PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD.. Xác định tọa độ các điểm C, G sao cho điểm G là trọng tâm tam giác ABC.. Tìm tọa độ củ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

ĐN: Hệ trục tọa độ Đề cỏc vuụng gúc trong mặt phẳng

2

x Ox

y Oy





















tơ đơn vị tơ đơn vị

II TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM

1 M x y( , ) ⇔ OM x y( , )



⇔ OM



= ⋅x e

1 + ⋅y e

2

2 Tọa độ cỏc điểm đặc biệt

Cho

1 1

2 2

3 3

,

,

,

A x y











⇒ Trung điểm của AB cú tọa độ là: 1 2 , 1 2

Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả món JA k

JB

=



 ⇔ Tọa độ: 1 2 , 1 2

J

Tọa độ trọng tõm tam giỏc ABC: 1 2 3, 1 2 3

III TỌA ĐỘ CỦA 1 VẫCTƠ















1 1

2 2

, ,

A x y

B x y





 thỡ


AB=(x2−x y1, 2 −y1)

2 Phộp toỏn: a± =b (a1±b a1, 2 ±b2) ; α ⋅ ± β ⋅ = α ⋅a b ( a1± β ⋅b1,α ⋅a2 ± β ⋅b2)

IV TÍCH Vễ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI

1 a b⋅ = a⋅ bcos(a b,)

2 a b⋅ = a b1 1 +a b2 2

3 a = a12 + a22 ;b = b12 + b22

7 a+b ≤ a + b 8 a−b ≤ a + b

9 a+b ≥ a − b 10 a− ≥b a −b

11 a b⋅ ≤ a ⋅b

y

x

1

e

2

e

O

M

P

Q

4 ( )2 ( )2

a+b = a +b + a +b

a−b = a −b + a −b



cos a b, a b a b

+

=





;

sin a b, a b a b

−

=





V SỰ THẲNG HÀNG

( ) 1 2

1 2 2 1

det a b, a a a b a b





; a//b⇔det(a b,)=a b1 2 −a b2 1 =0

A, M, B thẳng hàng ⇔ det(AB AM






, )=0

VI DIỆN TÍCH TAM GIÁC

( 1, 1) (; 2, 2); ( 3, 3)

ABC

∆






VII BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 1 ;− ) ( ) (B 1; 2 ;C 5; 5)

Tìm tọa độ điểm D sao cho:


AD=4.


AB−3.


AC

Giải

Cách 1: Đặt D(x; y) suy ra:


AD=(x−3;y+1 ;)


AB= −( 2; 3 ;) AC


=(2; 6)

Ta có:


AD=4.


AB−3.


AC ⇔ 3 8 6 11

⇔

Vậy tọa độ điểm D là (−11; −7)

Cách 2:


AD=4.


AB−3.


AC ⇔


AD−


AB=3(


AB−AC


)⇔BD


= − ⋅3


BC

Do BC


=(4; 3) nên BD


= −( 12; 9− ) suy ra tọa độ điểm D là D(−11; −7)

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 4 ;) (B −1; 2 ;) (I 4; 1− Xác định tọa )

độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành ABCD

Giải

Cách 1: Do I(4; −1) là trung điểm CD nên đặt C(4− − −x; 1 y) và

D +x − + y ⇒ CD


=(2 ; 2x y)

Để tứ giác ABCD là hình binh hành thì CD


=BA


=(4; 2) ⇔ x=2;y= 1

Vậy tọa độ các điểm C, D là C(2; 2 ;− ) D(6; 0)

Tâm O của hình bình hành là trung điểm của AD suy ra 9; 2

2

Cách 2: Gọi C x y( ; ), khi đó 1 ( 2; 1)

2

IC= AB= − −






Vậy C(2; 2 ;− ) D(6; 0)

Cách 3: Lập phương trình đường thẳng AB

Qua I dựng đường thẳng (d) song song với (AB)

Khi đó C và D là 2 điểm nằm trên đường thẳng (d) thỏa mãn 1

2

IC =ID= AB

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A( ) (3;1 ;B 1; 3− Xác định tọa độ các ) điểm C, G sao cho điểm G là trọng tâm tam giác ABC Biết C nằm trên đường thẳng x= và G cách trục hoành 1 đơn vị 2

Giải

Cách 1: Điểm C nằm trên đường thẳng x = nên có tọa độ (2; y) 2

Điểm G cách trục hoành 1 đơn vị nên có tọa độ (x; 1)

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC suy ra:

( )

x

+ + =

Vậy tọa độ các điểm C và G là: C(2; 5 ;) G( )2;1

Cách 2: Trung điểm M của AB có tọa độ M(2; 1− nên M cũng thuộc đường ) thẳng x= Trọng tâm G nằm trên trung tuyến CM do đó có hoành độ là 2 2 Vậy G(2; 1) suy ra C(2; 5)

Bài 4 Cho ∆ABC với A(1, 3 ;− ) (B 3, 5 ;− ) (C 2, 2− Tìm tọa độ của M, N là giao ) của các đường phân giác trong và ngoài của góc A với đường thẳng BC Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

Giải

AM là phân giác trong của tam giác ABC suy ra:

2

AC




⇔ M(3 2.2; 5 2( 2)) M( )7; 3

AN là phân giác ngoài của tam giác ABC suy ra:

NB AB 2

AC




⇔ N(3 2.2; 5 2( 2)) N 1;1( )

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC suy ra BI là phân giác trong ∆ABM

3

BM

IM



( )

3

Bài 5 Cho A(6, 3 ;) (B −3, 6 ;) (C 1, 2− )

a Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I

b CMR: H, G, I thẳng hàng

Giải

3 3

i H là trực tâm ∆ABC nên ta có:

1

H

y

=






i I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên: IA IB IC= =

⇔ 12− x I −6y I +45=6x I −12y I +45= −2x I +4y I +5 ⇔x I =1;y I = ⇔ 3 I 1; 3( )

b Phương trình đường thẳng IH là: 2 1 2 5 0

y

x− = − ⇔ x+ − =y

x + y − = + − = suy ra G ∈ (IH) suy ra G, H, I thẳng hàng

Bài 6 Cho ∆ABC với A(3; 4 ;) ( ) (B 2;1 ;C − − 1; 2)

a Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

b Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích 1

3

Giải

a Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA IB IC= = ⇔IA2 =IB2 =IC2

3−x I + 4−y I = 2−x I + 1−y I = − −1 x I + − −2 y I

⇔ 6− x I−8y I+25= −4x I−2y I + =5 2x I+4y I+5⇔x I = −5;y I = ⇔ 5 I(−5; 5)

b Do hai tam giác ABM và ABC có cùng đường cao nên để 1

3

thì BC=3.BM Gọi M x y( ; ) suy ra BM



=(x−2;y−1); BC


= − −( 3; 3)

Ta có: BC=3.BM ⇔ 1

3

BM = ± ⋅BC






3; 2



− = − = ± ⇔ 

 Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là M1( )1; 0 , M2(3; 2)

Bài 7 Cho A(3; 4 ,) (B 1; 2− Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho ) tam giác ABM vuông

Giải

Gọi tọa độ điểm M là M x( ; 0) suy ra



AM =(x− −3; 4 ,) BM



=(x−1; 2)

Để ∆ABM vuông tại M thì AM BM







⋅ = ⇔0 (x−3)(x− − =1) 8 0

2

Để ∆ABM vuông tại A thì






AM BA⋅ = ⇔0 2(x−3)−24= ⇔ =0 x 15

Để ∆ABM vuông tại B thì BM BA






⋅ = ⇔0 2(x− +1) 12= ⇔ = −0 x 5

Vậy có 4 điểm M trên trục hoành thỏa mãn ∆ABM vuông là

1 5; 0 , 2 1; 0 , 1 15; 0 , 2 5; 0

Bài 8 Cho A(1; 0), B(0; 3), C(−3; −5) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 1

trong các điều kiện sau:

a (2MA
−3MB
) MA
−2MB
)=0 b (2MA
−3MB
)(MA
+MB
+MC
)=BC2

c MB2 +MC2 =3MB MC

d 2MA2 +MB2 =2MC2

Giải

Gọi M(x y; ) suy ra MA
(1− −x; y),MB
(−x; 3− y),MC
(− − − −3 x; 5 y)

a 2MA
−3MB
=(x+2 ;y−9) và MA
−2MB
=(x+1;y−6)

(2MA
−3MB
) MA
−2MB
)=0 ⇔ (x+2)(x+1)+(y−9)(y−6)= 0

10

Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( 3 15; )

− bán kính 10

2

b MA
+MB
+MC
= − −( 2 3 ; 2x − −3y)

(2MA
−3MB
)(MA
+MB
+MC
)=BC2 ⇔ (x+2)(− −2 3x)+(y−9)(− −2 3y)=73

4

Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu

MB +MC = MB MC

⇔ ( )2

2








⇔ − − −x( 3 x)+(3−y)(− −5 y)=73 ⇔ ( )3 2 ( 1)2 365

Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( 3 ; 1)

2

− − bán kính 365

2

2 1 −x +y  +x + −3 y =2 3 +x + +5 y 

Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm (8;13) bán kính 290

Bài 9 Giả sử M(−1, 3 ;) N(2, 0) chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau

Tìm tọa độ A, B

Giải

Gọi tọa độ các điểm A, B là A x y( 1, 1) (,B x2,y2)

Cách 1: Ta có: AM =MN=NB hay M là trung điểm AN, N là trung điểm MB



⇒ 

Vậy tọa độ các điểm A, B là A(−4; 6 ,) (B 5; 3− )

Vậy tọa độ các điểm A, B là A(−4; 6 ,) (B 5; 3− )

Bài 10 Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại

tiếp hoặc nội tiếp của ∆ABC Chứng minh rằng: MA2 +MB2 +MC2 =const

Giải





































⇔






⋅ = + ° +






+


+





2 2

2

a

⇔






⋅ = − + +





+



 Tương tự ta có:

;
































Cộng các vế của 3 đẳng thức trên ta được:

2

2

a

MB MC⋅ +MC MA⋅ +MA MB⋅ =MA +MB +MC −




















2

2

a










⇔ ⋅



 = + + − (với O là trọng tâm tam giác ABC)

3

Ta có tam giác ABC đều suy ra O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó

MO chính là bán kính và

3

a

MO= Vậy ta có:

2

3

a

MA +MB +MC = ⋅ +a = a = const (đpcm)

Bài 11 Cho A(2, 3 ;− ) (B −3, 7 ;) (C −5, 4) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các

đoạn AB, BC, CA theo các tỉ số: 3

2

− , 1

2, 43

− Chứng minh rằng:

M, N, P thẳng hàng và M chia đoạn NP theo tỉ số 7

3

−

Giải Cách 1: Ta có:


AB= −( 5;10 ;) BC


= − −( 2; 3 ;) CA


=(7; 7− )

⇔



= ⋅





= −





= ⋅




( 3; 6 ;) (2; 3 ;) (4; 4)

⇔



= −


=


= −

( 1; 3 ;) ( 1;10 ;) ( 1; 0)

Vậy M, N, P cùng thuộc đường thẳng x= − 1

Ta có: MN



=(0; 7 ;) MP


=(0; 3− )

7

3

MN

MP

−



 (đpcm)

Gọi N1 là giao điểm của MP và BC

Ta có: 1

1

4 3

1

3

2 2

AMN

BMN

1

1

1 2

2

⇒ = ⇔ = = ⇒ N≡N1 Vậy M, N, P thẳng hang (đpcm)

C

M

B

A

N 1

P

Bài 12 Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(−2; −1), C(−1;−4), D(1; 0)

a Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là những tam giác vuông

b Tính diện tích tứ giác ABCD

c Tìm M trên Oy để diện tích ∆MBD và diện tích ∆BCD bằng nhau

Giải

a Ta có 
AB= − −( 2; 2 ,) 
AD=(1; 1− ⇒) 

AB AD⋅ =0 ⇒ AB ⊥ AD

⇒ BC ⊥ BD Vậy ∆ABD vuông tại A và ∆BCD vuông tại B (đpcm)

S = AB AD⋅ = S = BC BD⋅ = ⇒ S ABCD =S ABD +S BCD = 7

1 2

MBD

S = MB MD − MB MD

⋅

suy ra để S MBD =S BCD thì ( )2

10

MB MD − MB MD

⋅ =

( 2 )( 2 ) ( 2 )2

⇔ 3(y−3 3)( y+11)= ⇔ 0 3 11

3

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là M 0; 3( ) hoặc M 0;( 11)

3

−

Bài 13 Cho A(1, 3 ;− ) (B −3,1 ;) (C 4; 6) Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−1)

và N là điểm chia AC tỉ số 4 Tìm I =BN∩CM

Giải

Ta có: MA 1; NA 4






( )

( ) ( )

2

5; 9

N



















Cách 1: Ta có: BN


=(8;8 ,) CM



= − −( 5; 7) Gọi tọa độ điểm I là (x0,y0) suy ra:

;

//














Vậy tọa độ điểm I là I(9;13)

5 ( 3)

y− = − x+ ⇔ = +y x

PT đường thẳng CM là (CM): 6 1 6( 4) 7 2

I =BN∩CM nên tọa độ I là nghiệm của hệ

9

13 4

x

y



=

⇔

=



= +



3

BCN BCA

S = CA = Mặt khác:

3

+

Suy ra: S CNB 2.S CNI BN 2

NI

Vậy tọa độ điểm I là I(9;13)

a − a+ + a + a+ ≥ (1)

Giải Cách 1: (1) ⇔ (a−1)2 +22 + (a+1)2 +22 ≥2 5

Đặt a
= −(1 a; 2 ,) b
=(a+1; 2) ⇒ a
+ =b
(2; 4)

Ta có: (a−1)2 +22 + (a+1)2 +22 = a + b ≥ a+b = 22 +42 =2 5 (đpcm) Dấu bằng xảy ra ⇔ ↑↑ ⇔ − = + ⇔ =a b 1 a a 1 a 0

C

M

B

A

N

I

Cách 2: a2 −2a+ +5 a2 +2a+ ≥ ⋅5 2 4(a2 −2a+5)(a2 +2a+5)

4

4

Dấu bằng xảy ra

0 0

a a



 =



(4−x) x− +2 7−2x= 85−57x+13x −x (1)

Giải

Ta có: (1) ⇔ (4−x) x− +2 7−2x = (5−x)(x2 −8x+17)

(4 x) x 2 7 2x 5 x  4 x 1

2

2;

x∈   ) Xét a
=(4−x;1 ,) b
=( x−2; 7−2x) ⇒ a b
⋅ =
(4−x) x− +2 7−2x

Khi đó (1) ⇔ a b

⋅ = a
⋅b
⇔ cos(a b

⋅ )=1 ⇔ 4 1

x

−

=

(3 x)(2x2 17x 38) 0

2

2;

x∈   nên 2x2 −17x+38> 0 Vậy phương trình có nghiệm x= 3

Bài 16 CMR: x2 +xy+ y2 + y2 +yz+z2 ≥ z2 +zx+x2 , ∀x y z, , ∈ 

Giải

x

z

a+ =b  − x+z 

Do a
+ b
≥ +a
b
nên x2 +xy+y2 + y2 + yz+z2 ≥ z2 +zx+x2 (đpcm) Dấu bằng xảy ra ⇔ a↑↑b ⇔ x= = hoặc z 0

1

k

k

−

+

Cách 2: Trong 3 số , , x y z có ít nhất

2 số cùng dấu, giả sử là x và y

Lấy các điểm O, A, B, C1, C2 sao cho

OA= x OB= y OC =OC = z và

Ta có: AB2 =x2 +y2 −2 xy cos120°

⇔ = + + Tương tự suy ra:

và BC2 = y2 +z2 − yz ,C A2 = z2 +x2 − zx

Nếu z cùng dấu với , x y thì sử dụng AB+BC1 ≥C A1 suy ra (đpcm)

Nếu z cùng dấu với , x y thì sử dụng AB+BC2≥C A2 suy ra (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ⇔ Trong 3 điểm A,B,C có ít nhất 2 điểm trùng O

⇔ 2 trong 3 số , ,x y z có ít nhất 2 số bằng 0

Trong trường hợp ,x z cùng dấu và khác dấu với y thì dấu bằng xảy ra khi độ

dài đường là phân giác từ đỉnh O của tam giác OAC chính là OB

A

O

C 1

B

|x|

|y|

|z|

C 2

VIII BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

Dạng 1: Xác định tọa độ của 1 điểm

Bài 1 Cho A(1, 2 ;− ) (B 0, 4 ;) (C 3, 2) Tìm D với:

a CD


=2


AB−3


AC b


AD+2BD


−4CD


=0

Bài 2 Cho A(1, 2 ;− ) ( ) (B 2,1 ;C −3, 5) Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 3 Cho A(1, −2) Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực của AM đi qua gốc O

Bài 4 ChoA(− −1, 3 ;) ( )B 3,3 Tìm M, N để chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau

Bài 5 Giả sử M( )1, 2 ;N(0, 4) chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau

Tìm tọa độ A, B

Bài 6 Cho A(− −2, 6 ;) (B 10, 6 ;) (C −11, 0) Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−3) và N là điểm chia AC tỉ số (−2) Tìm I BN= ∩CM

Bài 7 Cho A(− −1, 1 ;) ( ) ( )B 2, 4 ;C 6,1 Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn

AB, BC, CA theo các tỉ số: −1, 2, 1

2

− Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng

Bài 8 Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm

đường tròn nội tiếp I

a A(6, 2 ;) (B −4, 7 ;) (C 0, 1− )

b A(−2, 4 ;) (B 5, 5 ;) (C 6, 2− )

c A(3, 2 ;) (B 6, 3 ;) (C 8, 1− )

Bài 9 Cho ∆ABC cân tại A Gọi D là trung điểm AB; E là trọng tâm ∆ACD; I

là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD CMR : IE CD⊥

Bài 10 Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (I, R) Gọi M là điểm bất kì

trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC CMR: 4 4 4

Dạng 2: Sự thẳng hàng

Bài 1 Cho A(2; 2 ,− ) (B 4; 1 ,− ) (C 7; 5 ,) E( )5;1

a Chứng minh rằng: B, C, E thẳng hàng

b. Tìm tọa độ điểm D trên Oy sao cho ABCD là hình thang đáy AB, CD Bài 2 Cho A(−3, 12); B(2, −4); C(5, −4); D(5, 5) Tìm AC∩BD

Bài 3 Cho A(1, 3); B(5, −5) Tìm M ∈ Ox để (MA+MB)Min

Bài 4 Cho A(1, 2); B(3, 4) Tìm M ∈ Ox để (MA+MB)Min

Bài 5 Cho A( )1; 6 , B(− − Tìm M∈(∆): 23; 4) x− − = để y 1 0 (MA+MB)Min

Bài 6 ChoA x y( 1, 1) (;B x2,y2) Tìm M∈(∆): ax+by+ = để c 0 (MA+MB)Min

Bài 7 Chứng minh rằng: a2 −2a+ +2 a2 −6a+10≥2 2

Bài 10 Cho a, b, c > 0 và ab bc ca abc+ + = Chứng minh rằng:

3

Bài 11 Cho ( )∆ :2x y− − = và 5 điểm: 1 0 (0, 1 ;) ( )2,3 ; ( )1, 0 ; ( ) (1, 6 ; 3, 4)

2

a Tìm D ∈ (∆) sao cho (A, B, C, D) là hàng điểm điều hòa

b Tìm M(x, y) ∈(∆) sao cho: EM



+FM



 là nhỏ nhất