a. Khái niệm về năng lực giải toán.
Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện như thế nào?
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bước thực hiện.
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả cao so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động giải toán đó trong các điều kiện tương đương.
Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học và khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán như sau:
Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.
Sự phát triển mạnh của tư duy logic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: kí hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại.
Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề.
Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong lao động giải toán.
Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ưu.
Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành một số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn trong quá trình giải toán.
Có khả năng nêu ra được một số bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải baì toán đó).
Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa.
Trong dạy học môn Toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh là một việc rất quan trọng. Trong đó, năng lực giải toán là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài toán. Năng lực giải toán là một năng lực riêng biệt của con người. Cùng với năng lực thì tri thức, kỹ năng, kỹ xảo thích hợp cũng rất cần thiết cho việc thực hiện lời giải của bài toán có kết quả. Khi dạy học giải một bài tập hình học không gian thì việc rèn luyện và phát triển năng
lực giải toán cho học sinh để giải bài toán đó, dạng toán đó là rất cần thiết. Bởi vì bài toán, bài tập cụ thể có thể giải được khi học sinh chỉ cần nắm vững được những kiến thức trọng tâm và các tính chất cơ bản, nhưng rất nhiều bài toán, dạng toán học sinh cần có khả năng, năng lực tư duy để tìm ra cách giải, đồng thời sáng tạo ra những cách giải hay, độc đáo.
Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thượng đế ban cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng lực giải toán được nâng lên. Một phần do học sinh tự nâng thêm năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi dưỡng.
b. Cấu trúc năng lực toán học * Quan điểm của V. A. Krutecxki
V.A.Krutecxki - nguyên phó Viện trưởng Viện nghiên cứu Tâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trước đây, đã nghiên cứu tâm lý năng lực toán học với công trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” - Luận án Tiến sĩ của ông được Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công trình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết sức công phu, được tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã nghiên cứu sâu sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài nước.
Về mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát triển của học sinh có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình và kém; nghiên cứu tình trạng học tập (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000 học sinh từ lớp VII đến lớp X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; phỏng vấn bằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn
bằng giấy đối với 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nước ... . Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa học của V. A. Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là điểm tựa quan trọng về cơ sở khoa học của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực
toán học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa theo quan điểm
của Lý thuyết thông tin):
- Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.
- Về mặt chế biến thông tin toán học
1) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các ký hiệu toán học;
2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và các phép toán;
3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;
4) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;
5) Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải.
6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận toán học).
- Về mặt lưu trữ thông tin toán học
Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc, đường lối giải toán).
- Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau, ảnh hưởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể được biểu thị bằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học được đặc trưng bởi tư duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống ký hiệu số và dấu, và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ [16, tr. 170].
Cùng với cấu trúc nói trên, V. A. Krutecxki cũng đưa ra những gợi ý về phương pháp bồi dưỡng năng lực Toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan điểm của V. A. Krutecxki về năng lực toán học, có thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:
+ Về mặt lý luận
1) Theo V. A. Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán;
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng
lực tức là giả định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân, chẳng hạn về năng lực toán học. Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh mà còn được phát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống của mỗi cá nhân;
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học;
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập Toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia đình và xã hội.
+ Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu năng lực của mỗi người trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡng năng lực đó;
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tưởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngược và hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học. Các năng lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, trung bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tưởng đó được tạo thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình thành các mối liên tưởng phải cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.
* Quan điểm của A. N. Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A. N. Kôlmôgôrôv đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lượng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ đến năng lực toán học. Trong thành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phương trình không phù hợp với qui tắc giải thông thường, hoặc như các nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực angôrit;
3) Nghệ thuật suy luận logic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một cách đúng đắn.
Ông còn nhấn mạnh rằng: các khía cạnh khác nhau của năng lực toán học thường được gặp trong các tổ hợp khác nhau và các năng lực này thường bộc lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
* Quan điểm của A. I. Marcusêvich
Viện sĩ A. I. Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và tính cách cần được giáo dục cùng với việc dạy Toán:
1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tượng hoá);
2) Kỹ năng xây dựng được sơ đồ của hiện tượng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lượng và độ đo, phân bố không gian (kỹ năng sơ đồ hoá).
3) Kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiên đề đã cho (tư duy suy diễn);
4) Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trường hợp riêng, kỹ năng phân biệt được khi nào chúng bao quát được mọi khả năng, khi nào chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra được từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả;
6) Khái quát hoá các kết quả nhận được và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát.
* Quan điểm của X. I. Svacxbuốc
X. I. Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà Toán học, đã nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển Toán học:
1) Các biểu tượng không gian; 2) Tư duy trừu tượng;
3) Chuyển thành sơ đồ toán học; 4) Tư duy suy diễn;
5) Phân tích, xem xét các trường hợp riêng; 6) Áp dụng các kết luận;
7) Tính phê phán; 8) Ngôn ngữ toán học; 9) Kiên trì khi giải toán.
* Quan điểm của B. V. Gơnhedencô
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí “Toán học trong nhà trường” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đưa ra các tính chất sau đây của tư duy toán học:
1) Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ; 3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận; 4) Sự cô đọng;
5) Sự chính xác của kí hiệu.
* Quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của năng lực toán học đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu; 3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh; 6) Năng lực xây dựng một chứng minh;
7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học; 8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;
10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.