Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ

Trang bị cho học sinh một hệ thống các bài tập liên quan đến góc trong hình học giải tích . Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.

Nội dung Trang

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

Phần 1: Mở đầu

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Bài toán về góc trong hình học giải tích Oxyz thường xuyên xuất hiện trong

đề thi THPTQG và trong đề thi HSG 12 của một số tỉnh trên cả nước Bài toán về góc trong hình học giải tích Oxyz thường là bài toán khó cho học sinh trung bình khá, đặc biệt những bài toán liên quan đến cực trị về góc thì những học sinh có lực học giỏi cũng giải quyết khó khăn

Rèn luyện kỹ năng xác định góc và viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng liên quan đến góc giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy logic, tư duythuật toán…

Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi THPTQG, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải các bài toán liên quan đến góc trong hình học giải tích Oxyz để phát triển tư duy cho học sinh

Trên thực tế, các sách tham khảo, tài liệu trên internet viết về góc còn rất hạnchế Hơn nữa những bài cực trị liên quan đến góc thường gây cho học sinh lúng túng kể cả những học sinh có lực học giỏi

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn chuyên đề: “Một số bài toán về

góc trong hình học giải tích Oxyz”

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

-Các dạng toán về góc trong hình học giải tích Oxyz.

- Phân dạng các bài toán cơ bản và nâng cao

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

- Tham khảo sách, internet, báo

-Thực tiễn giảng dạy

5 ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH :

- Học sinh lớp 12

Phần 2: Nội dungChuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.1 Góc giữa hai vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u a b cr( ; ; )1 1 1 và v a b cr( ; ; )2 2 2 Khi đó côsin

góc giữa ur và vr được xác định bởi công thức

1.2 Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D 1 có vectơ chỉ phương u a b cr1 ( ; ; )1 1 1

và đường thẳng D 2 có vectơ chỉ phương u a b cr2 ( ; ; )2 2 2 Khi đó cosin góc giữa D 1 và

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến n A Buur1( ; ;C )1 1 1

và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n A Buur2( ; ;C )2 2 2 Khi đó cosin góc giữa ( )P và

( )Q được xác định bởi công thức

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến n A Bur( ; ;C)

đường thẳng D có vectơ chỉ phương u a b cuurD( ; ; ) Khi đó sin góc giữa ( )P và D được

xác định bởi công thức

( ) ( )

Nhận xét: - Gọi j là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì 0 0 £ j £ 90 0

Vậy góc giữa mặt phẳng ( )a và (Oxy) bằng 60 0

Ví dụ 2 Tính góc giữa hai đường thẳng sau:

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )P bằng 0 0

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), (6; 1; 2),B

-( 1; 4;3), -(1;6; 5).

C - - D - Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3P x+ 4y+ 5z+ = 8 0 Gọi d

là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) :Q x- 2y+ = 1 0 và ( ) :R x- 2z- 3 = 0 Tính góc giữa d và ( )P

Phân tích: Đây là bài xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng của hình học

không gian, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết trong hình học

* Bài tập trắc nghiệm khách quan

Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )α :x y− + 2z− = 1 0 và

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P x: + 2y− 2z+ = 3 0 và

( )Q x: − 3y+ − = 5z 2 0 Cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )P Q là

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )P : 8x− 4y− − = 8z 11 0 và

π

C 3

π

D 6

π

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )α :x+ 2y mx m+ + − = 3 0 và

( )β :x y− − 4z+ 3m= 0. Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 45 0

m m

m m

m m

ï = ïïî

Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm H(2; 1; 2 − − ) là hình chiếu vuông góc

của O xuống mặt phẳng ( )P , số đo góc giữa ( )P và mặt phẳng ( ) :Q x y- - 11 = 0

bằng bao nhiêu?

A 45 0 B 30 0 C 60 0 D 90 0

Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( ): 1

y z

∆ = = và mặt phẳng

( )P : 4x+ 2y z+ − = 1 0 Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A Góc tạo bởi D và ( )P lớn hơn 30 0 B D / / (P).

Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2;3; 1 − ) , N(− 1;1;1) và P(1;m− 1; 2)

Tìm m để tam giác MNP vuông tại N

A m = - 6. B m = 0. C m = - 4. D m = 2.

Câu 14 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+ 5y- 3z- 4 = 0 và

( ) : 2Q x+ 5y+ 3z+ 10 = 0 Gọi a là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )P và ( ).Q Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

C sina + cosa = 0. D cosa = - 1.

Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0), (0;0;1)B và

Câu 19 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M N, lần lượt là trung điểm của SC SD, Khi đó côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

2.2 Các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng liên quan đến góc

* Một số ví dụ cơ bản

Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng đi qua một điểm và có mối

quan hệ song song, vuông góc với một đường thẳng hoặc mặt phẳng cho trước

Ví dụ 1 (Trích đề THPTQG 2017) Trong không gian Oxyz,viết phương trình mặt phẳng đi qua M(3; 1;1) - vuông góc với đường thẳng : 1 2 3

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x y- - 2z+ = 5 0 và

(Q) :x + =6 0 và điểm M(2; 3;1) - Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua điểm

,

M vuông góc với mặt phẳng ( )P và tạo với mặt phẳng ( )Q một góc 45 0

Phân tích: Phương trình mặt phẳng ( )a mới biết đi qua điểm M , chưa xác định được vectơ pháp tuyến nên ta sẽ gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a là

( ; ; )

nur= a b c Sau đó từ giả thiết lập các phương trình theo các ẩn a b c, , ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa các ẩn và chọn giá trị vectơ pháp tuyến bất kì, sau đó viết phương trình mặt phẳng

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )a chứa đường thẳng

ra các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn từ dữ liệu bài toán

Lời giải:

Đường thẳng D đi qua điểm M(1;0;0) và có VTCP u =r1 (1; 1; 2)

-Mặt phẳng ( )P có VTPT là nur( )P = (2; 2; 1) -

-Gọi nur= ( ; ; ) (a b c a2 +b2 +c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a

Vì phương trình mặt phẳng ( )a chứa D nên nur^ur1 hay

Phân tích: Ta cũng gọi tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a là

Gọi nur= ( ; ; ) (a b c a2 +b2 +c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a

Theo giả thiết, ta có: AB nuuur ur. = Û0 a b c- - = Û0 c= -a b

Mà ( )a và ( )P tạo với nhau một góc có số đo j thỏa mãn cos 3

ê = ê

ta cũng gọi tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )Q là nur=( ; ; )a b c , sau đó lập ra các biểu thức biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn từ dữ liệu bài toán.

Lời giải:

Ta có: D 1 đi qua điểm M(1; 1;1) - và có VTCP u =r1 (1; 1;3) - và D 2 có VTCP

2 (1; 2;1)

u =r

-Gọi nur= ( ; ; ) (a b c a2 +b2 +c2 > 0) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )a

Vì phương trình mặt phẳng ( )a chứa D 1 nên nur^ur1 hay

Mặt phẳng ( )a tạo với D 2 một góc 30 0 nên ta có:

2 0

2 1

ê = ê

Dạng 5 Viết phương đường thẳng dđi qua điểm A, nằm trong mặt phẳng ( )P

hoặc vuông góc d' và tạo với đường thẳng D một góc có số đo j

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz, cho điểm A -(3; 1;1), đường thẳng

2 :

thiết lập các phương trình theo các ẩn a b c, , ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa các ẩn

và chọn giá trị VTCP bất kì, sau đó viết phương trình đường thẳng

Lời giải:

Ta có: D đi qua điểm M(0;2;0) và có VTCP u =r (1;2;2) và ( )P có VTPT

( )P (1; 1;1)

nur =

-Gọi urd = ( ; ; ), (a b c a2 +b2 +c2 > 0) là một VTCP của đường thẳng d

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( )P nên urd ^nur( )P hay

Lời giải:

Ta có: d1 có VTCP u =r1 (1; 1;1)- và d2 có VTCP u =r2 (1; 1; 2)

-Gọi urd = ( ; ; ), (a b c a2 +b2 +c2 > 0) là một VTCP của đường thẳng d

Vì đường thẳng d vuông góc với d1 Þ a b c- + = Û 0 b= +a c

Đường thẳng d tạo với d2 một góc 60 0 nên ta có

Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với ( )P

một góc a sao cho cos 3.

5

a =

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x+ + -y z 3 = 0 và

( ) : 2Q x+ + -y z 4 = 0 Gọi đường thẳng d là giao tuyến của ( )P và ( )Q Viết

phương trình mặt phẳng ( )R chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60 0

ĐS:( ) : 2R x+ + -y z 2 2 - = 0 hoặc 2x y z- - - 2 2 + = 0.

Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x- 2y+ 5z- 1 = 0 và

( ) :Q x- 4y- 8z+ 12 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua O, vuông gócvới ( )P và tạo với ( )Q một góc có số đo a =45 0

ĐS:( ) :R x- z = 0 hoặc ( ) :R x+ 20y+ 7z = 0

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' cóA(0;0;0),

(1;0;0),

B D(0;1;0) và A'(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng chứa A C', và tạo với

mặt phẳng (Oxy) góc a thỏa mãn cos 1 .

Bài 9 Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng D đi qua A(0;1; 2)

-vuông góc với đường thẳng : 3 2

D íïï = - -= ïïî

-Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A -(2; 1;1), B(0;1; 2)- và đường thẳng

- Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của d

với mặt phẳng (OAB), D nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d

một góc a sao cho cos 5.

-Bài 11 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ -y z+ = 1 0 và hai đường thẳng 1: 1 2

ï = + ïïî

Bài 12 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua điểm

chứa đường thẳng d và tạo với ( )Q một góc có số đo nhỏ nhất

Phân tích: Phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d nên ta lấy 1 điểm bất

kì thuộc đường thẳng d thì ta sẽ được điểm đó thuộc mặt phẳng ( )P , do đó để viết được ( )P ta cần tìm VTPT của ( )P Ta gọi VTPT của ( )P là

( ; ; ) ( 2 2 2 0)

nur= a b c a +b +c > Dựa vào giả thiết đề bài ta sẽ thiết lập được phương trình tính góc ( )P và ( )Q theo hàm cosin với hai ẩn Lưu ý là với một góc j sao cho 0 0 £ j £ 90 0 thì j đạt nhỏ nhất khi cosj đạt giá trị lớn nhất

j sao cho 0 0 £ j £ 90 0 thì j đạt lớn nhất khi sinj đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm A -(1; 2;0), có VTCP u =r1 (1;2; 1)

-Đường thẳng d2 đi qua điểm B( 2;1;0) - , có VTCP u =r1 (2; 1;2)

Xét hàm số

2 2

Gọi j là góc giữa B D1 và (B D C1 1 ), suy ra:

Dấu bằng xảy ra khi x =1

Do đó góc j lớn nhất khi sinj lớn nhất khi x =1

Với x =1, ta có VTPT của (B D C1 1 ) là n =ur (1; 1; 1)- - , phương trình mặt phẳng

a) Chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.

b) Đi qua A B, và tạo với trục Oy góc lớn nhất

d và mặt phẳng ( )P sao cho góc giữa hai đường thẳng d và D đạt giá trị nhỏ nhất

ĐS: Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì cos 2.

5

j =

Phần 3: Kết luận và kiến nghị3.1 Về khả năng áp dụng của chuyên đề

-Chuyên đề được áp dụng để giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia

-Tài liệu cho cho các thầy cô tham khảo

3.2 Những thông tin cần bảo mật: Không

3.3 Ưu điểm và hạn chế của chuyên đề

- Mặc dù tôi đã cố gắng song do hạn chế về trình độ chuyên môn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu vẫn còn nhiều thiếu sót Rất mong các thầy cô giáo đóng góp

ý kiến cho tôi để tôi có thể hoàn thiện tài liệu tốt hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Trọng Quyết (Chủ biên), 2018, Bài giảng ôn thi THPT Quốc Gia theo chủ

đề Hình học 12.

[2]Chinh phục bài tập hình học giải tích Oxyz

[3] Các chuyên đề về khoảng cách và góc về hình học giải tích Oxyz trên mạng internet

[4] Tô Thị Nga (Chủ biên), 2017, Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm