MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng MỘT SỐ BÀI PHƯƠNG TRÌNH HAY VÀ ĐẶC SẮC Bài 1: Giải phương trình 2x− + − + =1 x2 3x 1 0
Bài 2: Giải phương trình x−2 x− − −1 (x 1) x+ x2− =x 0
Bài 3: Giải phương trình 4x2+ 2x+ =3 8x+1
Bài 4: Giải phương trình (x+1) x2−2x+ =3 x2+1
Bài 5: Giải phương trình (3x+1) x2+ =3 3x2+2x+3
Bài 6: Giải phương trình: 3x2+2x−3(3x− −1 3x+ =3) 4
Lời giải:
( )( ) 2
= − − − +
nên ta có pt⇔ − − − +x 1 (x 3) 3x2+2x−3(3x− −1 3x+ = ∗3) 0( )
Đặt:
3
3
1 3
a b
= −
=
S
= ∅
Vậy phương trình có nghiệm x = − 1
3 x − +1 2 3x−4 x+1 x + −x 2 =0
Lời giải:
x
x
≥
− ≤ ≤ −
3
( 2 ) ( ) 4 ( ) ( 2 ) ( )
3
Nhận xét: x+ =1 0 không là nghiệm, chia cả hai vế của ( ) ∗ cho x + 1 ta có phương trình:
1 0
2
3
3
t
=
• Với
2
2
x
= +
• Với
2
2
x x
x
+ −
+ Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: x= −{1 6 1; + 6; 22 1− }
Trang 2Bài 8: Giải phương trình: x2+ − +x 6 3 x− −1 2 x2−2x+ =6 0
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
6 0
2 6 0
x x
x x
+ − ≥
− + ≥
Phương trình đã cho ⇔ x2+ − +x 6 3 x− =1 2 x2−2x+6
Nhận xét: x− =2 0 không là nghiệm, chia cả hai vế cho x−2 ta được phương trình:
2 3
2
x
+ − = ⇔ + − + − =
Điều kiện của t là
x
≥
⇔
( )( ) 2
⇒ ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ =
Với
2
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: {7− 20 7; + 20}
x
−
Lời giải:
x
−
Do 2( ) (2 )2
x x− + +x > ∀ ∈, x R nên x là nghiệm của phương trình 2
0
1 1
0
x
x x
x
>
⇔ − > ⇔ >
Với điều kiện này ta có 2( ) (2 )2 ( )2 ( )( ) ( )
pt⇔x x− + +x = x + x x− x+ ∗
1 1
a x x
b x
= +
Khi đó phương trình ( ) ∗ trở thành:
2 2
1
Đặt: a t t( 0)
⇒ ⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ =
( )
1 2
a
= +
= ⇒ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔
= −
Vậy phương trình có nghiệm: x = + 1 2
Trang 3MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
8x −25x+ =18 3 16x −96x +218x −216x+81
Lời giải:
4
2 2
Đặt ( )2
2x−3 =a
Vậy phương trình trở thành ( )
2 3
a= − →x x− = − ⇔ = ∅x S
8
Vậy phương trình có hai nghiệm: 17 145
8
x= ±
Lời giải:
2
2
2x − =3 t t≥0 Phương trình trở thành 2 ( ) 5 2
2
t − x+ t+ x + x− =
2
( )
2 2
2 2
4
2
2
x
t
t
+
7
x − −x = ⇔ =x ±
• Xét phương trình ( ) ∗ có:
2
Vậy ( ) ∗ vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm là: 4 2 53
7
x= ±
Bài 12: Giải PT:
− + + + = + +
Lời giải:
Đk: x>0
Nhận xét: x4+ + =x2 1 x4+2x2+ −1 x2 =(x2+1)2−x2 =(x2+ +x 1)(x2− +x 1)
PT
Trang 4Ta đặt:
1
2
a − +ab= ⇔ −b a a+ +b a− = ⇔ −a a b+ + = ⇔ =a
Với a = 1 ta có:
2
1
1
x
x− + = ⇒ = +
Kết luận: x =2 là nghiệm của PT đã cho
Bài 13: Giải PT: 5x4+4x2 − x4 −3x2−18=5x
Lời giải:
Đk: x4−3x2− ≥ ⇔18 0 (x2+3)(x2− ≥ ⇔6) 0 x2≥6
Khi đó PT
3 18 5 0, (1)
2x 9x 9 5x x 3x 18 2x 9x 9 5x (x 3)(x 6)
2x x( 6) 3(x 3) 5x (x 3)(x 6)
a=x x − b= x + ta có: 2 2 3 2 5 (2 3 )( ) 0
a b
=
2
x
≥
+Với 2a = 3b ta có: 2 2 6 3 2 3 4 0, ( 2(1)) 3
33 27 0
x tm
≥
Kết luận: Vậy PT có 2 nghiệm như trên
9x +6x− =10 (3x+1) 9x −8
Lời giải:
Đặt t = 9x2−8(t≥0) ta có: t2 =9x2−8
PT⇒t2+6x− =2 (3x+1)t⇔ −t2 (3x+ +1)t 6x− =2 0
2
2 2
t
⇒
1
3
2
x
x
≥
− = − +
3
t= ⇔ x − = ⇔ = ±x
(x +2 )x + +(x 1) 2(x +2x− =1) 13
Trang 5MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Lời giải:
Đk: x2+2x≥1
Nhận xét: (x2+2 )x 2− =1 (x2+2x−1)(x2+2x+ =1) (x2+2x−1)(x+1)2
PT⇔(x2+2x−1)(x+1)2+ +(x 1) 2(x2+2x− =1) 12
t = +x x + x− ta có 1 2 12 0 4
6 2
t
t t
t
=
+ − = ⇔ = −
+ Với t=4 ta có: ( 1) 2( 2 2 1) 4 12 2
( 1) ( 2 1) 8
x
≥ −
1 ( 1) 2( 1) 8 0 ( 1) 4
x
+ Với t= −6 ta có: ( 1) 2( 2 2 1) 6 12 2
( 1) ( 2 1) 18
x
≤ −
+ + − = − ⇔
1 1
x x
x
≤ −
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 4 x+ =1 x2−5x+14 Đ/s: Nhóm bình phương, x = 3
b) x+4 x+ +3 2 3 2− x =11 Đ /s: Nhóm bình phương, 5
4
x=
c) x4−2x2 x2−2x+ +16 2x2−6x+20=0 Đ /s: Nhóm bình phương, x=2
d) x2−2(x+1) 3x+ =1 2 2x2+5x+ −2 8x−5
2
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) x2+24− x2+15=3x−2 Đ/s: Liên hợp, x = 1
b)
2
5( 3)
1 2 4
x
x
−
3 3; 1;
2
c)
2
4
x
x
−
2
; 2 3
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) x2+ −(3 x2+2)x= +1 2 x2+2
Đ /s: Đặt ẩn không hoàn toàn, x= ± 14
2
x+ x − = x + x−
Đ /s: Đặt ẩn không hoàn toàn, x= ±1;x=5
Trang 6c) 6x2−10x+ =5 (4x−1) 6x2 −6x+5
Đ /s: Đặt ẩn không hoàn toàn, 59 3
10
Bài 4: Giải các phương trình sau
a) 2x2−6x− =1 4x+5
Đ /s: Đặt ẩn đưa về hệ đx loại 2, x= −1 2;x= +2 3
b) x2−6x− =2 x+8
Đ /s: Đặt ẩn đưa về hệ đx loại 2, 7 3 5; 5 41