Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong trong mặt phẳng

9.1 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 9.1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 1), B(2; 5), C(4; 3).Tính tọa độ điểm D xác định bởi −−→ AD = 3−−→AB−2−−→AC

Bài 9.2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3) Tính tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình

bình hành Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành

Bài 9.3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(1; 4), N(3; 0), P(−1; 1).

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 9.4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; −1), B(5; −3); đỉnh C trên trục Oy và trọng tâm G của tam

giác nằm trên trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C.

Bài 9.5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1; −2) Tìm trên trục hoành điểm M sao cho đường trung trực của đoạn AM đi

qua gốc tọa độ O.

Bài 9.6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có : A(−1; 2), B(2; 0), C(−3; 1).

a) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích tam giác ABM bằng1

3 diện tích tam giác ABC.

Bài 9.7 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 0), B(3; 0), C(2; 6).

a) Tìm tạo độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng ba điểm I, H, G thẳng hàng và −→ IH = 3−→IG

Bài 9.8 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−3; 2), B(4; 3) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB

vuông tại M.

Bài 9.9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 5), B(−4; −5), C(4; −1).

a) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của góc A.

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 9.10 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ −→a (2t; t), −→b =

‚√

2

2 t;

Œ

3 √

2

2 t , với t , 0 Chứng minh rằng góc giữa hai vectơ không đổi khi t thay đổi.

Bài 9.11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với −−→ AB = (a1; a2) và −−→AC = (b1; b2)

a) Chứng minh rằng diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức S = 1

2|a1b2 − a2b1|

b) Áp dụng, tính diện tích tam giác ABC, biết A(−2; −4), B(2; 8), C(10; 2).

Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com

9.2 Phương trình của đường thẳng

9.2.1 Các bài toán thiết lập phương trình đường thẳng

Bài 9.12 : Cho tam giác ABC đỉnh A(2; 2) Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x − 3y − 4 = 0 và x + y − 2 = 0 lần lượt

là phương trình các đường cao kẻ từ B và C của tam giác.

Bài 9.13 : Viết phương trình các đường trung trục của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB tương ứng là

M( −1; −1), N(1; 9), P(9; 1).

Bài 9.14 : Biết rằng A(1; 3) là đỉnh của tam giác ABC và x − 2y + 1 = 0, y = 0 là phương trình của hai đường trung tuyến của tam giác

này Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.15 : Trong mặt phẳng tọa độ cho P(2; 5) và Q(5; 1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường

thẳng này bằng 3

Bài 9.16 : Cho điểm A(8; 6) Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.

9.2.2 Các bài toán liên quan đến việc sử dụng phương trình đường thẳng

Bài 9.17 : Trong mặt phẳng tọa độ cho bốn điểm A(1; 0), B(−2; 4), C(−1; 4), D(3; 5) Giả sử ∆ là đường thẳng có phương trình 3x −

y − 5 = 0 Tìm điểm M trên ∆ sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

Bài 9.18 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và hai điểm A, B có tọa độ là A(2; −3) và B(3; −2) Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x − y − 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.

Bài 9.19 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và

đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0 Xác định tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

Bài 9.20 : Cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5) Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Bài 9.21 : Viết phương trình đường thẳng đi qua M(4; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy thành một tam giác có diện tích bằng 3 Bài 9.22 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC Biết cạnh AC có phương trình x + 3y − 3 = 0, đường cao AH có phương trình

x + y − 1 = 0, đỉnh C nằm trên Ox, B nằm trên Oy Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 9.23 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : x − y + 2 = 0 và d2 : 2x + y − 5 = 0 và điểm M(−1; 4) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1,d2 tại A và B tương ứng M là trung điểm của AB.

Bài 9.24 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(1; 0), B(2; 3) Viết phương trình đường thẳng d cách AB một khoảng bằng √10

Bài 9.25 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), đường trung tuyến BM, phân giác trong CD tương ứng có phương trình

2x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Bài 9.26 : Một hình thoi có một đường chéo cho phương trình x + 2y − 7 = 0, một cạnh có phương trình x + 3y − 3 = 0, một đỉnh là

(0; 1) Tìm phương trình các cạnh hình thoi

Bài 9.27 : Cho tam giác ABC với A(−6; −3), B(−4; 3),C(9; 2).

