Bồi dưỡng kỹ năng giải toán theo hướng phát triển tư duy thuật toán và phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phương trình, bất phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Khoa toÁN ∗∗∗ BỒI DƯỠNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI VÀ PHÁT HUY TÍNH SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THƠNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGHÀNH SƯ PHẠM TOÁN Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Thuận Sinh viên thực hiện: Trần Thị Thái Hịa Lớp: 46A.Tốn Vinh, 2009 Lời cảm ơn Cùng với nỗ lực thân, Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Văn Thuận Tác giả xin bày tỏ cm ơn Thầy Tác giả trân trọng cảm ơn Thầy, Cô giáo Bộ môn Phơng pháp giảng dạy Toán đà nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu; Thầy, Cô giáo Tổ Toán, Trờng THPT Hơng Sơn, Hà Tĩnh đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình hoàn thành Khoá luận Sự quan tâm, giúp đỡ gia đình bạn bè nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả suốt năm tháng học tập thực đề tài Vinh, tháng 05 năm 2009 Tỏc gi Trần Thị Thái Hoà Mục lục Trang Mở đầu .1 Chơng Cơ sở lý luận thùc tiÔn 1.1 T T to¸n häc .4 1.2 T thuËt gi¶i .5 1.3 T s¸ng t¹o 1.4 Vai trò mối quan hệ t thuật giải, t sáng tạo giải Toán Chơng Một số biện pháp nhằm góp phần bồi dỡng kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình 11 2.1 Khái niệm kỹ .11 2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ toán học cho häc sinh 13 2.3 Mét số nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t thuËt gi¶i cho häc sinh 17 2.4 Ph¬ng híng chđ u båi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho häc sinh 19 2.5 BiƯn ph¸p 1: TËp lun cho häc sinh kỹ thành phần giải phơng trình, bất phơng trình 21 2.6 BiƯn ph¸p 2: Trun thụ cho học sinh tri thức phơng pháp t thuật giải t sáng tạo tổ chức, điều khiển tập luyện hoạt động 37 2.7 Biện pháp 3: Xây dựng quy trình dạy học phơng trình, bất phơng trình theo hớng phát triển t thuật giải t sáng tạo .46 2.8 BiƯn ph¸p 4: Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá 53 Ch¬ng KiĨm nghiƯm s ph¹m 58 3.1 Mơc ®Ých kiĨm nghiƯm 58 3.2 Néi dung kiÓm nghiÖm 58 3.3 Đánh giá kết kiểm nghiệm 62 3.3.1 Đánh giá định tính 62 3.3.2 Đánh giá kết định lỵng 62 3.4 KÕt ln vỊ sù kiĨm nghiƯm 63 KÕt luËn 64 Tài liệu tham khảo 65 Më đầu Lý chọn đề tài Định hớng đổi phơng pháp dạy học giai đoạn lµ híng vµo viƯc tỉ chøc cho ngêi häc häc tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Cố Thủ tớng Phạm Văn Đồng đà nhiều lần dặn thầy giáo, cô giáo: phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn giáo dục đào tạo hệ trẻ thông minh sáng tạo Theo A A Stôliar: Dạy toán dạy hoạt động toán học Trong môn Toán trờng phổ thông, có nhiều tình điển hình nhng xem giải Toán hình thức chủ yếu hoạt động Toán học, tập toán phơng tiện hiệu thay đợc - thông qua học sinh thực hoạt động nh nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phơng pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn sống Việc giải toán trình mò mẫm, tìm tòi dựa hiẻu biết ngời giải toán Có ngời mò mẫm lâu, thử hết cách đến cách khác, có ngời lại tìm đợc cách giải nhanh Vậy đâu bí cho kĩ giải toán nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nh nào, theo hớng nào? Những đờng mà ngời giải toán trải qua để đến lời giải thoả đáng gì? Do vậy, bồi dỡng kỹ giải toán cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học, phải đợc tiến hành có kế hoạch, thờng xuyên, bền bỉ, liên tục qua tất lớp Phơng trình bất phơng trình có vị trí quan trọng chơng trình môn Toán THPT Kiến thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức phơng trình bất phơng trình chìa khoá để giải nhiều vấn đề thuộc hầu hết chủ đề kiến thức Đại số, Giải tích Hình học Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy kiến thức lý thuyết chủ đề phơng trình, bất phơng trình cách đầy đủ theo quy định chơng trình, việc bồi dỡng kỹ giải phơng trình bất phơng trình cho học sinh có ý nghĩa việc nâng cao chất lợng dạy học nhiều nội dung môn Toán trờng THPT Đà có nhiều tài liệu nghiên cứu giải Toán kỹ giải Toán Những công trình khẳng định cần thiết phải bồi dỡng kỹ giải toán Dựa kết nghiên cứu đó, tập trung xét vấn đề bồi dỡng kỹ giải toán theo hớng t thuật giải t sáng tạo Vì lí trên, đà chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Bồi dỡng kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình Mục đích, nhiệm vụ phơng pháp nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hoá số vấn đề t thuật giải, t sáng tạo, kỹ kỹ giải Toán học sinh Trung học phổ thông - Xây dựng số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời câu hỏi khoa học sau: - T thuật giải, t sáng tạo cần phát triển học sinh môn Toán? - Để phát triển t thuật giải, t sáng tạo cho học sinh cần có định hớng s phạm nào? - Có thể xây dựng thực biện pháp s phạm nhằm góp phần rèn luyện kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh đợc không? - Kết kiểm nghiệm nh nào? 2.3 Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu, tham khảo tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu liên quan khác - Điều tra quan sát: Khảo sát thực tiễn trờng phổ thông, dùng phơng pháp hỗ trợ nh: Quan sát, ghi chép, thăm dò ý kiến giáo viên - Kiểm nghiệm s phạm: Tổ chức kiểm nghiệm s phạm để xem xét tính khả thi hiệu biện pháp đà đề xuất Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng đợc số kỹ thuật biện pháp thích hợp trình dạy học Phơng trình Bất phơng trình, rèn luyện đợc kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán trờng Trung học phổ thông Những đóng góp khoá luận - Về mặt lý luận: Góp phần hệ thống hoá, làm sáng tỏ số vấn đề t thuật giải, t sáng tạo kỹ giải Toán dạy học - Về mặt thực tiễn: Xây dựng số biện pháp có tác dụng bồi dỡng kỹ giải Toán, đáp ứng đợc yêu cầu đổi phơng pháp dạy học Cấu trúc khóa luận Khoá luận, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, có chơng: Chơng 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chơng 2: Một số biện pháp góp phần bồi dỡng kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình Chơng 3: Kiểm nghiệm s phạm Chơng Cơ së lÝ ln vµ thùc tiƠn 1.1 T T to¸n häc HiƯn thùc xung quanh cã nhiỊu mà ngời cha biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn đòi hỏi ngời phải hiểu biết cha biết ngày sâu sắc, đắn xác, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi t T trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bªn cã tÝnh quy lt cđa sù vËt hiƯn tợng thực khách quan mà trớc ta cha biết (theo Tâm lý học đại cơng Nguyễn Quang Uẩn) Theo Từ điển Triết học, t sản phẩm cao vật chất đợc tổ chức cách đặc biệt nÃo, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lí luận T xuất trình sản xuất xà hội ngời đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp phản ánh mối liên hệ hợp quy luật T tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xà hội loài ngời t ngời đợc thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết t đợc ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho t trình nh trừu tợng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chúng, việc đề xuất giả thiết, ý niệm, kết trình t ý nghĩ Từ ta rút đặc điểm t duy: - T sản phẩm nÃo ngời trình phản ánh tích cực giới khách quan - Kết trình t ý nghĩ đợc thể qua ngôn ngữ - Bản chất t phân biệt, tồn độc lập đối tợng đợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả hoạt động ngời nhằm phản ánh đối tợng - T trình phát triển động sáng tạo - Khách thể t đợc phản ánh với nhiều mức độ khác từ thuộc tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể ngêi Nh vËy, t gióp ngêi n¾m đợc chất quy luật vận động tự nhiên xà hội ngời, t có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm tính làm cho có ý nghĩa sống, t vận dụng đà biết để đề giải pháp giải tơng tự, tiết kiệm dợc công sức T toán học đợc hiểu trình nhận thức toán học, phản ánh thuộc tính chất, phát mèi quan hƯ bªn cã tÝnh quy lt cđa đối t ợng toán học mà trớc ta cha biết Sản phẩm t toán học tính trừu tợng cao, có tính khoa học, tính lôgic chặt chẽ, tri thức có mối quan hệ mật thiết hỗ trợ lẫn nhau, đợc biểu đạt ngôn ngữ viết (kí hiệu, biểu thức, công thức, …) 1.2 T thuËt gi¶i T thuËt gi¶i (thể môn Toán) hình thức biểu lộ t biện chứng trình ngời nhận thức khoa học Toán học, hay thông qua hình thức áp dụng Toán học vào khoa học khác T thuật giải loại hình thức t toán học Nó phơng thức t biểu thị khả tiến hành hoạt động sau: T1 Thực thao tác theo trình tự xác định phù hợp với thuật giải T2 Phân tích trình hoạt động thao tác đợc thực theo trình tự xác định T3 Khái quát hoá trình diễn số đối tợng riêng lẻ thành trình diễn lớp đối tợng T4 Mô tả xác trình tiến hành hoạt động T5 Phát thuật giải tối u để giải công việc Trong T1 thể lực thực thuật giải, T2 - T5 thể lực xây dựng thuật giải Khái niệm t thuật giải đợc xác định nh hoàn toàn phù hợp với kết nghiên cứu văn hoá hình thành thuật giải Tác giả B V Mônakhôv (trong Hình thành văn hoá thuật giải cho học sinh thông qua trình dạy học môn Toán) đà nêu lên thành phần văn hoá thuật giải bao gồm : - Hiểu chất thuật giải tính chất nó, hiểu chất ngôn ngữ phơng tiện biểu diễn thuật giải - Nắm vững phơng tiện phơng pháp biĨu diƠn tht gi¶i - HiĨu tÝnh chÊt tht gi¶i phơng pháp toán học ứng dụng chúng, nắm vững thuật giải giáo trình toán phổ thông - Hiểu sở sơ cấp lập trình cho máy tính điện tử Nh vậy, phát triển t thuật giải điều kiện cần thiết góp phần hình thành phát triển văn hoá thuật giải cho học sinh Từ khái niệm t thuật giải ta thấy để phát triển t thuật giải cho học sinh dạy học Toán, giáo viên phải tổ chức điều khiển hoạt động t thuật giải Thông qua hoạt động giúp học sinh nắm vững, củng cố quy tắc đồng thời phát triển t thuật giải cho học sinh 1.3 T sáng tạo Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tạo giá trị vật chất tinh thần, sáng tạo tìm mới, cách giải không bị phụ thuộc gò bó vào đà có Sáng tạo gắn liền với thay đổi, đa mới, sáng chế ý tởng mới, phơng án lựa chọn Sáng tạo thuộc lực định, thuộc kết hợp độc đáo liên tởng phát ý tởng đạt đợc kết lợi ích Chúng ta làm đợc mới, khác có lợi ích sáng tạo Sự sáng tạo cần thiết cho lĩnh vực xà hội loài ngời Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu nhiều bình diện nh trình phát sinh mới, nh kiểu t duy, nh lực ngời chí nh tợng tồn tiến hoá tự nhiên Các nhà nghiên cứu ®a rÊt nhiỊu quan ®iĨm kh¸c vỊ t sáng tạo Theo I Ia Lecne có hai kiểu t cá nhân: kiểu gọi t tái hay tái tạo, kiểu gọi t hay sáng tạo Theo định nghĩa thông thờng phổ biến t sáng taọ t tạo T sáng tạo dẫn đến tri thức giới phơng thức hoạt động Theo Giáo s Nguyễn Bá Kim: Tính linh hoạt, tính độc lập tính phê phán điều kiện cần thiết t sáng tạo, đặc điểm mặt khác 10 Lập luận tơng tự, phơng trình cã nghiƯm x = k π 2.6.5 RÌn luyện lực quy lạ quen Phần lớn phơng trình dạng sử dụng thuật giải mà đòi hỏi ngời giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận số đặc điểm đặc biệt phơng trình để đa phơng trình đà biết thuật giải Đối với phơng trình dạng này, trình dạy học giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ huy động thuật giải đà biết Để đạt đợc mục đích này, phơng pháp quen thuộc hay sử dụng xây dựng hệ thống toán gốc cho dạng phơng trình Sau số ví dụ minh hoạ đơn giản: Ví dụ 19: Giải phơng trình: x + 3x +12 = x + 3x Đây phơng trình cha có thuật giải nhng chuyển phơng trình đà có thuật giải nh sau: (1) ⇔ x + 3x +12 = ( x + 3x + 12) 12 Đặt t = x + 3x +12 , ®iỊu kiƯn: t >0 Phơng trình có dạng: t t 12 = (Đây phơng trình đà có thuật gi¶i) t1 =−3 ⇔ t2 =  Víi t = −3  Víi t = ⇒ x + 3x +12 = ⇔ x + 3x − = ⇔ x =1  x =−4 Ví dụ 20: Giải phơng trình: (2) sin x = sin x − cos x 46 Míi nhìn, ta thấy phơng trình cha có dạng quen thuộc nào, nhng đa dạng quen thuộc trình dạy học giáo viên cho học sinh tập luyện tốt yêu cầu biện pháp Giáo viên làm nh đà truyền thụ cho học sinh tri thức phơng pháp quy lạ quen Theo định hớng, ta đa phơng trình dạng: sin x + cos x = sin x    ⇔ sin x +  = sin x 4÷  π (Quy phơng trình dạng gần : sin x = sin α )  π π x= +k ⇔ π π x= +k  VÝ dụ 21: Giải phơng trình: 52 x+1 3x+1 = 52 x + 3x ⇔ 4.52 x = 4.3x ⇔ 25x = 3x x  25  ⇔ ÷ 3 = (Quy phơng trình dạng a x = c ) ⇔ x = 2.6.6 KiÓm tra kÕt phát thuật giải tối u Kiểm tra lại kết quả, tìm cách giải hợp lý cách khắc phục chỗ cha hợp lý lời giải cũ thay đổi cách nhìn toán Sử dụng kết hay cách giải toán cho toán khác đề xuất toán Đây hội tốt để phát triển t sáng tạo cho học sinh Việc nhận khắc phục chỗ cha hợp lý lời giải để tìm cách giải hợp lý góp phần phát triển hoạt động (T5) t thuật giải 47 Ví dụ 22: Sau dạy dạy thuật giải phơng trình: a sin x + b cos x = c Giáo viên nêu câu hỏi ? Với điều kiện a, b, c phơng trình có nghiệm? Phơng trình sin( x + ) = 2 c a +b cã nghiÖm ⇔ 2 ⇔ − a +b ≤ c ≤ a +b c a +b ≤1 Tõ ®iỊu kiƯn nªu trªn ta cã − a + b ≤ a sin x + b cos x a + b Giáo viên cho học sinh nhìn nhận toán : a sin x + b cos x = c díi gãc ®é khác nh: Tìm giá trị lớn nhât giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: y = a sin x + b cos x Giáo viên hớng dẫn học sinh áp dụng toán để áp dụng toán: Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: y = A sin x + B sin x cos x + C cos2 x Nh đề xuất toán từ toán đà có thuật giải cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt thực thuật giải Do sau dạy thuật giả (có thể quy tắc, công thức, ), giáo viên cho học sinh số toán đợc suy từ thuật giải đà biết hớng dẫn học sinh đề xuất toán Việc làm biện pháp tốt để phát triển t thuật giải t sáng tạo cho học sinh Ví dụ 23: Giải phơng trình: cos2 x + cos2 x + cos2 3x = Đứng trớc toán này, học sinh giải nh sau: 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x + + =1 2 ⇔ + cos x + cos x + cos x = ⇔ 2cos2 x + 2cos5 x cos x = ⇔ cos x(cos5 x + cos x) = ⇔ 2cos x cos x cos3x = 48 π  x = (2k +1)  ⇔ π  x = (2l +1) Đối với học sinh, cách giải phù hợp với nhận thức họ đứng trớc toán Tuy nhiên giáo viên hớng dẫn học sinh tìm cách giải tối u áp dụng để giải cho toán tổng quát nh sau: Sau biến đổi đa phơng trình dạng: + cos x + cos x + cos x = Giáo viên gợi động để học sinh hoạt động biến đổi phơng trình thành dạng tích theo cách sau: Nhân hai vế phơng trình với 2sin x ta đợc: 2sin x + 2cos x sin x + 2cos x sin x + 2cos6 x sin x = ⇔ 2sin x + sin 3x − sin x + sin x − sin x + sin x − sin x = ⇔ sin x + sin x = Tõ cách giải này, học sinh xây dựng thuật giải cho toán tổng quát 2.7 Biện pháp 3: Xây dựng quy trình dạy học phơng trình, bất phơng trình theo hớng phát triển t thuật giải t sáng tạo Theo quan điểm hoạt động đà đợc trình bày Chơng 1, việc phát triển t thuật giải việc rèn luyện cho học sinh thực tốt hoạt động t thuật giải Để làm đợc điều đó, trớc hết việc dạy giáo viên phải có tính chất thuật giải đợc tiến hành theo hớng phát triển t thuật giải Quá trình dạy học algôrit dạy học đặc biệt: chủ thể phải thực nghiêm ngặt thao tác sau số hữu hạn bớc đạt kết mong muốn Song xem trình dạy học cấu trúc cứng nhắc, nghiêm ngặt nh thuật toán mà phải tính đến thái độ, tình cảm nhân cách học sinh khó khăn, chớng ngại trình dạy học, mang tính nghệ thuật sáng tạo cao trình truyền thụ tri thức Quá trình dạy giải toán phơng trình, bất phơng trình cho nhiều hội để phát triển t thuật giải t sáng tạo học sinh 49 Sau xây dựng quy trình dạy học theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo gồm bíc nh sau: Bíc 1: TËp lun cho häc sinh phân tích toán, nhận dạng phơng trình Nếu phơng trình cần giải phơng trình đà có thuật giải tiến hành theo thuật giải Ngợc l¹i ta chun sang bíc Bíc 2: RÌn lun cho học sinh biến đôi phơng trình, bất phơng trình dạng quen thuộc Trong bứơc giáo viên cần gợi động cơ, hớng đích lôi học sinh tìm tòi phơng pháp biến đổi phơng trình dạng quen thuộc Đây khâu quan trọng khó khăn hoạt động giải phơng trình, bất phơng trình Giáo viên cần hớng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm phơng pháp biến đổi thích hợp Bớc 3: Cho học sinh tiến hành giải phơng trình,bất phơng trình nhận đợc Sau đà biến đổi phơng trình dạng quen thuộc, học sinh phải vạch chơng trình giải thực Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: sai lầm (lời giải sai sót kiến thức toán học, phơng pháp suy luận, kĩ tính toán, kí hiệu ngôn ngữ diễn đạt); lập luận có xác (trong bớc biến đổi phơng trình có sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ khả không bỏ sót trờng hợp nào) Bớc 4: Kiểm tra lời giải, kết Giải phơng trình, bất phơng trình hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu vận dụng đựơc khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi tơng đơng, biến đổi hệ quả; lập luận thể thao tác t logic, phân chia trờng hợp, tính toán cụ thể cách diẽn đạt, thể lời giải dới dạng văn ứng với hoạt động, khâu Trong trình tìm tòi lời giải trình bày lời giải học sinh mắc sai lầm Do đó, giáo viên cần lờng trứơc để sai lầm học sinh thờng mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đề biện pháp khắc phục Bớc 5: Rèn luyện cho học sinh khả nghiên cứu lời giải Nghiên cứu khai thác - phân tích tìm tòi lời gi¶i khoa häc nhÊt sÏ gióp häc sinh cã thãi quen tập dợt nghiên cứu khoa học, nắm đợc chất vấn đề chất 50 giải toán Hoạt động có ý nghĩa quan trọng, góp phần phát triển hoạt động phát thuật giải tối u Bớc 6: Hớng dẫn học sinh tìm toán liên quan, mở rộng toán tơng tự hoá, khái quát hoá Trong bớc này, giáo viên cần phát triển khả suy đoán rèn luyện thao tác t cho học sinh.Đây hội phát triển t sáng tạo cho học sinh Muốn giáo viên cần ý cho học sinh làm quen có ý thức sử dụng quy tắc suy đoán, tơng tự hoá, khái quát hoá, phân tích, tổng hợp so sánh Giáo viên cần tập dợt cho học sinh thao tác tơng tự đơn giản, biết so sánh toán với toán tơng tự, biết tìm đặc điểm chung hình thức, nội dung phơng pháp số dạng phơng trình, bất phơng trình đơn giản, từ xây dựng thuật giải số dạng phơng trình tổng quát Vì nội dung phơng trình, bất phơng trình trờng phổ thông nội dung lớn, xuyên suốt trình học tập học sinh nên tập dạng đa dạng phong phú Trong luận văn không nghiên cứu tất dạng toán phơng trình, bất phơng trình mà nghiên cứu số dạng việc giải toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải phép biến đổi tơng đơng cách linh hoạt Chúng ta nhìn cách tổng quan phơng trình, bất phơng trình chơng trình toán phổ nh sau: Trong chơng trình Toán trờng phổ thông, tập phơng trình gồm dạng sau: - Dạng tập phơng trình dựa vào thuật giải đà biết - Dạng tập nhằm hình thành kiến thức (thông qua giải tËp gióp häc sinh cã thĨ tiÕp thu nh÷ng kiÕn thức cha biết, tính chất, quy tắc, ) (1) Các phơng trình bản: - Phơng tr×nh bËc nhÊt mét Èn: ax + b = - Phơng trình bậc hai ẩn: ax + bx + c = - Phơng trình lợng giác bản: sin x = m,cos x = m 51 - Phơng trình mũ: a x = at - Phơng tr×nh logarit: log a x = log a t ,log a x = c Các phơng trình đóng vài trò quan trọng chơng trình việc giải phơng trình dẫn đến việc giải phơng trình (2) Phơng trình gần bản, chẳng hạn phơng trình lợng giác phơng trình gần phơng trình có dạng: sin f ( x) = m,cos f ( x) = m sin f ( x) = sin g ( x),cos f ( x) = cos g ( x) Đối với phơng trình mũ: a f ( x) = a g ( x) , a f ( x) = c Đối với phơng trình logarit: log a f ( x) = log a g ( x),log a f ( x) = c (3) Ph¬ng trình quy phơng trình bản: Là phơng trình giải ta giải phép đặt ẩn phụ sử dụng phép biến đổi tơng đơng Chẳng hạn: + Phơng trình trùng phơng: ax + bx + c = , a Để giải phơng trình ta đặt y = x , với ®iỊu kiƯn y ≥ Ta ®a vỊ bËc hai y ay + by + c = + Phơng trình bậc hai sin x,cos x , phơng trình lợng giác đối xứng sin x cos x , chứa ẩn mẫu, phơng trình chứa thức, Đối với dạng phơng trình giải đợc cách đặt ẩn phụ để đa phơng trình bản, giáo viên cần làm cho học sinh ý thức kiểm tra điều kiện ẩn Vì đặt ẩn phụ thu hẹp mở rộng tập xác định phơng trình mới, nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện xem có thoà mÃn hay không Dạng toán đòi hỏi học sinh phải có tích luỹ vốn kiến thức định Trong trình dạy học dạng toán (3), giáo viên cần hớng dẫn học sinh nắm đặc điểm nhận dạng phơng trình để ứng với dạng toán học sinh nắm đợc phơng pháp giải Quá trình rèn luyện lực nhận dạng, thể học sinh, đồng thời phát triển t thuật giải t sáng tạo học sinh 52 ( 4) Phơng trình không mẫu mực: Những phơng trình thờng áp dụng phơng pháp giải truyền thống ma phải biết vận dụng khéo léo phơng pháp đánh giá số hạng có phơng trình, sử dụng tính chất đơn diệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị để giải, Trên đa số dạng phơng trình thờng gặp chơng trình toán phổ thông Các dạng phơng trình lại đa giải hai phơng pháp bản: phơng pháp algôrit (thuật giải) phơng pháp ơrixtic (tìm kiếm, sáng tạo, ), phải vận dụng t sáng tạo t thuật giải theo cấp độ toán cụ thể Vì trình dạy học giải toán nói chung, dạy học giải phơng trình nói riêng điều kiện thuận lợi để phát triển t thuật giải t sáng tạo cho học sinh Quy trình dạy học rèn luyện kỹ giải phơng trình Trong trình dạy học giải phơng trình, t thuật giải đợc vận dụng theo cấp độ sau: Cấp độ 1: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất thuật toán: giải phơng trình đà có thuật giải Cấp độ 2: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất phi thuật toán: tiến trình giải toán (thông thờng qua bớc), giải toán phơng pháp lập phơng trình Cấp độ 3: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ quen, khái quát hoá, trừu tợng hoá, phơng pháp tìm lời giải toán, Tính chất tìm đoán gợi ý giải vấn đề thuật toán đảm bảo chắn thành công, cấp độ đòi hỏi t toán học học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt t sáng tạo Thông qua mò mẫm, dự đoán phơng pháp giải mà rèn luyện t sáng tạo học sinh: tính mềm dẻo, tính linh hoạt, khả biết điều chỉnh phơng hớng phơng pháp cần thiết Ví dụ 24: Giải phơng trình sin x + sin x + sin 3x = Bớc 1: Đây phơng trình cha có thuật giải Ta cần biến đổi để đa phơng trình đà có thuật giải 53 Bớc 2: áp dụng công thức lợng giác để biến đổi đa phơng trình dạng (3) (phơng trình dạng tích) theo cách sau: Cách Nhãm sin 3x víi sin x , ¸p dơng công thức thức biến đổi tổng thành tích để xuất thừa số chung, từ đa phơng trình dạng tích Giải phơng trình dạng tích quy giải phơng trình Cách Làm xuất thừa số chung sin x cách sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba Chuyển giải phơng trình Bớc Giải phơng trình theo cách nh sau: sin x + sin x + sin 3x = ⇔ (sin 3x + sin x) + sin x = ⇔ 2sin x.cos x + sin x = C¸ch ⇔ sin x(2cos x + 1) = sin x = ⇔  cos x = −   C¸ch sin x + sin x + sin 3x = ⇔ sin x + 2sin x cos x + 3sin x − 4sin x = ⇔ sin x(4 + 2cos x − 4sin x) = ⇔ sin x(4cos2 x + 2cos x) = ⇔ 2sin x cos x(2cos x + 1) = ⇔ sin x(2cos x + 1) = sin x = ⇔ cos x = Giải ta đựơc: x = k π 2π + k 2π ,(k ∈¢ ) vµ x = ± 54 Bíc Häc sinh mắc phải sai lầm biến đổi (do nhớ sai công thức) không lấy đợc tập nghiệm nh học sinh biến đổi phơng trình sin x(4cos2 x + 2cos x) = 0A  sin x = sin x =  ⇔ ⇔ cos x =  4cos2 x + 2cos x =   cos x = −    x = kπ  π ⇔  x = + kπ    x = ± 2π + k 2π ,(k ∈¢ )  Nghiệm phơng trình: x = k , x = k π 2π ,x = ± + k 2π Bớc Trong hai cách giải trên, cách ngắn gọn nhng không áp dụng đợc cho toán tổng quát Còn cách áp dụng để xây dựng thuật giải cho toán tổng quát Tập luyện cho học sinh khả mở rộng toán ban đầu mục đích sáng tạo, biểu đặc trng biểu sáng tạo Từ cấu trúc toán ban đầu tìm hiểu cấu trúc mới, nghiên cứu toán đà giải xong toán đà cho Để mở rộng toán ban đầu, trớc hết phải khẳng định đợc tính chân lý kết toán Trên sở nghiên cứu, mở rộng thành tố (ẩn số, điều kiện, giả thiÕt, kÕt ln, …), c¸c bé phËn hay tỉng thĨ chung toán Sự khai thác theo nhiều hớng, nhiều khía cạnh góc độ khác Từ lập hớng cấu trúc khác hớng mở rộng toán đà cho Theo hớng mở rộng đó, đa đoán, 55 dự đoán (có cứ), đề xuất giả thiết toán mới: toán tơng tự, toán khái quát, toán đặc biệt, toán liên quan Các toán mở rộng sai Để khẳng định bác bỏ phải dùng lập luận có xác (tức phải chứng minh) Bớc Một số toán liên quan đến toán Bài toán Giải phơng trình: sin x + sin x + sin 3x + sin x = Bài toán Giải phơng trình: a sin x + b sin x + c sin 3x = 0,(a, b, c Ă ) Bài toán Giải phơng trình: sin x + sin x + + sin nx = Bài toán Giải phơng trình: a1 sin x + a2 sin x + + an sin nx = 0, n Ơ Bài toán Giải hệ phơng trình: cos x + cos x + cos3x =  cos x + cos x + cos3x + cos x =   cos x + cos x + + cos nx = Bài toán Giải phơng tr×nh: cos x + cos x = sin x + sin x Bài toán Giải phơng trình: sin x + sin x + + sin nx = cos x + cos x + + cos nx 2.8 Biện pháp 4: Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá Sử dụng hợp lý hình thức dạy học phân hoá (nội tại) nhằm kích thích học sinh học tập với nỗ lực trí tuệ phù hợp với trình độ lực nhận thức thân Dạy học phân hoá xuất phát từ biện chứng thống phân hoá, từ yêu cầu đảm bảo thực tốt mục tiêu dạy học tất học sinh đào tạo ngời lao động tự chủ, động, sáng tạo, tạo điều kiện cho thành viên hoạt động lĩnh vực phù hợp với lực cá nhân, khai thác tiềm năng, tạo điều kiện tối cho phát triển lực họ 56 Phân hoá nội (còn gọi phân hoá trong), tức dùng biện pháp phân hoá thÝch hỵp mét líp häc thèng nhÊt víi cïng kế hoạch học tập, chơng trình sách giáo khoa Để dạy học phân hoá theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo học sinh đạt hiệu cao đòi hỏi phải xác định đợc mức độ tập luyện sát với trình độ học sinh Muốn cần phải thực phân bậc hoạt động Sự phân bặc hoạt động dựa vào sau: 2.8.1 Phân bậc theo bình diện nhận thức Đặc tính cụ thể hay trừu tợng đối tợng để phân bậc hoạt động t thuật giải t sáng tạo Bậc thấp: Tiến hành hoạt động đối tợng cụ thể Ví dụ 25: Giải phơng trình a x x = b x − 3x + = c x + 12 x + = Bậc cao: Tiến hành hoạt động đối tợng trừu tợng Ví dụ 26: Giải biện luận phơng trình bặc hai với hệ số chứa tham số Chẳng hạn: Giải biện luận phơng trình sau theo tham sè m: mx − 2(m + 3) x + m + = (∗) Gi¶i: HƯ số a = m nên ta xét hai trờng hợp: + Trêng hỵp NÕu m = Khi phơng trình có dạng: 6x +1 = x = + Trêng hỵp NÕu m ≠ Ta cã : ∆' = (m + 3)2 − m(m + 1) = 5m + 9 ∗ NÕu ∆' < ⇔ 5m + < m < phơng trình vô nghiệm ∗ NÕu ∆' = ⇔ 5m + = m = phơng trình có nghiÖm kÐp 57 ∗ NÕu ∆' > ⇔ 5m + > ⇔ m > − phơng trình có nghiệm phân biệt (m + 3) − 5m +  x1 = m   (m + 3) + 5m +  x2 = m  KÕt luËn: + m = phơng trình có nghiệm x = + m < phơng trình vô nghiệm + m = phơng trình có nghiÖm kÐp m ≠  + ⇒ phơng trình có hai nghiệm phân biệt m> 2.8.2 Phân bậc theo phức hợp hoạt động Sự phức hợp hoạt động để phân bậc hoạt động t duy, có t thuật giải t sáng tạo a Bậc thấp: Xây dựng thuật giải Bậc cao: Xây dựng thuật giải tối u sin x + cos x = VÝ dơ 27: Gi¶i phơng trình: Có thể giải phơng trình theo thuật giải đà có sách giáo khoa Tuy nhiên ta cần hớng dẫn tìm thuật giải tối u qua phát huy đợc tính sáng tạo cho sinh sin x ≥ sin x (1) cos x ≥ cos2 x Bớc Đánh giá (2) Bớc Thực céng hai vÕ (1) vµ (2) ta cã : ⇔ sin x + cos x ≥ sin x + cos2 x =  x = k 2π DÊu “=” x¶y ⇔  π  x = + l 2π ,(k , l ∈¢ )   58 Chúng ta cần cho học sinh so sánh thuật giải với thuật giải đà biết sách giáo khoa áp dụng vào giải phơng trình Thuật giải tối u chỗ ngắn gọn đặc biệt áp dụng cho toán tổng quát giải phơng trình: sin n x + cosn x = Cách giải: +Nếu n < thì: Bớc 1.1 NhËn xÐt: sin n x ≥ sin x (1) cosn x ≥ cos2 x (2) Bíc 1.2 Thùc cộng theo hai vế bất đẳng thức (1), (2) Ta đợc: sin n x + cosn x  x = k 2π DÊu “=” x¶y ⇔  π  x = + l 2π ,(k , l  ) + Ngợc lại n ≥ th× Bíc 2.1 NhËn xÐt: sin n x ≤ sin x (1) cosn x ≤ cos2 x (2) Bíc 2.2 Thùc hiƯn céng theo hai vÕ bất đẳng thức (1), (2) Ta đợc: sin n x + cosn x ≤  x = k 2π Bíc 2.3 DÊu “=” x¶y ⇔  π  x = + l 2π ,(k , l ∈¢ ) Có thể phân bậc phức hợp hoạt động t thuật giải t sáng tạo theo cứ: b Bậc thấp: Biết cách làm loạt trờng hợp tơng tự với trờng hợp đà làm Bậc cao: Khái quát hoá cách làm trờng hợp cụ thể thành cách làm cho trờng hợp tổng quát Ví dụ 28 Giải phơng tr×nh: a x − = x − b x − 3x + = x −1 c x − x − = Từ cách giải phơng trình trên, ta đa thuật giải phơng trình tổng quát nh sau: 59 Bứoc Biến đổi phơng trình thành dạng: f ( x) = g ( x) Bớc Đặt điều kiện g ( x) Bớc Khử thức cách bình phơng hai vế Bớc Giải phơng trình f ( x) = g ( x) Bíc Tìm nghiệm thoả mÃn điều kiện bớc Bớc Trả lời Sự phân bậc hoạt động giúp cho giáo viên nắm bắt đợc tình hình hoạt động toán học học sinh trình dạy học giải Toán phơng trình, bất phơng trình Trên sở nhận thức học sinh để giáo viên lựa chọn hoạt động phát triển t thuật giải t sáng tạo phù hợp với trình độ nhận thức häc sinh 2.9 KÕt ln Ch¬ng Néi dung chđ yếu chơng đề cập đến số biện pháp, nhằm góp phần bồi dỡng kỹ giải toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình 60 ... thuật giải, t sáng tạo, kỹ kỹ giải Toán học sinh Trung học phổ thông - Xây dựng số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh. .. kỹ giải toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học nội dung phơng trình, bất phơng trình 2.1 Khái niệm kỹ Theo Tâm lí học lứa tuổi Tâm lí học. .. Một số biện pháp góp phần bồi dỡng kỹ giải Toán theo hớng phát triển t thuật giải phát huy tính sáng tạo cho học sinh THPT thông qua dạy học phơng trình, bất phơng trình Chơng 3: Kiểm nghiệm