Hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài - Trong trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, lực tư duy, hay khả tiếp thu kiến thức học sinh môn Toán chủ yếu thông qua giải tập Thông qua việc giải tập nhằm củng cố hoàn thiện khắc sâu nâng cao nội dung kiến thức học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải, nguyên tắc giải toán Đối với học sinh, việc truyền đạt kiến thức, kĩ toán học theo yêu cầu nội dung chương trình giáo khoa đại trà cần đầu tư bồi dưỡng cho phận học sinh khá, giỏi việc cần thiết phải tiến hành thường xuyên nhà trường THCS Nhằm tạo điều kiện học sinh phát huy lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi cấp, phát triển nhân tài cho đất nước - Một vấn đề kiến thức quan trọng học sinh THCS cần nắm vững giải tập “phương trình hệ phương trình” nội dung chương trình sách giáo khoa quan tâm hướng dẫn học sinh cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc hai ẩn, phương trình hệ phương trình khác dạng, tập dễ yêu cầu nội dung chương trình khung Bộ giáo dục đề Chưa đáp ứng yêu cầu học tập nâng cao tri thức, kĩ em học sinh có lực học tập khá, giỏi Vì vậy, cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh cách giải dạng phương trình hệ phương trình Bởi dạy giải dạng phương trình hệ phương trình vấn đề giải tập có đặc thù riêng Lí thuyết dạy phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc dạy giải phương trình, hệ phương trình dạng khác Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 đưa dạng trung gian gặp chương trình lớp 8, lớp 9, toán hay khó đặc biệt thường gặp việc thi chọn học sinh giỏi, thi vào trường chuyên - Về hệ thống tập phương trình hệ phương trình sách giáo khoa, sách tập có nhiều đề cập tới chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có hướng dẫn cụ thể nên chưa thực thuận lợi cho người dạy người học tiếp thu nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi phương pháp dạy học Góp phần rèn luyện hoạt động trí tuệ học sinh phân tích, tổng hợp,… Hệ thống hóa, phân loại dạng phương trình hệ phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu - Tóm tắt lý thuyết phương trình hệ phương trình - Một số dạng tập phương trình hệ phương trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung phương trình hệ phương trình chương trình Toán THCS Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Tham khảo thu thập tài liệu - Nghiên cứu phân tích, tổng hợp Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, mục lục, đề tài có cấu trúc: Chương Lý thuyết phương trình hệ phương trình Chương Hệ thống dạng tập phương trình hệ phương trình Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Các khái niệm phương trình hệ phương trình a) Phương trình Cho hai hàm số n biến phức x1 , x2 , , xn f ( x1 , x2 , , xn ) g ( x1 , x2 , , xn ) Ta gọi tập hợp n số phức x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ C n điểm không gian phức n chiều C n Khi hàm số f ( x1 , x2 , , xn ) g ( x1 , x2 , , xn ) xem hàm biến f ( x ) , g ( x ) C n Giả sử f ( x ) có miền xác định D1 ∈ C n , g ( x ) có miền xác định D2 ∈ C n Ta định nghĩa phương trình f ( x) = g ( x) (1) kí hiệu hàm mệnh đề “giá trị hai hàm số f ( x ) g ( x ) nhau” Ta gọi x ẩn phương trình (1); coi f g hàm n biến x1 , x2 , , xn không gian C (1) phương trình n ẩn x1 , x2 , , xn Tập hợp giá trị thừa nhận đối số gọi miền xác định (tập xác định) phương trình (1), tập S = D1 ∩ D2 Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f ( a ) = g ( a ) đẳng thức a gọi nghiệm phương trình (1), a thỏa mãn phương trình (1), phương trình (1) thỏa mãn với x = a * Có thể xảy ba trường hợp sau đây: i Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này, giá trị a S cho f ( a ) g ( a ) nhau, tức f ( a ) = g ( a ) Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 mệnh đề sai với a ∈ S Nói khác đi, tập nghiệm M phương trình (1) rỗng: M = ∅ Bất kì giá trị a x ( a ∈ S ) thỏa mãn phương trình, tức ii M = S Trong trường hợp phương trình đẳng S Có giá trị (nhưng giá trị) a ∈ S thỏa mãn iii phương trình ( M = ∅, M ⊂ S ) Trong hai trường hợp ii iii ta nói phương trình có nghiệm Giải phương trình tìm tập hợp nghiệm M Nếu M biểu thị hay nhiều công thức chúng gọi nghiệm tổng quát phương trình M tập hữu hạn hay vô hạn Trong tất định nghĩa trên, thay cho trường C, ta lấy trường số K (có thể Q, R) làm trường sở Khi cần ý tập hợp nghiệm phương trình phụ thuộc vào trường sở 2 Ví dụ Phương trình: ( x − 3) ( x + ) = vô nghiệm Q, tập nghiệm R { { } 3, − , tập nghiệm C } 3; − 3;2i; −2i b) Phân loại phương trình Nếu hai biểu thức f ( x ) g ( x ) biểu thức đại số (1) phương trình đại số, trường hợp trái lại (1) phương trình siêu việt Nếu hai biểu thức f ( x ) g ( x ) biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức phân thức hữu tỉ) (1) gọi phương trình đại số hữu tỉ Đặc biệt, f ( x ) g ( x ) đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) (1) gọi phương trình đa thức phương trình đại số nguyên Nếu trái lại, hai biểu thức f ( x ) g ( x ) phân thức hữu tỉ Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 thực biểu thức lại đa thức (1) gọi phương trình phân thức Nếu hai biểu thức f ( x ) g ( x ) đại số vô tỉ (tức có chứa số ẩn) biểu thức lại hữu tỉ (1) gọi phương trình vô tỉ Ví dụ - Phương trình đa thức: x n + x n + = x + - Phương trình phân thức: - Phương trình vô tỉ: x −1 = 3x − x + x +1 x2 − = 2x + - Phương trình siêu việt: sin x + cos x = c) Phương trình chứa tham số Cho hàm số f ( x ) , đối số có chữ a, b, c, …Nếu việc khảo sát nghiên cứu, ta xem chữ a, b, c, … biết chúng gọi tham số, hay thông số, hay tham biến Phương trình f ( x, a, b, , c ) = với ẩn số x ∈ C n tham số a, b, …, c gọi phương trình chứa tham số Ví dụ Phương trình: − a x + ( b − a ) x + b − a = chứa tham số a, b d) Hệ phương trình Cho m phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) , f ( x ) = g ( x ) , , f m ( x ) = g m ( x ) , miền xác định S1 , S2 , , S m Hệ m phương trình  f1 ( x ) = g1 ( x )   f2 ( x ) = g2 ( x )    f ( x) = g ( x) m  m Sv Trần Thị Thu Hằng (*) Toán – Tin K13 phương trình xét miền xác định chung hệ ( m S = I Si ) kí hiệu hàm mệnh đề: “Giá trị x hai hàm số i =1 phương trình nhau” Một giá trị a ∈ S x làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng: f i ( a ) = gi ( a ) , i = 1,2, , m , gọi nghiệm hệ (*) Trong trường hợp , ta nói hệ phương trình có nghiệm Nếu phương trình f i ( x ) = g i ( x ) có tập hợp nghiệm M i , tập hợp nghiệm hệ m M = I M i ; có phương trình hệ vô nghiệm hệ vô i =1 nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình R  x2 − 5x + = 0(1)   x+3  x + x − = 0(2)  Ta thấy S1 = R \ { −3} , S = R , S1 ∩ S = S1 Tập nghiệm (1) M = { 2;3} , (2) M = { −3;2} Vậy M = M ∩ M = { 2} 1.2 Sự tương đương phương trình hệ phương trình a) Các định nghĩa Định nghĩa P2 ( x ) gọi hệ P1 ( x ) S tập nghiệm M P1 ( x ) tập can tập nghiệm M P2 ( x ) , M1 ⊆ M Ta kí hiệu P1 ( x ) ⇒ P2 ( x ) (trên S) Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 Định nghĩa P1 ( x ) P2 ( x ) gọi tương đương M = M Nói khác đi, P1 ( x ) P2 ( x ) tương đương S P1 ( x ) P2 ( x ) hệ Ta kí hiệu bởi: P1 ( x ) ⇔ P2 ( x ) P1 ( x ) ~ P2 ( x ) b) Các định lí phương trình tương đương Định lí Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) Nếu h ( x ) có nghĩa miền xác định phương trình cho thì: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) Định lí Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) Nếu biểu thức h ( x ) có nghĩa khác không miền xác định phương trình cho thì: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ) Định lí Nếu nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc lẻ ta phương trình tương đương với phương trình cho (trên trường số thực) * Hai quy tắc biến đổi tương đương phương trình: • Quy tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử • Quy tắc nhân với số: o Trong phương trình, ta nhân hai vế với số khác o Hoặc: Trong phương trình, ta chia hai vế cho số khác * Chú ý: Từ phương trình, dùng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân với số, ta nhận phương trình tương đương với phương trình cho * Các phép biến đổi phương trình khác: Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình thành phương trình tương đương với Tuy nhiên, nhiều để giải phương trình, ta phải thực phép biến đổi khác Do cần ý có phép biến đổi làm nghiệm làm xuất thêm nghiệm (nghiệm ngoại lai) phương trình Các phép biến đổi không tương đương với cách giải hệ thống bảng sau: Những phép biến đổi Cách giải không tương đương Bỏ vế Phải đặt điều kiện cho phương trình phân thức có nghĩa (tìm phân thức mà mẫu chứa ĐKXĐ phương ẩn trình), thử lại giá Nhân vế phương trị tìm ẩn Phải đặt điều kiện cho trình với đa đa thức khác 0, thức chứa ẩn thử lại giá trị tìm Bình phương (hoặc lấy ẩn Phải thử lại giá trị tìm lũy thừa chẵn) hai vế ẩn Phép biến đổi làm xuất nghiệm ngoại lai phương trình Chia vế phương Phải đặt điều kiện cho trình cho đa đa thức khác 0, xét thức chứa ẩn trường hợp đa thức 0, đưa Phép biến đổi làm nghiệm Bỏ lũy thừa chẵn (hoặc phương trình tích Phải thay hai khai bậc chẵn) phương trình phương trình dạng Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13  f ( x )  =  g ( x )  2n 2n thành f ( x ) = g ( x )  f ( x) = g ( x) ,   f ( x ) = − g ( x ) đưa phương trình tích c) Các định lí hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Định lí Nếu F1 ( x1 , x2 , , xn ) = ⇔ x1 = f ( x2 , , xn )  x1 = f1 ( x2 , , xn )  F1 ( x1 , x2 , , xn ) =   F x , x , , x =  F2 ( f1 ( x2 , , xn ) , x2 , , xn ) = ( ) ⇔ ( II )  ( I )  2 n    F ( x , x , , x ) =  F f ( x , , x ) , x , , x = n n m)  m  m( Định lí  F1 =  F1 = F = n F + n F =   12 22 ( I )  F3 = ⇔ n13 F1 + n23 F2 + n33 F3 =      Fm = n1m F1 + n2 m F2 + + nmm Fm = ( nik số, hàm số ẩn, n22 , n33 , , nmm ≠ miền xác định (I)) Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 CHƯƠNG HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phương trình bậc ẩn 2.1.1 Giải biện luận phương trình ax + b = * Phương pháp giải: Viết lại phương trình dạng: ax + b = (1) - Nếu a = (1) ⇔ = −b ⇔ b = • Nếu b = , phương trình nghiệm với x ∈ R • Nếu b ≠ , phương trình vô nghiệm - Nếu a ≠ (1) ⇔ x = −b : phương trình có nghiệm a Kết luận:  Với a ≠ , phương trình có nghiệm x = −b a  Với a = b = , phương trình nghiệm với x ∈ R  Với a = b ≠ , phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình: m x + = x + 3m Giải: Sv Trần Thị Thu Hằng 10 Toán – Tin K13 Giải: x = + y x = + y  x = 10 ⇔ ⇔ 3 + y − y = y = y = ( )    ( I) ⇔  Vậy hệ (I) có nghiệm ( 10;7 ) b) Phương pháp cộng đại số • Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối • Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình , có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) • Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 x + y =  x − y = (II) Giải: 3 x = x = x = ⇔ ⇔  x − y =  x − y =  y = −3 ( II ) ⇔  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3; −3) c) Phương pháp tính định thức a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 D= a1 a2 Dx = c1 c2 b1 = a1.b2 − a2 b1 b2 b1 = c1.b2 − c2 b1 b2 Sv Trần Thị Thu Hằng 48 Toán – Tin K13 Dy = a1 a2 c1 = a1.c2 − a2 c1 c2 - Nếu D ≠ Hệ có nghiệm x = D Dx y = y D D - Nếu D =  Dx ≠ • Nếu  , hệ vớiô nghiệm D ≠ y  • Nếu Dx = Dy = D = , hệ nghiệm với x Kết luận:  Với D ≠ , hệ phương trình có nghiệm x = D Dx y = y D D  Với D = Dx ≠ Dy ≠ , hệ phương trình vô nghiệm  Với Dx = Dy = D = , hệ phương trình có vô số nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình: 3 x + y =  4 x + y = Giải: D= = 24 − = 16 Dx = = 24 − 14 = 10 Dy = 3 = 21 − 12 = Vì D ≠ nên hệ có nghiệm x = Sv Trần Thị Thu Hằng 49 D Dx 10 = = y = y = D 16 D 16 Toán – Tin K13 5  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; ÷  16  2.8.2 Giải biện luận hệ phương trình Ta dùng phương pháp giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộng đại số Giải biện luận hệ theo phương trình ẩn thu Ngoài ra, ta giải biện luận hệ theo cách tính định thức Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình: mx + y = m +   x + my = Giải: Ta có: D= m = m2 − m Dx = m +1 = m2 + m − m Dy = m m +1 = m − 1 m ≠ - Nếu D ≠ ⇔ m − ≠ ⇔   m ≠ −1 Hệ có nghiệm x = m+2 y = m +1 m +1 m = - Nếu D = ⇔ m − = ⇔   m = −1 • Với m = , suy Dx = Dy = , hệ có vô số nghiệm thỏa mãn x+ y = • Với m = −1 , suy Dx = −2 ≠ , hệ vô nghiệm Sv Trần Thị Thu Hằng 50 Toán – Tin K13 Kết luận:  Với m ≠ ±1 , hệ có nghiệm x = m+2 y = m +1 m +1  Với m = , hệ có vô số nghiệm thỏa mãn x + y =  Với m = −1 , hệ vô nghiệm 2.8.3 Hệ thức liên hệ nghiệm Với toán yêu cầu tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y không phụ thuộc vào tham số, từ hệ nghiệm x, y từ hệ ban đầu ta khử tham số hệ thức cần tìm Ví dụ Cho hệ phương trình:  x − my =  mx − y = m + Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x, y hệ không phụ thuộc vào m Giải: my = x  x − my = ⇔ ⇒ x ( x − 1) = y ( y + 1)  mx − y = m + ( x − 1) m = y + 2.8.4 Hệ phương trình bậc có nghiệm thỏa mãn điều kiện K Xác định điều kiện cho ẩn số (nếu có) Biến đổi hệ dạng: a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 Ta có nhận xét sau: i) Với D ≠ , hệ phương trình có nghiệm x = D Dx y = y D D ii) Với Dx = Dy = D = , hệ phương trình có vô số nghiệm iii) Với D = Dx ≠ Dy ≠ , hệ phương trình vô nghiệm Sv Trần Thị Thu Hằng 51 Toán – Tin K13 Trong trường hợp i) iii) phải so sánh giá trị nghiệm số với điều kiện (nếu có) Ví dụ Cho hệ phương trình: mx + y = 2m   x + my = m + Tìm m nguyên để nghiệm hệ nghiệm nguyên Giải: Ta có: D= m = m2 − 1 m Dx = 2m = 2m − m − m +1 m Dy = m 2m = m2 − m m +1 Hệ có nghiệm ⇔ D ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 (*) Khi nghiệm hệ là: Dx 2m + 1  x = = = −  D m +1 m +1  D m y y = = =1−  D m +1 m +1 Để nghiệm hệ nghiệm nguyên với m nguyên ⇔ m∈Z, m = ∈ Z ⇔ m + ước ⇔ m + = ±1 ⇔  m = − m +1  So sánh với điều kiện (*) ta nhận m = m = −2 2.9 Hệ phương trình đối xứng loại I * Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại I ẩn x y hệ gồm phương trình không thay đổi ta thay x y y x * Phương pháp giải: Sv Trần Thị Thu Hằng 52 Toán – Tin K13 Đối với hệ ta thường dùng phép thay ẩn: x + y = S , điều kiện S − P ≥  xy = P  Sau tìm S P x, y nghiệm phương trình t − St + P = 2.9.1 Điều kiện có nghiệm Xét hệ phương trình:  f m ( x, y ) = (I), với m tham số ta có   g m ( x, y ) =  f m ( x, y ) = f m ( y , x )   g m ( x, y ) = g m ( y , x ) Để tìm điều kiện có nghiệm hệ (I) ta tiến hành bước sau: + Bước 1: Đặt điều kiện toán (nếu có) + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy , với điều kiện S − P ≥ + Bước 3: Thay S, P vào hệ phương trình (I) Giải hệ ẩn S, P theo m giả sử nghiệm ( S0 ( m ) , P0 ( m ) ) Giải bất phương trình S0 ( m ) − P0 ( m ) ≥ kết hợp điều kiện đầu ta có kết toán 2.9.2 Điều kiện để hệ có nghiệm * Phương pháp: + Bước 1: Điều kiện cần: • Nhận xét hệ có nghiệm ( x0 , y0 ) ( y0 , x0 ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm khi: x0 = y0 (*) • Thay (*) vào hệ ta giá trị tham số Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm + Bước 2: Điều kiện đủ: Với giá trị m = m0 từ điều kiện cần, thay vào hệ phương trình Sv Trần Thị Thu Hằng 53 Toán – Tin K13 Giải hệ ta có điều kiện đủ Ví dụ Cho hệ phương trình:  x2 + y2 = m  x + y =  (I) a Giải hệ phương trình với m = 26 b Xác định m để hệ có nghiệm Giải: Biến đổi hệ phương trình dạng: x + y = ( x + y ) − xy = m  ⇔  36 − m xy =  x + y =  ⇔ x, y nghiệm phương trình t − 6t + 36 − m = (1) Nhận xét số nghiệm hệ cho số nghiệm phương trình (1) a Với m = 26 , ta được:  x =  t =  y = ⇔ (1) ⇔ 2t − 12t + 10 = ⇔   t = x =      y = Vậy với m = 26 hệ phương trình có hai cặp nghiệm ( 1,5 ) ( 5,1) b Cách Hệ có nghiệm ⇔ phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆′(1) = ⇔ m − 18 = ⇔ m = 18 Khi hệ có nghiệm x = y = Sv Trần Thị Thu Hằng 54 Toán – Tin K13 Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm Cách Điều kiện cần: Nhận xét hệ có nghiệm ( x0 , y0 ) ( y0 , x0 ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm khi: x0 = y0 2 x0 = m ⇒ m = 18 Khi đó: ( I ) ⇔  x =  Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm Điều kiện đủ: Với m = 18 , ta được:  x + y = 18  x + y = ⇔ ⇔ x = y = nghiệm ( I) ⇔   xy = x + y = Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm 2.10 Hệ phương trình đối xứng loại II * Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y hệ đổi vai trò x, y phương trình chuyển thành phương trình hệ * Phương pháp giải: Đối với hệ trừ vế hai phương trình bao gio thu phương trình tích x = y g x , y = ( )  ( x − y ) g ( x, y ) = ⇔  Khi ta giải hệ cho trường hợp 2.10.1 Điều kiện có nghiệm hệ Cho hệ phương trình: Sv Trần Thị Thu Hằng 55 Toán – Tin K13  f m ( x, y ) =   f m ( y, x ) = Để tìm điều kiện có nghiệm hệ, ta tiến hành bước sau: + Bước 1: Đặt điều kiện toán (nếu có) + Bước 2: Trừ vế cộng vế hệ ta được:  g ( x, y ) = x = y    f ( x, y ) + f ( y , x ) =  f ( x, y ) + f ( y , x ) = + Bước 3: Tìm điều kiện có nghiệm hai hệ với hệ cho hệ đối xứng loại I Hệ phương trình cho có nghiệm hai hệ thỏa mãn yêu cầu 2.10.2 Điều kiện để hệ có nghiệm Ở dạng toán ta áp dụng tương tự hệ phương trình đối xứng loại I Ví dụ Cho hệ phương trình:  x = y − y + m   y = x − x + m (*) a Giải hệ phương trình với m = b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Trừ vế hệ phương trình, ta được: x = y x − y = − ( x2 − y ) + ( x − y ) ⇔ x2 − y = ⇔  x = − y  Khi hệ phương trình tương đương với:  x = y   x − x + m = ( 1)  x = − y (I)  (II)  x + m = ( ) a Với m = , ta được: Sv Trần Thị Thu Hằng 56 Toán – Tin K13 x = y x = y = ⇔ x = y = 2  x − 2x = ( I) ⇔  x = − y ( II ) ⇔  x = ⇔ x = y = Vậy với m = hệ có hai cặp nghiệm ( 0;0 ) ( 2;2 ) b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Hệ có nghiệm khi: (1) có nghiệm (2) có nghiệm  ∆ ( 1) ≥ 1 − m ≥ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ ∆ ≥ − m ≥  ( )  Vậy hệ có nghiệm m ≤ c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Điều kiện cần: Nhận xét hệ có nghiệm ( x0 , y0 ) ( y0 , x0 ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm khi: x0 = y0 Khi đó: (*) ⇔ x0 = x0 − x0 + m ⇔ x0 − x0 + m = (3) Do x0 nên phương trình (3) có nghiệm ⇔ ∆′( 3) = ⇔ − m = ⇔ m = Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm Điều kiện đủ: Với m = , hệ có dạng:  x = y − y + → x + y = y − y + + x2 − x +   y = x − x + x = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔  y =1 Nghiệm thỏa mãn hệ nghiệm Vậy với m = hệ có nghiệm 2.11 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: Sv Trần Thị Thu Hằng 57 Toán – Tin K13 a1 x + b1 xy + c1 y = d1  2 a2 x + b2 xy + c2 y = d * Phương pháp giải: Cách Thực theo bước sau: Bước Khử số hạng tự để dẫn tới phương trình: Ax + Bxy + Cy = (1) Bước Đặt x = ty , đó: ( 1) ⇔ y  At + Bt + C  = • Xét y = thay vào hệ • Xét At + Bt + C = , có nghiệm t0 x = t0 y vào hệ để xét hệ với ẩn y Cách Thực theo bước sau: Bước Từ hệ khử số hạng x (hoặc y ) để dẫn tới phương trình khuyết x (hoặc y ), giả sử: Dx + F Dx + Exy + F = ⇒ y = − Ex (2) Bước Thế (2) vào phương trình hệ ta phương trình trùng phương ẩn x Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 x + 3xy + y = 15  2  x + xy + y = ( 3) ( 4) Giải: Cách Khử số hạng tự từ hệ ta được: x + xy − 22 y = (5) Đặt x = ty , đó: Sv Trần Thị Thu Hằng 58 Toán – Tin K13 y = y =  ⇔ t = ( 5) ⇔ y ( t + 9t − 22 ) = ⇔   t + 9t − 22 = t = −11 • Với y = , hệ có dạng: 2 x = 15 vô nghiệm   x = • Với t = ta x = y   x1 =   y1 =  y1 = ⇒ ( 4) ⇔ y = ⇔   y2 = −1   x2 = −2    y2 = −1 • Với t = −11 ta x = −11y 11   y = x = − ; y3 =   14 14 ⇒ ( 4) ⇔ y = ⇔  14 y = −  x = 11 ; y = − 4   14 14 14 14 Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm Cách Nhận xét rằng: ( x, y ) nghiệm hệ y ≠ Khử số hạng x từ hệ ta được: 3y2 −1 xy − y = −1 ⇔ x = y (6) Thay (6) vào (4), ta được: 14 y − 15 y + = (7) Đặt t = y , t ≥ , ta được: Sv Trần Thị Thu Hằng 59 Toán – Tin K13 t = ( ) ⇔ 14t − 15t + = ⇔  t=  14 • Với t = y =1  x = 2; y1 = ⇒ y2 = ⇔  ⇒ y = − x == − 2; y = −   2 • Với t = 14 11   y = x = − ; y3 = 3   14 14 ⇒ y2 = ⇔  ⇒ 14 y = −  x = 11 ; y = − 4   14 14 14 14 Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm KẾT LUẬN Bài tập lớn hệ thống hóa tập phương trình hệ phương trình chương trình Toán THCS đạt yêu cầu sau: + Đưa lý thuyết phương trình, hệ phương trình hệ thống hóa dạng tập phương trình hệ phương trình + Đưa hệ thống tập hướng giải phương pháp giải + Đưa lưu ý hay sai lầm mà học sinh thường mắc phải Sv Trần Thị Thu Hằng 60 Toán – Tin K13 Bài tập lớn có giúp đỡ giảng viên hướng dẫn đóng góp ý kiến bạn học Bài tập lớn tư liệu trình học dạy sau thân Nó góp phần giúp cho thân có nhìn khái quát phương trình, hệ phương trình tài liệu dạng tập phương trình, hệ phương trình Tuy nhiên trình nghiên cứu đề tài, tập lớn không tránh khỏi thiếu sót Vì mong đóng góp ý kiến , hướng dẫn giảng viên bạn học để tập lớn sau có kết tốt Xin trân trọng cám ơn ! Sv Trần Thị Thu Hằng 61 Toán – Tin K13 Sv Trần Thị Thu Hằng 62 Toán – Tin K13 ... Tin K13 CHƯƠNG HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phương trình bậc ẩn 2.1.1 Giải biện luận phương trình ax + b = * Phương pháp giải:... Lý thuyết phương trình hệ phương trình Chương Hệ thống dạng tập phương trình hệ phương trình Sv Trần Thị Thu Hằng Toán – Tin K13 NỘI DUNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1... tắt lý thuyết phương trình hệ phương trình - Một số dạng tập phương trình hệ phương trình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung phương trình hệ phương trình chương trình Toán THCS Phương pháp nghiên