Góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán và sáng tạo bài toán cho học sinh thông qua xây dựng và khai thác một số bài tập về chủ đề bất đẳng thức và bất phương trình

Mở đầu.

1 Lí do chọn đề tài.

Hoạt động sáng tạo gắn liền với lịch sử tồn tại và phát triển của của xã hội loàingời Từ việc tìm ra lửa, chế tạo công cụ bằng đá thô sơ… đến việc sử dụng năng l đến việc sử dụng năng l-ợng nguyên tử, chinh phục vũ trụ… đến việc sử dụng năng l, hoạt động sáng tạo của loài ngời không ngừngđợc thúc đẩy Sáng tạo không thể tách rời khỏi t duy – hoạt động bộ não của conngời Chính quá trình t duy sáng tạo với chủ thể là con ngời đã tạo ra các giá trị vậtchất, tinh thần, các thành tựu vĩ đại về mọi mặt trong cuộc sống và tạo ra nền vănminh nhân loại.

Nhiệm vụ đào tạo ra những con ngời năng động, sáng tạo và có khả năng giảiquyết vấn đề đã đợc xã hội đặt ra cho ngành giáo dục Công cuộc xây dựng xã hộimới trớc ngỡng cửa của thế kỉ XXI đòi hỏi nhà trờng phổ thông phải đào tạo ranhững con ngời không những nắm đợc kiến thức khoa học mà loài ngời đã tích luỹđợc mà còn phải có những năng lực sáng tạo giải quyết những vấn đề mới mẻ củađời sống bản thân mình, của đất nớc, của xã hội Luật giáo dục của nớc ta đã quyđịnh: “Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duysáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vơnlên ”

Trong việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh ở trờng phổ thông, môn toánđóng một vai trò quan trọng Bởi vì: toán học có một vai trò to lớn trong sự pháttriển của các ngành khoa học và kỹ thuật; toán học có liên quan chặt chẽ với thực tếvà có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, côngnghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; toán học còn là một công cụ để học tậpvà nghiên cứu các môn học khác.

Theo quan điểm giáo dục hiện đại, việc học tập của học sinh đợc diễn ra tronghoạt động và bằng hoạt động Học toán ở nhà trờng phổ thông chính là hoạt độngtoán học, trong đó hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là hoạt độnggiải bài tập toán Hệ thống bài tập toán học vừa là nội dung, vừa là phơng tiện, đểlàm cho học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển khả năng t duyđộc lập và t duy sáng tạo, chuẩn bị có hiệu quả việc vận dụng kiến thức vào cáchoạt động thực tiễn.

Chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình chứa đựng nhiều tiềm năng to lớntrong việc bồi dỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Đây là một chủ đềhay và khó ở trờng phổ thông với hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, có nhiềusự độc đáo trong các phơng pháp giải tạo nên sự hấp dẫn say mê đối với học sinh.Các bài tập về bất đẳng thức và bất phơng trình còn đợc sử dụng để củng cố nhiềukiến thức khác.

Với tất cả những lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:

Góp phần bồi d

“ ỡng năng lực giải toán và sáng tạo bài toán cho học sinhthông qua xây dựng và khai thác một số bài tập về chủ đề bất đẳng thức vàbất phơng trình ”

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích của luận văn là bổ sung, đề xuất một số bài tập về chủ đề bất đẳngthức và bất phơng trình góp phần bồi dỡng năng lực giải toán và sáng tạo bài toáncho học sinh.

3 Nội dung nghiên cứu.

- Nghiên cứu về cơ sở lý luận gồm các vấn đề: lý luận về cấu trúc năng lựctoán học của học sinh; hoạt động giải toán của học sinh; một số vấn đề về t duysáng tạo của học sinh; thực trạng dạy học hiện tại ở trờng phổ thông về chủ đề bấtđẳng thức và bất phơng trình; tiềm năng của chủ đề bất đẳng thức và bất phơngtrình trong việc bồi dỡng năng lực giải toán và sáng tạo bài toán cho học sinh

- Bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua hỡng dẫn giải bài toán vềbất đẳng thức và bất phơng trình; bồi dỡng năng lực sáng tạo bài toán cho học sinh.

- Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực vàtính hiệu quả của đề tài.

5 Giả thuyết khoa học.

Trên cơ sở chơng trình sách giáo khao hiện hành nếu trong dạy học giải bàitập toán nói chung, bài tập về chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình nói riêng,giáo viên quan tâm đến việc bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh thì có thểnâng cao năng lực nhận thức, hình thành và phát triển t duy sáng tạo ở ngời họcsinh.

6 Dự kiến những đóng góp của khoá luận.

Việc đề xuất và bổ sung đợc một số bài tập về chủ đề bất đẳng thức và bất ơng trình và có sự hỡng dẫn, khai thác hợp lí sẽ góp phần bồi dỡng năng lực giảitoán và năng lực t duy sáng tạo cho học sinh.

ph-7 Dự Kiến cấu trúc của luận văn

Mở đầu.

Chơng I Cơ sở lí luận và thực tiễn.

1 Những vấn đề lý luận về cấu trúc năng lực toán học của học sinh.

2 Hoạt động giải toán của học sinh.

3 Một số vấn đề về t duy sáng tạo của học sinh.

4 Tiềm năng của chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình trong việc bồi dỡngnăng lực giải toán và sáng tạo bài toán cho học sinh.

5 Thực trạng dạy học hiện tại ở trờng phổ thông về chủ đề bất đẳng thức vàbất phơng trình.

Chơng II Bồi dỡng năng lực giải toán và sáng tạo bài toán cho học sinhthông qua hớng dẫn giải bài tập về bất đẳng thức và bất phơng trình.

1 Bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua hớng dẫn giải bài tập vềchủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình.

2 Bồi dỡng năng lực sáng tạo bài toán cho học sinh.

Chơng III.Thực nghiệm s phạm.Kết luận.

Khi nghiên cứu về vấn đề năng lực toán học của học sinh, nhà khoa học giáodục V.A.Kơ-ru-tec-xki đã nêu lên một số quan điểm của mình về một số khái niệmcơ bản:

1 Khi nói đến năng lực tức là phải nói đến năng lực trong một loại hoạt độngnhất định của con ngời Nó chỉ tồn tại trong một loại hoạt động nhất định, vì vậychỉ trên cơ sở phân tích loại hoạt động đó mới thấy đợc biểu hiện của năng lực.Năng lực toán học cũng vậy chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sởphân tích hoạt động toán học mới thấy đợc biểu hiện của năng lực toán học.

2 Năng lực là một cái gì động: nó không những chỉ thể hiện và tồn tại tronghoạt động tơng ứng, nó còn đợc tạo nên trong hoạt động và phát triển trong hoạtđộng Năng lực toán học cũng ở trạng thái động, nó hình thành và phát triển tronghoạt động toán học.

3 Trong các thời kì phát triển riêng biệt xác định của con ngời thì xuất hiệncác điều kiện thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển các loại năng lựcriêng biệt Đối với năng lực toán học cũng vậy cũng có thời kì thích hợp nhất choviệc hình thành và phát triển chúng.

4 Kết quả của hoạt động thờng phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quảcủa hoạt động toán học cũng vậy, cũng phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực.

5 Năng lực toán học ở đây đợc hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ.

 Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việchọc toán, đối với việc nắm giáo trình toán ở trờng phổ thông, nắm mộtcách nhanh và tốt các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tơng ứng.

 Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực đối vớihoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan cómột giá trị lớn đối với loài ngời.

6 Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là cácđặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán và giúp cho việcnắm giáo trình một cách tơng đối nhanh, dễ dàng.

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minhtrong việc học tập toán.

Có nhiều sự phân chia khác nhau về các thành phần năng lực toán học của họcsinh (cấu trúc năng lực toán học của học sinh) Chẳng hạn theo V.A.Kơ-ru-tec-xki,ở lứa tuổi học sinh thì cấu trúc các năng lực toán học bao gồm những thành phầnsau:

- Thu nhận thông tin toán học: đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệutoán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

- Chế biến thông tin toán học: đó là năng lực t duy lôgic, năng lực t duy bằngcác kí hiệu toán học; năng lực khái quát hoá; năng lực t duy bằng các cấu trúc rútgọn; tính linh hoạt của các quá trình t duy trong hoạt động toán học; khuynh hớngvơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm hợp lý của lời giải; năng lực nhanh chóngvà dễ dàng sửa lại phơng hớng của quá trình t duy.

- Lu trữ thông tin toán học: đó là trí nhớ toán học.

- Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hớng toán học của trí tuệ.

Tuy nhiên dựa theo cấu trúc hoạt động toán học của học sinh ta có cấu trúcnăng lực toán học của học sinh bao gồm:

- Các năng lực tơng ứng với các hoạt động trí tuệ cơ bản nh: phân tích, tổnghợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá,… đến việc sử dụng năng l

Phân tích là tách (trong t tởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật

thành những bộ phận riêng lẻ.

Tổng hợp là liên kết (trong t tởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều

vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ng ợcnhau nhng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trítuệ cơ bản của quá trình t duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nềntảng phân tích và tổng hợp.

Trừu tợng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không

bản chất Sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tơng đối, nóphụ thuộc mục đích hành động.

Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tợng sang một tập hợp lớn hơn

chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tửtrong tập hợp xuất phát.

- Năng lực suy đoán và tởng tợng: là khả năng hình dung đợc những đối tợngquan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời haynhững hình phẳng, từ những biểu tợng của những đối tợng đã biết có thể hìnhthành, sáng tạo ra những hình ảnh của những đối tợng cha biết hoặc không có trongđời sống: là khả năng dự đoán kết quả, định hớng tìm lời giải.

- Năng lực t duy lôgic và sử dụng ngôn ngữ chính xác: Năng lực t duy lôgic vàsử dụng ngôn ngữ chính xác của học sinh thể hiện ở:

 Khả năng sử dụng đúng và hiểu đúng những liên kết lôgic và, hoặc, nếu thì,

phủ định, những lợng từ tồn tại và lợng từ với mọi…

 Khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.

 Khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành

chứng minh.

- Khi nói đến cấu trúc các năng lực toán học của học sinh chúng ta không thểkhông nói đến năng lực năng lực sáng tạo tức là năng lực đối với hoạt động sángtạo toán học, tạo ra những giá trị mới, khách quan, có ích lợi Có nhiều em học sinhcó năng lực, nắm giáo trình toán một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt ra giảinhững bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đờng, các phơng phápsáng tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các ph -ơng pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực.

2 Hoạt động giải toán của học sinh

Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ đạo trong việc học toán của họcsinh ở trờng phổ thông Để giải một bài toán thì học sinh phải thực hiện các hoạtđộng trí tuệ (hay các thao tác t duy) Và thông qua hoạt động giải toán sẽ hìnhthành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh, phát triển năng lực trí tuệ: rènluyện những thao tác t duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ… đến việc sử dụng năng lDo đó việc rènluyện giải toán cho học sinh là một trong những nội dung của việc dạy toán ở trờngphổ thông Chúng ta không thể dạy cho học sinh một thuật giải tổng quát để giảimọi bài toán Tuy nhiên trang bị những hớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìmtòi, phát hiện cách giải toán lại là có thể và cần thiết.

Về phơng pháp chung để giải bài toán thì dựa theo Polya, trong cuốn “Phơngpháp dạy học môn Toán” tác giả Nguyễn Bá Kim đã nêu lên các bớc:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

Phát biểu đề bài dới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; có thể dùng công thức, kíhiệu hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bớc 2: Tìm cách giải.

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biếnđổi cái dã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặccái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũtơng tự, một trờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đócó liên quan, sử dụng những phơng pháp đặc thù với từng dạng toán nh chứng minhphản chứng, quy nạp Toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v… đến việc sử dụng năng l

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bớc thức hiện hoặc đặc biệt hoákết quả tìm đợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,… đến việc sử dụng năng l

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đợc cách giải hợp línhất.

Bớc 3: Trình bày lời giải.

Từ cách giải đã đợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chơngtrình gồm các bớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bớc đó.

Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải.

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề.3 Một số vấn đề về t duy sáng tạo của học sinh.

3.1 Khái niệm về t duy.

Hiện thực xung quanh có rất nhiều cái mà con ngời cha biết Nhiệm vụ củacuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải thấu hiểu cái cha biếtđó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chấtvà những quy luật của tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là t duy.

T duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất những mốiliên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thựckhách quan mà trớc đó ta cha biết (Theo Tâm lí học đại cơng  Nguyễn QuangUẩn).

Những đặc điểm cơ bản của t duy:

- T duy là sản phẩm của bộ não con ngời và là một quá trình phản ánh tích cựcthế giới khách quan.

- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện quangôn ngữ.

- Bản chất của t duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tợng đợc phảnánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con ngờinhằm phản ánh đối tợng.

- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.

- Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộctính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.

3.2 Sự sáng tạo, t duy sáng tạo.

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vậtchất hoặc tinh thần; hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bịphụ thuộc gò bó vào cái đã có Sáng tạo gắn liền với sự thay đổi, đa ra cái mới (đổimới) sáng chế các ý tởng mới, các phơng án lựa chọn mới Sự sáng tạo thuộc vềnăng lực ra quyết định, thuộc về sự kết hợp độc đáo hoặc liên tởng phát ra các ý t-ởng đạt đợc kết quả mới và ích lợi Chúng ta làm đợc cái gì mới, khác và có ích lợi,

đấy là sáng tạo Sự sáng tạo là cần thiết cho bất kỳ lĩnh vực nào của xã hội loài ng ời Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu trên nhiều bình diện nh một quá trình phát sinhra cái mới, nh một kiểu t duy, nh một năng lực của con ngời và thậm chí nh mộthiện tợng tồn tại trong sự tiến hoá của tự nhiên.

-Các nhà nghiên cứu đa ra rất nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo.Theo Lecne, có hai kiểu t duy cá nhân: một kiểu gọi là t duy tái hiện hay tạo lại,kiểu kia gọi là t duy tạo mới hay sáng tạo Theo định nghĩa thông thờng và phổ biếnnhất của t duy sáng tạo thì đó là t duy tạo ra cái mới T duy sáng tạo dẫn đến nhữngtri thức mới về thế giới và các phơng thức hoạt động.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán lànhững điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khácnhau của t duy sáng tạo Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo racái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnhcái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Cái mới thờng nảy sinh, bắt nguồn từ cáicũ, nhng vấn đề là nhìn cái cũ nh thế nào Các khái niệm nhóm, vành, trờng chẳngqua là một sự trừu tợng hoá, khái quát hoá những đối tợng, những quan hệ vànhững tính chất đã thấy trên một số tập hợp số Nhng rõ ràng việc đi từ tập hợp sốtới các khái niệm nhóm, vành, trờng là một sự sáng tạo lớn Tính sáng tạo có thểdẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo nhng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận chứ khôngphải là nghĩ liều làm liều.” (Nguyễn Bá Kim – Phơng pháp dạy học môn toán).

Tóm lại t duy sáng tạo là t duy tạo ra những tri thức mới về thế giới và các ơng thức hoạt động.

ph-3.3 Mối quan hệ t duy sáng tạo, t duy độc lập và t duy tích cực.

T duy tích cực T duy độc lập.

T duy sáng tạo

T duy sáng tạo, t duy độc lập và t duy tích cực là những mức độ t duy khácnhau Nhà nghiên cứu V.A.Krutexcki đã biểu diễn mối quan hệ giữa ba mức độ tduy trên bởi một sơ đồ gồm ba vòng tròn đồng tâm (xem hình biểu diễn) T duytích cực là tiền đề cho t duy độc lập và t duy độc lập lại là tiền đề cho t duy sángtạo Trong t duy sáng tạo có t duy t duy tích cực và t duy độc lập, nhng không phảimọi t duy tích cực đều là t duy độc lập và không phải mọi t duy độc lập đều là t duysáng tạo.

Ví dụ: Chúng ta nói đến t duy tích cực khi một học sinh chăm chú nghe thầy

giảng các chứng minh định lý, cố gắng để hiểu đợc tài liệu Nếu ngời giáo viênkhông giải thích mà lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa theo bài học trongsách giáo khoa, tự nghiên cứu tìm hiểu cách chứng minh, thì trong trờng hợp này cóthể nói đến t duy độc lập (và tất nhiên cũng là t duy tích cực) Nếu học sinh tựkhám phá, tự tìm ra cách chứng minh mà học sinh đó cha biết thì có thể nói đến tduy sáng tạo.

3.4 Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo.

Khi nghiên cứu về cấu trúc của t duy sáng tạo, các nhà tâm lý học, giáo dụchọc, các nhà khoa học giáo dục… đến việc sử dụng năng lđã đa ra một số đặc trng cơ bản sau:

- Tính mềm dẻo.- Tính nhuần nhuyễn.- Tính độc đáo.

- Tính nhạy cảm vấn đề.- Tính hoàn thiện.

3.4.1 Tính mềm dẻo.

Tính mềm dẻo của t duy là năng lực dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ nàysang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác t duy này sang thao tác t duy khác, vậndụng linh hoạt các hoạt động toán học nh phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợnghoá,… đến việc sử dụng năng l và các phơng pháp suy luận nh quy nạp suy diễn, tơng tự,… đến việc sử dụng năng l, dễ dàngchuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hớng suy nghĩ khigặp trở ngại Tính mềm dẻo của t duy còn là năng lực thay đổi đễ dàng nhanhchóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan điểm này sang góc độquan điểm khác; định nghĩa lại sự vật hiện tợng, gạt bỏ sơ đồ t duy có sẵn và xâydựng phơng pháp t duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới hoặcchuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán.

3.4.2 Tính nhuần nhuyễn.

Tính nhuần nhuyễn là một yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo Nó đợc thể hiệnrõ nét ở hai đặc trng sau:

- Một là tính đa dạng của cách xử lý giải toán.

- Hai là xem xét đối tợng dới những khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinhđộng từ nhiều phía đối với sự vật hiện tợng, chứ không phải là cái nhìn bất biến,phiến diện, cứng nhắc.

Nói đến tính nhuần nhuyễn của t duy là nói đến năng lực tạo ra một số lợngnhất định các ý tởng, năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếutố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh đa ra giả thuyết mới.

3.4.3 Tính độc đáo.

Theo định nghĩa chung nhất của t duy sáng tạo thì đó là t duy tạo ra cái mới,cái mới cả về vật chất lẫn tinh thần Sự mới mẻ là tiêu chí rõ nhất của t duy sángtạo, làm nên tính độc đáo của t duy sáng tạo.

Tính độc đáo của t duy đợc thể hiện ở:

- Những khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ tuy đã biết những giải pháp khác.- Khả năng tìm ra những mối liên hệ bên trong những sự kiện mà bên ngoài t -ởng nh không có liên hệ gì với nhau.

- Khả năng tìm ra những liên tởng và những kết hợp mới.

3.4.4 Tính nhạy cảm vấn đề.

Một trong những đặc điểm của t duy là tính “có vấn đề” Trớc một hoàn cảnh(tình huống) có vấn đề mà con ngời muốn giải quyết vấn đề đó thì phải t duy Nhngcó một điều đặt ra là t duy có phát hiện ra vấn đề hay không, đó chính là tính nhạycảm vấn đề của t duy.

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trng sau:- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, cha tối u từ đó có nhucầu cấu trúc lại tạo ra cái mới.

Chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình chứa đựng nhiều tiềm năng to lớntrong việc bồi dỡng năng lực giải toán và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh.Đây là một chủ đề hay và khó ở trờng phổ thông với hệ thống bài tập phong phú vàđa dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phơng pháp giải tạo nên sự hấp dẫn say mêđối với học sinh Các kiến thức về bất đẳng thức đã đợc đa vào ngay từ bậc tiểu họcbằng bài toán so sánh các số, lên đến bậc trung học cơ sở học sinh cũng đã giảinhững bài toán chứng minh bất đẳng thức, các kiến thức về bất phơng trình Đếnbậc trung học phổ thông học sinh đợc học một cách có hệ thống về bất đẳng thứcvà bất phơng trình Lý thuyết về bất đẳng thức và bất phơng trình đợc trình bày ởlớp 10 Trong các chủ đề kiến thức khác có thể dùng bài tập bất đẳng thức và bấtphơng trình để bồi dỡng năng lực giải toán và bồi dỡng năng lực sáng tạo Với chủđề vectơ chúng ta có các bài tập chứng minh bất đẳng thức sử dụng phơng phápvectơ; các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong tam giác củng cố các kiến thứcvề các hệ thức lợng; ở lớp 11 chúng ta có các bài toán về bất phơng trình lợng giác;

bất phơng trình mũ, bất phơng trình lôgarit; và đến lớp 12 chúng ta cũng có các bàitoán sử dụng phơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức, bài toán tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số,… đến việc sử dụng năng l.

Nh vậy, các bài tập về bất đẳng thức và bất phơng trình đợc sử dụng rộng rãitrong chơng trình toán phổ thông, tạo nên tiềm năng cho việc bồi dỡng năng lựcgiải toán và năng lực sáng tạo cho học sinh.

5 Thực trạng dạy học hiện tại ở trờng phổ thông về chủđề bất đẳng thức và bất phơng trình.

Về thực trạng dạy học chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình cũng nh thựctrạng dạy học chung hiện nay, thì qua thực tiễn và qua đợt thực tập s phạm, dự giờ,quan sát việc dạy và học của giáo viên và học sinh, tôi thấy rằng:

Phơng pháp dạy học của giáo viên vẫn đang nặng theo kiểu thuyết trình, chaphát huy đợc tính tích cực của học sinh Chất lợng học tập của học sinh còn rấtthấp, năng lực giải toán của các em còn hạn chế Thực tế sự phân phối chơng trìnhcủa Bộ GD và ĐT có nhiều chỗ cha hợp lý Với một khối lợng kiến thức cần truyềnđạt tơng đối nhiều mà ngời giáo viên phải dạy theo đúng phân phối chơng trình quyđịnh nên việc mở rộng khai thác các khái niệm, tính chất, định lý, bài tập cha đợctriệt để, sâu sắc Có một số giáo viên quan tâm đến việc phát triển t duy cho họcsinh nhng thông thờng họ chỉ đa thêm các bài toán một cách rời rạc, cha có sự khaithác, hớng dẫn cuốn hút học sinh vào việc đào sâu, phân tích, mở rộng, khái quáthoá, đặc biệt hoá các bài tập và lí thuyết ở SGK Về chủ đề bất đẳng thức và bất ph-ơng trình thì bài tập ở trong sách giáo khoa còn ít, cha phong phú về các dạng Đasố giáo viên mới chỉ giải bài tập mà cha thể hiện đợc về việc dạy giải bài tập, chahình thành cho học sinh cách nghĩ khi đứng trớc một bài toán.

Ngoài ra còn phải kể đến một số nguyên nhân ảnh hởng đến chất lợng học tậpcủa học sinh nh hoàn cảnh, điệu kiện kinh tế gia đình còn khó khăn, đẫn đến việchọc của các em cha đợc chú trọng, thời gian dành cho học tập không nhiều.

Hiện nay chúng ta đang tích cực đổi mới phơng pháp dạy học, nâng cao tínhtích cực, tự giác của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học ở trờng phổthông.

Kết luận chơng 1

Qua những vấn đề đã trình bày trong chơng 1 này tôi rút ra các kết luận sau:- Năng lực toán học chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sởphân tích hoạt động toán học mới thấy đợc biểu hiện của năng lực toán học Nănglực toán học hình thành và phát triển trong hoạt động toán học Năng lực toán họclà các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu hoạt động học toán.

- Có thể phân chia cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm: Cácnăng lực tơng ứng với các hoạt động trí tuệ cơ bản nh: phân tích, tổng hợp, trừu t-ợng hoá, khái quát hoá; năng lực suy đoán và tởng tợng; năng lực t duy lôgic và sửdụng ngôn ngữ chính xác; năng lực sáng tạo toán học.

- Hoạt động giải toán là hoạt động chủ đạo của hoc sinh Cần phải chú ý rènluyện hoạt động giải toán cho học sinh

- Năng lực t duy sáng tạo là năng lực tạo ra những giá trị mới có ích lợi T duysáng tạo có mối quan hệ với t duy độc lập và t duy tích cực T duy sáng tạo có cácđặc trng chủ yếu là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo.

- Chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình có tiềm năng trong việc bồi dỡngnăng lực giải toán và năng lực sáng tạo cho học sinh.

- Với thực trạng dạy học hiện nay chúng ta cần phải chú ý bồi dỡng năng lựcgiải toán và bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.

Chơng II Bồi dỡng năng lực giải toán và sáng tạobài toán cho học sinh thông qua hớng dẫn giải bài

tập về bất đẳng thức và bất phơng trình

Trong nhà trờng phổ thông, nội dung kiến thức toán học trang bị cho học sinhkhông chỉ bao gồm các khái niệm, định lý mà còn cả các kĩ năng và phơng pháp.Vì vậy hệ thống tri thức đó không chỉ có trong các bài giảng lí thuyết mà còn cótrong các bài tập tơng ứng Hệ thống bài tập toán học vừa là nội dung, vừa là phơngtiện để làm cho học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển khảnăng t duy độc lập và t duy sáng tạo, chuẩn bị có hiệu quả việc vận dụng kiến thứcvào các hoạt động thực tiễn Trong chơng này chúng tôi đa ra một hệ thống bài tậpvề chủ đề bất đẳng thức và bất phơng trình góp phần bồi dỡng năng lực giải toán vàsáng tạo bài toán mới cho học sinh.

1 Bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua ớng dẫn giải bài tập về chủ đề bất đẳng thức, bất phơngtrình.

h-1.1 Hớng dẫn học sinh thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp để địnhhớng tìm lời giải.

Việc học toán của học sinh gắn liền với hoạt động giải bài tập toán Thông quagiải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm nhữnghoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học,những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Môn toán đòi hỏi học

sinh phải thờng xuyên thực hiện các hoạt động trí tuệ cơ bản nh phân tích, tổng

hợp, trừu tợng hoá, khái quát hoá,… đến việc sử dụng năng lTrong đó phân tích và tổng hợp là hai hoạt

động trí tuệ cơ bản Trong cuốn “tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần vớinghiên cứu toán học” tác giả Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định: “Muốn sáng tạotoán học rõ ràng là phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổnghợp đan xen vào nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia.” Việc rènluyện các thao tác t duy giúp cho học sinh phát triển đợc t duy tích cực, t duy nhuầnnhuyễn, linh hoạt tiến tới hoạt động t duy độc lập và t duy sáng tạo.

Sau đây chúng tôi đa ra một số bài toán với sự hớng dẫn cách phân tích tổnghợp, giúp học sinh định hớng tìm lời giải.

Nhìn vào biều thức A chúng ta có sự liên tởng tới các hằng đẳng thức (a – b)2 = a2

– 2ab  b2 ; (b – c)2 = b2 – 2bc  c2 ; (c – a)2 = c2 – 2ca  a2 ; Từ đó điềuchúng ta nghĩ tới là biến đổi (*) sao cho có thể sử dụng đợc các hằng đẳng thứctrên Với suy nghĩ đó ta có sự phân tích sau:

a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  0  2(a2  b2 c2) 2(ab  bc  ca)  0  (a –b)2  (b – c)2  (c – a)2  0 là bất đẳng thức đúng  (1) đúng.

Nh vậy khi giải bài toán này chúng ta đã có một sự phân tích là nhân A với 2rồi sau đó tổng hợp 2A thành tổng của các bình phơng không âm.

Bài toán 2: Chứng minh x ta có:

Cách2: Nếu chúng ta phân tích

=

= x2 2

 

  2

Từ giả thiết bài toán ta suy ra: a  1  b  1  c  1 = 4 hay

( a 1)2  ( b 1)2  ( c 1)2 = 4 Từ đó cho ta suy nghĩ có thể áp dụng bấtđẳng thức Bunhiacôpxki (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2)(x2  y2  z2) (*)

với a = b = c = 1 và x = a 1, y = b 1, z = c 1

 (1 a 1  1 b 1  1 c 1)2  (1  1  1)[( a 1)2  ( b 1)2  (

c  )2] = 12  a 1  b 1  c 1  2 3.Dấu “=” xảy ra  a = b = c =

31

Ta có kết luận của bài toán x0 < 1  a2  b2  x0 1 < a2  b2

Nhìn vào biểu thức ax0  b ta thấy nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

thì (ax0  b)2  (a2  b2)( x2

0 1)  a2  b2 

=

 Nh vậy ta chỉ cần

chứng minh

 > x2

0 1  40

x > 40

x  1 (đúng)  đpcm.

Bài toán 5: Chứng minh rằng a, b  R thì: a4  b4  a3b  ab3 (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Cách1: Chúng ta có sự phân tích (1)  a4 + b4  a3b  ab3  0 a4  a3b  b4  ab3 = a3(a  b)  b3(b  a) = (a  b)(a3  b3)= (a  b)2(a2  ab  b2)  0 Dấu “=” xảy ra  a = b.

Cách2: Từ sự phân tích a4 + b4  a3b  ab3 = (a  b)(a3  b3) chúng ta cũng có thểgiải nh sau:

- nếu a  b thì a3  b3  a  b  0 và a3  b3  0  (a  b)(a3  b3)  0- nếu a  b thì a3  b3  a  b  0 và a3  b3  0  (a  b)(a3  b3)  0 (a  b)(a3  b3)  0  a,b Dấu “=” xảy ra  a = b (đpcm).

Bài toán 6: Cho các số thực dơng a,b,c Chứng minh rằng:

a3  b3  c3  3abc (1).(bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng).

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Cách 1: Khi giải bài toán này, thì điều học sinh nghĩ tới là để chứng minh (1)tơng đơng với chứng minh a3  b3  c3  3abc  0 Nh vậy các em phải phân tíchsao cho biểu thức A = a3  b3  c3  3abc là một biểu thức luôn nhận giá trị khôngâm Biểu thức A là một biểu thức đối xứng đối với a, b, c Ta có sự phân tích sau:

A = a3  b3  3ab(a  b)  c3  3abc  3ab(a  b)= (a  b)3  c3  3ab(a  b  c)

= (a  b  c)[(a  b)2  (a  b)c  c2]  3ab(a  b  c)= (a  b  c)(a2  2ab  b2 ac  bc  c2  3ab)

= (a  b c)( a2  b2  c2  ab  bc  ca)  0 (vì a  b c > 0 và a2  b2  c2  ab bc  ca  0 (bài toán1)) Dấu “=” xảy ra  a = b = c  đpcm.

Cách 2: Với ý tởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có thểphân tích bài toán 3 nh sau:

a = 44444

 a3  b3  c3  3abc Dấu “=” xảy ra  a = b = c(đpcm)

Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu a  0, b  0 thì ta luôn có:

3a3  7bb3  9abab2 (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Với bài toán chứng minh một tổng lớn hơn một tích chúng ta thờng nghĩ tớiviệc áp dụng bất đẳng thức Côsi Một kĩ năng cần thiết khi áp dụng bất đẳng thứcCôsi là biết tách các số hạng một cách hợp lí ở vế trái bậc của a và b là 3 nên ta ápdụng bất đẳng thức Côsi cho ba số Do đó phải tách một số hạng thành 2 ở đâychúng ta tách 7bb3 = b3  b3 vì thấy bên vế phải bậc của b gấp hai bậc của a Haisố ,  đợc chọn sao cho    = 7b và 3a3  b3  b3  333ab2  9abab2   = 7b và   9ab Có thể chọn  =3,  = 4 hoặc  = 2,  = 5,… đến việc sử dụng năng l Nh vậy bài toán đợcchứng minh nh sau:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có:3a3  3b3  4b3  33333





 x  y  z (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Chúng ta thấy ở (1) vai trò của x, y, z là bình đẳng với nhau Và ta có nhận xét

= z2,

= x2,

= y2 , từ cách nhận xét này cho chúng ta nghĩ

tới việc áp dụng bất đẳng thức Côsi nh sau:



 2

= 2z,



 2

= 2x,



 2

yz = 2y,

Và t đây ta có quá trình tổng hợp cộng các vế của các bất phơng trình trên 





 x  y  z Dấu “=” xảy ra  x = y = z > 0 (đpcm).

Bài toán 9: Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác nhọn

thì: 2 2 2acb

  2 2 2bac





4 

xyyx 

–

  0 (x  y)2 – 4xy  0  (x – y)2  0 (đúng)  đpcm.

Bài toán 10: Giải bất phơng trình:

 = (x1)(x3)ở vế trái thì ta có thể nghĩ đến việc tạo ra thừa số chung ( x 1  x 3) cho cả haivế Khi đó ta có sự phân tích:

(1)  x  x2 x 3

 ) <

( x 1  x 3)  3 x  3  (x1)(x3) <

( x 1  x 3) x 3( x 3  x 1) <

( x 1  x 3) (do điều kiện x  1 nên taphân tích đợc (x1)(x3) = x 1 x 3)

 x 3 <

(do x 1  x 3 > 0)   1  x < 

Bài toán 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =

a 

b 

 (1) a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Một trong các phơng pháp cơ bản để giải các bài toán mà các mẫu số chứa cácđa thức là đa vào các ẩn phụ để chuyển các mẫu số thành đơn thức (khi đó hiểnnhiên các tử số trở thành đa thức).

Bằng cách đó ta đặt:

2b  2c  a = 3x, 2c  2a  b = 3y, 2a  2b  c = 3z  x, y, z là các số dơng vàa  b  c = x  y  z (2) Và từ cách đặt trên ta rút ra đợc:

a =

(2y  2z x), b =

(2z  2x  y), c =

(2x  2y  z)Khi đó: A =





Do



 2,



 2,



 2  A  1, dấu “=” xảy ra  x =y = z  a = b = c  giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1 (đpcm)

Bài toán 12: Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = 

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Nhìn vào biểu thức S rất nhiều học sinh mắc sai lầm rằng:

1  2

a2 2

a2 2

a2 2

a2 =



MinS =

Tuy nhiên để MinS =

 1 =

=

=

=

==

 =

 =

Ta cần chứng minh S 

Vì

sự bình đẳng của các thừa số 1 

, 1 

, 1 

, 1 

, nên ta sẽ chứng

minh 1 

a2 

,1 

b2 

,1 



,1 

d2 

,Đến đây đòi hỏi chúng ta phải có sự linh hoạt trong việc tách các số hạng mộtcách hợp lý để có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Ta nhận thấy 1 

=

a2b3 

=



=

hoặc chúng ta có thể phân tích 1 

=









 55

Tơng tự ta có:1 



 , 1 



5 25dc

 , 1 



5 25ad

d21 

=

 MinS =

(đpcm).

Bài tập dành cho học sinh tự giải:

Bài 1: Với a, b, c là các số dơng CMR: (a  b  c)(a2  b2  c2)  9ababcBài 2: Chứng minh rằng: (ab  bc  ca)2  3abc(a  b  c)

Bài 3: Chứng minh rằng a,b,c > 0 thì: 

Bài 4: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: (1  a)(1  b)(1  c)  (1  3

Bài 5: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì: (x  2)(y  2)(x  y)  16xyBài 6: Chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì:





 ab  bc  caBài 7b: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a 

b 

  1.Bài 8: Cho a  b  c  d và a  b  c  d = 1 CMR: a2  3b2  5c2  7bd2 1

Bài 9ab: Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện (a  1)2  (b  2)2 = 5 Chứng minh rằng : a  2b  10

Bài 10: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn Chứng minh rằng: 2 2 2

  2 2 2bac

 (1)Bài 11: Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng:

a 

b 

 

1.2 Bồi dỡng t duy lôgic và rèn luyện cách trình bày lời giải.

Môn toán là một môn học mang tính lôgic Khi giải bài tập toán, học sinh phảithờng xuyên thực hiện các suy luận lôgic Việc rèn luyện t duy lôgic cho học sinhlà cần thiết cho việc rèn luyện t duy sáng tạo.

T duy sáng tạo là quá trình t duy tìm tòi cái mới Trong cuốn “Tập cho họcsinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học”, tác giả Nguyên Cảnh Toànđã cho rằng: “để đi đến cái mới trong toán học phải biết kết hợp đợc t duy lôgic vàt duy biện chứng Trong việc phát hiện vấn đề và định hớng cho cách giải quyết vấnđề thì t duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo, khi hớng giải quyết vấn đề đã có thì tduy lôgic đóng vai trò chính.”

Các bài tập về bất đẳng thức và bất phơng trình rất có tiềm năng trong việc bồidỡng t duy lôgic cho học sinh Thông qua các bài tập này sẽ rèn luyện cho họcsinh: sử dụng đúng các phép biến đổi tơng đơng, suy luận chính xác có lôgic trongviệc giải bất phơng trình và chứng minh bất đẳng thức Thông qua các bài tập giảibất phơng trình còn có thể rèn luyện t duy lôgic cho học sinh ở chỗ biết phân chiatrờng hợp và biết lấy đúng hợp hay giao của các tập nghiệm.

Chúng ta có thể ra những những bài tập mà học sinh thờng mắc sai lầm trongcác suy luận để từ đó khắc phục cho học sinh những sai lầm này, bồi dỡng t duylôgic cho học sinh

Cùng với việc bồi dỡng t duy lôgic cho học sinh chúng ta cũng phải rèn luyệncho học sinh cách trình bày lời giải Để phát huy tác dụng của bài tập toán học trớchết cần nắm vững yêu cầu của lời giải, lời giải phải đúng và tốt Cụ thể là:

- Lời giải phải có lập luận chặt chẽ, phải tuân thủ các quy tắc: Luận đề phảinhất quán; Luận cứ phải đúng; Luận chứng phải hợp lôgic.

- Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, mộthình vẽ,… đến việc sử dụng năng l thoả mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bớc trung gian cũng phải đúng.Lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức.

- Lời giải phải đầy đủ, không đợc bỏ sót một trờng hợp, một khả năng, một chitiết cần thiết nào.

- Ngôn ngữ phải chính xác.

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.

- Các yêu cầu nâng cao đối với lời giải là: tìm ra nhiều cách giải, chọn cáchgiải ngắn gọn, hợp lí nhất; nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lậtngợc vấn đề.

Sau đây chúng tôi đa ra một số bài toán góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo vàrèn luyện cách trình bày lời giải cho học sinh:

Bài toán 1: Giải bất phơng trình :

 1x

Trờng hợp 1: x  4: Ta viết bất phơng trình dới dạng

(x1)(x2)  (x1)(x3)  2 (x1)(x4) x 1( x 2  x 3)  2 x 1 x 4

Khả năng 1: x = 1 là nghiệm.

Khả năng 2: x < 1 Bất phơng trình tơng đơng với 2 x  3 x  2 4 x

 2 x  4 x  4 x  3 x

Vế trái âm, vế phải dơng: bất phơng trình không có nghiệm.

Kết luận: Nghiệm bất phơng trình là x  4 hoặc x = 1.

Nhận xét: Với bài toán này rất nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng :

ab = a b , điều này chỉ đúng khi a  0, b  0.Trong trờng hợp a  0, b  0 thì ab = a b

Bài toán 2: Giải và biện luận bất phơng trình sau theo tham số m

m(x  m  3) < m(x  2)  6 (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Có nhiều học sinh khi giải và biện luận BPT (1) đã biến đổi nh sau:

(1)  mx  m2  3m < mx  2m  6  m2  5m  6 > 0  m < 2 hoặc m > 3.Nh vậy từ giải một bất phơng trình ẩn là x học sinh lại giải ra giá trị của tham số m.Để khắc phục sai lầm này cho học sinh chúng ta cần nhấn mạnh rằng: giải và biệnluận theo tham số m có nghĩa là chúng ta phải xét xem với các giá trị của tham sốm thì bất phơng trình có nghiệm nh thế nào (tham số m nhận tất cả giá trị trên trụcsố).

Do đó ở (1) chúng ta biến đổi nh sau:

Trả lời: - Với 2  m  3 thì (1) vô nghiệm.

- Với m < 2 hoặc m > 3 thì (1) có nghiệm là  x.

Bài toán 3: Giải bất phơng trình x2 6x 1

02x  

2  



Bài toán 4: Giải bất phơng trình:

x2 16

  x  17b (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Sai lầm thờng gặp của học sinh khi giải bài toán này là:(1)  



 

 

Ta thấy với x   4  x2 16

  0 > 2x  7b nên x   4 không là nghiệm của(1), do đó lời giải trên là sai lầm Với bài toán trên ta có phép biến đổi tơng đơng:

(  g(x)  

2 Ta có lời giải đúng là: (1)  



 

 

2  

31 3x

2 

 x  3Nguyên nhân của sai lầm này là đã ngộ nhận x  1

Sai lầm thờng gặp 2: (1) 





 

 

Ta thấy x = 1 thoả mãn (1) nên là nghiệm của bất phơng trình Cách giải trênđã làm mất nghiệm.

Với phơng trình af(x)  ag(x) thì ta có phép biến đổi tơng đơng đúng là:af(x)  ag(x)  

1a0 nếu)x(g)x(

1a nếu)x(g)x(

Khi giải bất phơng trình mũ ta cần chú ý các tính chất của hàm số mũ:+) Nếu cơ số a > 1 thì hàm số mũ y = ax đồng biến.

+) Nếu cơ số 0 < a < 1 thì hàm số mũ y = ax nghịch biến.Với bài toán trên ta có lời giải đúng là:

(1) 



 

Để rèn luyện t duy lôgic cho học sinh, ngời giáo viên có thể ra một số bài toáncó đa ra lời giải, mà trong lời giải có bố trí sẵn một số sai lầm Yêu cầu học sinhphát hiện ra sai lầm và khắc phục những sai lầm đó Chúng ta xét một số bài toánsau:

Bài toán 6: Chứng minh rằng  a, b, c ta có:

(a2  b2)( b2  c2)( c2  a2)  8a2b2c2 (1).

Lời giải:

Ta có  a, b, c thì a2  b2  2ab, b2  c2  2bc, c2  a2  2caNhân các vế ba bất đẳng thức trên

 (a2  b2)(b2  c2)(c2  a2)  2ab.2bc.2ca = 8a2b2c2  đpcm.Hãy phân tích sai lầm của lời giải trên.

Nhận xét: lời giải trên mắc sai lầm khi lập luận rằng từ a > b, c > d thì ac > bd.

Chúng ta nên nhớ rằng điều này chỉ đúng khi a > b > 0, c  d  0.Với bài toán này ta có thể lập luận nh sau:

Ta có a2  b2 =a2  b2  2ab 0 b2  c2 =b2  c2  2bc 0 c2  a2 =c2  a2  2ca 0Nhân các vế ba bất đẳng thức trên

 (a2  b2)(b2  c2)(c2  a2)  2ab.2bc.2ca= 8a2b2c2  đpcm.

Bài toán 7: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, còn x, y, z là ba số thoả

mãn điều kiện: ax  by  cz = 0 Chứng minh: xy  yz  zx  0 (1)

Lời giải: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: a = maxa,b,c  0 < b 

a, 0 < c  a  1 

, 1 

Từ ax  by  cz = 0  (ax  by  cz)2 = 0 abxy  bcyz  cazx = 

(a2x2  b2y2  c2z2)  0  abxy  bcyz  cazx 0



xy  yz 

zx  0 (*) (chia cả hai vế cho bc > 0)Ta có 1 

 xy 

xy (nhân cả hai vế với xy) 1 

 zx 

zx (nhân cả hai vế với zx) xy  yz  zx 

xy  yz 

zx  0 (theo (*))  đpcmHãy phân tích sai lầm của lời giải trên.

Nhận xét: Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ từ 1 

, 1 

 xy 

xy và zx 

zx Chúng ta nên nhớ rằng a < b  ac < bc chỉ đúngkhi c > 0 Với bài toán trên ta có thể giải nh sau:

Từ ax  by  cz = 0  z = 

cbyax 

Vậy (1)  xy 

cbyax 

(x  y)  0  cxy  (ax  by)(x  y)  0 ax2  xy(a  b  c)  by2  0 (2)

Nếu y = 0 thì (2)  ax2  0 Vậy (2) đúng.

Nếu y  0 thì (2)  a

  (a  b  c)

b  0 (3)Đây là một tam thức bậc hai theo

 (a  b  c)

b > 0  đpcm

Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 

với x, y, z > 0

Hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải sau:áp dụng bất đẳng thức Côsi: 1 

 2

(1), 1 

 2

y (2)

1 

 2

z (3) Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có: M 

Vậy min M =

Nhận xét:

Ta có min M =

8  1 =

=

=

=

=

 vô lí.

Chúng ta có M 

8 nhng chỉ kết luận min M =

8 khi x, y, z để M =

Với bài toán này ta có lời giải đúng là:Ta có: 1 

=







 44

=

(áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dơng), dấu “=” xảy ra  x = yTơng tự: 1 

y 

y , 1 



z1 

xz =

Dấu “=” xảy ra  x = y = z > 0 Vậy min M =

Bài toán 9: Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 thì:

Hãy phân tích sai lầm của lời giải sau:

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng ta có:a9ab6  b9ab6  c9ab6  339ab6

( (1); a9ab5  b9ab5  c9ab5  339ab5

( (2)

Các vế của (1) và (2) đều dơng nên chia từng vế ta đợc

= 3

abc Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã có suy luận từ A  B > 0 và C  D > 0 



Đây là một suy luận sai lầm Chẳng hạn 3 > 1 và 9ab > 2, nhng không suy

ra đợc

>

(?).

Lời giải đúng là:

Do vai trò bình đẳng của các số a, b, c nên có thể giả sử 0 < a  b  c  a9ab5 b9ab5  c9ab5 áp dụng bất đẳng thức Trêbsep ta có: 3(a.a9ab5  b.b9ab5  c.c9ab5)  (a  b c)(a9ab5  b9ab5  c9ab5) 

(3 )

0ab c

(2) 0ca

b cab

(1) 0

thì a > 0, b > 0, c > 0.

Tìm sai lầm của lời giải sau:

Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên ta chỉ cần chứng minh a > 0.Giả sử a < 0 thì từ (3)  bc < 0.

Lời giải đúng là:

Để chứng minh a > 0, ta giả sử a  0.

Nếu a < 0 thì nh lời giải trên, dẫn đến mâu thuẫn.

Nếu a = 0 thì mâu thuẫn với (3) Do đó a  0 là vô lí  a > 0.

Bài tập dành cho học sinh tự giải:

Bài 1: Giải bất phơng trình: x2(2x2  3x  1)  0Bài 2: Giải bất phơng trình:

 <

Bài 3: Giải bất phơng trình: (2x  1)2(4x  3)4(3x2  5x  2)  0Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x ta có: x(4  x)  4

Bài 5: Biết rằng x  y = 1 Chứng minh: (1  x)(1  y) 

Bài 6: Cho ba bất đẳng thức: a(1  b) >

; b(1  c) >

; c(1  c) >

với a,b, c  (0,1) Chứng minh ít nhất có một trong ba bất đẳng thức là sai.

Bài 7b: Chứng minh rằng nếu a  b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thứcsau đây là đúng: c2  a ; d2  b

Bài 8: Cho ba bất đẳng thức: a(2  b) > 1; b(2  c) > 1; c(2  a) > 1 với a, b, c (0;2) Chứng minh ít nhất có một trong ba bất đẳng thức là sai.

1.3 Bồi dỡng t duy độc lập, phê phán.

Tính độc lập của t duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mìnhxác định phơng hớng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kếtquả đạt đợc Tính độc lập quan hệ mật thiết với tính phê phán của t duy biểu hiện ởkhả năng nghiêm túc đánh giá những ý nghĩ và t tởng của ngời khác, nghiêm khắcđánh giá những ý nghĩ của mình, có tinh thần hoài nghi khoa học (đặt những câuhỏi “tại sao”, “vì đâu”, “nh thế nào” khi lĩnh hội kiến thức) (Nguyễn Bá Kim - Ph-ơng pháp dạy học môn toán.)

Trong cuốn “Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập cho học sinh qua môn toán”các tác giả Phạm Gia Đức và Phạm Văn Hoàn đã nêu rõ “rèn luyện kỹ năng côngtác độc lập là phơng pháp hiệu quả nhất để học sinh kiểu kiến thức một cách sâusắc có ý thức và sáng tạo” Vốn kiến thức thu đợc ở nhà trờng “chỉ sinh sôi và nảynở nếu ngời học sinh biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng hoạt động độc lập suynghĩ của bản thân đã đợc tôi luyện” “Tính độc lập thực sự của học sinh biểu hiện ởsự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo”và “ rèn luyện kỹ năng hoạt động độc lập thực chất là rèn luyện thói quen độc lậpsuy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc, khoa học” Nhiệm vụ rèn luyện kỹ năng hoạt động lậpcho học sinh là một công việc lâu dài, cần tiến hành tuần tự, có hệ thống qua mọikhâu của hoạt động giảng dạy Đây là một nhiệm vụ quan trọng, có ý nghĩa giáodục và giáo dỡng lớn lao.

Sau đây là một số bài toán qua đó có thể rèn luyện t duy độc lập cho học sinh.Với các bài tập này học sinh có thể độc lập suy nghĩ dựa trên các kiến thức đã học,các kinh nghiệm đã tích luỹ để phân tích tìm ra lời giải.

Bài toán 1: Cho ABC là tam giác bất kì Chứng minh rằng với mọi x ta có:

a) 1 +

x2  cosA + x(cosB + cosC) (1)b) b2x2 + (b2 + c2  a2)x + c2 > 0 (2)Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Quan sát kĩ các bất đẳng thức (1) và (2) học sinh sẽ dễ nhận ra các bất đẳngthức này sau khi biến đổi và thu gọn đều có dạng

f(x) = Ax2 + Bx +C  0 hoặc f(x) = Ax2 + Bx +C > 0

Từ đó các em nghĩ đến việc áp dụng các định lý về dấu của tam thức bậc haivào việc chứng minh bất đẳng thức Quá trình giải các bài toán này các em có thểtiến hành độc lập nh sau:

- Với bất đẳng thức (1): f(x) =

x2  (cosB + cosC)x + (1 cosA) = (cosB + cosC)2  2(1 cosA) = 4cos2

2CB 

cos2

2CB 

 4sin2

= 4sin2

2CB 

 1).

Rõ ràng   0 nên theo định lý về dấu của tam thức bậc hai suy ra

ba

cCbB

Chúng ta đa ra biểu thức (*) vì trong đề bài có chứa tích của cạnh và góc Vìsự có mặt và bình đẳng đối với a, b, c và A, B, C nên ta cũng có

(b  c)(B  C)  0 (2*); (c  a)(C  A) 0 (3*)Cộng các vế (1*), (2*), (3*) ta sẽ đợc (*)  đpcm.

Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác bất đẳng thức sau đây đúng.

a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Cách 1: Sự có mặt của biểu thức a4  b4  c4 làmchúng ta liên tởng đến (a2 b2  c2)2 hoặc (a2  b2  c2)2 ở đây ta có thể nghĩ đến a2  b2  c2 vì biểu thức nàycho ta sự liên hệ tới định lý côsin.

Ta có: (a2  b2  c2)2 = a4  b4  c4  2(a2b2  b2c2  c2a2) a4  b4  c4 = (a2  b2  c2)2  2a2b2  2b2c2  2c2a2

= 4a2b2cos2C  2a2b2 + 2b2c2  2c2a2 < 4a2b2  2a2b2  2b2c2  2c2a2 = 2(a2b2  b2c2  c2a2)  đpcm.

Cách 2:

Nếu suy nghĩ theo hớng trong (1) có a4, b4 , c4 ,a2b2 ,b2c2 ,c2a2 cho ta liên tởngđến các hằng đẳng thức a4  2a2b2  b4 =(a2  b2)2 ,… đến việc sử dụng năng l

Ta có thể phân tích (1) nh sau: (1)  a4  b4  c4  2(a2b2  b2c2  c2a2) < 0 (a2  b2)2  2(a2  b2) c2  c4  4a2b2  (a2  b2  c2)2  4a2b2 < 0

 (a2  b2  c2  2ab) (a2  b2  c2  2ab) < 0

 (a  b  c ) (a  b  c) (a  b  c ) (a  b  c) < 0 (*)(*) đúng vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác (đpcm)

Bài toán 4: Cho a > c, b > c, c > 0 Chứng minh:

c(ac)c(bc)ab (1)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Trong quá trình độc lập suy nghĩ học sinh có thể có các cách giải nh sau:

Cách 1: Sự xuất hiện dấu căn thức cho ta ý tởng bình phơng 2 vế của (1) để

Dựng hai trục vuông góc nhau tại O.

Trên các trục đó lấy các điểm B DA, B, C, D (nh hình vẽ) sao cho:

OB = OD = c, OA = a c,

OC = b  c A

CO

Ta có: SABCD = 2SABC = ( a  c  b  c) c = c(ac)c(bc)Mặt khác ta lại có: SABCD = 2SABC = AB.BC.sinABC  AB.BC = ab

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 5: Chứng minh rằng  ABC: cosA  cosB  cosC 

(1).

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Trớc hết ta có sự phân tích.cosA  cosB  cosC = 2cos

2BA 

2BA 

 1 – 2sin2

= – 2sin2

 2cos

2BA 

 1.

Khi phân tích đến đây ta nhận thấy để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh– 2sin2

 2cos

2BA 

–

 0 (*)Từ (*) sẽ cho ta hai hớng chứng minh là:

- Biến đổi (*) về một bất đẳng thức đúng, da về dạng – A2  0 hoặc – A2 – B2  0,

- Vận dụng kiến thức về tam thức bậc hai để chứng minh (*) bằng các đặt f(x) = – 2x2  2xcos

2BA 

–

.Từ đó ta sẽ có hai cách chứng minh là:Cách1 Phân tích

cosA  cosB  cosC –

= – 2(sin

–

2BA 

)2 –

2BA 

0

 cosA  cosB  cosC 

3 Dấu “=” xảy ra 

giải hệ này với chú ý A, B, C  (0,) ta đợc A = B = C  ABC đều (đpcm).Cách 2:

Xét f(x) = – 2x2  2xcos

2BA 

–

’ = cos2

2BA 

– 1  0  (–2)f(sin

)  0  f(sin

)  0.cosA  cosB  cosC 

Dấu “=” xảy ra 

 ABC đều (đpcm).

Bài toán này còn có thể giải theo nhiều cách khác.

Bài toán 7:

Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì: a2  b2  c2  4S 3 (1).

(S là diện tích của tam giác)

Nhận xét và h ớng dẫn giải:

Đây là bài toán chứng minh một hệ thức liên quan đến các yếu tố trong tamgiác Do đó trong quá trình độc lập suy nghĩ giải bài toán này học sinh sẽ vận dụngcác kiến thức về các hệ thức lợng trong tam giác.

Cách 1: ở (1) do sự có mặt của các cạnh và diện tích nên chúng ta sẽ vận dụngcác hệ thức liên hệ giữa các cạnh và diện tích Nếu áp dụng định lí hàm số côsin c2

= a2  b2  2abcosC và công thức diện tích S =

absinC thì ta biến đổi (1) nh sau:

(1)  2(a2  b2)  2abcosC  2 3absinC

 a2  b2  2ab(

cosC  cos

sinC)  0

 a2  b2  2absin(C 

)  0 (*) Do sin(C 

)  1  sin(C 

) 

 a2  b2  2absin(C 

)  a2  b2  2ab = (a  b)2  0  (*) đúng (1) đúng.

Dấu “=” xảy ra 



 ABC đều.Cách 2: Nếu áp dụng công thức diện tích S =

absinC =

acsinB =

bcsinA và định lí hàm số côsin ta có:

a2 = b2  c2  2bccosA = b2  c2  2bcsinAcotgA = b2  c2  4ScotgA

b2 = c2  a2  2cacosB = c2  a2  2casinBcotgB = c2  a2  4ScotgB

c2 = a2  b2  2abcosC = a2  b2  2absinCcotgC = a2  b2  4ScotgC

Cộng các đẳng thức trên suy ra: a2  b2  c2 = 4S(cotgA  cotgB  cotgC) (1)  4S(cotgA  cotgB  cotgC)  4S 3

 cotgA  cotgB  cotgC  3 (4)Nh vậy để chứng minh (1) ta phải chứng minh (4).Để chứng minh (4) ta chỉ cần áp dụng:  ABC thì

cotgAcotgB  cotgBcotgC  cotgCcotgA = 1

Và áp dụng bất đẳng thức Côsi: cotg2A  cotg2B  2cotgAcotgB cotg2B  cotg2C  2cotgBcotgC

cotg2C  cotg2A  2cotgCcotgA

Cộng các vế ba bất đẳng thức trên suy ra: cotg2A  cotg2B  cotg2C  1

Từ đó ta có: (cotgA  cotgB  cotgC)2  3  cotgA  cotgB  cotgC  3

Dấu “=” xảy ra  cotgA = cotgB = cotgC  ABC đều  đpcm.

Cách 3: áp dụng công thức Hêrông S = p(pa)(pb)(pc) chúng ta có sựphân tích:

16S2 = 16p(p  a)(p  b)(p  c) = (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b c) = 2(a2b2  b2c2  c2a2)  (a4 b4 c4)

Do đó:

(1)  (a2  b2  c2)2  3.16S2  4(a4 b4 c4)  4(a2b2  b2c2  c2a2)  0  2(a2  b2)2  2(b2  c2)2  2(c2  a2)2  0 (*) đúng a, b, c  (1) đúng.Dấu “=” xảy ra  a = b = c  ABC đều.

Cách 4: Khi áp dụng công thức diện tích S = p(pa)(pb)(pc) ta có nhậnxét p = (p  a)  (p  b)  (p  c)  33(pa)(pb)(pc)

 p3  27b(p  a)(p  b)(p  c)  p4  27bp(p  a)(p  b)(p  c) p4  27bS2  S 

 4S 3 

p2 =

(a  b  c)2

Nh vậy để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minha2  b2  c2 

(a  b  c)2  3(a2  b2  c2)  (a  b  c)2  0 2(a2  b2  c2)  2(ab  bc  ca)  0

 (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0 đúng với mọi a, b, c  (1) đợc chứng minh.(chú ý là với bài toán này chúng ta có thể giải theo nhiều cách khác nữa)

Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu phơng trình:

x4  ax3  bx2  ax  1 = 0 (1) có nghiệm thì a2  (b  2)2 

x  b 20

x  ax0  1 = 0Vấn đề đặt ra là tìm cách khai thác điều kiện này Chia hai vế cho 20

x ta đợc:

x  20

 a(x0 

)  b = 0Đặt t0 = x0 

với t0 2 Ta đợc đẳng thức đúng sau:

t  at0  b  2 = 0 (1’) Từ đó suy ra: 20

t =  (at0  b  2)