theo hớng phát triển t duy thuật giải và t duy sáng tạo
Theo quan điểm hoạt động đã đợc trình bày ở Chơng 1, việc phát triển t duy thuật giải chính là việc rèn luyện cho học sinh thực hiện tốt các hoạt động t duy thuật giải. Để làm đợc điều đó, trớc hết việc dạy của giáo viên phải có tính chất thuật giải và đợc tiến hành theo hớng phát triển t duy thuật giải.
Quá trình dạy học là một algôrit dạy học rất đặc biệt: chủ thể phải thực hiện nghiêm ngặt từng thao tác và sau một số hữu hạn bớc sẽ đạt kết quả mong muốn. Song không thể xem quá trình dạy học là một cấu trúc cứng nhắc, nghiêm ngặt nh một thuật toán mà phải tính đến cả thái độ, tình cảm nhân cách của học sinh cả những khó khăn, chớng ngại trong quá trình dạy học, mang tính nghệ thuật và sáng tạo rất cao trong quá trình truyền thụ tri thức. Quá trình dạy giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình cho chúng ta rất nhiều cơ hội để phát triển t duy thuật giải và t duy sáng tạo của học sinh.
Sau đây chúng tôi xây dựng quy trình dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải và phát huy tính sáng tạo gồm các bớc nh sau:
Bớc 1: Tập luyện cho học sinh phân tích bài toán, nhận dạng phơng trình
Nếu phơng trình cần giải là một trong những phơng trình đã có thuật giải thì tiến hành theo thuật giải. Ngợc lại ta chuyển sang bớc 2.
Bớc 2: Rèn luyện cho học sinh biến đôi phơng trình, bất phơng trình về dạng quen thuộc. Trong bứơc này giáo viên cần gợi động cơ, hớng đích lôi cuốn học sinh tìm tòi những phơng pháp biến đổi phơng trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động giải phơng trình, bất phơng trình. Giáo viên cần hớng dẫn để học sinh huy động kiến thức tổng hợp để tìm phơng pháp biến đổi thích hợp.
Bớc 3: Cho học sinh tiến hành giải phơng trình,bất phơng trình nhận đợc.
Sau khi đã biến đổi phơng trình về dạng quen thuộc, học sinh phải vạch ra chơng trình giải rồi thực hiện nó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: không có sai lầm (lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phơng pháp suy luận, kĩ năng tính toán, về kí hiệu và ngôn ngữ diễn đạt); lập luận có căn cứ chính xác (trong từng bớc biến đổi phơng trình đều có cơ sở lý luận); lời giải đầy đủ (xem xét đầy đủ các khả năng không bỏ sót trờng hợp nào)
Bớc 4: Kiểm tra lời giải, kết quả
Giải phơng trình, bất phơng trình là một hoạt động toán học tổng hợp bao gồm nhiều hoạt động, nhiều khâu: hiểu và vận dụng đựơc khái niệm có liên quan, nắm vững định lý, công thức biến đổi đồng nhất, biến đổi tơng đơng, biến đổi hệ quả; lập luận và thể hiện các thao tác t duy logic, phân chia trờng hợp, tính toán cụ thể và cách diẽn đạt, thể hiện lời giải dới dạng văn bản ứng với mỗi hoạt động, mỗi khâu. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày lời giải học sinh có thể mắc sai lầm. Do đó, giáo viên cần lờng trứơc để chỉ ra những sai lầm học sinh thờng mắc phải, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục.
Bớc 5: Rèn luyện cho học sinh khả năng nghiên cứu lời giải.
Nghiên cứu – khai thác - phân tích và tìm tòi lời giải khoa học nhất sẽ giúp học sinh có thói quen tập dợt nghiên cứu khoa học, nắm đợc bản chất vấn đề bản chất trong
giải toán. Hoạt động này có ý nghĩa quan trọng, nó góp phần phát triển hoạt động phát hiện thuật giải tối u.
Bớc 6: Hớng dẫn học sinh tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng tơng tự hoá, khái quát hoá.
Trong bớc này, giáo viên cần phát triển khả năng suy đoán và rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh.Đây chính là cơ hội phát triển t duy sáng tạo cho học sinh. Muốn vậy giáo viên cần chú ý cho học sinh làm quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán, tơng tự hoá, khái quát hoá, phân tích, tổng hợp và so sánh. Giáo viên cần tập dợt cho học sinh các thao tác tơng tự đơn giản, biết so sánh một bài toán với một bài toán t- ơng tự, biết tìm ra đặc điểm chung về hình thức, nội dung hoặc phơng pháp một số dạng phơng trình, bất phơng trình đơn giản, từ đó xây dựng thuật giải một số dạng phơng trình tổng quát.
Vì nội dung phơng trình, bất phơng trình ở trờng phổ thông là nội dung lớn, xuyên suốt quá trình học tập của học sinh nên bài tập về dạng này rất đa dạng và phong phú. Trong luận văn này chúng tôi không nghiên cứu tất cả các dạng toán về phơng trình, bất phơng trình mà chỉ nghiên cứu một số dạng cơ bản nhất việc giải các bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải và các phép biến đổi tơng đơng một cách linh hoạt.
Chúng ta có thể nhìn một cách tổng quan về phơng trình, bất phơng trình ở chơng trình toán phổ nh sau:
Trong chơng trình Toán ở trờng phổ thông, bài tập về phơng trình gồm 2 dạng cơ bản sau:
- Dạng bài tập phơng trình dựa vào các thuật giải đã biết.
- Dạng bài tập nhằm hình thành kiến thức mới (thông qua giải bài tập giúp học sinh có thể tiếp thu những kiến thức cha biết, có thể là những tính chất, quy tắc, …)
(1) Các phơng trình cơ bản:
- Phơng trình bậc nhất một ẩn: ax b+ =0
- Phơng trình bậc hai một ẩn: ax2+ + =bx c 0
- Phơng trình mũ: ax =at
- Phơng trình logarit: logax=log ,logat ax c=
Các phơng trình cơ bản đóng một vài trò rất quan trọng trong chơng trình bởi vì việc giải bất kỳ một phơng trình nào cũng dẫn đến việc giải một trong các phơng trình cơ bản.
(2) Phơng trình gần cơ bản, chẳng hạn đối với phơng trình lợng giác thì phơng trình “gần cơ bản” là các phơng trình có dạng:
sin ( )f x =m,cos ( )f x =m
sin ( ) sin ( ),cos ( ) cos ( )f x = g x f x = g x
Đối với phơng trình mũ: af x( )=ag x( ),af x( ) =c
Đối với phơng trình logarit: loga f x( ) log= ag x( ),loga f x( )=c
(3) Phơng trình quy về phơng trình cơ bản: Là các phơng trình khi giải ta giải bằng phép đặt ẩn phụ hoặc sử dụng phép biến đổi tơng đơng. Chẳng hạn:
+ Phơng trình trùng phơng: ax4+bx2+ =c 0,a≠0
Để giải phơng trình ta đặt y x= 2, với điều kiện y≥0. Ta đa về bậc hai đối với y đó là . ay2+ + =by c 0
+ Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin ,cosx x, phơng trình lợng giác đối xứng đối với sinx và cosx, chứa ẩn ở mẫu, phơng trình chứa căn thức, …
Đối với dạng phơng trình giải đợc bằng cách đặt ẩn phụ để đa về phơng trình cơ bản, giáo viên cần làm cho học sinh luôn ý thức kiểm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của phơng trình mới, nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện xem có thoã mãn hay không. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tích luỹ vốn kiến thức nhất định .
Trong quá trình dạy học dạng toán (3), giáo viên cần hớng dẫn học sinh nắm đặc điểm nhận dạng của phơng trình để ứng với mỗi dạng toán đó học sinh nắm đợc phơng pháp giải. Quá trình này rèn luyện năng lực nhận dạng, thể hiện của học sinh, đồng thời phát triển t duy thuật giải và t duy sáng tạo của học sinh.
( 4). Phơng trình không mẫu mực: Những phơng trình này thờng không thể áp dụng phơng pháp giải truyền thống ma phải biết vận dụng khéo léo phơng pháp đánh giá các số hạng có trong phơng trình, sử dụng tính chất đơn diệu, tính bị chặn, sử dụng đồ thị để giải, …
Trên đây chúng tôi đa ra một số dạng phơng trình thờng gặp ở chơng trình toán phổ thông. Các dạng phơng trình này chung quy lại đều có thể đa về giải bằng hai phơng pháp cơ bản: phơng pháp algôrit (thuật giải) và phơng pháp ơrixtic (tìm kiếm, sáng tạo, …), đều phải vận dụng t duy sáng tạo và t duy thuật giải theo từng cấp độ của một bài toán cụ thể. Vì vậy quá trình dạy học giải toán nói chung, dạy học giải phơng trình nói riêng là điều kiện thuận lợi để phát triển t duy thuật giải và t duy sáng tạo cho học sinh.
Quy trình dạy học rèn luyện kỹ năng giải phơng trình. Trong quá trình dạy học giải phơng trình, t duy thuật giải đợc vận dụng theo các cấp độ sau:
Cấp độ 1: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất thuật toán: giải các phơng trình đã có thuật giải.
Cấp độ 2: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất phi thuật toán: tiến trình giải một bài toán (thông thờng qua 4 bớc), giải toán bằng phơng pháp lập phơng trình
Cấp độ 3: Những quy tắc, phơng pháp có tính chất tìm đoán: quy lạ về quen, khái quát hoá, trừu tợng hoá, phơng pháp tìm lời giải các bài toán, …
Tính chất tìm đoán ở đây chỉ là gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn thành công, ở cấp độ này đòi hỏi t duy toán học của học sinh hoạt động tích cực, đặc biệt là t duy sáng tạo. Thông qua mò mẫm, dự đoán phơng pháp giải mà rèn luyện t duy sáng tạo của học sinh: tính mềm dẻo, tính linh hoạt, khả năng biết điều chỉnh phơng hớng và phơng pháp khi cần thiết.
Ví dụ 24:Giải phơng trình
sinx+sin 2x+sin 3x=0
Bớc 1: Đây là phơng trình cha có thuật giải. Ta cần biến đổi để đa về phơng trình đã có thuật giải.
Bớc 2: áp dụng công thức lợng giác để biến đổi đa phơng trình về dạng (3) (ph- ơng trình dạng tích) theo các cách sau:
Cách 1. Nhóm sin3x với sinx, áp dụng công thức thức biến đổi tổng thành tích để xuất hiện thừa số chung, từ đó đa về phơng trình dạng tích. Giải phơng trình dạng tích quy về giải phơng trình cơ bản.
Cách 2. Làm xuất hiện thừa số chung sinx bằng cách sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba. Chuyển về giải phơng trình cơ bản.
Bớc 3. Giải phơng trình theo 2 cách nh sau:
Cách 1.
sin sin 2 sin 3 0 (sin3 sin ) sin 2 0 2sin 2 .cos sin 2 0 sin 2 (2cos 1) 0 sin 2 0 1 cos 2 x x x x x x x x x x x x x + + = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔ = − Cách 2. 3 2 2
sin sin 2 sin 3 0
sin 2sin cos 3sin 4sin 0 sin (4 2cos 4sin ) 0
sin (4cos 2cos ) 0 2sin cos (2cos 1) 0 sin 2 (2cos 1) 0 sin 2 0 1 cos 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = ⇔ + + − = ⇔ + − = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔ = − Giải ra ta đựơc: x k= π2 và 2 2 ,( ) 3 x= ± π +k π k∈Â
Bớc 4. Học sinh có thể mắc phải sai lầm trong biến đổi (do nhớ sai công thức) hoặc không lấy đợc tập nghiệm đúng nếu nh học sinh biến đổi phơng trình.
2
sin (4cos 2cos ) 0
sin 0 sin 0 cos 0 2 4cos 2cos 0 1 cos 2 2 2 2 ,( ) 3 x x x x x x x x x x k x k x k k π π π π π + = = = ⇔ ⇔ = + = = − = ⇔ = + = ± + ∈Â A
Nghiệm của phơng trình: , , 2 2
2 3
x k x k= π = π x= ± π +k π
Bớc 5. Trong hai cách giải trên, cách 1 ngắn gọn hơn nhng không áp dụng đợc cho bài toán tổng quát. Còn cách 2 có thể áp dụng để xây dựng thuật giải cho bài toán tổng quát.
Tập luyện cho học sinh khả năng mở rộng bài toán ban đầu là một trong những mục đích sáng tạo, là biểu hiện đặc trng và biểu hiện của sự sáng tạo. Từ “cấu trúc nền” của bài toán ban đầu có thể tìm hiểu “cấu trúc mới”, nghiên cứu các bài toán mới khi đã giải xong bài toán đã cho.
Để mở rộng bài toán ban đầu, trớc hết phải khẳng định đợc tính chân lý về kết quả của bài toán. Trên cơ sở nghiên cứu, mở rộng các thành tố (ẩn số, điều kiện, giả thiết, kết luận, …), các bộ phận hay tổng thể chung của bài toán. Sự khai thác đó theo nhiều hớng, nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau. Từ đó lập và hớng các “cấu trúc” khác nhau về mỗi hớng mở rộng bài toán đã cho. Theo các hớng mở rộng đó, đa ra những phỏng đoán,
dự đoán (có căn cứ), đề xuất các giả thiết về bài toán mới: bài toán tơng tự, bài toán khái quát, bài toán đặc biệt, bài toán liên quan. Các bài toán mở rộng này có thể đúng hoặc sai. Để khẳng định hoặc bác bỏ phải dùng lập luận có căn cứ và chính xác (tức phải chứng minh).
Bớc 6. Một số bài toán liên quan đến bài toán trên.
Bài toán 1. Giải phơng trình: sinx+sin 2x+sin 3x+sin 4x=0
Bài toán 2. Giải phơng trình: asinx b+ sin 2x c+ sin 3x=0,( , ,a b c∈Ă )
Bài toán 3. Giải phơng trình: sinx+sin 2x+ +... sinnx=0
Bài toán 4. Giải phơng trình:
1sin 2sin 2 ... nsin 0,
a x a+ x+ +a nx= n∈Ơ∗
Bài toán 5. Giải hệ phơng trình:
cos cos2 cos3 0
cos cos2 cos3 cos 4 0 ... cos cos2 .... cos 0
x x x x x x x x x nx + + = + + + = + + + =
Bài toán 6. Giải phơng trình: cosx+cos2x=sinx+sin 2x
Bài toán 7. Giải phơng trình:
sinx+sin 2x+ +... sinnx=cosx+cos2x+ +... cosnx