Bài tập về phương trình bất phương trình và hệ phương trình mũ

Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 1/36 A. PHNG TRèNH M LOGARIT I. MT S PHNG PHP C BN GII PHNG TRèNH M Phng trỡnh m c bn a x = m (0 < a 1) . Nu 0 m thỡ phng trỡnh a x = m vụ nghim . Nu m > 0 thỡ phng trỡnh a x = m cú mt nghim duy nht mx a log= 1. Phng phỏp ủa v cựng c s Ta cú tớnh cht: == aa ; Cỏc tớnh cht ủú cho phộp ta gii mt s dng phng trỡnh m bng cỏch ủa cỏc lu tha trong phng trỡnh v lu tha vi cựng mt c s. Vớ d 1: Gii phng trỡnh (0,75) 2x-3 = x 5 3 1 1 (1) Li gii. Phng trỡnh (1) xx = 532 3 4 4 3 532 4 3 4 3 = xx 2x-3=x-5 x =-2. Vy phng trỡnh cú nghim x = -2 Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 = 9.5 x + 5 x+1 + 5 x+2 (2). Li gii: Phng trỡnh (2) 3 x .39 = 5 x .39 1 5 3 = x x = 0. Vy phng trỡnh cú nghim x = 0. Bi tp tng t: 1) 2 x .3 x-1 .5 x-2 =12; 2) 5 x +5 x+1 +5 x+3 =3 x +3 x+3 -3 x+1 . 2. Phng phỏp ủt n ph Mc ủớch ca phng phỏp ủt n ph l chuyn cỏc bi toỏn ủó cho v PT hu t ủó bit cỏch gii. Vớ d 1: Gii phng trỡnh ( ) ( ) 16738738 tantan =++ xx (1) Li gii. iu kin cosx? 0. NX: ( ) ( ) 1738738 =+ . t t = ( ) )0(738 tan >+ t x thỡ phng trỡnh (1) cú dng 16 1 =+ t t 0116 2 =+ tt t = 738 + v t = 738 . . Vi t = 738 + thỡ ( ) ( ) 738738 tan +=+ x tanx =1 kx += 4 (t/mủk). . Vi t = 738 thỡ ( ) kxx x +===+ 4 1tan738738 tan (t/mủk). Vy phng trỡnh cú hai h nghim kx += 4 v kx += 4 ( Zk ) Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3.49 x + 2.14 x - 4 x = 0 (4) Li gii: Chia c hai v ca phng trỡnh cho 4 x > 0, ta ủc (4) .01 2 7 .2 2 7 .3 2 = + xx (*) t )0( 2 7 > = tt x , phng trỡnh (*)cú dng 3.c 2 + 2.t - 1 = 0 t = -1(loi) v t = 1/3. Vi t = 1/3 thỡ 3log 3 1 2 7 2 7 == x x . Vy phng trỡnh cú nghim 3log 2 7 = x Vớ d 3: Tỡm nghim x < 1 ca phng trỡnh 3 2x-1 + 3 x-1 (3x - 7) x + 2 = 0 Li gii. Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 2/36 t t = 3 x-1 (t > 0), phng trỡnh cú dng 3t 2 + (3x - 7).t + 2 x = 0. Coi phng trỡnh trờn l phng trỡnh n t v tham s x. Khi ủú bit s 2 )53( = x . Phng trỡnh cú hai nghim t = 1/3 v t = -x + 2 Vi t = 1/3 thỡ 3 x-1 = 1/3 11 = x x = 0 Vi t = -x + 2 thỡ 3 x-1 = 2 - x. Ta thy x < 1 thỡ 3 x-1 < 1, cũn 2 - x > 1 suy ra phng trỡnh vụ nghim. Vy phng trỡnh cú mt nghim x = 0. Vớ d 4: Gii phng trỡnh 12.222 56165 22 +=+ + xxxx Li gii. t u = 65 2 2 + xx , v = 2 1 2 x (u > 0, v > 0). Khi ủú u.v = 2 7-5x = 2.2 6-5x Phng trỡnh tr thnh u + v = u.v + 1 (u - 1)(v - 1) = 0 u =1 hoc v = 1. . Vi u =1 thỡ 65 2 2 + xx =1 x 2 - 5x + 6 = 0 x = 2 hoc x = 3 . Vi v =1 thỡ 2 1 2 x =1 1 x 2 = 0 x = 1 hoc x = -1. Vy phng trỡnh cú 4 nghim x = -1, x = 1, x = 2, x = 3. Lu ý: 1. PT cú dng ( ) ( ) cbaba xfxf =+ )()( vi ( ) ( ) 1=+ baba , ta thng ủt ( ) )(xf bat += (xem vớ d 1). 2. PT cú dng ( ) 0 )(2 )( )(2 =++ xf xf xf vcuvbua , ta thng chia c hai v cho v 2.f(x) Ri ủt )( xf v u t = (xem vớ d 2). 3.Nhng PT sau khi ủt n ph cho mt biu thc thỡ cỏc biu thc cũn li khụng biu din ủc trit ủ hoc biu din quỏ phc tp. Khi ủú ta thng ủc mt phng trỡnh bc hai theo n ph cú bit s chớnh phng (xem vớ d 3). 4. i vi mt s bi toỏn ta la chn n ph v ủa v phng trỡnh tớch (xem vớ d 4) Bi tp tng t: 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x ; 2) 02)73(33 112 =++ xx xx ; 3) ( ) ( ) sinsin 5265262 xx ++= ; 4) 1 4 4 4 7325623 222 + = + +++++ xxxxxx 5) 02)73(33 112 =++ xx xx ; 6) 05 15 1 3 1cos2sin2 8logsincos 1cos2sin2 15 =+ ++ ++ xx xx xx 3. Phng phỏp logarit hoỏ. Phng phỏp lụgarit hoỏ rt cú hiu lc khi hai v ca phng trỡnh cú dng tớch cỏc lu tha nhm chuyn n s khi s m. Vớ d 1: Gii phng trỡnh xx 57 75 = Li gii. Hai v ca phng trỡnh ủu dng, ly lụgarit c s 5 c hai v ta ủc phng trỡnh 7 x = 5 x .log 5 7 7log 5 7 5 = x 7loglog 5 5 7 =x Vớ d 2: Gii phng trỡnh 68.3 2 = +x x x Li gii. K x? - 2. Lụgarit c hai v ca phng trỡnh theo c s 3, ta ủc 0 2 2log2 1)1(2log12log 2 3 3 33 = + ++= + + x x x x x x = 1 hoc x = 2(1 + log 3 2). Lu ý: Khi ly lụgarit hoỏ hai v, ta thng lụgarit theo c s ủó cú sn trong bi Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 3/36 Bi tp tng t: 1) 5log 34 55. x x = ; 2) 9 1 4 )2cossin5(sinlog 2 5,0 = ++ xxx ; 3) 5008.5 1 = x x x ; 4) 11 1 11 1 2 7log5log 3 2 3 ++ + = + xx x xx 4. Phng phỏp hm s . Cỏc bi toỏn dng ny thng ủc s dng mt trong ba tớnh cht sau (chỳ ý hm s fc (x) liờn tc trong tp cỏc ủnh) Tớnh cht 1: Nu hm y = f(x) tng hoc gim trong khong (a; b) thỡ phng trỡnh f (x) = k ( Rk )cú khụng quỏ mt nghim trong khong c (a; b). Tớnh cht 2: Nu hm y = f(x) tng trờn khong (a;b) v y = g(x) l hm gim trờn (a;b). Do ủú nu tn ti ( ) bax ; 0 ủ f (x 0 ) = g(x 0 ) thỡ ủú l nghim duy nht ca phng trỡnh. Tớnh cht 3: Nu hm s y = f(x) liờn tc, tng hoc gim trờn (a;b) thỡ vuvfuf = = )()( vi mi u,v (a; b). Vớ d 1: Gii phng trỡnh 3 x+1 = 3 - x Li gii. K x < 3. Nhn xột: . VT f(x) = 3 x+1 l hm ủng bin trờn R. VP g(x) = 3 - x l hm nghch bin trờn R. . x = 0 l nghim duy nht ca phng trỡnh Tht vy: Vi x > 0 thỡ 3 x+1 > 3; 3 x < 3 Vi x < 0 thỡ 3 x+1 < 3; 3 x > 3. Vy x = 0 l nghim ca phng trỡnh Vớ d 2: Gii phng trỡnh x x 381 2 =+ . Li gii. Chia c hai v ca phng trỡnh cho 3 x , ta ủc 1 3 8 3 1 = + x x Nhn xột v trỏi f(x) = x x + 3 8 3 1 l hm nghch bin trờn R. x = 2 l nghim ca phng trỡnh Vi x > 2 thỡ x x + 3 8 3 1 <1 Vi x < 2 thỡ x x + 3 8 3 1 >1. Vy x = 2 l nghim ca phng trỡnh Vớ d 3: Gii phng trỡnh ( ) 2 1 122 2 = x xxx Li gii. Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi )(2)1(2 21 2 xxx xxx +=+ t Đ = x - 1; v = x 2 - x. Phng trỡnh cú dng 2 u + u = 2 v + v (2) Xột hm s f(t) = 2 t + t ủng bin v liờn tc trờn R. Phng trỡnh (2) f(u) = f(v) u = v x 2 -x = x- 1 x 2 - 2x + 1 = 0 x = 1. Vy phng trỡnh cú nghim x = 1. Vớ d 4: Gii phng trỡnh 3loglog 2 9log 222 3. xxx x = (1) Li gii. k x > 0. ỏp dng cụng thc ac bb ca loglog = . Khi ủú (1) xxx x 222 loglog 2 log.2 33.3 = (2). t t = log 2 x suy ra x = 2 t . Khi ủú phng trỡnh (2) 3 2t = 4 t .3 t - 3 t 9 t + 3 t = 12 t . Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 4/36 Chia c hai v cho 12 t v ỏp dng cỏch gii ca vớ d 2. Bi tp tng t: Gii cỏc phng trỡnh 1) 2 2x-1 + 3 2x + 5 2x+1 = 2 x + 3 x+1 + 5 x+2 ; 2) x xx 10625625 = + + 5. Mt s phng phỏp khỏc . Vớ d 1: Gii phng trỡnh x x 2cos2 2 = Li gii. Ta cú x 2 = 0 suy ra x x 2cos13 2 Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi h = = = = = 0 12cos 0 12cos 13 2 2 x x x x x Vy phng trỡnh cú nghim x = 0. Lu ý: Ngoi phng phỏp nhn xột ủỏnh giỏ nh trờn, ta cú th s dng nh lớ Rụn: Nu hm s y = f(x) li hoc lừm trờn khong (a;b) thỡ PT f (x) = 0 cú khụng quỏ hai nghim thuc (a;b). Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3 x + 5 x = 6x + 2 Li gii. Phng trỡnh trờn tng ủng vi 3 x + 5 x - 6x 2 = 0. Xột hm s f(x) = 3 x + 5 x - 6x - 2, vi x R. Ta cú f (x) = 3 x .ln3 + 5 x .ln5 - 6, f (x) = 3 x .ln 2 3 + 5 x .ln 2 5 > 0 vi mi x R. Nh vy, hm s y = f(x) liờn tc v cú ủ th lừm trờn R nờn theo nh lớ Rụn phng trỡnh cú ti ủa 2 nghim trờn R. Nhn thy f(0) = f(1) = 0. Vy phng trỡnh cú hai nghim x = 0, x = 1. Vớ d 3: Gii phng trỡnh 2003 x + 2005 x = 2.2004 x Li gii. Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi 2003 x - 2004 x = 2004 x - 2005 x . Gi a l mt nghim ca phng trỡnh, khi ủú ta cú 2003 a - 2004 a = 2004 a - 2005 a (2). Xột hm s f(t) = t a - (t + 1) a , vi t > 0. D thy hm s f (t) liờn tc v cú ủo hm trờn khong (2003; 2005). Do ủú, theo nh lớ Lagrange tn ti c (2003; 2005) sao cho f (c) = 0 2003 2005 )2003()2005( )( ' = ff cf a[c a-1 - (c + 1) a-1 ] = 0 = = 1 0 a a Th li ta thy x = 0, x =1 ủu tho món. Lu ý: Bi toỏn trờn ta s dng nh lớ LagrangeB: Nu hm s y = f(x) liờn tc trờn ủon [a;b] v cú ủo hm trờn khong (a;b) thỡ tn ti mt ủim ( ) bac ; sao cho a b afbf cf = )()( )( ' Bi tp tng t: 1) x x 2cos3 2 = ; 2) 6 x + 2 x = 5 x + 3 x ; 3) 9 x +3 x =10x+2; II. MT S PHNG PHP C BN GII PHNG TRèNH LOGARIT. Phng trỡnh logarit c bn cú dng log a x = m. Vi mi giỏ tr tu ý ca m, phng trỡnh cú mt nghim duy nht x = a m . 1. Phng phỏp ủa v cựng c s. Nu 0,0 > > thỡ == aa loglog Vớ d 1: Gii phng trỡnh 2 1 )123(log 2 )3( =+ + xx x (1) Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 5/36 Li gii. Phng trỡnh (1) +=+ +< 3123 1)3(0 2 xxx x += < 313 23 xx x (2) * Nu x = 1 THè H (2) += < 34 23 xx x += < 3)4( 4 23 2 xx x x =+ < 0139 2;43 2 xx xx . Gii h tỡm ủc nghim 2 299 =x * Nu x < 1 thỡ h (2) tng ủng vi +=+ < 32 23 xx x +=+ < 3)2( 2 23 2 xx x x =++ < 013 2 2 xx x . Gii h tỡm ủc nghim 2 53+ =x . Vy phng trỡnh cú hai nghim 2 299 =x v 2 53 + =x . Vớ d 2: Gii phng trỡnh log 3 [1 + log 3 (2 x - 7)] = 1 (1) Li gii. (1) 1 + log 3 (2 x - 7) = 3 log 3 (2 x - 7) = 2 2 x -7 = 9 2 x = 16 x = 4. Vớ d 3: Gii phng trỡnh log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x. Li gii. k: x > 0. Dựng cụng thc ủi c s, ta ủc log 2 x + log 2 x.log 3 2 + log 2 x.log 4 2 = log 2 x.log 20 2. (1 +log 3 2 + log 4 2 - log 20 2).log 2 x = 0 log 2 x = 0 x = 1(t/mủk). Lu ý: 1. PT log f(x) g(x)=b = < b xfxg xf )()( 1)(0 (xem vớ d 1) 2. Nu PT cú dng log a x + log b x + log c x + log d x = 0, cỏc c s a, b, c, d khụng biu din lu tha qua nhau. Khi ủú ta dựng cụng thc ủi c s ủ ủa chỳng v cựng mt c s v ỏp dng cỏc phộp toỏn trờn logarit (xem vớ d 3) Vớ d 4: Gii phng trỡnh ( ) ( ) 3 8 2 2 4 4log4log21log ++=++ xxx Li gii. k: << 1 44 x x Vi ủiu kin trờn phng trỡnh tng ủng vi )4(log)4(log21log 222 ++=++ xxx )16(log4.1log 2 22 xx =+ 2 164.1 xx =+ (2). . Nu x = -1 thỡ (2) x 2 + 4x 12 = 0 x = 2 hoc x = -6. Kt hp ủk ta ủc x = 2. . Nu x < -1 thỡ (2) x 2 - 4x 20 = 0 622 = x . Kt hp ủiu kin ta ủc 622 =x . Vy phng trỡnh cú hai nghim x =2 v 622 =x . Lu ý: iu kin ca PT cha ủm bo x > 0 thỡ log a x 2 = 2. x a log Bi tp tng t: Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 6/36 1) () 3log 2 1 log 2 1 65log 3 3 2 2 9 −+       − =+− x x xx 2) x x =− + )52(log 1 2 ; 3) log 3 x + log 4 x = log 12 x 2. Phương pháp ñặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình log 2 (2 x - 1).log 1/2 (2 x+1 - 2) = -2. Lời giải. Đk: x > 0. Với ñều kiện trên phương trình tương ñương với log 2 (2 x - 1).[- log 2 2.(2 x - 1)] = -2 ⇔ log 2 (2 x - 1).[- 1 - log 2 (2 x - 1)] = -2 (1) Đặt t = log 2 (2 x - 1). Phương trình (1) trở thành t 2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2. . Với t = 1 thì log 2 (2 x - 1) = 1 ⇔ 2 x – 1 = 2 ⇔ 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3(tmñk) . Với t = -2 thì log 2 (2 x - 1) = -2 ⇔ 2 x – 1 = 1/4 ⇔ 2 x = 5/4 ⇔ x = log 2 5/4(tmñk). Vậy phương trình có hai nghiệm x = log 2 3 và x = log 2 5/4. Ví dụ 2: Giải phương trình 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx Lời giải. Đk:x > 0. Đặt t = 1log 2 3 +x , t = 1. Phương trình trở thành P 2 + t – 6 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại). . Với t = 2 thì 1log 2 3 +x =2 ⇔ log 3 2 x = 3 ⇔    −= = 3log 3log 3 3 x x     = = ⇔ − 3 3 3 3 x x (tmñk). Vậy phương trình có hai nghiệm 3 3=x và 3 3 − =x Ví dụ 3: Giải phương trình log 2x-1 (2x 2 + x - 1) + log x+1 (2x - 1) 2 = 4 Lời giải. Phương ⇔ log 2x-1 (2x - 1).(x + 1) + log x+1 (2x -1) 2 = 4 (1) Đk:    ≠<⇔ ≠−< ≠+< 0 2 1 1120 110 x x x (*) . Với ñiều kiện (*),phương trình pt (1) ⇔ log 2x-1 (x + 1) + 2log x+1 (2x - 1) – 3 = 0. Đặt t = log 2x-1 (x + 1), do ñiều kiện (*) nên t≠0. Phương trình trở thành 03 2 =−+ t t ⇔ t 2 - 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2. . Với t = 1 thì log 2x-1 (x + 1) = 1 ⇔ x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 2 (tmñk). . Với t = 2 thì log 2x-1 (x + 1) = 2 ⇔ x + 1 = (2x - 1) 2 ⇔ 4x 2 - 5x = 0 ⇔ x = 0(loại) hoặc x = 5/4(tmñk).Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4. Lưu ý: 1. Trong phương trình có chứa căn thì cách ñặt ẩn phụ cần khéo léo ñặt ñể pt của ẩn phụ không còn chứa căn. Đối với ví dụ 2 nếu ta ñặt t =log 3 x thì pt vẫn chứa căn, nhưng nếu ñặt t = 1log 2 3 +x ,thì PT của ẩn phụ rất ñơn giản. 2. Nếu PT có chứa log a b và log b a thì ta ñặt log a b=t thì log b a =1/t. (xem ví dụ 3). Ví dụ 4: Giải phương trình ( ) ( ) 2 loglog 122.22 22 xx xx +=−++ (1) Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log 2 x suy ra x = 2 t . Phương trình (1) trở thành ( ) ( ) t t t t 2 2122.222 +=−++ (2) Nhận xét: ( ) ( ) t tt 22222 =−+ , nên pt (2) tương ñương với ( ) () 021 22 2 .222 2 =−− + ++ t t t t t () ( ) () 0 22 122 2122 2 =         + −+ −       −+⇔ t t t t Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 7/36 () 0 22 4 1122 =               + −       −+⇔ t t ( )      =⇔ =       + =+ ⇔ 0 1 22 4 122 t t t Với t = 0 thì x = 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 1. Ví dụ 5: Giải phương trình 0log.40log14log 4 3 16 2 2 =+− xxx xxx (1) Lời giải. Đk: x > 0, x≠ 1/4, x≠ 1/16, x≠ 2 (*) Với ñiều kiện trên phương trình tương ñương với 0log.20log.42log.2 416 2 = + − xxx xxx (2) Nhận thấy x =1 luôn là nghiệm của pt. Với 0 < x≠ 1, pt (2) ⇔ 0 4log 20 16log 42 2 log 2 =+− xx x xx x Đặt t = log x 2 , ⇒ 0 2 1 20 4 1 42 1 2 = + + + − − t t t (3) Do ñiều kiện (*)nên pt luôn có nghĩa. (3) ⇔ 2t 2 + 3t – 2 = 0 ⇔ t = 1/2 hoặc t = -2(tmñk) . Với t = -2 thì log x 2 = -2 ⇔ 2 1 ±=x . Với t = 1/2 thì log x 2 = 1/2 ⇔ x = 4. Kết hợp ñk ta ñược nghiệm của phương trình là x = 4, x = 2 1 Bài tập tương tự: 1) 3 4 loglog 3 2 3 2 =+ xx ; 2) 062)1(log)5()1(log 3 2 3 =+−+−++ xxxx 3) 4)21236(log)4129(log 2 32 2 73 =+++++ ++ xxxx xx 3. Phương pháp hàm số . Ví dụ 1: Giải phương trình log 5 x = log 7 (x + 2) Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = log 5 x = log 7 (x + 2) ⇒    =+ = t t x x 72 5    =+ = ⇔ tt t x 725 5 Xét phương trình 5 t + 2 = 7 t . Chia cả hai vế của phương trình cho 7 t , ta ñược 1 7 1 .2 7 5 =       +       tt . f(t)= tt       +       7 1 .2 7 5 là hàm nghịch biến trên R, t = 1 là nghiệm của phương trình Với t > 1 thì f(t) < 1. Với t < 1 thì f(t) > 1. Vậy t = 1 thì x = 5. Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) xxx 2 3 3 log21log3 =++ Lời giải. Đk x > 0. Đặt t = ( ) xxx 2 3 3 log21log3 =++ , suy ra Tù ¤n thi ®¹i häc PT+HPT - BPT+ HBPT mò & Logarit NguyÔn H÷u Thanh - THPT ThuËn Thµnh sè I - B¾c Ninh Trang 8/36      =++ = 3 3 2 31 2 t t xx x ()()    =++ = ⇔ )2(32)2(1 )1(2 3 3 tt t t x chia cả hai vế của (2) cho ( ) t 3 3 ta ñược 1 3 2 3 2 3 1 3 3 33 =         +         +         tt t . Vế trái là hàm nghịch biến và t = 12 là nghiệm. Với t = 12 thì x = 2 12 Lưu ý: 1. Với PT dạng log a u = log b v, ta thường giải như sau: Đặt t = log a u = log b v    = = ⇒ t t bv au ; sử dụng phương pháp thế ñể ñưa về một phương trình mũ; tìm t (thông thường PT có nghiệm duy nhất); suy ra x. 2. Đối với ví dụ 2 h /s cần chú ý cách nhẩm nghiệm: Vế trái của PT có chứa căn bậc 3 và căn bậc 2, vế phải là một số nguyên. Do ñó khi tìm nghiệm phải tìm t là bội của 6. Ví dụ 3: Giải phương trình 23 3 2 2 1 log 2 2 2 3 +−= + − ++ xx x x xx Lời giải. Đặt u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 - 2x + 3 (u > 0, v > 0) suy ra v - u = x 2 - 3x + 2. PT ñã cho trở thành uv v u −= 3 log ⇔ log 3 u - log 3 v = v-u ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v (1). Xét hsố f(t) = log 3 t + t, ta có 0,01 3 ln . 1 )( ' >∀>+= t t tf nên hàm số ñồng biến khi t > 0. Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x 2 -3x+2=0. Phương trình có nghiệm x = 1,x = 2. Lưu ý: Với phương trình dạng uv v u a −=log với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta thường biến ñổi log a u - log a v = v - u ⇔ log a u + u = log a v. Vì hàm số f(t) = log a t + t ñồng biến khi t > 0, suy ra u = v. Bài tập tương tự: 1) xx coslogcotlog2 23 = ; 2) log 5 x + log 3 x = log 5 3.log 9 225 3) ( ) 2loglog 37 += xx ; 4) 42 1 532 log 2 2 2 −−−= ++ ++ xx xx xx 4. Phương pháp khác . Ví dụ1: Giải phương trình 6 x = 1 + 2x + 3log 6 (1 + 5x). Lời giải. Đk x > -1/5. Đặt a = log 6 (5x + 1), suy ra 5x + 1 = 6 a . Ta có hệ    ++= += 1236 156 xa x x a Trừ vế với vế của hai phương trình, ta ñược 6 a - 6 x = 3x - 3 a ⇔ 6 a + 3a = 6 x + 3x (2). Xét hàm số f(t) = 6 t + 3t liên tục và ñồng biến với mọi t. Phương trình (2) ñược viết dưới dạng f(a) = f(x) ⇔ a = x ⇔ log 6 (5x + 1) = x ⇔ 5x + 1 = 6 x ⇔ 6 x - 5x - 1 = 0. Xét hàm g(x) = 6 x - 5x - 1, với x > -1/5. Ta có g ’ (x) =6 x .ln6-5, g ’’ (x)=6 x .ln 2 6> 0 với mọi x. Theo ñịnh lí Rôn phương trình có tối ña hai nghiệm trên       +∞−∈ ; 5 1 x . Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 9/36 Nhn xột rng g(0) = g(1) = 0. Vy phng trỡnh cú hai nghim x = 0, x = 1. Vớ d 2: Gii phng trỡnh ( ) 2354log 23 =++ xx Li gii. k -5 x 4. Theo bt ủng thc Bunhiacopxki ta cú: ( ) 32 45(11).(45)32log451 xxxxxx +++++=++ . Do ủú phng trỡnh cú nghim khi v ch khi 2 1 1 5 1 4 = + = x xx . Vy x = -1/2 l nghim ca phng trỡnh. Bi tp tng t: 1) log 2 [3log 2 (3x - 1) - 1] = x; 2) 7 x-1 = 6log 7 (6x - 5) + 1 III. PHNG TRèNH M V LOGARIT Cể CHA THAM S Vớ d 1: Tỡm m ủ phng trỡnh 4 sinx + 2 1+sinx - m = 0 cú nghim Li gii. t t = 2 sinx , 2 2 1 t Phng trỡnh ủó cho cú dng t 2 + 2t m = 0 t 2 + 2t = m. Xột f(t) = t 2 + 2t, f (t) = 2t + 2 > 0 vi mi 2; 2 1 t , do ủú hm s ủng bin vi 2; 2 1 t Phng trỡnh cú nghim )()( 2; 2 1 2; 2 1 tfMaxmtfMin 8 4 5 )2() 2 1 ( mfmf . Vy phng trỡnh cú nghim khi 8 4 5 m Vớ d 2: Tỡm a ủ phng trỡnh sau cú nghim 0123).2(9 22 1111 =+++ ++ aa tt (1) Li gii. t x = 2 11 3 t + . Vỡ 2111 2 + t nờn 3 x 9. Phng trỡnh (1) cú dng x 2 - (a + 2).x + 2a + 1 = 0 )2(12 2 =+ xaxx 2 12 2 + = x xx a do x [ ] 9;3 nờn x 2. Xột f(x) = 2 12 2 + x xx vi x [ ] 9;3 , 2 2 ' )2( 34 )( + = x xx xf , = = = 3 1 0)( ' x x xf Lp Bng bin thiờn . T bng bin thiờn ta ủc 64 4 7 a Lu ý: 1. Cho hm s y = f(x) liờn tc trờn khong (a;b). Khi ủú Pt f (x) = m cú nghim ( ) bax ; ()() )()( ;; xfMaxmxfMin baba 2. Vi vớ d 1 chỳng ta cụ lp ủc tham s m ngay v s dng lu ý 1. i vi vớ d 2 s m ca tham s a l ging nhau, do ủú ta rỳt a qua x ủc a = f(x). Lp bng bin thiờn ca hm s y = f(x), t ủú suy ra ủỏp s. i vi phng trỡnh khụng cụ lp ủc tham s m v khụng cú cụng c nh lớ ủo ta s s lớ ra sao? Chỳng ta cựng xem vớ d 3. Vớ d 3: Cho phng trỡnh 02)4(log)1(2)4(log. 3 2 1 22 2 1 =++++ mmxmxm . Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit tho món 4 < x 1 < x 2 < 6. Li gii. t t = )4(log 2 1 x , phng trỡnh cú dng m.t 2 - 2(m 2 + 1).t + m 3 + m + 2 = 0 (1) Yờu cu bi toỏn tng ủng vi phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit tho món -1 < t 1 < t 2 (*) Tự Ôn thi đại học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit Nguyễn Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắc Ninh Trang 10/36 C1: m 0, ta cú =(m - 1) 2 phng trỡnh (1) cú hai nghim m mm t 2 2 1 ++ = v 1 2 + = mt . Khi ủú (*) >+ > ++ 11 1 2 1;0 2 m m mm mm < > > > > ++ 10 2 0 1;0 2 0 22 1;0 2 m m m mm m m mm mm Vy 0 < m 1 tho món yờu cu bi toỏn C2: Ta chuyn v bi toỏn so sỏnh vi s 0. t X = t + 1 suy ra t = X - 1, phng trỡnh (1) tr thnh m.X 2 - 2(m 2 + m + 1).X + m 3 + 2m 2 + 2m + 4 = 0 (2) (*)tng ủng vi phng trỡnh t (2) cú hai nghim dng phõn bit < > +++ > ++ >= > > > 10 0 422 0 )1(2 0)1(;0 0 0 0;0 23 2 2' ' m m mmm m mm mm P S m C3:(*) > + >+++ >= > >++ > 0 1 0.1 0)1( 1 2 0)1).(1( 0 2 2121 2 21 m m tttt m S tt > > ++ + + + 0 0 2)1(2 1 1 32 m m mm m m m Gii h trờn ta ủc kt qu 0 < m 1. Lu ý: i vi PT trờn cỏc lu tha ca tham s m khụng ging nhau nờn ta khụng th cụ lp ủc tham s. Vỡ vy ta cú th cú cỏc hng sau: Hng 1: Tớnh trc tip cỏc nghim v so sỏnh nú vi 1 Hng 2: t X = t + 1 v chuyn v bi toỏn so sỏnh vi s 0. PT cú nghim -1< t 1 < t 2 khi v ch khi PT n X cú hai nghim dng phõn bit. PT cú nghim t 1 < t 2 < 0 khi v ch khi PT n X cú hai nghim õm phõn bit. PT cú nghim t 1 < 0 < t 2 khi v ch khi PT n X cú hai nghim trỏi du Hng 3: Ta s dng kt qu * <t 1 <t 2 > > > 2 0))(( 0 21 S tt * < < 21 tt < > > 2 0))(( 0 21 S tt * 0))(( 2121 <<< tttt Vớ d 4: Cho phng trỡnh (m - 4).9 x - 2(m - 2).3 x + m 1 = 0 (1) a) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim trỏi du b) Tỡm m ủ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit tho món x 1 + x 2 = 3 [...]...Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ L i gi i t t = 3x, (t > 0) Phng trỡnh (1) tr thnh (m - 4).t2 - 2(m - 2).t + m 1 = 0 (2) a) Phng trỡnh (1) cú hai nghi m trỏi d u khi v ch khi phng trỡnh (2) cú hai nghi m phõn bi t tho... thỡ a < 0 ho c a > 4 Khi ủú pt cú hai nghi m phõn bi t x1 = a 2 + a 2 4a a + a 2 4a = 1 + 2 2 Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 11/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ x2 = a 2 a 2 4a a a 2 4a = 1 + 2 2 Nh n xột: N u a < 0 thỡ x2 < -1, do ủú ủ tho món bi thỡ x1 > - 1 a + a 2 4a > 0 a 2 4a > a 4a > 0 (luụn ủỳng do a < 0) N u a > 4 thỡ x1 > -1,... f(t) l hm liờn t c v ủ ng bi n v i m i t Phng trỡnh (1) f(x2 + 2mx + 2) = f(2x2 + 4mx + m + 2) 2 2 Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 12/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ 2 2 2 (2) x + 2mx +2 = 2x + 4mx + m + 2 x + 2mx + m = 0 Phng trỡnh (1) cú nghi m khi v ch khi pt (2) cú nghi m 2 = m m =0 m = 0 ho c m = 1 Vớ d 8: Tỡm x ủ phng trỡnh sau nghi m ủỳng... ( x) < g ( x) N u 0 < a < 1 thỡ a f ( x ) < a g ( x ) f ( x) > g ( x) B t phng trỡnh lụgarit Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 13/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ f ( x) > 0 N u a > 1 thỡ log a f ( x) < log a g ( x) g ( x) > 0 0 < f ( x) < g ( x) f ( x) < g ( x) f ( x) > 0 N u 0 < a < 1 thỡ log a f ( x) < log a g ( x) g ( x) > 0 f ( x)... phng trỡnh cú nghi m x 3 3 1 + 2x >0 Vớ d 4: Gi i b t phng trỡnh log 1 log 2 1+ x 3 2 log3 x Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 14/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ 1 + 2x log 2 1 + x > 0 L i gi i B t phng trỡnh trờn tng ủng v i 1 + 2x log 2 0 x < 1 x > 0 >1 1+ x x>0 1 + x 1 1 + 2x x > 1 0.B t phng trỡnh trờn tng ủng v i Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 15/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ x3 32 log ( x) log + 9 log 2 < 4 log 21 ( x) 2 8 x 4 2 2 2 1 [ ] [ 2 ] log 4 ( x) log 2 x 3 log 2 8 + 9 log 2 32 log 2 x 2 < 4 log 2 ( x) 2 2 log ( x ) [3 log 2 x 3]... phng trỡnh ủó cho tng ủng v i log 3 u > v u log 3 u log 3 v > v u v log3u + u > log3v + v Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c (1) Trang 16/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ 1 ' + 1 > 0, t > 0 Xột hm s f(t) = log3t + t, cú f (t ) = t ln 3 Nờn h /s ủ ng bi n khi t > 0 T (1) ta cú f(u) > f(v) u > v 2 2 2 x + x + 1 > 2x - 2x + 3 x - 3x + 2 < 0 1 < x < 2 Lu... log 3 + 8 2 x 1 x 1 1 VT = 2 x2 =0 x=2 x=2 VP = 2 VP=2 V y b t phng trỡnh cú nghi m Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 17/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ V y b t phng trỡnh cú nghi m duy nh t x = 2 Nh chỳng ta ủó bi t vi c ủ t ủi u ki n ủ b t phng trỡnh cú ngha l c n thi t, vỡ ủú l b c ủ u tiờn khi gi i b t phng trỡnh T ủ/k ủú ủ lo i ủi cỏc... 2 log2(x + 1) > 0 x + 1 > 1 x > 0 log2(3 - 2x) > 0 3 - 2x > 1 x < 1 Ta cú b ng xột d u Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 18/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ x log2(x+1) log2(3-2x) 3 2 1 0 -1 - + + + + - T ủú ta cú cỏc tr ng h p sau: TH1: V i -1 < x < 0 thỡ VT < 0, VP > 0 suy ra b t phng trỡnh vụ nghi m TH2: V i 0 < x < 1 thỡ VT > 0, VP > 0 Khi... 2x + y = = x 1 2 2 2 y 2 = 1 2 2 V i x = 2 v y = 1/2 tho món b t phng trỡnh x2 + 2y2 > 1 Nguyễ Hữu Thanh - THPT Thuận Thành số I - Bắ Ninh n c Trang 19/36 Tự Ô n thi đ i học PT+HPT - BPT+ HBPT mũ & Logarit ạ V y trong cỏc nghi m c a b t phng trỡnh thỡ nghi m (2; 1/2) l nghi m cú t ng 2x + y l n nh t b ng 9/2 Bi t p tng t : 1) log x (log 3 (9 x 72 )) 1 ; 2) log a (35 x 3 ) > 3 v i 0 < a 1 . Với bất phương trình dạng log a u<log b v, ta thường giải như sau: Đặt t =log a u (hoặc t =log b v); ñưa về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số. 2. Với bất phương trình. Cho bất phương trình 4 x - 3.2 x + m = 0 (1) a) Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm với mọi x ≤ 1 b) Tìm m ñể bất phương trình có nghiệm x ≤ 1 Lời giải. Đặt t = 2 x (t > 0) .Bất phương. > 0, VP < 0, bất phương trình có nghiệm với mọi 1 < x < 3/2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {} 1 2 3 0       <<x . Lưu ý: Với bất phương trình dạng vu ba log 1 log 1 > ,