Phần I Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng I Nhắc lại lý thuyết (những điều cơ bản cần nắm) 1. Hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Hệ thống hai trục tọa độ Ox, Oy chung gốc O, vuông góc với nhau đợc gọi là một hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong mặt phẳng. Ta thờng kí hiệu là Oxy hay {O 12 , e , e } , ở đó 1 e,e là các véctơ đơn vị định hớng các trục Ox, Oy tơng ứng. Trục Ox đợc gọi là trục hoành. Trục Oy đợc gọi là trục tung (xem hình vẽ). G G 2 G G ph JJGG JJJJG 2. Tọa độ của véctơ và của điểm. Cho hệ trục tọa độ Oxy, a là một vectơ trong mặt ẳng, khi đó có duy nhất điểm M sao cho Phân tích véctơ theo hai véctơ G O JJ M a.= OM 12 e,e ta có : G G 2 1 2 121 12 OM OM OM a e a e .=+ =+ JJJJGJJJJG JJJJGGG Ta gọi cặp số có thứ tự (a , a ) là tọa độ của véctơ a G trong hệ trục tọa độ Oxy, và viết . 12 12 a(a , a ) hay a {a , a }= GG Với điểm N thuộc mặt phẳng, tọa độ của véctơ ON J JJG đợc gọi là tọa độ của điểm N. Nh vậy N(x, y) nếu và chỉ nếu ON 12 xe ye=+ J JJG G G . 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán trên véctơ. a) Nếu M(x 1 , y 1 ), N(x 2 , y 2 ) thì MN 2121 (x x , y y ). J JJJG b) a , k là số thực thì : 12 12 (a,a ),b(b,b ) GG 1 112 2 ab(a b,a b GG ) 12 k.a(ka , ka ). G c) Ta gọi tích vô hớng của hai véc tơ a, b G G là một số thực, kí hiệu , đợc xác định bởi a.b GG m b a . b .cos(a=a. ,b) G GGG GG , ở đó (a m , b) G G là góc tạo bởi hai véc tơ av àb. GG Nếu thì a. 12 12 a(a,a ),b(b,b ) GG 11 22 b a b a b .=+ G G Khi , ta có b a = GG 2 2 22 12 a a a== =+ G a.a a GG G . Từ đó 2 1 aaa=+ 2 2 G ; tơng tự 22 12 bbb=+ G . Nh vậy, khi a 0, b 0 G GG G : n 11 22 2222 121 ab aba.b cos(a, b) ab aabb + == ++ GG 2 G G GG . 4. Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trớc Cho hai điểm A, B và một số k 1. Điểm M đợc gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k nếu MA kMB = JJJJGJJJG . Giả sử A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) và M(x, y) thì dễ dàng tính đợc : x = 12 12 xkx yky ,y . 1k 1k = Nhận xét : a) Khi k = 1, ta có MA MB = J JJJGJJJG , nghĩa là M là trung điểm của AB. Khi đó x = 12 xx ,y 12 yy . 22 ++ = Nh vậy, tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng bằng trung bình cộng các tọa độ tơng ứng của hai đầu mút của đoạn thẳng đó. b) Nếu a mà k.b= GG b 0 G G , thì a G cùng hớng với b G khi và chỉ khi k 0, khi đó k = a b G G . Nếu a, b G G ngợc hớng thì k < 0, khi đó k = a b G G . 2 c) Bốn điểm A, B, M, N đợc gọi là một hàng điểm đ và chia đoạn AB theo hai tỷ số đối nhau. Nghĩa là nếu iều hòa nếu M N MA kMB= thì . NA kNB= JJJJGJJJG JJJG JJJG ình D B , g c II Luyện tập 1. Đề thi Đại học Luật Hà Nội (1998) Cho h thang cân ABCD, đáy A và C ó n o BAD 30= . Dtheoa,b. Đặ JJJG G JJJG G t Hãy biểu diễn véc tơ AB a, AD b.== BC,CD,AC,B JGG JJJG JJJG JJJG JJ G Lời giải : Kẻ BD 1 // CD, D 1 AD. Ta có : 11 1 CD BD AD AB AD a k.b a, = === JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G G G k = o . AB . cos 30 a . 3 . b b = JJJGG G G 1 AD 2AH 2 AD b == JJJG JJJG G Nh vậy 3a CD .b a. b = G JJJG G G G Dễ thấy BD AD AB b a.== JJJG JJJG JJJGGG b3a AC AD DC a b b =+=+ G G JJJG JJJG JJJG G G G b3a BC .b b = GG JJJGG G ; 2. Đề thi học viện kỹ thuật mật mã (năm 1999) Gọi AD là đờng ân g trong của góc A của tam giác ABC. Hãy biểu diễn theo . ph iác JJJG JJJG JJJG AD AB và AC Lời giải. Đặt AB a, AC b.== J JJG G JJJG G Theo tính chất của đờng phân giác, ta có : 3 DB AB . DC AC = Nhng AD là đờng phân giác trong, nên ngợc hớng. Vì vậy : DB và DC JJJGJJJG AB a DB .DC .DC. AC b = = G JJJG JJJG JJJG G aa AB AD .(AC AD) .AD .AC bb = = GG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG GG a b G G . b.a a.b AD a.b + = GG GG JJJG GG 3. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C. Dùng phơng pháp véc tơ, hãy chứng minh : cosA + cosB + cosC 3 . 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Lời giải Chọn lần lợt là các véc tơ đơn vị cùng hớng với các véc tơ 123 e,e,e GG G C, CA. JJG JJJG AB, B JJJGJ . 1. Ta có ( 2 123 e,e ,e) 0 GG G hay : 222 123 122331 eee2(eeeeee)0+++ + + GGG GGGGGG Nhng 222 123 eee=== GGG 12 e.e cos( B) cosB== GG 23 e .e cos( C) cos C== GG 31 e.e cos( A) cosA== GG Nh vậy : 3 2(cosA + cosB + cosc) 0 4 hay cosA + cosB + cosC 3 . 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 123 ee e 0 + += G GGG , hay tam giác ABC đều. 4. ứng dụng véc tơ để chứng minh bất đẳng thức : Cho a 1 , a 2 , , a n ; b 1 , b 2 , , b n là 2n số tùy ý. Hãy chứng minh 22 nn 22 kk k k k1 k1 k1 ab a b == + + n = Lời giải. Đặt O(0, 0), M k (a k , b k ), k = 1, 2, , n. Ta có : có tọa độ là (a n k k1 OM = JJJJG 1 + + a n , b 1 + + b n ). Theo tính chất của véc tơ, ta có : nn kk k1 k1 OM OM == J JJJGJJGJJ hay 22 nnn 22 kk k k1 k1 k1 ab a === + k b+ III Bài tập tự giải 1. Đề thi Đại học giao thông vận tải (1998) Cho hình thang cân ABCD, AB // CD. Đặt n o AB a, AD b, BAD 60 .== = JJJG G JJJG G Hãy biểu diễn véc tơ BC theo av . Tìm quan hệ giữa độ dài àb a G và b G để AC BD. JJJG GG JJJG JJJG Đáp số : 31 ab 2 + = GG . 2. o ABC là hình bình hành, m là m t số dơng. Lấy điểm M sao cho . Lấy điểm N sao cho Ch D ộ JJJG JJJJG DC m.DM= DB (m 1)DN=+ . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng MN luôn đi qua điểm cố định. JJJG JJJG 3. Cho tam giác ABC, đặt a = BC, b = CA và c = AB. Chứng minh rằng 5 a.IA b.IB c.IC 0, + += JJG JJGJJGG ở đó I là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC. 4. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), C(x 3 , y 3 ). Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức : dt(ABC) = 21 31 21 31 xx xx gttđ yy yy ở đó : gttđ là viết tắt của "giá trị tuyệt đối". 5. Các đề 65, 101, 104 câu hình học Va, bộ đề thi tuyển sinh. Nhà xuất bản Giáo dục, 1996. 6 . Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng Bài 1 Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng I Nhắc lại lý thuyết (những điều cơ bản cần nắm) 1. Hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Hệ thống hai trục tọa độ Ox,. (a , a ) là tọa độ của véctơ a G trong hệ trục tọa độ Oxy, và viết . 12 12 a(a , a ) hay a {a , a }= GG Với điểm N thuộc mặt phẳng, tọa độ của véctơ ON J JJG đợc gọi là tọa độ của điểm. là trục tung (xem hình vẽ). G G 2 G G ph JJGG JJJJG 2. Tọa độ của véctơ và của điểm. Cho hệ trục tọa độ Oxy, a là một vectơ trong mặt ẳng, khi đó có duy nhất điểm M sao cho Phân tích véctơ