Bài toán phương pháp đếm tổ hợp

DẠNG 2. BÀI TOÁN ĐẾM SỐCÓ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Hỏi từ10 chữsố0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thểlập được bao nhiêu sốgồm 6 chữsốkhác nhau, sao cho trong các chữsố đó có mặt số0 và 1. Lời giải: Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: − 6 5 10 10 A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080 Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø: 6 9 A = 9.8.7.6.5.4 = 60480 Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: − 6 5 9 9 A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá.

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! DẠNG 2. BÀI TỐN ĐẾM SỐ CĨ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. Lời giải: * Số các số có 6 chữ số khác nhau là: − 6 5 10 10 A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: 6 9 A = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là: − 6 5 9 9 A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số. Bài 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5. Lời giải: * Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau: Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có 3 4 A khả năng chọn 3 chữ số cuối. ⇒ Có 4. 3 4 A = 4.4! = 96 số. * Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có 3 4 A = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có 2 3 A = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài 3: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đơi một. 2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi một. 3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi một. Lời giải: 1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: abc0 hoặc abc2 hoặc abc4 * Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. ⇒ Có 5.4.3 = 60 số * Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. ⇒ Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn. 2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5 . * Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b. ⇒ Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b. ⇒ Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm. 3. Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! → có 4 số * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần tử → có 3! = 6 số. Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm. Bài 4: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đơi một. Hỏi 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6. Lời giải: Xét số năm chữ số 1 2 3 4 5 a a a a a 1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có 4 5 A = 120 cách. Vậy có 5.120 = 600 số. 2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có 2 5 A cách. Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có 3 4 A = 24 cách. Vậy có 2 5 A . 3 4 A = 480 số. Bài 5: Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0. Lời giải: Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5. 3 5 A = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: 4 5 A = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số. Bài 6: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Lời giải: Giả sử số cần tìm có dạng: A = 1 2 3 4 5 6 a a a a a a . +) Nếu a 1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có 5 7 A = 2520 số. +) Nếu a 1 ≠ 4 thì vì a 1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a 1 . Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vò trí còn lại là a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 . Khi đó các vò trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn 4 6 A số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. 4 6 A = 10800 số. Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số. Bài 7: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5. Lời giải: Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số: • Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có 4 cách chọn vò trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vò trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 3 5 A ⇒ Số các số thu được là: 4.4. 3 5 A = 960 số • Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5. Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 4 5 A ⇒ Số các số thu được là: 5. 4 5 A = 600 số. Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số. Bài 8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau? Lời giải: Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720 Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120 số các số có chứa 61 là 5! = 120 Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số. Bài 9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa? Lời giải: Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9. Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8! Vậy tất cả có: 8! = 40320 số. Bài 10: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Lời giải: Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Xét x = 1 2 3 4 5 a a a a a ∈ X. Nếu chọn a 5 = 1 thì 1 2 3 4 a a a a ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ có 4 5 A số có chứ hàng đơn vò là 1. Tương tự có 4 5 A số có chứ hàng đơn vò là 3; … ⇒ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vò của các phần tử x ∈ X là: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). 4 5 A = 3360. Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x ∈ X là: 3360.10; … Vậy tổng tất cả các phần tử của X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960. Bài 11: 1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. 2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345. Lời giải: 1. Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E. Vì x chẵn nên c ∈ {2;4} ⇒ có 2 cách chọn c. Với mỗi cách chọn c, có 2 4 A cách chọn bc . Vậy tất cả có: 2. 2 4 A = 24 số chẵn. 2. Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ 4 thì x > 345. * Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x = abc < 345. Loại này có: 2. 2 5 A = 40 số. * Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345 ⇔ { }  = ∈  = =  b 1hoặc 2; c E \ a,b b 4; c 1hoặc 2 Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số. Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số. Bài 12: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 789? Lời giải: Ta xét các trường hợp sau: 1. Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, 6 ⇒ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vò. a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vò, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vò và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. ⇒ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số. b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục. ⇒ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số. 2. Chữ số hàng đơn vò là 8: Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục. ⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số. b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục. ⇒ Số các số thu được là: 6 số. Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số. Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. Lời giải: Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3), 4, 5. Số hoán vò của 5 phần tử này là P 5 , phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở vò trí đầu gồm P 4 trường hợp. Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được nhân đôi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P 5 – P 4 ) = 192 số. Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Lời giải: Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho có dạng: 1 2 3 4 5 6 a a a a a a (a i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; a i ≠ a j ) sao cho: a 1 + a 2 + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 – 1 ⇔ a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 2(a 4 + a 5 + a 6 ) – 1 ⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a 4 + a 5 + a 6 ) – 1 ⇔ a 4 + a 5 + a 6 = 11 ⇒ a 1 + a 2 + a 3 = 10 (1) Vì a 1 , a 2 a 3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả năng sau: • a 1 , a 2 , a 3 ∈ {1; 3; 6} • a 1 , a 2 , a 3 ∈ {1; 4; 5} • a 1 , a 2 , a 3 ∈ {2; 3; 5} Mỗi bộ số a 1 , a 2 , a 3 nêu trên tạo ra 3! hoán vò, và mỗi hoán vò đó lại được ghép với 3! hoán vò của bộ số a 4 , a 5 , a 6 . Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số. Bài 15: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? Lời giải: Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8. • Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có 6 8 A số thuộc loại này. • Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4. ( ) − 6 5 8 7 A A . Vậy tất cả có: 6 8 A + 4. ( ) − 6 5 8 7 A A = 90720 số. Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245. Lời giải: Gọi số cần tìm là: x = 1 2 3 a a a Vì x < 245 nên a 1 = 1 hoặc a 1 = 2 • a 1 = 1: x = 2 3 1a a a 2 , a 3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5 ⇒ Có: 2 4 A = 4.3 = 12 số • a 1 = 2: x = 2 3 2a a a 2 có 2 khả năng: * a 2 < 4 ⇒ a 2 ∈ {1, 3} ⇒ a 2 có 2 cách chọn, a 3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại ⇒ Có 2.3 = 6 số * a 2 = 4; a 3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a 3 có 2 cách chọn ⇒ Có 2 số ⇒ Có 6 + 2 = 8 số x = 2 3 2a a Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài. Bài 17: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. Lời giải: Số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 a a a a . Chọn a 4 từ {1, 5, 9} ⇒ có 3 cách chọn. Chọn a 1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a 4 } ⇒ có 3 cách chọn. Chọn a 2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a 1 , a 4 } ⇒ có 3 cách chọn. Chọn a 3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a 1 , a 2 , a 4 } ⇒ có 2 cách chọn. Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài. Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Lời giải: Gọi x = 1 2 3 4 5 6 a a a a a a là số cần lập. YCBT: a 3 + a 4 + a 5 = 8 ⇒ a 3 , a 4 , a 5 ∈ {1, 2, 5} hoặc a 3 , a 4 , a 5 ∈ {1, 3, 4} a) Khi a 3 , a 4 , a 5 ∈ {1, 2, 5} • Có 6 cách chọn a 1 • Có 5 cách chọn a 2 • Có 3! cách chọn a 3 , a 4 , a 5 • Có 4 cách chọn a 6 ⇒ Có: 6.5.6.4 = 720 số x. b) Khi a 3 , a 4 , a 5 ∈ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x. Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x. Bài 19: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5. Lời giải: • Cách 1: Gọi x = 1 2 3 4 5 a a a a a là số cần lập. Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vò trí: có 2 5 A = 20 cách. Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại đầu tiên. 4 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại thứ hai. 3 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại thứ ba. Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số. • Cách 2: * Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vò trí: có 2 5 A = 20 cách. * Bước 2: có 3 5 A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vò trí còn lại. Vậy có 20.60 = 1200 số. Bài 20: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt? Lời giải: Chọn 2 vò trí xếp chữ số 0: có 2 4 C cách. Chọn 1 vò trí xếp chữ số 1: có 3 cách. Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vò trí còn lại: có cách. Vậy tất cả có: 2 4 C .3. 2 8 A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài. . lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đơi một. Hỏi 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và. TRỌNG TÂM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ. nhất trong kỳ TSĐH 2014! DẠNG 2. BÀI TỐN ĐẾM SỐ CĨ ĐIỀU KIỆN Bài 1: Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong