Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ

Trang bị cho học sinh một hệ thống các bài tập liên quan đến góc trong hình học giải tích . Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Nội dung Trang Mục lục Giới thiệu Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ I Tóm tắt lý thuyết II Một số dạng tập thường gặp 2.1 Các tốn tính góc 2.2 Các tốn viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên 11 quan đến góc 2.3 Các toán đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến cực trị 19 góc Phần 3: Kết luận kiến nghị 25 Tài liệu tham khảo 26 Phần 1: Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bài tốn góc hình học giải tích Oxyz thường xuyên xuất đề thi THPTQG đề thi HSG 12 số tỉnh nước Bài tốn góc hình học giải tích Oxyz thường tốn khó cho học sinh trung bình khá, đặc biệt toán liên quan đến cực trị góc học sinh có lực học giỏi giải khó khăn Rèn luyện kỹ xác định góc viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến góc giúp cho học sinh phát triển khả tư logic, tư thuật toán… Qua q trình giảng dạy học sinh ơn thi THPTQG, thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải toán liên quan đến góc hình học giải tích Oxyz để phát triển tư cho học sinh Trên thực tế, sách tham khảo, tài liệu internet viết góc hạn chế Hơn cực trị liên quan đến góc thường gây cho học sinh lúng túng kể học sinh có lực học giỏi Những vấn đề lý để tơi chọn chun đề: “Một số tốn góc hình học giải tích Oxyz ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : -Trang bị cho học sinh hệ thống tập liên quan đến góc hình học giải tích Oxyz - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : -Các dạng tốn góc hình học giải tích Oxyz - Phân dạng tốn nâng cao PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : - Tham khảo sách, internet, báo -Thực tiễn giảng dạy ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH : - Học sinh lớp 12 Phần 2: Nội dung Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Góc hai vectơ r r Oxyz , Trong không gian cho hai vectơ u(a1;b1;c1) v(a2;b2;c2) Khi cơsin r r góc u v xác định công thức rr r r u.v cos(u;v) = r r = u v a1a2 + bb + c1c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22 Nhận xét: - Gọi j góc hai vectơ 00 £ j £ 1800 rr r r -Nếu u ^ v uv = Û a1a2 + bb + c1c2 = 1.2 Góc hai đường thẳng r Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D có vectơ phương u1(a1;b1;c1) r đường thẳng D có vectơ phương u2(a2;b2;c2) Khi cosin góc D D xác định công thức ur uu r r r u1.u2 cos(D 1; D 2) = cos(u1;u2) = ur uu r = u1 u2 a1a2 + bb + c1c2 a12 + b12 + c12 a22 + b22 + c22 Nhận xét: - Gọi j góc hai đường thẳng 00 £ j £ 900 r r -Nếu D ^ D u1.u2 = Û a1a2 + bb + c1c2 = 1.3 Góc hai mặt phẳng uu r Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n1(A1;B1;C1) uu r mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n2(A2;B2;C2) Khi cosin góc (P ) (Q) xác định công thức u r u r u r u r n1.n2 cos((P);(Q)) = cos(n1;n2) = u r u r = n1 n2 A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 Nhận xét: - Gọi j góc hai mặt phẳng 00 £ j £ 900 u r u r -Nếu (P ) ^ (Q) n1.n2 = Û A1A2 + B1B2 + C 1C = 1.4 Góc đường thẳng mặt phẳng u r Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n(A;B;C) uur đường thẳng D có vectơ phương uD (a;b;c) Khi sin góc (P ) D xác định công thức u r r u r r n(P ).uD sin((P); D) = cos(n(P );uD ) = u r r = n(P ) uD Aa + Bb + Cc A + B + C a2 + b2 + c2 Nhận xét: - Gọi j góc đường thẳng mặt phẳng 00 £ j £ 900 u r r a b c ( P ) ^ D -Nếu n = k.u Û = = (ABC ¹ 0) A B C r u r - Nếu d / / (P ) d Ì (P ) u ^ n Û a.A + bB + cC = MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 2.1 Các tốn tính góc * Một số ví dụ Ví dụ Tính góc hai mặt phẳng sau: a) (a) : 2x - y + z + = (b) : x + y + 2z - = b) (a) : x - y - = (b) : 2x - y + 2z - = c) (a) : 2x + y + z + = mặt phẳng (Oxy) Lời giải: u r a) Mặt phẳng (a) có VTPT n(a ) = (2;- 1;1) u r Mặt phẳng (b) có VTPT n(b) = (1;1;2) Gọi j góc hai mặt phẳng (a) (b) Ta có: uuu r uuu r n( a ) n(b) cosj = u r uuu r = n(a ) n(b) 2- 1+ 2 2 2 2 + (- 1) + + + = Þ j = 600 Vậy góc hai mặt phẳng (a) (b) 600 b) Góc hai mặt phẳng (a) (b) 450 c) Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Suy VTPT mặt phẳng (Oxy) u r n (oxy) = (0;0;1) Vậy góc mặt phẳng (a) (Oxy) 600 Ví dụ Tính góc hai đường thẳng sau: a) d : x- y- z+4 x + y - 10 z = = = = d ' : - 2 - ìï x = - t ïï b) d : ïíï y = - + 2t trục Ox ïï z = - + t ïỵ Lời giải: r a) d có VTCP u = (2;1;- 2) d r d ' có VTCP u(d ') = (2;1;- 2) Gọi j góc hai đường thẳng d d ' Ta có: cosj = + 1+ 22 + 12 + (- 2)2 22 + 12 + (- 2)2 = Vậy góc hai đường thẳng d d ' 00 r b) d có VTCP u = (- 1; 2;1) r Trục Ox có VTCP i = (1;0;0) Suy góc d trục Ox 600 x +1 y z +2 = = mặt - 1 phẳng (P ) : - 2x + 2y + 4z - 11 = Tính góc đường thẳng d mặt phẳng Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : (P ) Lời giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (1;- 1;1) (d ) u r Mặt phẳng (P ) có VTPT n (P ) = (- 2;2;4) Gọi j góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) Ta có: sin j = - 2- 2+ 12 + (- 1)2 + 12 (- 2)2 + 22 + 42 = Vậy góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) 00 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B (6;- 1;- 2), C (- 1;- 4;3), D(1;6;- 5) Tính góc AB CD Lời giải: uuur Đường thẳng AB có VTCP AB = (4;- 4;- 4) uuu r Đường thẳng CD có VTCP CD = (2;10;- 8) uuur uuu r Ta có: AB CD = 2.4 + (- 4).10 + (- 4).(- 8) = Suy góc AB CD 900 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x + 4y + 5z + = Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (Q) : x - 2y + = (R ) : x - 2z - = Tính góc d (P ) Lời giải: u r Mặt phẳng (P) có VTPT n (P ) = ( 3;4;5) u r Mặt phẳng (Q) có VTPT n = ( 1;- 2;0) u r Mặt phẳng (R) có VTPT n = ( 1;0;- 2) r u r u r én , n ù= (4;2;2) u = Suy đường thẳng d có VTCP d ê ë 2ú û Gọi j góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) Ta có: sin j = 12 + + 10 32 + 42 + 52 42 + 22 + 22 = Vậy góc d (P ) 600 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , thỏa mãn điều kiện AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy (ABCD), SA = a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính cosin góc MN (SAC ) Phân tích: Đây xác định góc đường thẳng mặt phẳng hình học khơng gian, ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải hình học Oxyz Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, chọn đơn vị a 2 2 Ta có: A(0;0;0), B(1;0;0), C (1;1;0), D(0;2;0), S(0;0;1), M ( ;0; ) N ( ; ;0) uuuu r 2 VTCP MN 2MN = 2(0; ;- ) = (0;3;- 1) u r ( SAC ) n VTPT = uuur uuu r éAC ;AS ù= (1;- 1;0) ê ú ë û Gọi a góc MN (SAC ) ta có: sin a = + = 10 Suy cosa = 1- ( 5)2 = 55 10 10 * Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = ( β ) : x + y − z + = Tính góc j giữ hai mặt phẳng (a) (b) A 1200 B 300 C 600 D 900 Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y + 5z − = đường  x = − 3t  thẳng d :  y = −1 − 4t Góc đường thẳng d mặt phẳng (P )  z = − 5t  A 00 B 300 C 600 D 900 Câu Trong không gian Oxyz ,cho hai mặt phẳng (P ) : x + 5y - 3z - = (Q) : x - 2y - 3z + 10 = Góc (P ) (Q) A 00 B 300 C 600 D 900 Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = ( Q ) : x − y + z − = Cosin góc hai mặt phẳng (P ), (Q) 35 A B − 35 7 C D - Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y − z − 11 = ( Q) : A π x − y + = Góc (P ) (Q) B π C π D π Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y + mx + m − = ( β ) : x − y − z + 3m = Tìm m để góc hai mặt phẳng có số đo m = 22 A  m=   m = −2 22 B  m=−   m = −2 22 C  m=  450 m = 22 D  m=−  Câu (Trích đề MHTHPTQG 2017) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng x − 10 y − z + = = 1 Tìm tất giá trị m để mặt phẳng (P ) vng góc với đường thẳng D ( P ) :10 x + y + mz + 11 = 0, m tham số thực đường thẳng A m = B m = −2 C m = 52 ∆: D m = −52 ìï x = + t ïï Câu Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : ïíï y = + t ïï z = - t ïỵ ìï x = + 2t ' ïï d ' : ïí y = - + 2t ' Góc d d ' ïï ïïỵ z = - 2t ' A 00 B 300 C 600 D 900 x Câu Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = d2 : y +1 z −1 = −1 x +1 y z − = = Góc hai đường thẳng −1 1 A 900 B 300 C 600 D 450 Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x - 4y + z - = đường thẳng d : A 26 x- y +2 z- = = Giá trị cosin góc (P ) d B 15 26 C 25 26 D 26 Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm H ( 2; − 1; − ) hình chiếu vng góc O xuống mặt phẳng (P ) , số đo góc (P ) mặt phẳng (Q) : x - y - 11 = bao nhiêu? A 450 B 300 C 600 D 900 Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( ∆ ) : x = y z −1 = mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Khi khẳng định sau đúng? A Góc tạo D (P ) lớn 300 B D / / (P) C D ^ (P ) D D Ì (P ) Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M ( 2;3; − 1) , N ( −1;1;1) P ( 1; m − 1; ) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m = - B m = C m = - D m = Câu 14 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 2x + 5y - 3z - = (Q) : 2x + 5y + 3z + 10 = Gọi a góc tạo hai mặt phẳng (P ) (Q) Mệnh đề đúng? A sin a = B cosa = C sin a + cosa = D cosa = - Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1) C (2;1;1) Giá trị cosin góc B tam giác ABC A B 15 C 10 D 10 Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C (1;0;2) D(1;1;1) Góc AB CD A 00 B 300 C 600 D 900 x −4 y −5 z = = mặt phẳng (a) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ O đến (a) đạt giá trị lớn Khi góc (a) trục Ox j thỏa mãn Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : A sin j = C sin j = 3 B sinj = D sin j = 3 Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(- 2;- 2;1), B(1;0;2), C (- 1;- 1;0) D(0;0;3) Giá trị cosin góc hai mặt phẳng (ABC ) (BCD) A 10 546 B 546 C 26 - D 546 Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) = 10 2 mặt phẳng ( P ) : −2x + y + z + = Gọi (Q) thiết diện (S) M (5;0;4) Tính góc (P ) (Q) ? A 600 B 1200 C 900 D 450 Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD Khi cơsin góc hai mặt phẳng (GMN ) (ABCD) A 39 13 B 546 C 26 - D 546 2.2 Các toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng liên quan đến góc * Một số ví dụ Dạng Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng qua điểm có mối quan hệ song song, vng góc với đường thẳng mặt phẳng cho trước Ví dụ (Trích đề THPTQG 2017) Trong khơng gian Oxyz ,viết phương trình mặt x- y +2 z- = = phẳng qua M (3;- 1;1) vng góc với đường thẳng D : - Lời giải: r Đường thẳng D có VTCP u = (3;- 2;1) u r Do mặt phẳng (P ) vng góc với D nên (P ) có VTPT là: n = (3;- 2;1) Phương trình mặt phẳng (P ) là: 3(x - 3) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = hay 3x - 2y + z - 12 = Dạng Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M , vng góc với mặt phẳng (P ) song song với đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) cho trước góc có số đo j 10 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x - y - 2z + = (Q) : x + = điểm M (2;- 3;1) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M , vng góc với mặt phẳng (P ) tạo với mặt phẳng (Q) góc 450 Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) biết qua điểm M , chưa xác định vectơ pháp tuyến nên ta gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) u r n = (a;b;c) Sau từ giả thiết lập phương trình theo ẩn a, b, c ta tìm mối liên hệ ẩn chọn giá trị vectơ pháp tuyến bất kì, sau viết phương trình mặt phẳng Lời giải: u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) u r Mặt phẳng (P ) VTPT n (P ) = (1;- 1;- 2) u r Mặt phẳng (Q) có VTPT n (Q) =(1;0;0) u ru r Vì mặt phẳng (a) vng góc với mặt phẳng (P ) nên ta có: n.n (P ) = hay a - b - 2c = Û a = b + 2c Góc hai mặt phẳng (a) (Q) là: u ru r n.n (Q ) cos450 = u r u r Û n n (Q ) = a a2 + b2 + c2 é c=0 Thay a = b + 2c ta được: b2 + c2 - (b + 2c)2 = Û - 3c2 - 4bc = Û ê ê3c = - 4b ê ë Với c = 0, a = b + 2c, chọn a = Þ b = 1, phương trình mặt phẳng (a) là: 1(x - 2) + 1(y + 3) + 0(z - 1) = hay x + y + = Với 3c = - 4b,a = b + 2c chọn b = 3, c = - 4, a = - ,phương trình mặt phẳng (a) là: - 5(x - 2) + 3(y+ 3) - 4(z- 1) = hay - 5x + 3y - 4z + 23 = Dạng Viết phương mặt phẳng (j ) chứa đường thẳng D tạo với mặt phẳng (P ) góc có số đo j 11 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng D: x- y z = = tạo với mặt phẳng (P ) : 2x - 2y - z + = góc có số - - đo 600 Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên ta xác định điểm thuộc u r mặt phẳng, ta cần tìm VTPT (a) , ta thấy chứa D nên VTPT n (a ) r ^ u D , ta u r gọi tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) n = (a;b;c) , sau lập biểu thức biểu thị mối quan hệ ẩn từ liệu toán Lời giải: r Đường thẳng D qua điểm M (1;0;0) có VTCP u1 = (1;- 1;- 2) u r Mặt phẳng (P ) có VTPT n(P ) = (2;- 2;- 1) u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) u r r Vì phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên n ^ u hay a - b - 2c = Û a = b + 2c Mà (a) (P ) tạo với góc có số đo 600 nên ta có u ru r n.n (P ) cos600 = u r u r = n n (P ) 2a - 2b - c 22 + (- 2)2 + (- 1)2 a2 + b2 + c2 Û 3c = (b + 2c)2 + b2 + c2 é2b = (- + 2)c Û 2b + 4bc + c = Û ê ê 2b = (- - 2)c ê ë 2 Với 2b = (- + 2)c chọn c = 2, b = - + 2, a = + , phương trình mặt phẳng (a) là: (2 + 2)x + ( - 2)y + 2z - - Với 2b = (- (a) là: (2 - = 2) c chọn c = 2, b = - - 2)x + (- 2, a = - , phương trình mặt phẳng - 2)y + 2z - + = Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(- 1;2;- 3), B(2;- 1;- 6) mặt phẳng (P ) : x + 2y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (a) qua hai điểm A, B tạo với (P ) góc có số đo j thỏa mãn cosj = 12 Phân tích: Ta gọi tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) u r n = (a;b;c) , sau lập biểu thức biểu thị mối quan hệ ẩn từ liệu tốn Lời giải: u r uuur Ta có: AB = (3;- 3;- 3) n (P ) = (1;2;1) u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) uuur u r Theo giả thiết, ta có: AB n = Û a - b - c = Û c = a - b Mà (a) (P ) tạo với góc có số đo j thỏa mãn cosj = nên u ru r n.n (P ) = u r u r = n n (P ) a + 2b + a - b 2 2 2 + + a + b + (a - b) Û 2a + b = 18 2a2 - 2ab + 2b2 éa = ê Û 108a + 180ab Û ê êa = - 5b ê ë Với a = 0, c = a - b, chọn b = Þ c = - 1, phương trình mặt phẳng (a) là: 0(x + 1) + 1(y - 2) - 1(z + 3) = hay y - z - = Với a = - b,c = a - b , chọn b = - 3,a = 5, c = , phương trình mặt phẳng (a) là: 5(x + 1) - 3(y - 2) + 8(y + 3) = hay 5x - 3y + 8z + 35 = Dạng Viết phương mặt phẳng (j ) chứa đường thẳng D tạo với đường thẳng D góc có số đo j Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D : D2 : x - y +1 z - = = - x y z = = Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa D tạo với D góc - 300 Phân tích: Phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên ta xác định điểm thuộc u r mặt phẳng, ta cần tìm VTPT (a) , ta thấy chứa D nên VTPT n 13 (a ) r ^ u D1 , u r ta gọi tọa độ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) n = (a;b;c) , sau lập biểu thức biểu thị mối quan hệ ẩn từ liệu tốn Lời giải: r Ta có: D qua điểm M (1;- 1;1) có VTCP u = (1;- 1;3) D có VTCP r u2 = (1;- 2;1) u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) u r r Vì phương trình mặt phẳng (a) chứa D nên n ^ u hay a - b + 3c = Û b = a + 3c Mặt phẳng (a) tạo với D góc 300 nên ta có: u r r sin300 = cos(n, u2 ) Û = a - 2b + c a2 + b2 + c2 12 + (- 2)2 + 12 Thay b = a + 3c ta được: - a - 5c = éa = - 2c ê a + (a + 3c) + c Û 8a - 4ac - 40c = Û ê êa = 5c ê ë 2 2 2 Với a = - 2c chọn c = - 1, a = 2, b = - 1, phương trình mặt phẳng (a) là: 2(x - 1) - 1(y + 1) - 1(z- 1) = hay 2x - y - z - = Với a = c chọn c = 2, a = 5, b = 11, phương trình mặt phẳng (a) là: 5(x - 1) + 11(y + 1) + 2(z - 1) = hay 5x + 11y + 2z + = Dạng Viết phương đường thẳng d qua điểm A , nằm mặt phẳng (P ) vng góc d ' tạo với đường thẳng D góc có số đo j Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A(3;- 1;1) , đường thẳng x y- z = = mặt phẳng (P ) : x - y + z - = Viết phương trình đường 2 thẳng d qua A nằm (P ) tạo với D góc 450 D: Phân tích: Phương trình đường thẳng d biết qua điểm A , chưa xác định r VTCP nên ta gọi VTCP đường thẳng d u = (a;b;c) Sau từ giả 14 thiết lập phương trình theo ẩn a, b, c ta tìm mối liên hệ ẩn chọn giá trị VTCP bất kì, sau viết phương trình đường thẳng Lời giải: r Ta có: D qua điểm M (0;2;0) có VTCP u = (1;2;2) (P ) có VTPT u r n (P ) = (1;- 1;1) r Gọi u = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) VTCP đường thẳng d d r u r Vì đường thẳng d nằm mặt phẳng (P ) nên u ^ n d (P ) hay a - b+c = Û b = a +c Đường thẳng d tạo với đường thẳng D góc 450 nên ta có: r r ud u D cos45 = r r Û ud u D = éc = Û ê ê15a + 7c = a2 + b2 + c2.3 ê ë a + 2b + 2c Với c = 0, b = a + c chọn a = Þ b = 1, phương trình đường thẳng d là: ìï x = + t ïï ïí y = - + t ïï ïïỵ z = Với 15a + 7c = 0, b = a + c chọn a = 7, c = - 15, b = - , phương trình d là: x - y +1 z - = = - - 15 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x +4 y- z +7 = = - 1 x- y z +1 = = Viết phương trình đường thẳng d qua M (- 1;2;0) , vuông - - góc với d1 tạo với d2 góc 600 d2 : Phân tích: Phương trình đường thẳng d biết qua điểm M , chưa xác định r VTCP nên ta gọi VTCP đường thẳng d u = (a;b;c) Sau từ giả thiết lập phương trình theo ẩn a, b, c ta tìm mối liên hệ ẩn Lời giải: r r Ta có: d1 có VTCP u = (1;- 1;1) d2 có VTCP u = (1;- 1;- 2) r u Gọi d = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) VTCP đường thẳng d 15 Vì đường thẳng d vng góc với d1 Þ a - b + c = Û b = a + c Đường thẳng d tạo với d2 góc 600 nên ta có r r ud ud2 cos600 = r r Û = ud ud2 a - b - 2c a2 + b2 + c2 Û c = - 2a Với c = - 2a, b = a + c chọn a = 1, b = - 1, c = - , phương trình d là: x +1 y - z = = - - * Bài tập vận dụng Bài (Trích đề THPTQG 2017) Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua A(2;3;0) vng góc với mặt phẳng (P ) : x + 3y - z + = ìï x = + t ïï ĐS: ïíï y = 3t ïï z = - t ïỵ Bài (Trích đề THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;0;2), B(1;2;1), C (3;2;0) D(1;1;3) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) ìï x = + t ïï ĐS: ïíï y = + 4t ïï z = + 2t ïỵ Bài (Trích đề MHTHPTQG 2017) Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm ( ) ( ) A 0;1;1 B 1;2;3 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A vng góc với AB ĐS: x + y + 2z − = Bài Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y + z - = đường thẳng d : x- y- z- = = Viết phương trình mặt phẳng chứa d tạo với (P ) - góc a cho cosa = Bài Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : x + y + z - = (Q) : 2x + y + z - = Gọi đường thẳng d giao tuyến (P ) (Q) Viết 16 phương trình mặt phẳng (R ) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 600 ĐS: (R ) : 2x + y + z - - = 2x - y - z - + = Bài Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P ) : 5x - 2y + 5z - = (Q) : x - 4y - 8z + 12 = Viết phương trình mặt phẳng (R) qua O , vng góc với (P ) tạo với (Q) góc có số đo a = 450 ĐS: (R ) : x - z = (R ) : x + 20y + 7z = Bài Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có A(0;0;0), B (1;0;0), D(0;1;0) A '(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng chứa A ', C tạo với mặt phẳng (Oxy) góc a thỏa mãn cosa = ĐS: - x + 2y + z - = 2x - y + z - = Bài Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D : D2 : x- y z = = - 1 x- y- z +5 = = Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa D tạo với - D góc 300 ĐS: (a) : - x + y - 2z + = (a) : 2x + y + z - = Bài Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng D qua A(0;1;- 2) x+3 y- z = = - 1 (P ) : 2x + y - z + = góc có số đo a = 300 vng góc với đường thẳng d: tạo với ìï x = t ìï x = t ïï ïï ï ĐS: D : íï y = + t D : ïíï y = 1- t ïï z = ïï z = - - 2t ïỵ ïỵ Bài 10 Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(2;- 1;1), B(0;1;- 2) đường thẳng x y - z +1 = = Viết phương trình đường thẳng D qua giao điểm d - với mặt phẳng (OAB ) , D nằm mặt phẳng (OAB ) hợp với đường thẳng d d: góc a cho cosa = x + 10 y - 13 z + 21 x + 10 y - 13 z + 21 = = = = ĐS: D : D : - - 11 - - 17 Bài 11 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - z + = hai x- y z- x- y- z- = = = = d2 : Viết phương trình 1 - 1 - đường thẳng D nằm (P ) cắt d1 d2 đồng thời tạo với đường thẳng d1 đường thẳng d1 : góc 300 ìï x = - + t ìï x = ïï ïï ïí y = - ïí y = - + t D : D : ĐS: ïï ïï ïïỵ z = + t ïïỵ z = + t Bài 12 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M (1;1;2) tạo với trục Ox, Oy góc tương ứng là: 450 , 300 ĐS: 2x + y + z - 2x + y - z + 1- = 0, 2x - y + z - 1- = 0, 2x - y - z + - 2=0 = 2.3 Các toán mặt phẳng, đường thẳng liên quan đến cực trị góc * Một số ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng (Q) : x + 2y - z + = đường x +1 y +1 z - = = Viết phương trình mặt phẳng (P ) 1 chứa đường thẳng d tạo với (Q) góc có số đo nhỏ Phân tích: Phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d nên ta lấy điểm thuộc đường thẳng d ta điểm thuộc mặt phẳng (P ) , để viết (P ) ta cần tìm VTPT (P ) Ta gọi VTPT (P ) u r n = ( a;b;c ) (a2 + b2 + c2 > 0) Dựa vào giả thiết đề ta thiết lập phương thẳng d có phương trình trình tính góc (P ) (Q) theo hàm cosin với hai ẩn Lưu ý với góc j cho 00 £ j £ 900 j đạt nhỏ cosj đạt giá trị lớn Lời giải: u r Mặt phẳng (Q) có VTPT n (Q ) = (1;2;- 1) r Đường thẳng d qua A(- 1;- 1;3) có VTCP u = (2;1;1) u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) VTPT (P ) u r r u rr Do mặt phẳng (P ) chứa d nên n ^ u Û n.u = Û 2a + b + c = Û c = - 2a - b Gọi j góc (P ) (Q) , ta có: u ru r n.n (Q ) a + 2b - c a + 2b - c cosj = u r u r = = a2 + b2 + c2 12 + 22 + (- 1)2 6(a2 + b2 + c2) n n (Q ) Thay c = - 2a - b vào ta cosj = a +b 5a2 + 4ab + 2b2 18 Þ j = 300 + 2t + t2 b , với t = TH2: Nếu a ¹ cosj = a + 4t + 2t + 2t + t ,t Ỵ ¡ Xét hàm số f (t) = + 4t + 2t2 6t + =0Û t =- Ta có f '(t) = (5 + 4t + 2t 2)2 Chú ý: Với góc j cho 00 £ j £ 900 j đạt giá trị nhỏ cosj đạt giá trị lớn hay f (t) đạt giá trị lớn Suy j = 300 với a = 0, chọn b = Þ c = - phương trình mặt phẳng (P ) là: TH1: Nếu a = cosj = 0(x + 1) + 1(y+ 1) - 1(z- 3) = hay y - z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 : x- y +2 z = = , - x +2 y- z = = Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d1 cho góc - (a) đường thẳng d2 đạt giá trị lớn d2 : Phân tích: Ta thấy tốn có nét tương tự tốn trên, khác cơng u r ( a ) thức tính góc Ta gọi VTPT n = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 > 0) Tìm phương trình biểu thị mối quan hệ tương quan ẩn a, b, c Thiết lập phương trình tính góc (a) d2 theo hàm sin với hai ẩn Lưu ý với góc j cho 00 £ j £ 900 j đạt lớn sinj đạt giá trị lớn Lời giải: r Đường thẳng d1 qua điểm A(1;- 2;0) , có VTCP u = (1;2;- 1) r Đường thẳng d2 qua điểm B(- 2;1;0) , có VTCP u1 = (2;- 1;2) u r Gọi n = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) VTPT (a) Do mặt phẳng (a) chứa d nên ta có u r r u rr n ^ u1 Û n.u1 = Û a + 2b - c = Û c = a + 2b Gọi j góc mặt phẳng (a) d2 , ta có u rr n.u2 2a - b + 2c sin j = u r r = a2 + b2 + c2 n u2 Thay c = a + 2b vào ta sinj = 4a + 3b 2a2 + 4ab + 5b2 2 2 Þ j = d với sin d = , £ d £ 900 3 4t + + 24t + 16t a sin j = = TH2: Nếu b ¹ với t = 2 + 4t + 2t b + 4t + 2t TH1: Nếu b = sinj = 19 Xét hàm số f (t) = + 24t + 16t2 ,t Ỵ ¡ 9(5 + 4t + 2t 2) 144t2 + 1116t + 756 =0Û Ta có: f '(t) = (18t + 36t + 45)2 ét = - ê ê êt = - ê ë Với góc j cho £ j £ 900 j đạt giá trị lớn sinj đạt giá trị lớn hay f (t) phải đạt giá trị lớn 25 Suy j lớn sinj = t = - 27 a = - Û a = - 7b , kết hợp c = a + 2b, ta chọn b a = 7, b = - 1,c = phương trình mặt phẳng (a) là: 7x - y + 5z - = Với t = - ta có Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;- 1;2) , đường thẳng x +1 y - z = = mặt phẳng (P ) : 2x - y - z + = Viết phương trình - 2 đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) tạo với đường thẳng D góc j D: có số đo a) j lớn b) j nhỏ Phân tích: Phương trình đường thẳng d biết qua điểm A chưa có VTCP Ta gọi r VTCP d u = ( a;b;c ) (a2 + b2 + c2 > 0) Dựa vào giả thiết đề ta thiết lập phương trình tính góc d D theo hàm cosin với hai ẩn Lưu ý với góc j cho 00 £ j £ 900 j đạt nhỏ cosj đạt giá trị lớn j đạt lớn cosj đạt giá trị nhỏ Lời giải: u r Mặt phẳng (P ) có VTPT n = (2;- 1;- 1) r Đường thẳng D có VTCP u = (1;- 2;2) r Gọi u = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 > 0) VTCP d D Do đường thẳng d song song với (P ) nên r u r ru r u ^ n Û un = Û 2a - b - c = Û c = 2a - b Gọi j góc d D , ta có: r r u D u a - 2b + 2c cosj = r r = a2 + b2 + c2 uD u Thay c = 2a - b ta cosj = 5a - 4b 5a2 - 4ab + 2b2 Ta chứng minh được: £ cosj £ 20 = 25a2 - 40ab + 16b2 5a2 - 4ab + 2b2 x - y +1 z - = = Nhận xét: x - y +1 z - j Û cosj (max) Þ d : = = - Oxyz Ví dụ Trong khơng gian , cho lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C 1D1 M (1;1;2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (B1D1C ) biết góc tạo đường j max Û cosj (min) Þ d : thẳng B1D (B1D1C ) đạt giá trị lớn Phân tích: Đây tốn mà ta giải phương pháp tọa độ hóa hình học giải tích Oxyz Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O º D1, C thuộc tia Ox, A1 thuộc tia Oy, D thuộc tia Oz ( hình vẽ) Khi D1(0;0;0), B1(1;1;0), D(0;0;x), C (1;0;x) u r uuuur uuur éD B ;D C ù= (x;- x;- 1) Mặt phẳng (B1D1C ) nhận vectơ n = ê vectơ pháp tuyến ë1 1 ú û r Đường thẳng B1D nhận vectơ u = (1;1;- x) VTCP Gọi j góc B1D (B1D1C ), suy ra: sin j = = x- x +x 2 2 x + (- x) + 1 + + x 1 (2x + )(x + ) x x = = 2(x2 + )+5 x2 x 2x + x2 + £ 2.2 x2 +5 x2 , x > = Dấu xảy x = Do góc j lớn sinj lớn x = u r Với x = 1, ta có VTPT (B1D1C ) n = (1;- 1;- 1) , phương trình mặt phẳng (B1D1C ) là: x - y - z = Suy d(M,(B1 D1C )) = * Bài tập vận dụng Bài Trong không gian Oxyz , cho (Q) : 2x - y + z + = A(1;1;- 1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, vng góc với (Q) (P ) tạo với trục Oy góc lớn ĐS: - 2x + 5y + 9z + = Bài Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng D : x- y- z +2 = = - x- y- z+3 = = , điểm A(- 1;0;- 1) Viết phương trình đường thẳng d - 2 qua A , cắt đường thẳng D cho góc d D D2 : a) lớn b) nhỏ 21 ĐS: x +1 y z +1 = = x- y +2 z = = hai điểm Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : - 1 A(0;- 1;2), B(- 1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng a) x +1 y z +1 = = 2 - b) a) Chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ b) Đi qua A, B tạo với trục Oy góc lớn ĐS: a) x - y + z - = b) x + y - z + = x- y- z = = mặt - phẳng (P ) : x + y + z - = Viết phương trình đường thẳng D qua giao điểm d mặt phẳng (P ) cho góc hai đường thẳng d D đạt giá trị nhỏ x+3 y z- = = ĐS: - Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 4a, cạnh bên hình chóp 6a Khi cosin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) để thể tích khối chóp S.ABCD lớn là: ĐS: Gọi j góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) cosj = Bài Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : 22 Phần 3: Kết luận kiến nghị 3.1 Về khả áp dụng chuyên đề -Chuyên đề áp dụng để giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia -Tài liệu cho cho thầy cô tham khảo 3.2 Những thông tin cần bảo mật: Không 3.3 Ưu điểm hạn chế chuyên đề *Ưu điểm -Chuyên đề giúp học sinh giáo viên việc tìm hiểu số dạng tốn liên quan đến góc hình học giải tích Oxyz -Trình bày số ví dụ điển hình thơng qua dạng tập *Hạn chế: -Để cần thực cần phối hợp học sinh giáo viên Nếu học sinh khơng phối hợp với giáo viên khó thu kết mong đợi -Việc sưu tầm, phân loại tổng quát hóa số dạng tập góc đòi hỏi nhiều cơng sức thời gian tài liệu liên quan đến góc khơng nhiều 3.4 Một số kiến nghị - Trên số tập nâng cao góc hình học Oxyz 23 - Mặc dù tơi cố gắng song hạn chế trình độ chuyên mơn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu nhiều thiếu sót Rất mong thầy giáo đóng góp ý kiến cho tơi để tơi hồn thiện tài liệu tốt TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Trọng Quyết (Chủ biên), 2018, Bài giảng ôn thi THPT Quốc Gia theo chủ đề Hình học 12 [2]Chinh phục tập hình học giải tích Oxyz [3] Các chun đề khoảng cách góc hình học giải tích Oxyz mạng internet [4] Tơ Thị Nga (Chủ biên), 2017, Nâng cao kỹ giải toán trắc nghiệm 24 ... LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bài tốn góc hình học giải tích Oxyz thường xuyên xuất đề thi THPTQG đề thi HSG 12 số tỉnh nước Bài tốn góc hình học giải tích Oxyz thường tốn khó cho học sinh trung bình khá,... dung Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ GĨC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Góc hai vectơ r r Oxyz , Trong không gian cho hai vectơ u(a1;b1;c1) v(a2;b2;c2) Khi cơsin r r góc u v xác... Quyết (Chủ biên), 2018, Bài giảng ôn thi THPT Quốc Gia theo chủ đề Hình học 12 [2]Chinh phục tập hình học giải tích Oxyz [3] Các chuyên đề khoảng cách góc hình học giải tích Oxyz mạng internet [4]