1 Viết phương trình ba cạnh của tam giác

2 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

3 Tìm điểm M trên AB, N thuộc AC sao cho MN song song BC và AM = CN.

Bài 9.28 : Trong mặt phẳng tọa độ cho d : 2x + 3y + 1 = 0 và điểm M(1; 1) Viết phương trình của các đường thẳng qua M và tạo với

d góc 45◦

Bài 9.29 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân, với A(1; −1), C(3; 5), đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0 Viết

phương trình cạnh AB, BC.

Bài 9.30 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0 Cạnh BC song song với d,

phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của AB là M(1; 1) Tìm tọa độ các đỉnh.

Bài 9.31 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân đỉnh A, có trọng tâm G 4

3;

1

3 Phương trình đường thẳng BC là x−2y−4 =

0, phương trình đường thẳng BG là 7x − 4y − 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Bài 9.32 : Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 0), hai đường cao xuất phát từ B và C có phương trình x−2y+1 = 0

và 3x + y − 1 = 0 Tìm diện tích tam giác ABC.

Bài 9.33 : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : 3x + 6y − 1 = 0 và điểm P(2; −1) Lập phương trình đường thẳng d qua P sao cho d cùng với d1,d2 tạo thành một tam giác cân đỉnh A, với A là giao điểm d1 và d2

Bài 9.34 : Tìm trên trục hoành cho điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 2), B(3; 4) là nhỏ nhất.

Bài 9.35 : Tam giác ABC có các cạnh AB, AC, BC tương ứng có phương trình x − y − 2 = 0, 3x − y + 5 = 0, x − 4y − 1 = 0 Viết phương

trình các đường cao của tam giác

Bài 9.36 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1 : 2x − y + 1 = 0; d2 : x − 2y − 3 = 0 đồng thời

chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau

Bài 9.37 : Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α là dα: (x − 1) cos α + (y − 1) sin α − 4 = 0 Chứng minh rằng với mọi α, họ đường

thẳng nói trên luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

9.2.3 Bài tập tổng hợp

Bài 9.38 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau :

a) ∆ đi qua hai điểm A(−2; 1) và B(1; 3).

b) ∆ cắt trục Ox tại điểm A(4; 0) và cắt trục Oy tại điểm B(0; −3).

Bài 9.39 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau :

a) ∆ đi qua điểm M(3; −5) và có hệ số góc k = 34

b) ∆ đi qua điểm M(8; 2) và song song với đường thẳng d : 2x − 3y + 5 = 0.

c) ∆ đi qua điểm M(−3; 2) và vuông góc với đường thẳng d : 3x + 4y + 7 = 0.

Bài 9.40 : Viết phương trình đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau :

a) ∆ có hệ số góc k = 1

2 và hợp với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

b) ∆ đi qua điểm M(8; 6) và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 9.41 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, biết ba trung điểm các cạnh của một tam giác là M(2; 1), N(5; 3), P(3; −4) Hãy lập

phương trình các cạnh của tam giác đó

Bài 9.42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3; 1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B

và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2; −2).

Bài 9.43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; −3).

a) Cho biết đường cao BH : 5x + 3y − 25 = 0, CK : 3x + 8y − 12 = 0 Viết phương trình cạnh BC.

b) Xác định tọa độ các đỉnh B và C nếu biết đường trung trực của AB là 3x + 2y − 4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4; −2) của tam giác ABC

Bài 9.44 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2; 3) Tìm điểm

B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 0).

Bài 9.45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + 1 = 0, ∆2 : 2x + y + 1 = 0 và điểm M(2; 1) Viết

phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng ∆1, ∆2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng

AB

Bài 9.46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0 và điểm M(−2; 0) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1,d2 làn lượt tại A và B sao cho −−→ MA = 2−−→MB

Bài 9.47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; −7), phương trình một đường cao và một trung tuyến

vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là : 3x + y + 11 = 0 và x + 2y + 7 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 9.48 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong

CD có phương trình lần lượt là : 2x + y + 1 = 0 và x + y − 1 = 0 Hãy viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 9.49 : Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết A(1; 3) và hai trung tuyến có các phương trình là : x − 2y + 1 = 0 và

y − 1 = 0

Bài 9.50 : Phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : 5x − 2y + 6 = 0, 4x + 7y − 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác

ABC, biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ

Bài 9.51 : Cho A(2; −1) và hai phân giác trong của góc B, C của tam giác ABC lần lượt có phương trình : x−2y+1 = 0 và x+y+3 = 0.

Viết phương trình cạnh BC.

Bài 9.52 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao

cho OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9.53 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(27; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại

M và N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

Bài 9.54 : Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 : 4x − my + 4 − m = 0 và ∆2 : (2m + 6)x + y − 2m − 1 = 0.

Bài 9.55 : Cho hai đường thẳng d1 : (m + 1)x + 6y + m = 0 và d2 : x + (m + 2)y + 1 = 0 Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2

a) cắt nhau b) song song với nhau c) trùng nhau

Bài 9.56 : Cho hai đường thẳng d1 : (a + 1)x − 2y − a − 1 = 0 và d2 : x + (a − 1)y − a2= 0

a) Tìm giao điểm I của d1 và d2

b) Tìm a để đường thẳng qua M(0; a), N(a; 0), với (a , 0) đi qua giao điểm I.

Bài 9.57 : Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là

AB : 2x + 3y − 5 = 0; BC : 3x − 4y + 1 = 0; CA : x − 2y + 1 = 0.

Viết phương trình đường cao của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.

Bài 9.58 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : mx + (m − 1)y + m − 3 = 0 và d2

8

<

:

x = (m − 1)t

y = m − 1 − 2t.

a) Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 trùng nhau

b) Tìm m để d1, d2 và ∆ : 2x + y − 1 = 0 đồng quy.

Bài 9.59 : Tính góc giữa hai đường thẳng d1 : 2x − y + 3 = 0 và d2 : x − 3y + 9 = 0.

Bài 9.60 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 :

8

<

:

x = 2 + at

y = 1 − 2t

và d2 : 3x + 4y + 12 = 0 Xác định a để góc hợp

bởi d1 và d2 bằng 45◦

Bài 9.61 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 1) và tạo với đường thẳng d :

2x + 3y + 4 = 0 một góc 45◦

Bài 9.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một tam giác cân có một cạnh đáy và một cạnh bên là có phương trình lần lượt là :

3x − y + 5 = 0 ; x + 2y − 1 = 0 Lập phương trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi qua điểm M(1; −3).

Bài 9.63 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 1 = 0 ; d2 : x + 2y − 7 = 0

Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tạo với d1,d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm A của d1 và d2

Bài 9.64 : Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB : 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD đi qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ nhật là I(4; 5).

Viết phương trình các cạnh còn lại

Bài 9.65 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−4; 5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng

7x − y + 8 = 0 Lập phương trình các cạnh của hình vuông.

Bài 9.66 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2; −1) và các đường thẳng :

d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0 và d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0.

Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m để PA + PB đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9.67 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(4; −3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : x − 2y − 1 = 0 sao

cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.

Bài 9.68 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với d

và cách d một khoảng bằng √5

Bài 9.69 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; 5) và cách điểm A(3; 2) một khoảng

bằng 1

Bài 9.70 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,viết phương trình đường thẳng ∆ cách điểm A(−2; 5) một khoảng bằng 2 và cách điểm

B(5; 4) một khoảng bằng 3

Bài 9.71 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết đỉnh A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm

I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Bài 9.72 : Cho A(1; 1), hãy tìm điểm B trên đường thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.

Bài 9.73 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ m : (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0.

a) Chứng minh rằng ∆m luôn đi qua một điểm cố định M khi m thay đổi.

b) Tìm m để ∆ m cắt đoạn thẳng AB, với A(2; 3), B(1; 0).

c) Tìm m để khoảng cạh từ A đến ∆ m là lớn nhất

Bài 9.74 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 :

3x − 4y + 1 = 0, ∆2 : 8x + 6y − 5 = 0

Bài 9.75 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 : 7x + y − 6 = 0

và d2 : x − y + 2 = 0.

Bài 9.76 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(6; 4), B(−3; 1), C(4; −2) Viết phương trình đường phân giác

trong của góc A.

Bài 9.77 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2) Viết phương trình đường phân giác trong

của góc A trong tam giác ABC.

Bài 9.78 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y − 2 = 0 và điểm M(6; 5).

a) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

b) Xác định tọa độ điểm M′đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.

Bài 9.79 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 2y + 1 = 0 và điểm A(0; 3) Vẽ AH vuông góc với d tại H và

kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH Tìm tọa độ điểm B.

Bài 9.80 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0; 6), B(2; 5) Trên đường thẳng d

tìm tọa độ điểm M sao cho :

a) MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

b) |MA − MB| đạt giá trị lớn nhất.

Bài 9.81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x − 2y + 8 = 0 và điểm M(−1; 5) Viết phương trình đường thẳng

∆ đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

Bài 9.82 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng song song

∆1 : 3x − 2y + 1 = 0 và ∆2 : 6x − 4y − 3 = 0.

Viết phương trình đường thẳng ∆3 đối xứng với ∆1 qua ∆2

Bài 9.83 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : 2x − y + 5 = 0 và d : x + 3y − 8 = 0 Viết phương trình đường

thẳng ∆′đối xứng với ∆ qua d.

Bài 9.84 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y − 6 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đối xứng với ∆ qua trục Ox.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đối xứng với ∆ qua trục Oy.

9.3 Đường tròn

Bài 9.85 : Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a) (C) : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0.

b) (C) : 16x2

+ 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0.

Bài 9.86 : Cho họ đường tròn (C m) có phương trình :

x2 + y2 + 4mx − 2my + 2m + 3 = 0.

a) Xác định m để (C m) là đường tròn

b) Tìm tập hợp tâm I của họ đường tròn.

Bài 9.87 : Cho họ đường tròn (C m) có phương trình :

x2 + y2 − 2mx + 2(m + 1)y − 12 = 0.

a) Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn (C m)

b) Tìm m sao cho bán kính đường tròn (C m) nhỏ nhất

c) Khi m, cho đường thẳng d : 3x − 4y + 12 = 0 Tìm điểm M trên (C2) sao cho khoảng cách từ M đến d là ngắn nhất.

Bài 9.88 : Cho họ đường tròn (C m) có phương trình :

x2 + y2 − 2mx + 2(m + 2)y + 2m2

+ 4m −12 = 0

a) Chứng minh rằng (C m) luôn là một đường tròn có bán kính không đổi

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m), từ đó suy ra (C m) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng

Bài 9.89 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(−4; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − 16 = 0.

Bài 9.90 : Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính AB, với A(1; 2), B(3; 4).

Bài 9.91 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3; 3), B(1; 1), C(5; 1).

Bài 9.92 : Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường thẳng ∆ : x − 2y + 4 = 0 một dây cung có độ dài bằng 4 Bài 9.93 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(−1; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x − 3y − 11 = 0 Bài 9.94 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B

và có bán kính R = √10

Bài 9.95 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0, có

bán kính R = √10 và tiếp xúc với đường thẳng d; 3x + y − 3 = 0.

Bài 9.96 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x − 4y − 31 = 0 tại

điểm A(1; −7) và có bán kính R = 5.

Bài 9.97 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc

với đường thẳng d : x − 7y + 10 = 0 tại điểm A(4; 2).

Bài 9.98 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + 2y − 5 = 0 tại điểm B(3; 1) Bài 9.99 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng ∆ : 4x + 3y − 2 = 0 và

tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0 và d2 : 7x − y + 4 = 0.

Bài 9.100 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(2; 0) và khoảng

cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5.

Bài 9.101 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y + 1 − √2 = 0 và điểm A(−1; 1) Viết phương trình đường

tròn (C) đi qua điểm A, qua gốc tạo độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.

Bài 9.102 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2; −1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox

và Oy.

Bài 9.103 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2

+ (y − 2)2

= 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0 Viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C′)

Bài 9.104 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 7y + 10 = 0 và đường tròn (C′) : x2 + y2

− 2x + 4y − 20 = 0 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; −2) và các giao điểm của đường thẳng d và (C′)

Bài 9.105 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C′) : x2 + y2 = 100 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường tròn (C′) tại điểm M(−6; 8) và có bán kính R = 6.

Bài 9.106 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 12x − 4y + 36 = 0 Viết phương trình đường tròn (C1)

tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.107 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(−1; 7), B(4; −3), C(−4; 1) Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội

tiếp tam giác ABC.

Bài 9.108 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1) và đường tròn (C) : (x − 1)2+ (y − 2)2= 9 Viết phương trình đường

thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho A là trung điểm EF.

Bài 9.109 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C) : (x − 1)2

+ (y + 3)2 = 25 theo một dây cung

có độ dài bằng 8

Bài 9.110 : Cho đường tròn (C) : x2

+ y2 + 2x − 4y − 20 = 0 và điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài :

a) lớn nhất ; b) nhỏ nhất

Bài 9.111 : Cho đường tròn (C) : x2

+y2−2x+4y+4 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d : 3x+4y−7 = 0

và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ lệ độ dài bằng 2.

Bài 9.112 : Cho đường tròn (C) : x2

+ y2 − 2x + 4y − 4 = 0 có tâm I và điểm M(−1; −3) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

Bài 9.113 : Cho đường thẳng d : x − y + 3 = 0 và đường tròn (C) : x2

+ y2 − 2x − 2y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Bài 9.114 : Cho các đường tròn

(C1) : x2 + y2 − x − 6y + 8 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 2mx − 1 = 0.

Tìm m để (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau

Bài 9.115 : Cho đường tròn (C) : x2

+ y2 = 1, đường tròn (C′) có tâm I(2; 2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB = √2

Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 9.116 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x + 2)2

+ (y + 2)2 = 25 tại điểm A(2; 1).

Bài 9.117 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2

− 6x − 4y + 11 = 0 tại điểm M(4; 3).

Bài 9.118 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2

+ y2 − x − 7y = 0 tại các giao điểm của (C) và đường thẳng

d : 3x + 4y − 3 = 0

Bài 9.119 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2

+ y2 − 4x + 6y + 3 = 0, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3.

Bài 9.120 : Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 8y + 1 = 0, biết rằng ∆ song song với đường thẳng

d : 5x + 12y − 6 = 0 Tìm tọa độ các tiếp điểm

Bài 9.121 : Cho A(3; 4) và đường tròn (C) : x2

+ y2 − 4x − 2y = 0.

a) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết rằng ∆ đi qua điểm A.

b) Giải sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M và N Hãy tính độ dài đoạn MN.

Bài 9.122 : Cho M(−3; 1) và đường tròn (C) : x2

+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0 Gọi T1,T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến

(C) Viết phương trình đường thẳng T1T2

Bài 9.123 : Cho đường thẳng d : x − y + 1 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x − 4y = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng tiếp

Õ

xúc với đường tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB = 60◦

Bài 9.124 : Xét đường thẳng d : √2x + my + 1 −√2 = 0 và hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 + 4x − 4y − 56 = 0.

a) Gọi I là tâm đường tròn (C1) Tìm m sao cho d cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó

b) Chứng minh (C1) tiếp xúc với (C2) Viết phương trình tổng quát của tất cả các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Bài 9.125 : Cho hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 10x − 6y + 30 = 0

có tâm lần lượt là I và J.

a) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H.

b) Gọi d là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2) Tìm tọa độ giao điểm K của d và đường thẳng I, J Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H.

Bài 9.126 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 = 1 và (C2) : x2 + y2 − 6x + 6y + 17 = 0.

Bài 9.127 : Cho hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 8x − 2y + 16 = 0.

a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Bài 9.128 : Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn

(C1) : x2 + y2 − 6x + 5 = 0 và (C2) : x2 + y2 − 12x − 6y + 44 = 0.

9.4 Đường elip

Bài 9.129 : Cho elip (E) : x2

25+ y

2

16 = 1 Xác định tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài các trục

Bài 9.130 : Cho elip (E) : x2

a2 +y

2

b2

= 1, với a > b > 0 Xác định tâm sai của elip trong mỗi trường hợp sau : a) (E) có độ dài trục lớn bằng 3 lần trục nhỏ.

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp nhau của elip bằng 3

2 lần tiêu cự của nó

c) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ của elip nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120◦

Bài 9.131 : Lập phương trình chính tắc của elip, biết :

a) các tiêu điểm F1(−4; 0), F2(4; 0) và độ dài trục lớn bằng 10

b) elip đi qua các điểm M(−2 √3; 1) và N( √3; −2)

c) elip đi qua điểm M 5

4;

√

15 và có hai tiêu điểm F1(−3; 0) và F2(3; 0) d) độ dài trục lớn bằng 4 √2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip nằm trên một đường tròn

e) elip đi qua điểm M(−√5; 2) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10

f) elip đi qua điểm M(−2; √2) và phương trình các đường chuẩn x = ±4.

g) elip đi qua điểm M(8; 12) và MF1 = 20 với F1 là tiêu điểm bên trái của elip

h) elip đi qua điểm M

‚

3 √

5

5 ;

4 √

5

5

Œ

×

và F1MF2= 90◦, với F1,F2 là các tiêu điểm của elip

Bài 9.132 : Cho elip (E) có phương trình x2

9 +y

2

4 = 1

1 Tìm tạo độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai, tính diện tích hình chữ nhật cơ sở

2 Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.

3 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

Bài 9.133 : Cho elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225 Đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2, cắt (E) tại hai điểm M

và N.

1 Tìm tọa độ của M và N.

2 Tính độ dài các đoạn thẳng MF1,MF2 và MN.

Bài 9.134 : Cho elip (E) : x2

9 + y2 = 1 có các tiêu điểm F1,F2 Tìm tọa độ điểm M trên elip thỏa mãn :

1 MF1 = 3MF2

2 Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

3 Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một 120◦

Bài 9.135 : Cho elip (E) : x2

a2 +y

2

b2 = 1 với tiêu điểm F(−c; 0) Tìm điểm M trên elip (E) sao cho độ dài FM là nhỏ nhất.

Bài 9.136 : Cho điểm C(2; 0) và elip (E) : x2

4 +y

2

1 = 1 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 9.137 : Cho elip (E) : x2

8 +y

2

4 = 1 và đường thẳng d : x −√2y + 2 = 0 Đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm B và C Tìm tọa

độ điểm A trên elip sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Bài 9.138 : Cho elip (E) : x2

16+y

2

9 = 1 Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng

MN luôn luôn tiếp xúc với elip (E) Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 9.139 : Cho (E) : x2

a2 +y

2

b2 (a > b > 0) với các tiêu điểm F1,F2

1 Chứng minh rằng với mọi điểm M trên elip (E) ta luôn có :

(a) OM2 + MF1.MF2 = a2 + b2

(b) OM ≤ a.

2 Gọi A và B là hai điểm thuộc elip (E) sao cho OA⊥OB Chứng minh rằng : OA12+ 1

OB2 = 1

a2 + 1

b2

8

<

:

Bài 9.140 : Cho hai đường tròn C1(F1; R1) và C2(F2; R2) (C1) nằm trong (C2) và F1 , F2 Đường tròn (C ) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với (C2) Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C ) di động trên một elip.

Bài 9.141 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

x = 5 cos t

y = 4 sin t trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

Bài 9.142 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB băng

a không đổi Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao choMB = 2MA.

Bài 9.143 : 1 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết nó có một tiêu điểm F(−2; 0) và khoảng cách từ F đến đỉnh trục nhỏ

bằng 3

2 Hai đường thẳng d : mx − y = 0 và d′: x + my = 0 lần lượt cắt (E) tại M, P và N, Q Tứ giác MNPQ là hình gì Tính diện tích

của tứ giác MNPQ theo m.

3 Tìm m để MNPQ là hình vuông.

Bài 9.144 : Cho elip (E) : 5x2 + 9y2 = 45 có tiêu điểm F1,F2 M là điểm bất kì trên (E).

1 Chứng minh rằng chu vi tam giác F1MF2 không đổi Tìm M để diện tích tam giác F1MF2 bằng 2

2 Tìm M sao cho : T = F1M + F2M + 1

F1M + 1

F2M lớn nhất

Bài 9.145 : Cho điểm M di động trên elip : 9x2 + 16y2 = 144 H và K là hình chiếu của điểm M lên hai trục tọa độ Tìm M để diện tích tứ giác OHMK lớn nhất.

Bài 9.146 : Cho M, N là hai điểm bất kì trên elip : 4x2

+ 9y2 = 36 và không trùng với các đỉnh Gọi I là trung điểm của MN.

1 Chứng minh rằng tích hệ số góc của đường thẳng MN và đường thẳng OI có giá trị không đổi.

2 Viết phương trình đường thẳng MN, biết trung điểm I có tọa độ (1; 1).

9.5 Đường hypebol

Bài 9.147 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :

1 Một tiêu điểm là (5; 0), một đỉnh là (−4; 0)

2 Độ dài trục ảo bằng 12, tâm sai bằng5

4

3 Một đỉnh là (2; 0), tai sai bằng3

2

4 Tâm sai bằng √2, (H) đi qua điểm A(−5; 3).

5 (H) đi qua hai điểm P(6; −1) và Q(−8; 2 √2)

Bài 9.148 : Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết :