Để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh, ngời giáo viên cần thiết phải tạo ra cho họ sự say mê tìm tòi không những lời giải mà còn là những bài toán mới, suy ra từ các bài toán gốc, bài toán cơ bản. Cần phải tạo cho học sinh một suy nghĩ rằng chúng ta không chỉ dừng lại ở việc giải đợc bài toán mà phải biết vận dụng đợc kết quả của bài toán đó, phơng pháp giải bài toán đó, biết đặt bài toán trong mối liên hệ với các bài toán khác.
Từ một bài toán (chúng ta gọi là bài toán xuất phát) ngời giáo viên cần phải gợi cho học sinh những cách khai thác các bài toán đó. Chẳng hạn bằng tơng tự hoá chúng ta có thể khai thác đợc rất nhiều kết quả từ một bài toán ban đầu. Suy luận t- ơng tự là một trong những phơng pháp suy luận trong hoạt động toán học. Trong Toán học, cùng với đặc biệt hoá, khái quát hoá, phép suy luận tơng tự trở thành một
phơng pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của mọi phát minh trong toán học sơ cấp cũng nh trong toán học cao cấp hiện đại.
Tơng tự hoá là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tợng để từ những sự kiện đối với đối tợng này dự đoán những sự kiện đối với đối tợng kia. Sự giống nhau giữa hai đối tợng trong suy luận tơng tự chỉ mang tính chất tơng đối. Những dự đoán đợc rút ra từ suy luận tơng tự tạo nên các ý tởng phong phú là nguồn gốc của sự sáng tạo.
Học sinh cần phải biết một số hình thức tơng tự.
– Hai phép chứng minh là tơng tự, nếu đờng lối và phơng pháp chứng minh của chúng là giống nhau, vì vậy có thể trình bày chi tiết một trờng hợp còn trờng hợp kia là suy luận tơng tự.
– Hai bài toán là tơng tự nếu chúng đợc xem xét trên những khía cạnh sau đây: • Chúng có phơng pháp giải giống nhau.
• Nội dung của chúng có những nét giống nhau, có giả thiết nh nhau hoặc có kết luận nh nhau.
• Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tợng có tính chất giống nhau.
Để khai thác một bài tập theo hớng tơng tự, giáo viên phải có sự gợi động cơ, h- ớng dẫn để học sinh so sánh, tức là tìm ra chỗ giống nhau, khác nhau của hai đối t- ợng mang ra so sánh, song sự so sánh không phải dừng lại ở đó, mà ngời giáo viên cần phải dẫn dắt để học sinh dự đoán những sự kiện mối liên quan đến kết luận bài toán. Trong hai đối tợng mà ta mang so sánh, một đối tợng mà ta đã biết tờng tận (gọi là bài toán gốc hay bài toán xuất phát), còn đối tợng kia ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó (bài toán tơng tự).
Ta bắt đầu từ bài toán xuất phát sau:
Bài toán xuất phát 1: Cho ∆ABC. CMR: cosA + cosB + cosC ≤ 23 (1) Bài toán này giải đợc theo rất nhiều cách khác nhau. Ta xét lời giải sau đây: Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC , các tiếp điểm là D,E,F, r là bán kính đ- ờng tròn nội tiếp.
Ta có: (ID + IE + IF)2 ≥ 0 E A
⇔ ID2 + IE2 + IF2 + 2(ID.IE + IE.IF + IF.ID) ≥ 0
(cosA cosB cosC) 0 2r
r
3 2 − 2 + + ≥
⇔ C ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ 23 .
Dấu “=”⇔ID+IE+IF=0 (*)
Nhân các vế của (*) lần lợt với ID,IE,IF ta sẽ đợc cosA = cosB = cosC = 2 1
. Suy ra ∆ABC đều (đpcm).
Cách chứng minh trên dựa vào nhận xét khi I là tâm đờng tròn nội tiếp thì ta có ID = IE = IF = r, cosEIF = – cosA, cosEID = – cosC, cosDIF = – cosB
và (ID + IE + IF)2 ≥ 0.
Từ nhận xét đó ta thấy rằng nếu xét đểm M bất kì trong tam giác, từ M kẻ các đờng thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác, trên các đờng thẳng đó lấy các véctơ bằng nhau cùng có gốc là M (ở đây ta lấy các véctơ đơn vị e1,e2,e3 nh hình vẽ) thì từ (e1+e2 +e3)2 ≥0 biến đổi tơng đơng ta đợc (1).
Dấu “=” xảy ra ⇔e1+e2+e3=0 (*) A Nhân các vế của (*) lần lợt với e1,e2,e3
ta sẽ đợc cosA = cosB = cosC =1/2 e3 M e2
suy ra ∆ABC đều. e1
C Với suy nghĩ M là một điểm đặc biệt khác trong tam giác thì sao, suy luận tơng tự nh trên (sử dụng tích vô hớng của các véctơ đơn vị trên các đoạn thẳng đặc biệt) ta sẽ đợc điều gì. Ta có các bài toán tơng tự sau:
Bài toán 1: Cho ∆ABC. CMR: cos2A + cos2B + cos2C ≥ −23 (2) Bài toán này đợc giải tơng tự nh trên bằng cách đặt các véc tơ đơn vị e1, e2 ,
3
e trên OA, OB, OC với O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC. Với chú ý
1
e .e2 = cos2C, e2.e3 = cos2A, e3.e1 = cos2B
Bài toán 2. Chứng minh rằng: sinA2 + sin B2 + sinC2 ≤ 23 . B
D B
Bài toán này cũng đợc giải tơng tự bằng cách đặt các véc tơ đơn vị e1 , e2, e3
trên IA, IB, IC với I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC. Với chú ý
1e .e2 = – sin