tọa độ điểm A Bài 5.4 Cho hình vng ABCD có tâm I ( 1; −1) Gọi M điểm thuộc cạnh CD thỏa mãn MC = MD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đường thẳng AM : x − y − = Định hướng cách giải: + Đặt AD = a Tính đoạn AC, AM MC theo a, giải · = tam giác AMC ⇒ cos CAM + Viết PT cạnh AC: Đi qua I tạo với đường AM · · = góc j = CAM , với ⇒ cos CAM suy A, C + Viết PT đường chéo BD, suy B, D Bài 5.5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC , biết chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A lên cạnh BC D ( 1; −1) , phương trình cạnh AB :3x + y − = , tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC At : x + y − = Viết phương trình cạnh BC Định hướng cách giải: · = + Tìm A , Tính cos DAt + Sử dụng mối quan hệ số đo cung góc chắn · · cung, chứng minh BDA = DAt + Viết phương trình đường thẳng BC: Đi qua D tạo · DA = cos DAt · · = với đường thẳng AD góc j = BDA , với cos B 35 Kết luận: - Trong dạy học giải tập toán nói chung dạy học giải tập tốn hình giải tích mặt phẳng nói riêng, việc xây dựng toán riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư tốn tạo niềm vui hứng thú học tốn - Trong đề tài tơi mơ tả minh họa cách tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, từ tập hợp nên toán với cách giải tương tự tiếp cận đến định hướng - Để tiếp tục phát triển đề tài, tiếp tục định hướng cách giải toán hình giải tích phẳng với đặc điểm xuất phát từ tốn hình phẳng túy, đồng thời mở sang phần đường tròn Nghĩa Hưng, ngày 27 tháng năm 2015 Người thực Phạm Văn Phi 36 PHỤ LỤC Danh mục tài liệu tham khảo Sách giáo khoa hình học 10 - NXB Giáo dục Tuyển tập tạp chí THTT năm 2014 - NXB Giáo dục Các đề thi thử ĐH trường THPT (nguồn Internet) Tài liệu tập huấn ôn thi THPT Quốc gia - Nguyễn Trung Sỹ Các chuyên đề, SKKN, giảng thầy cô trang web toán học: Mathvn.com; Diendantoanhoc.vn; Boxmath.vn; K2pi.net Đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ mơn Tốn từ năm 2002 - 2014 Bộ GD - ĐT 37 HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG PHIẾU ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………….***…………… Tên tác giả: Phạm Văn Phi Chức vụ, nơi công tác: TKHĐ, Giáo viên - Trường THPT C Nghĩa Hưng Tên SKKN: “Một số định hướng tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nhằm nâng cao kĩ giải toán học sinh” Lĩnh vực áp dụng SKKN: Hình học giải tích mặt phẳng PHẦN CHO ĐIỂM: I Trình bày II Tính III Phạm vi áp IV Hiệu KT - XH mà SKKN SKKN giải pháp dụng đem lại: Tính thành tiền, SKKN V Tổng điểm khơng tính thành tiền(Lợi ích xã hội, môi trường, cộng đồng…) ……… / điểm ………… / 20 điểm ………… / 15 điểm …………… ……… / 60 điểm /100 điểm Ý KIẾN NHẬN XÉT CỦA ỦY VIÊN HỘI ĐỒNG ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Nghĩa Hưng, ngày tháng năm 2015 Ủy viên hội đồng (Kí, ghi rõ họ tên) 38 HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN SỞ GD - ĐT NAM ĐỊNH PHIẾU ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………….***…………… Tên tác giả: Phạm Văn Phi Chức vụ, nơi công tác: TKHĐ, Giáo viên - Trường THPT C Nghĩa Hưng Tên SKKN: “Một số định hướng tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nhằm nâng cao kĩ giải toán học sinh” Lĩnh vực áp dụng SKKN: Hình học giải tích mặt phẳng PHẦN CHO ĐIỂM: I Trình bày II Tính III Phạm vi áp IV Hiệu KT - XH mà SKKN SKKN giải pháp dụng đem lại: Tính thành tiền, SKKN V Tổng điểm khơng tính thành tiền(Lợi ích xã hội, mơi trường, cộng đồng…) …………… ………… / điểm / 20 điểm …………… / 15 điểm ………………… ……… / 60 điểm / 100 điểm Ý KIẾN NHẬN XÉT CỦA ỦY VIÊN HỘI ĐỒNG ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Nam Định, ngày tháng năm 2015 Ủy viên hội đồng (Kí, ghi rõ họ tên) 39 ...MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các tốn Phương pháp tọa độ mặt phẳng. .. C Nghĩa Hưng Tên SKKN: ? ?Một số định hướng tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng nhằm nâng cao kĩ giải toán học sinh? ?? Lĩnh vực áp dụng SKKN: Hình học giải tích mặt phẳng PHẦN CHO ĐIỂM: I Trình... toán giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư toán tạo niềm vui hứng thú học toán - Trong đề tài mô tả minh họa cách tiếp cận toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, từ