Vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng vào dạy học toán 8 góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở

Biện pháp 5: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán học trong quá trình phát triển, từ đó có khả năng khai thác và phát triển bài toán tạo ra các bài toán mới và giải chúng...64 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH QUANG TRUNG

VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY LUẬT TRIẾT HỌC DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 8

GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC

GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

MỤC LỤC

Trang

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Dự kiến đóng góp của luận văn 4

8 Dự kiến cấu trúc của luận văn 4

NỘI DUNG 7 Chương 1 7

1.1 Một số quy luật triết học duy vật biện chứng 7

1.1.1 Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành những thay đổi về chất và ngược lại 7

1.1.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập 17

1.1.3 Quy luật phủ định của phủ định 21

1.2 Năng lực và năng lực giải toán 23

1.2.1 Năng lực 23

a Định nghĩa 23

b Khái niệm năng lực toán học 25

1.2.2 Năng lực giải toán và cấu trúc năng lực toán học 27

1.2.3 Biểu hiện năng lực giải toán của học sinh Trung học cơ sở 35

1.3 Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở 35

1.3.1 Đặc điểm tâm lý của học sinh trung học cơ sở 35

1.3.2 Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở 37

1.4 Kết luận chương 1 40

Chương 2 41

2.1 Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa Toán 8 41

2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học Toán 8 42

2.2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp 42

2.2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán 8 43

2.2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng các thao tác trí tuệ chung như : phân tích, tổng hợp, đặc biêt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa 43

2.2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán học một cách khách quan để nhận thức rõ điều kiện tồn tại và bản chất của đối tượng 50

2.2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác có liên quan 54

2.2.2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán học dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm ra các cách giải khác nhau của một bài toán 59

2.2.2.5 Biện pháp 5: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán học trong quá trình phát triển, từ đó có khả năng khai thác và phát triển bài toán

tạo ra các bài toán mới và giải chúng 64

2.2.2.6 Biện pháp 6: Tập luyện cho học sinh phát hiện và sửa chữa các sai lầm trong lời giải bài toán 68

2.2.2.7 Biện pháp 7: Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh theo các mô hình 77

2.3 Kết luận chương 2 84

Chương 3 85

3.1 Mục đích thực nghiệm 85

3.2 Quá trình thực nghiệm 85

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 85

3.2.2.Nội dung thực nghiệm 85

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 86

3.3.1 Nội dung đề kiểm tra 86

3.3.2 Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra 89

3.3.3 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 90

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 92

KẾT LUẬN 93 Tài liệu tham khảo 94

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp luận của duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quantrọng và cần thiết trong dạy học Toán, đặc biệt là trong điều kiện hiện nay.Phải kết hợp tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũngnhư tư duy khác và nhiều phẩm chất khác của con người, để đáp ứng nhu cầuphát triển của xã hội Nắm được phương pháp luận của phép duy vật biệnchứng, giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn của Toán học, từ đó vậndụng tri thức khoa học rèn luyện ý chí, năng lực sáng tạo, độc lập và phát hiệnvấn đề trong cuộc sống

Trong thời đại hiện nay khoa học phát triển như vũ bão, người giáoviên cần phải ngày càng đổi mới trong cách dạy, học sinh cần đổi mới trongcách học mới đáp ứng được xu thế đó Phải biết vận dụng được những quyluật cũng như các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng vào giảng dạymới có thể đáp ứng những nhu cầu cho học sinh trong thời đại ngày nay

1.1 Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “ Phải đổi mớiphương pháp Giáo dục  Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng cácphương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “ Tiếptục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương phápdạy và học ”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)quy định: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụngkiến thức vào thực tiễn ”

Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học nói chung, phương pháp dạyhọc Toán nói riêng, đặc biệt trong điều kiện hiện nay là hoàn toàn cần thiết,

đó là vấn đề mà Đảng, Nhà nước và ngành Giáo dục đặc biệt quan tâm, nhằmphát huy cao độ tư duy tích cực và sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thứcđộc lập, năng lực suy luận biện chứng cho học sinh để tạo nên những conngười mới năng động, sáng tạo, tự chủ, kỉ luật nghiêm,

1.2 Vận dụng phương pháp luận duy vật biện chứng trong dạy họcToán là một vấn đề được rất nhiều nhà khoa học quan tâm Khi bàn về vấn đề

này GS-TS Nguyễn Cảnh Toàn có các tác phẩm “Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với toán”, “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học” được dùng tham khảo cho giáo viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh Tác giả GS-TS Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số

cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học Toán ở trường phổ thông ” trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998 TS Phạm Đình Khương cũng quan tâm đến vấn đề này qua bài báo “Vận dụng cặp phạm trù nội dung hình thức để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt động giải toán”, tạp chí thông tin khoa học giáo dục số 106/2004

1.3 Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tưcách là người điều khiển đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắngtiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vậndụng công thức để tính toán Rõ ràng với cách dạy và cách học như vậy thìbản thân giáo viên cũng chưa thấy thoả mãn bài dạy của mình, học sinh cũngthấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,

theo kiểu “thầy đọc trò ghi” làm cho các em ít có cơ hội phát triển tư duy

sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi ra được cái mới

1.4 Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thôngtrung học là phải tạo cho học sinh làm chủ được khả năng tiếp thu, chủ độngtrong học tập Vì vậy để rèn luyện tư duy toán học, khả năng tìm tòi ra cáimới thì việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng của tư duytoán học, đóng vai trò hết sức quan trọng trong dạy học Toán Việc vận dụngmột số quy luật triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học cho họcsinh là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá trình học tập, với nhiều hìnhthức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp bằngviệc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù Nâng cao được chất lượng dạyhọc là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện nay Vì vậy, tôi chọn đề tài của

mình là: “Vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng vào dạy học Toán 8 góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học

cơ sở”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lí luận và thực tiễnlàm căn cứ vận dụng quan một số quy luật triết học duy vật biện chứng gópphần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông quadạy học Toán 8

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 8 trường trung học cơ sở KimĐồng, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học giải bài tập toán 8 ở trường trung học cơ sở nếu giáoviên quan tâm đến việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứngnhằm khai thác các dạng bài toán và thiết kế, tổ chức các hoạt động theo cácđịnh hướng thích hợp thì sẽ bồi dưỡng được năng lực giải toán cho học sinh,thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng

trong dạy học môn Toán

5.2 Xác định các yếu tố bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

trung học cơ sở

5.3 Đề xuất các định hướng thiết kế, xây dựng một hệ thống bài tập

của chương trình toán 8, nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinhtrung học cơ sở

5.4 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu

về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn

6.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn.

6.3 Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp vàbản thân trong quá trình dạy học Toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của nhữnggiáo viên am hiểu vấn đề nghiên cứu của đề tài

6.4 Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem

xét tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất

7 Dự kiến đóng góp của luận văn

7.1 Luận văn góp phần vào việc chỉ ra cơ sở lý luận và thực tiễn của

việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng nhằm bồi dưỡngmột số năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán 8

7.2 Luận văn đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho

học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán lớp 8

8 Dự kiến cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

1.1.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập

1.1.3 Quy luật phủ định của phủ định

1.2 Năng lực và năng lực giải toán

1.2.1 Năng lực

1.2.2 Năng lực giải toán và cấu trúc năng lực toán học

1.2.3 Biểu hiện năng lực giải toán của học sinh Trung học cơ sở

1.3 Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở.

1.4 Kết luận chương 1

Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY LUẬT TRIẾT HỌC DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 8 GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1 Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa Toán 8

2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở.

2.2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp

2.2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinhtrung học cơ sở thông qua dạy học Toán 8

2.2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng các thao

tác trí tuệ chung như : phân tích, tổng hợp, đặc biêt hóa, khái quát hóa, tương

tự hóa…

2.2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán

học một cách khách quan để nhận thức rõ điều kiện tồn tại và bản chất củađối tượng

2.2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán

học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác có liên quan

2.2.2.4 Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán

học dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm ra các cách giải khác nhau củamột bài toán

2.2.2.5 Biện pháp 5: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán

học trong quá trình phát triển, từ đó có khả năng khai thác và phát triển bàitoán tạo ra các bài toán mới và giải chúng

2.2.2.6 Biện pháp 6: Tập luyện cho học sinh phát hiện và sửa chữa các

sai lầm trong lời giải bài toán

2.2.2.7 Biện pháp 7: Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh theo các

3.2.2.Nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.1 Nội dung đề kiểm tra

3.3.2 Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra

3.3.3 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

KẾT LUẬN

Theo quan điểm này, phát triển không bao quát toàn bộ sự vận động nóichung Nó chỉ khái quát xu hướng chung của sự vận động - xu hướng vận động

đi lên của sự vật, sự vật mới ra đời thay thế cho sự vật cũ Sự phát triển chỉ làmột trường hợp đặc biệt của sự vận động Trong quá trình phát triển của mìnhtrong sự vật sẽ hình thành dần dần những quy định mới cao hơn về chất, sẽ làmthay đổi mối liên hệ, cơ cấu, phương thức tồn tại và vận động, chức năng vốn

có theo chiều hướng ngày càng hoàn thiện hơn

Chẳng hạn, nếu ta nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chialịch sử của nó làm ba thời kỳ lớn: Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toánhọc về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷXVII) Thời kỳ cổ điển hay toán học về các đại lượng biến đổi (từ thế kỷXVIII đến cuối thế kỷ XIX) Thời kỳ hiện đại hay toán học về các vấn đề cấutrúc (từ cuối thế kỷ XIX đến nay) Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theo mộtlogic nhất định phản ánh tiến trình phát triển nội tại của toán học và củanhững nhân tố bên ngoài, trong đó có các quan điểm thế giới quan khác nhau,tác động vào nó Cũng như các tri thức khác, sự phát triển của tri thức toán

học mang tính biện chứng sâu sắc Nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới vềchất giữa các thời kỳ Vì vậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn,sâu sắc hơn, đa dạng hơn thời kỳ trước và bao quát nó như trường hợp riêng.

1.1.1.2 Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng, phát triển

cũng có ba tính chất cơ bản: Tính khách quan, tính phổ biến và tính đa dạng, phong phú.

- Sự phát triển bao giờ cũng mang tính khách quan Bởi vì, nguồn gốccủa sự phát triển nằm ngay trong bản thân sự vật Đó là quá trình giải quyếtliên tục những mâu thuẫn nảy sinh trong sự tồn tại và vận động của sự vật

- Sự phát triển mang tính phổ biến Tính phổ biến của sự phát triểnđược hiểu là nó diễn ra ở mọi lĩnh vực: tự nhiên, xã hội và tư duy; ở bất cứ

sự vật, hiện tượng nào của thế giới khách quan Ngay cả các khái niệm, cácphạm trù phản ánh hiện thực cũng nằm trong quá trình vận động và pháttriển; chỉ trên cơ sở của sự phát triển, mọi hình thức của tư duy, nhất là cáckhái niệm và các phạm trù, mới có thể phản ánh đúng đắn hiện thực luônvận động và phát triển

- Sự phát triển còn có tính đa dạng, phong phú Phát triển là khuynhhướng chung của mọi sự vật, mọi hiện tượng, song mỗi sự vật, mỗi hiệntượng lại có quá trình phát triển không giống nhau Tồn tại ở không giankhác nhau, ở thời gian khác nhau, sự vật phát triển sẽ khác nhau Đồng thờitrong quá trình phát triển của mình, sự vật còn chịu sự tác động của các sựvật, hiện tượng khác, của rất nhiều yếu tố, điều kiện Sự tác động đó có thểthúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển của sự vật, đôi khi có thể làm thay đổichiều hướng phát triển của sự vật, thậm chí làm cho sự vật thụt lùi.Chẳng hạn, nói chung, ngày nay trẻ em phát triển nhanh hơn cả về thể chấtlẫn trí tuệ so với trẻ em ở các thế hệ trước do chúng được thừa hưởng nhữngthành quả, những điều kiện thuận lợi mà xã hội mang lại

1.1.1.3 Nguyên lý về sự phát triển cho thấy trong hoạt động nhận thức

và hoạt động thực tiễn con người phải tôn trọng quan điểm phát triển.

Quan điểm phát triển đòi hỏi khi nhận thức, khi giải quyết một vấn đềnào đó con người phải đặt chúng ở trạng thái động, nằm trong khuynh hướngchung là phát triển

Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ nắm bắt những cái hiện đang tồntại ở sự vật, mà còn phải thấy rõ khuynh hướng phát triển trong tương lai củachúng, phải thấy được những biến đổi đi lên cũng như những biến đổi có tínhchất thụt lùi Song điều cơ bản là phải khái quát thành quy luật vạch ra khuynhhướng biến đổi chính của sự vật

Xem xét sự vật theo quan điểm phát triển còn phải biết phân chia quátrình phát triển của sự vật ấy thành những giai đoạn Trên cơ sở ấy để tìm raphương pháp nhận thức và cách tác động phù hợp nhằm thúc đẩy sự vật tiếntriển nhanh hơn hoặc kìm hãm sự phát triển của nó, tùy theo sự phát triển đó

có lợi hay có hại đối với đời sống của con người Quan điểm phát triển gópphần khắc phục tư tưởng bảo thủ, trì trệ, định kiến trong hoạt động nhận thức

và hoạt động thực tiễn

Ví dụ 1: Trong quá trình dạy học chủ đề hàm số ở trường trung học, cho dù

giáo viên dạy toán ở cấp nào lớp nào cũng phải nắm vững quá trình lịch sửphát triển của phạm trù này Đồng thời giáo viên nắm vững quá trình pháttriển của dạy học chủ đề này ở trường trung học thì mới dạy có hiệu quả kháiniệm hàm số Chẳng hạn, về tổng quan có thể coi sự phát triển của chủ đềhàm số theo hai giai đoạn: : “Giai đoạn ngầm ẩn”(trước lớp 7) và “giai đoạntường minh”(từ lớp 7 đến lớp 12) Tại sao lại lấy lớp 7 trung học cơ sở làmmốc? Vì ở lớp 7 mới định nghĩa hàm số một cách tường minh Sách giáo khoatoán 7 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp,xuất phát từ những ví dụ cụ thể về hàm số, rút ra những thuộc tính bản chất

của khái niệm, sau đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm.

Định nghĩa khái niệm hàm số trang 63: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vàođại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉmột giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi làbiến số”

Cách diễn đạt của định nghĩa này tương tự với cách diễn đạt củaDirichlet trong định nghĩa hàm số ông đưa ra năm 1837 Hàm số ở đây đượctrình bày theo quan điểm: coi hàm số như một khái niệm toán học mô tả sựphụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Định nghĩa này làm ẩn điđặc trưng biến thiên của khái niệm hàm số, chỉ đề cập tới đặc trưng phụ thuộc

và tương ứng Ở đây, sách giáo khoa chưa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” vàđặc trưng biến thiên của hàm số Có lẽ để học sinh tiếp thu một cách tườngminh đặc trưng này ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là mộtviệc khó, nó đòi hỏi ở một mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được nhữngvấn đề cơ bản về hàm số Vì vậy, ở đây sách giáo khoa chưa đề cập tới sựđồng biến, nghịch biến của hàm số

Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như địnhnghĩa của các nhà toán học thế kỉ XIX chứ không dùng định nghĩa chặt chẽnhờ lý thuyết tập hợp như trước đây Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuấtbản Giáo dục năm 2001 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số theo quanđiểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tương ứng giữa haiphân tử của hai tập hợp số

Định nghĩa: (Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuất bản Giáo dục năm

2001, trang 73) “Giả sử X và Y là hai tập hợp số Một hàm số f từ X đến Y là

quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y Y, mà ta kí hiệu là y = f(x) Người ta viết: f: X → Y ; x y = f(x) (đọc là x tương ứng

với f(x))

Theo cách diễn đạt này thì định nghĩa khái niệm hàm số chỉ đề cập đếnđặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên và đặc trưng phụ thuộc củahàm số Nếu định nghĩa hàm số bằng thuật ngữ “ quy tắc tương ứng” có thểgây cho học sinh khó hiểu vì học sinh chưa biết khái niệm “quy tắc tươngứng” là gì mà việc trình bày định nghĩa theo cách đó cũng khá phức tạp đốivới học sinh trung học cơ sở mặc dù cách định nghĩa đó là chặt chẽ và chínhxác, tương tự cách định nghĩa của các nhà toán học thế kỉ XX.

Như vậy, cách định nghĩa về khái niệm hàm số trong sách giáo khoaToán 7 hiện hành là đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh trung học cơ sở Qua

đó, học sinh dễ dàng nắm được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số

đó là sự tương ứng và sự phụ thuộc

Ở đây, sách giáo khoa chưa đưa vào các khái niệm tập xác định, tập giátrị của hàm số, chỉ nhắc tới biến số,…Và sách giáo khoa cũng không trình bàytường minh các cách cho hàm số mà chỉ nêu lên chú ý: Hàm số có thể đượccho bằng bảng; bằng công thức

Với tư cách là những nguyên tắc phương pháp luận, quan điểm toàndiện, quan điểm lịch sử - cụ thể, quan điểm phát triển góp phần định hướng,chỉ đạo hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo hiện thực, cải tạochính bản thân con người Song để thực hiện được chúng, mỗi người cần nắmchắc cơ sở lý luận của chúng - nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và nguyên

lý về sự phát triển, biết vận dụng chúng một cách sáng tạo trong hoạt độngcủa mình

1.1.1.4 Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triểnmột lý thuyết toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trìnhkhách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân nào Đó là quá trình giải quyếtnhững mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết nhữngnhu cầu của thực tiễn

Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử

cụ thể trước các vấn đề toán học Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọcnội dung và cách chứng minh định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trongcủa một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi thường nó Nhưng kì thực, việcphát minh ra chúng ở cái thời đại của ông quả thật là vĩ đại và đã được ápdụng đến tận ngày nay

Ví dụ 2: Sự tự vận động và phát triển đi đến sự hoàn chỉnh của giá trị lượng giác (tỉ số lượng giác) của một góc bất kì.

- Giá trị lượng giác của góc nhọn.

- Cho góc nhọn  Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn  Ta cóthể vẽ như sau: Vẽ góc , từ một điểm bất kì B trên một cạnh của góc  kẻđường vuông góc với cạnh kia, xác định cạnh đối và cạnh kề của góc 

Nhận xét mở đầu:

Nêu được tính chất cơ bản:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn không phụ thuộc vào vị trí điểm B

mà phụ thuộc vào độ lớn của góc

Chẳng hạn, lấy điểm bất kì B’  B trên

CA

 ,

'

' '

CB

A B CB

BA

 ,

'

' '

CA

A B CA

BA



 Định nghĩa

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được

gọi là sin của góc , kí hiệu sin;

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyềnđược

gọi là côsin của góc  , kí hiệu cos;

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi

là tang của góc , kí hiệu tg (hay tan);

cạnh đối



Hình 1.2

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc , kí hiệu

cotg (hay cot) Như vậy; sin =

* Hạn chế: Các tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa trong tam

giác vuông, dựa vào góc Hình học, đơn vị đo là độ, trong phạm vi góc:

00 <  < 900 và 0 < sin < 1, 0 < cos < 1

- Giá trị lượng giác của một góc bất kì.

 Định nghĩa: Với mỗi góc  (00

  1800), ta xác định điểm M trênnửa đường tròn đơn vị sao cho MOx ˆ 

Giả sử điểm M có tọa độ (x; y) Khi đó:

Tung độ y của điểm M gọi là sin của

góc  , kí hiệu là sin ;

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin

của góc  , kí hiệu là cos ;

Tỉ số y x (với y  0) gọi là côtang của góc  , kí hiệu là cot

Như vậy: Các số sin , cos , tan , cot gọi là các giá trị lượng giáccủa góc 

Khi đó: sin = y; cos = x; tan



 cos

cos

 = x y Các tỉ số lượng giác của góc bất kì được định nghĩa trên nửa đường trònđơn vị, trong hệ tọa độ Oxy, dựa vào góc HH, đơn vị đo là độ, trong phạm vi góc(00   1800) và 1 cos 1, 0 sin 1

 Sự phát triển

Hình 1.3

- Định nghĩa trong tam giác vuông phát triển thành định nghĩa trên nửađường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Oxy.

- Phạm vi góc được mở rộng từ 00 <  < 900 thành 00   1800

- Giá trị của sin và cos được mở rộng:

0 < sin < 1 thành 0 sin 1; 0< cos < 1 thành 1cos 1

 Hạn chế

- Dựa vào góc HH chưa phù hợp với góc quay trong thực tế

- Đơn vị đo là độ chưa thể hiện tính thống nhất với định nghĩa hàm số

mà Đại số 10 đưa ra

- Phạm vi góc trong giới hạn 00   1800

- Giá trị của sin: 0 sin 1

- Định nghĩa mới chỉ trên nửa đường tròn đơn vị

- Các hàm số lượng giác.

Khái niệm các hàm số lượng giác là sự phát triển đi tới hoàn chỉnh củakhái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì

- Các giá trị lượng giác của cung :

Với mỗi số thực  , cung lượng giác có số đo  được biểu diễn bởimột điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ AM = 

 Định nghĩa: Tung độ y của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin

 : sin = y;

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin

của  và kí hiệu là cos : cos = x;

tan =



 cos

y

Hình 1.4

Các giá trị lượng giác của cung  được định nghĩa trên đường tròn

lượng giác trong hệ tọa độ Oxy, dựa vào góc (cung) lượng giác, đơn vị đo là radian, phạm vi góc bất kì và:  1 sin 1,  1 cos 1

 Sự phát triển: Định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị thành định

nghĩa trên đường tròn lượng giác

Từ góc Hình học thành góc (cung) lượng giác

Phạm vi góc từ 00   1800 thành góc  bất kì, kể cả góc âm

Đơn vị đo từ độ sang radian

Giá trị của sin được mở rộng: 0  sin 1 thành  1sin 1

 Nhu cầu của sự phát triển

- Nhu cầu thực tiễn

Từ định nghĩa góc Hình học thích hợp trong Hình học dẫn đến địnhnghĩa góc lượng giác phù hợp với thực tế: Góc quay.

- Nhu cầu khoa học

 Đối số của hàm số lượng giác là số thực như các hàm số khác, thểhiện tính thống nhất

 Dùng số đo radian để thuận tiện cho việc nghiên cứu lý thuyết, làmcho các công thức tính toán đơn giản hơn

Chẳng hạn:

 Sự phát triển có tính “kế thừa”

- Khi 00   1800 thì định nghĩa: Các giá trị lượng giác của cung (Đại

số và Giải tích 11) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì (Hình học 10).

- Khi 00 <  < 900 thì định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì

(Hình học 10) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của góc nhọn (Hình học 9).

Thật vậy, chẳng hạn:

sin = y: tung độ của điểm M (Hình học10)

Hình 1.5

Bảng 1.1

sin =

OM

MH y



1 (Hình học 9)

Dạy học, theo đúng chức năng của nó là dạy học phát triển Muốn vậy,

nó không được đi sau sự phát triển, phụ họa cho sự phát triển Dạy học phải đitrước sự phát triển, kéo theo sự phát triển Tức là dạy học không hướng vào

trình độ phát triển hiện thời mà phải tác động vào vùng phát triển gần nhất

trong trí tuệ của học sinh

1.1.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập

Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giảiquyết mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chưa cho phép giải quyếtngay được Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là độnglực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống Vô sốmẩu chuyện lịch sử có thể chứng minh điều này Ví dụ, nhu cầu phân chia lạiruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học pháttriển; nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp cáccông cụ lao động đã làm nảy sinh ra phép đếm; nhu cầu nghiên cứu cơ học đãlàm nảy sinh ra phép tính vi phân; nhu cầu nghiên cứu đỏ đen trong canh bạc

đã làm nảy sinh bộ môn xác suất…

Trong một số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học pháttriển là mâu thuẫn trong nội bộ toán học

Sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn củaLobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việcchứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay

là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên đề khác?” Nghiêncứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên

Số ảo cũng ra đời từ mối băn khoăn tại sao những phương trình bậc 3

có 3 nghiệm rõ ràng như x3  x 0 nhưng nếu giải bằng phương pháp

Cacdano lại dẫn đến một phương trình bậc 2 vô nghiệm thực 2 1 0

27

Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằngrồi sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trìnhDiophante x n  y n  z n lại không có nghiệm khi n > 2 ?

Như vậy là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thểhiện tính đúng đắn của nó ngay trong toán học Mâu thuẫn chính là nguồngốc, động lực phát triển toán học

Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và địnhhướng phương pháp luận cho các nhà toán học Họ thấy rõ sự thống nhất biệnchứng giữa những khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳnghạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn

n 4  và n > 4)… để tìm ra con đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự pháttriển tiến lên của toán học

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua những bài báo và công trìnhnghiên cứu khoa học của mình đều thừa nhận: chính tư duy biện chứng đãgiúp ông rất nhiều trong nghiên cứu toán học và ngược lại các kết quả nghiêncứu cũng đã củng cố rất nhiều thế giới quan duy vật biện chứng ở ông

Lịch sử toán học cũng đã chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều ngườitìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng Họ phủ nhận tiên đềEuclide với hi vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn Nhưng họ không tìm ra mâu thuẫnlogic mà chỉ phát hiện ra những sự kiện kỳ quái trái với trực giác và rút lui.Trái lại, Lobasepxki có những nhận thức về không gian nên cho rằng nhữngđiều kỳ quái đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn tạitrong vũ trụ bao la đã chứng minh sau này Abel chứng minh sự không giải

được bằng căn thức của các phương trình đại số bậc n > 4 Galois không chịudừng ở đó nên cuối cùng đã đưa ra tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn màthống nhất giữa 2 trường hợp n 4  và n > 4 và kết quả là lý thuyết Galois rađời Có thể nói, quy luật mâu thuẫn mở ra một thế giới quan và phương phápluận cho các nhà toán học, tạo cho họ niềm tin vượt qua những khó khăn lớn,kiên trì đeo đuổi sự nghiệp nghiên cứu của mình và cuối cùng đạt được nhữngkết quả thật là vĩ đại Như vậy, quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặtđối lập được coi là hạt nhân của phép biện chứng Nó vạch rõ nguồn gốc,động lực của sự phát triển toán học.

Vận dụng quy luật này vào trong dạy học toán ở phổ thông thì người

giáo viên toán cần phải: Làm cho học sinh có khả năng xem xét các đối tượng Toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất

- Ở đây tư duy biện chứng nhằm giúp học sinh cảm nhận quy luật "Phân đôi cái thống nhất" của tư duy biện chứng, tránh được những sai lầm của cách

xem xét phiến diện

- Trong dạy học Toán giúp hoc sinh phát hiện vấn đề học toán mộtcách chủ động sáng tạo, làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn đối tượng toánđang học

Ví dụ 3: Tam giác và tam giác vuông

Xét tính chất sau của tam giác vuông:

Tính chất 1: Trong tam giác vuông, tổng các bình phương côsin các

góc bằng 1: cos2A + cos2B + cos2C = 1

b SinA

Suy ra: a= 2RsinA, b=2RsinB, c= 2RsinC (2)

Thế (2) vào (10 ta có: 4R2sin2A = 4R2sin2B+ 4R2sin2C,

Suy ra: sin2A = sin2B + sin2C, mà: sin2A= sin2900=1

suy ra: sin2A + sin2B + sin2C = 2 (3)

Mặt khác, ta có: sin2A+cos2A+sin2B+cos2B+sin2C+cos2C = 3 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: cos2A + cos2B + cos2C =1

Như vậy, một tam giác không phải là tam giác vuông thì không có tínhchất này

Thông thường với cách dạy và cách học quen thuộc thì câu nói nàyhoàn toàn đúng, nên chẳng có vấn đề gì phải bàn thêm Tuy nhiên:

* Phát hiện vấn đề: Với tư duy biện chứng, ta sẽ giúp học sinh phát

hiện vấn đề, học toán một cách chủ động và sáng tạo

- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự mâu thuẫn với nhauthì câu kêt luận trên là đúng

- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự thống nhất với nhau.Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, tam giác vuôngcũng là một tam giác khi đó ta sẽ nghĩ rằng tam giác vuông có tính chất 1thì trong tam giác chắc cũng có tính chất tổng quát hơn, nhận tính chất 1 làtrường hợp đặc biệt

* Giải quyết vấn đề: Nhờ xem xét Toán học trong sự mâu thuẫn và

thống nhất mà học sinh phát hiện được vấn đề, giúp học sinh học toán mộtcách chủ động và sáng tạo để tìm tính chất tổng quát hơn tính chất 1, nghĩa

là thôi thúc học sinh tìm tòi trong tam giác ABC bất kì thì: Cos2A + Cos2B+ Cos2C = ?

- Các góc A, B, C trong tam giác liên hệ với nhau: Tổng ba góc trongmột tam giác bằng 1800: A + B + C = 1800 suy ra A + B = 1800 – C

 cos(A + B) = cos(1800 – C) hay: cosA.cosB – sinA.sinB = cosC

 cos2 C = cos2A cos2B + sin2A sin2B – 2cosA.cosB.sinA.sinB (1)

- Để xuất hiện cos2A, cos2B nhờ mối liên hệ: cos2A + sin2A =1, cos2B + sin2B =1 Thay sin2A =1 cos2A , sin2B =1 cos2B vào (1) tađược:

cos2 C = cos2A cos2B + (1 cos2A)( 1 cos2B) – 2cosA.cos B sinA sinB

= cos2A cos2B +1 cos2A cos2B + cos2A cos2B– 2cosA.cos B.sinA.sinB

 cos2A + cos2B + cos2C= 1 + 2cosA.cosB(cosA.cosB sinA.sinB)

= 1+2cosA.cos B.cos(A+B) = 1 2cosA.cosB.cosC

Như vậy học sinh sẽ tìm ra được:

Tính chất 2: Với mọi tam giác ABC, ta có:

cos2A + cos2B + cos2C=1 2cosA.cosB.cosC (2)

Khi tam giác ABC vuông, thì đẳng thức (2) trở thành:

cos2A + cos2B + cos2C = 1 vì cosA = cos900=0, chứng tỏ tính chất 2tổng quát hơn tính chất 1, tính chất 1 chỉ là trường hợp đặc biệt

Nếu giáo viên biết cách hướng dẫn học sinh xem xét đối tượng toán họcdưới các góc độ khác nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, trong mối quan hệbiện chứng giữa cái riêng và cái chung thì các em sẽ học toán chủ động và sángtạo hơn

1.1.3 Quy luật phủ định của phủ định

Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tưduy Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũngnhư vạch ra xu hướng phát triển toán học

Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định

đối với khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật phát triển của tự nhiên, của lịch sử và của tư duy vô cùng phổ biến và chính

vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…”

Engen đã mô tả quy luật phủ định của phủ định trong toán học: “Hãylấy một số đại số nào đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định nó đi thì ta có  a Phủđịnh cái phủ định này đi bằng cách nhân  a với  a thì ta sẽ có a 2, tức là sốdương như trước nhưng ở bậc cao hơn, ở lũy thừa bậc hai Bởi vì cái phủ định

bị phủ định đã gắn rất chặt trong a 2 khiến cho a 2 trong mọi trường hợp đều

có 2 số căn bậc hai tức là a và  a và việc không thể gạt bỏ cái phủ định bịphủ định, không thể gạt bỏ số căn âm chứa trong bình phương ấy có một ýnghĩa rất rõ rệt trong các phương trình bậc hai”

Một ví dụ khác, Enggen giả sử rằng ông có 2 biến x và y và làm chochúng trở thành những số vi phân nghĩa là giả sử x và y là nhỏ vô hạn đếnnỗi không còn gì hết ngoài các tỉ số của chúng đối với nhau, một tỉ số không

có một cơ sở nào có thể gọi là cơ sở vật chất được cả, một tỉ số về số lượng

mà không có một số lượng nào đó; như vậy thì dy

dx, tỉ số vi phân của x và y

sẽ là 0

0 nhưng 0

0 được coi như biểu thức của y

x Cái tỉ số ấy giữa 2 lượng đãbiến mất đi, cái lúc chúng mất biến đi mà ta xác định được đó chính là mộtmâu thuẫn Như vậy, ông đã phủ định x và y nhưng không phải phủ định đếnmức là không quan tâm gì đến nó nữa như lối phủ định của phép siêu hình màphủ định theo một lối tương ứng với trường hợp đã định Như vậy là thay cho

x và y, ông đã có cái phủ định chúng, tức dx và dy Lại tiếp tục làm tính coi

dx và dy là những số thực và phủ định cái phủ định nghĩa là chuyển công thức

vi phân thành tích phân và thay thế cho dx và dy ta lại có được những số thực

x và y nhưng lúc đó không phải là ông ở vào chỗ mà ông đã xuất phát: “Trái lại tôi đã giải đáp được bài toán mà hình học và đại số học thông thường có

lẽ đã nát óc ra mà cũng không giải quyết nổi”.

Các nhà toán học nhiều khi đã sử dụng tư duy biện chứng và quy luậtphủ định của phủ định một cách không ý thức.

Lobasepxki khi phát minh ra hình học mang tên mình chỉ nghĩ là mình

đã phủ định hình học Euclide chứ không nghĩ là mình mở rộng hình họcEuclide Những khái quát của ông và các tác giả cho thấy hình họcLobasepxki phủ định hình học Euclide đồng thời là sự mở rộng hình họcEuclide Như vậy một phát minh vĩ đại như hình học Lobasepxki cũng khôngthoát khỏi quy luật phủ định của phủ định tức phủ định có tính kế thừa

Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toánhọc Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủđịnh biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã

có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ địnhsạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của cácnhà toán học tiền bối

Quy luật của phủ định của phủ định cũng cho chúng ta thấy rằng trongquá trình phủ định một kết quả toán học, chúng ta phải biết kế thừa có chọnlọc, tiếp thu những cái tích cực của chúng để mở rộng, phát triển lên

1.2 Năng lực và năng lực giải toán

1.2.1 Năng lực

a Định nghĩa

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học Khái niệm này

cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau,chẳng hạn:

Theo từ điển Tiếng Việt thì “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan

hoặc tự nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Theo từ điển triết học: Năng lực hiểu theo nghĩa rộng là những đặc tínhtâm lý của cá thể điều tiết hành vi của cá thể và là điều kiện hoạt động sống

của cá thể Năng lực chung nhất của cá thể là tính nhạy cảm được hoàn thiệntrong một quá trình phát triển về mặt phát sinh loài và về mặt phát triển cáthể

Năng lực hiểu theo nghĩa đặc biệt là toàn bộ đặc điểm tâm sinh lý của

người thích hợp với một hình thức hoạt động nghề nghiệp nhất định Sự hìnhthành năng lực đòi hỏi cá thể phải nắm được các hình thức hoạt động mà loàingười đã tạo ra trong lịch sử phát triển xã hội Năng lực của con người không

do bộ não quyết định, mà trước hết là do trình độ phát triển lịch sử mà loàingười đã đạt được Theo nghĩa đó thì năng lực không thể tách rời với tổ chứclao động xã hội với hệ thống giáo dục ứng với tổ chức đó

Năng lực được xem xét trong mối quan hệ với hoạt động hoặc quan hệnhất định nào đó

Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nộidung, những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn racác hoạt động Garard và Roegies đã định nghĩa: “Năng lực là một tích hợpnhững kĩ năng cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống

đó tương đối thích hợp và một cách tự nhiên”

Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: “Năng lực lànhững đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạtđộng nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loạihoạt động đó” Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: “Năng lực là một tổ hợpđặc điểm tâm lý của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhấtđịnh tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

Vấn đề phát hiện, bồi dưỡng và phát triển năng lực cho học sinh là mộttrong những vấn đề cơ bản của chiến lược nhằm nâng cao dân trí, đào tạonhân lực của Đảng ta Trong đó, năng lực được hiểu là sự tổng hợp nhữngthuộc tính của cá nhân con người, đáp ứng những yêu cầu của hoạt động và

đảm bảo cho hoạt động đạt được những kết quả cao Năng lực cũng là tổ hợpcác thuộc tính độc đáo của khả năng con người phù hợp với một hoạt độngnhất định, bảo đảm cho những hoạt động đó có những kết quả Có hai loạinăng lực cơ bản là: năng lực chung và năng lực riêng biệt.

- Năng lực chung: là những năng lực cần cho nhiều hoạt động khác

nhau Là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh vực hoạt động có kết quả

- Năng lực riêng biệt: là những năng lực thể hiện độc đáo các sản phẩm

riêng biệt có tính chuyên môn nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực, hoạtđộng chuyên biệt với kết quả cao Chẳng hạn như năng lực toán học Hai loạinăng lực chung và riêng luôn bổ sung, hổ trợ cho nhau

Như chúng ta đã biết tri thức, kỹ năng, kỹ xảo không đồng nhất vớinăng lực nhưng có quan hệ mật thiết với năng lực Năng lực góp phần làmcho sự tiếp xúc tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo một cách tốt hơn Năng lựcmỗi người dựa trên cơ sở tư chất nhưng mặt khác điều chủ yếu là năng lựcđược hình thành, rèn luyện và phát triển trong những hoạt động tích cực củacon người dưới sự tác động của rèn luyện dạy học và giáo dục

b Khái niệm năng lực toán học

Theo V A Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa,hai mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cáchtuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng

lực sáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học

một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

Với mức độ học sinh trung bình và khá, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cậnnăng lực tự học theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán) Sau đây là một sốđịnh nghĩa về năng lực tự học:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc điểm tâm lý cá

nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt độngtoán học và giúp cho việc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp choviệc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và

kỹ xảo Toán học

Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạotoán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [16, tr.14]

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thôngminh trong việc học Toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắmđược chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinhnày qua học sinh khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi:

Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng; vì vậy,

cần nghiên cứu để nắm được bản chất của năng lực và các con đường hìnhthành, phát triển, hoàn thiện năng lực

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán

học Do vậy, trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học Về vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi

tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của họcsinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trườngtrung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.2.2 Năng lực giải toán và cấu trúc năng lực toán học

a Khái niệm về năng lực giải toán.

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lựcgiải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì vàthể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kếtquả cao so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạtđộng giải toán đó trong các điều kiện tương đương

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúccủa năng lực giải toán như sau:

Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêucầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu,ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngônngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết vàngược lại.

Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển củanăng lực giải quyết vấn đề

Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc caotrong lao động giải toán

Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vàoviệc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu

Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một sốkiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫntrong quá trình giải toán

Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (cóthể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán đểgiải baì toán đó)

Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từbài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát,nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệthống hóa, đặc biệt hóa

Trong dạy học môn Toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giảitoán cho học sinh là một việc rất quan trọng Trong đó, năng lực giải toán là

tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng conngười để tìm ra lời giải của bài toán Năng lực giải toán là một năng lực riêngbiệt của con người Cùng với năng lực thì tri thức, kỹ năng, kỹ xảo thích hợpcũng rất cần thiết cho việc thực hiện lời giải của bài toán có kết quả Khi dạyhọc giải một bài tập hình học không gian thì việc rèn luyện và phát triển năng

lực giải toán cho học sinh để giải bài toán đó, dạng toán đó là rất cần thiết.Bởi vì bài toán, bài tập cụ thể có thể giải được khi học sinh chỉ cần nắm vữngđược những kiến thức trọng tâm và các tính chất cơ bản, nhưng rất nhiều bàitoán, dạng toán học sinh cần có khả năng, năng lực tư duy để tìm ra cách giải,đồng thời sáng tạo ra những cách giải hay, độc đáo.

Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng

đế ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phầnnhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có Quá trình họctập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,

từ đó năng lực giải toán được nâng lên Một phần do học sinh tự nâng thêmnăng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồidưỡng

b Cấu trúc năng lực toán học

* Quan điểm của V A Krutecxki

V.A.Krutecxki - nguyên phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý họcthuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm

lý năng lực toán học với công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” - Luận

án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao Côngtrình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thựcnghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968 Ông đãnghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoàinước

Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của

học sinh có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trungbình và kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn củakhoảng 1000 học sinh từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáoviên dạy Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn

bằng giấy đối với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84nhà toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nước Chính vì độ tincậy trên về những kết luận khoa học của V A Krutecxki nên Luận văn sẽ kếthừa kết quả và là điểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm

của Lý thuyết thông tin):

- Về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

- Về mặt chế biến thông tin toán học

1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học;

2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán;

3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;

4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải.

6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).

- Về mặt lưu trữ thông tin toán học

Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm

về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường lối giải toán).

- Về thành phần tổng hợp khái quát

Khuynh hướng toán học của trí tuệ.

Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫnnhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lựctoán học

Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thịbằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi

tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệthống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [16, tr.170]

Cùng với cấu trúc nói trên, V A Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý vềphương pháp bồi dưỡng năng lực Toán học cho học sinh

Nghiên cứu quan điểm của V A Krutecxki về năng lực toán học, cóthể thấy một số vấn đề quan trọng sau:

+ Về mặt lý luận

1) Theo V A Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học lànói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán;

2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân Khi nói về năng

lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cánhân, chẳng hạn về năng lực toán học Điều quan trọng năng lực không chỉ làbẩm sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sốngcủa mỗi cá nhân;

3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạtđộng nhất định của con người Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tạitrong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mớithấy được biểu hiện của năng lực toán học;

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường

phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quả học tập Toán cũng không nằm

ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạnniềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáoviên, của gia đình và xã hội

+ Về mặt thực tiễn

1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗingười trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồidưỡng năng lực đó;

2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng kháiquát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học.Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinhgiỏi, trung bình, kém Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đóđược tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thìmuốn hình thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải

có sự rèn luyện

* Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A N Kôlmôgôrôv

đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, côngthức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệđến năng lực toán học Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực angôrit;

2) Trí tưởng tượng hình học hoặc trực giác hình học;

3) Nghệ thuật suy luận logic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.

Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toánhọc thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thườngbộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục

* Quan điểm của A I Marcusêvich

Viện sĩ A I Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ vàtính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:

1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiếtkhông cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);

2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉgiữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đóchính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹnăng sơ đồ hoá)

3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suydiễn);

4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹnăng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nàochúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;

5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyếtcho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹnăng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy củacác kết quả;

6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ởdạng khái quát

* Quan điểm của X I Svacxbuốc

X I Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đãnghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học:

1) Các biểu tượng không gian;

2) Tư duy trừu tượng;

3) Chuyển thành sơ đồ toán học;

4) Tư duy suy diễn;

5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng;

6) Áp dụng các kết luận;

7) Tính phê phán;

8) Ngôn ngữ toán học;

9) Kiên trì khi giải toán

* Quan điểm của B V Gơnhedencô

Viện sĩ B V Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí

“Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các

tính chất sau đây của tư duy toán học:

1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được

sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;

3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;

4) Sự cô đọng;

5) Sự chính xác của kí hiệu

* Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của nănglực toán học đó là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán vàcác khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;

8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể ápdụng;

10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học

1.2.3 Biểu hiện năng lực giải toán của học sinh Trung học cơ sở

Từ phân tích lý luận, kết hợp với thực tiễn dạy học của bản thân rút ramột số biểu hiện về năng lực giải toán của học sinh trung học cơ sở là biếtnhìn bài toán theo một khía cạnh mới, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khácnhau, nhiều cách giải khác nhau; biết đặt ra giả thuyết khi phải lý giải một vấn

đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải xử lý một tình huống;không hoàn toàn bằng lòng với những lời giải đã có, không máy móc áp dụngnhững quy tắc, phương pháp đã biết vào những tình huống mới; biết mò mẫm,phán đoán

1.3 Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở

1.3.1 Đặc điểm tâm lý của học sinh trung học cơ sở

Lứa tuổi học sinh trung học cơ sở là lứa tuổi có nhiều sự thay đổi độtngột về thể chất, tâm sinh lý Các em tự cho mình là người đã trưởng thành vàthích làm những việc giống như người trưởng thành Ở giai đoạn này các emcũng có sự thay đổi về ghi nhớ, tư duy, chú ý,

Về ghi nhớ: học sinh đã biết tổ chức hoạt động tư duy, biết tiến hành

các thao tác như so sánh, hệ thống hóa, phân loại nhằm ghi nhớ tài liệu Kỹnăng nắm vững phương tiện ghi nhớ của học sinh được phát triển ở mức độcao, các em bắt đầu sử dụng các phương tiện đặc biệt để ghi nhớ và nhớ lại.Tốc độ ghi nhớ và khối lượng ghi nhớ tăng lên Ghi nhớ máy móc ngày càngnhường chỗ cho ghi nhớ logic, ghi nhớ ý nghĩa Các em thường phản đối cácyêu cầu của giáo viên bắt học thuộc lòng từng câu, từng chữ và có khuynhhướng muốn tái hiện bằng lời nói của mình

Về tư duy: Tư duy nói chung và tư duy trừu tượng nói riêng phát triển

mạnh Nhưng thành phần của tư duy hình tượng - cụ thể vẫn tiếp tục pháttriển, nó vẫn giữ vai trò quan trọng trong cấu trúc của tư duy

Các em hiểu các dấu hiệu bản chất của đối tượng nhưng không phảibao giờ cũng phân biệt được những dấu hiệu đó trong mọi trường hợp Khinắm khái niệm các em có khi thu hẹp hoặc mở rộng khái niệm không đúngmức

Ở tuổi thiếu niên tính phê phán của tư duy cũng được phát triển, các embiết lập luận giải quyết vấn đề một cách có căn cứ Các em đã biết vận dụng

lý luận vào thực tiễn, biết lấy những điều quan sát được, những kinh nghiệmriêng của mình để minh họa kiến thức

Về chú ý: Ở lứa tuổi này khả năng chú ý của học sinh cũng được phát

triển Các em đã có sự chú ý hơn so với lứa tuổi ở tiểu học Tuy nhiên khảnăng chú ý của các em chưa thể phát triển như người đã trưởng thành Sẽ cónhững lúc học sinh thiếu sự tập trung trong học tập

Cùng với sự thay đổi về thể chất, tâm sinh lý, như trên, giáo viên cầnphải có phương pháp dạy học phù hợp nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạocủa học sinh bằng những việc làm cụ thể sau:

Dạy học những phương pháp ghi nhớ logic