1 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 + − = + ⇔ + + − − = + − − − − 2 2 3 x 2x 7 x 10 2x 3 0 x 2 ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ =
Kết luận nghiệm của phương trình là x 3 2 =
Rõ ràng đó là một kết luận sai vì thực chất x 3 2
= không thỏa mãn điều kiện của phương trình do đó không thể là nghiệm của phương trình được.
Nguyên nhân sai lầm ở đây là học sinh chưa tìm điều kiện xác định của phương trình trước khi biến đổi tương đương.
Lời giải đúng: Điều kiện xác định: x 3 2 ≠ 2 2 2 2 (x 2) x 10 (x 4x 4) (2x 3) x 10 1 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 + − = + ⇔ + + − − = + − − − − 2 2 3 x 2x 7 x 10 2x 3 0 x 2 ⇔ + + = + ⇔ − = ⇔ = (loại) Vậy phương trình vô nghiệm.
Khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nếu sử dụng phép biến
đổi tương đương A B A B
A B
=
= ⇔ = − là một phép biến đổi sai, vì ở đây ta chưa xét điều kiện của B.
Ví dụ 31: Giải phương trình x 6+ =2x 9+ Lời giải sai lầm của học sinh:
x 6 2x 9 x 3 0 x 3 x 6 2x 9 x 6 2x 9 3x 15 0 x 5 + = + − − = = − + = + ⇔ ⇔ ⇔ + = − − + = = −
Kết luận tập nghiệm của phương trình là S= − −{ 5; 3} .
Tuy nhiên ta thấy chỉ có x = −3 mới là nghiệm của phương trình. Vậy nguyên nhân sai lầm là học sinh biến đổi tương đương nhưng bỏ quên điều kiện là 2x 9 0 x 9
2 + ≥ ⇔ ≥ − .
Để tránh sai lầm kiểu này, trong quá trình dạy học ta nên hướng học sinh vận dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải quyết thì lời giải sẽ tự nhiên hơn, cụ thể ta nên cho học giải theo cách sau:
Ta có: x 6+ = +x 6 khi x≥ −6 và x 6+ = − −x 6 khi x< −6 Do đó:
Khi x≥ −6 thì x 6+ =2x 9+ ⇔ + =x 6 2x 9+ ⇔ = −x 3 (thỏa mãn) Khi x< −6 thì x 6+ =2x 9+ ⇔ − − =x 6 2x 9+ ⇔ = −x 5(không thỏa) Vậy phương trình có một nghiệm là x= −3
+) Sai lầm khi không nắm vững các khái niệm Toán học
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm sẽ làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
Ví dụ 32: Cho hình 2.20 trong đó ABCD là hình bình hành. Gọi O là trung
điểm của HK. Chứng minh rằng O là trung điểm của AC. Một học sinh trình bày như sau:
Nối O và A ; O và C với nhau
Xét hai tam giác vuông AOHV và COKV có:
· · 0 AOH COK 90= = Hình 2.20 O K H D C B A
AH CK= ; OH OK=
Suy ra AOHV =VCOK (c.g.c) OA OC
⇒ = . Vậy O là trung điểm của AC.
Nhìn sơ qua ta thấy lời giải có vẻ hợp lí nhưng thực ra từ OA OC= suy ra O là trung điểm của AC là không đúng. Nguyên nhân sai lầm ở đây là học sinh không nắm trọn vẹn khái niệm trung điểm của đoạn thẳng, lầm tưởng OA OC= thì kết luận được O là trung điểm của AC, nhưng quả thật đây là một kết luận sai, chúng ta cần phải tránh.
Lời giải đúng là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh AKCH là hình bình hành.
Từ giả thiết O là trung điểm của HK suy ra được O là trung điểm của AC (vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Các biện pháp hạn chế và khắc phục sai lầm.
Nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên là hướng dẫn học sinh dự đoán được những sai lầm, biết phân tích để tự tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải toán.
Các sai lầm của học sinh trong giải toán hoàn toàn có thể khắc phục được. Hơn nữa chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục các sai lầm. Lê Thống Nhất dựa vào 3 phương châm: tính kịp thời, tính chính xác, tính giáo dục và đã đưa ra các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế, sửa chữa sai lầm cho học sinh; đó là trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn Toán, các kiến thức về phương pháp giải toán, học sinh thường được thử thách với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải, theo dõi một số sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn. Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một vấn đề khó bởi lẽ các nguyên nhân dẫn đến sai lầm rất đa dạng, dưới đây chúng tôi xin đưa ra một số đề xuất:
a.Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về môn Toán
Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận về bản chất của các sai lầm.
Một trong các nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm là do trình độ còn yếu, trong đó có thể học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về môn toán. Trong quá trình dạy học giáo viên cần lưu ý:
+ Nắm vững nội dung môn Toán, đặc biệt là các tính huống điển hình
trong môn Toán (dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập toán học). Khi dạy khái niệm cần chú ý đến nội hàm, ngoại diên và mối quan hệ giữa các khái niệm; khi dạy định lí cần chú ý đến cấu trúc lôgic và giả thiết của định lí.
+ Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần chú ý tới các hoạt
động nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, làm cho học sinh chủ động nắm kiến thức bằng lao động của chính mình. Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ. Thông qua những hoạt động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ đó để dự đoán, phòng tránh và sữa chữa sai lầm.
+ Đặc biệt, phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc
phòng tránh các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh được làm quen với các phương pháp dạy học mới, khiêu gợi trí tò mò, sáng tạo, biết phát hiện và giải quyết vấn đề... thì họ sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc sai lầm trong giải toán.
Rèn luyện tư duy logic là một nhiệm vụ hàng đầu của việc dạy học toán ở trường phổ thông. Nhiệm vụ đó đòi hỏi giáo viên có hiểu biết cần thiết về lôgic học, khoa học về suy luận, về tư duy, vận dụng kiến thức vào môn toán. “Phát triển tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán và một nhiệm vụ đáng được đặc biệt quan tâm đối với giáo viên và các nhà phương pháp” (Hoàng Chúng).
Toán học hiện đại được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp và lôgic toán. Kiến thức về lôgic toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giải toán, giúp cho tiến trình giải toán được chính xác, rõ ràng và nhất quán. Một trong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải toán là trình độ hiểu biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu. Học sinh thường khó nhận thấy các sai lầm về lôgic. Trong tiến trình giải toán, các sai lầm thường gặp của học sinh là:
- Các suy luận không hợp lôgic.
- Dựa vào tiên đề sai hoặc những mệnh đề chưa biết tính đúng sai của nó.
- Không nắm vững cấu trúc của định lí không xét toàn diện giả thiết của định lí, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận