SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP vẽ THÊM ĐƯỜNG PHỤ GIÚP học SINH lớp 12 GIẢI một số bài tập LIÊN QUAN đến đồ THỊ hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ GIÚP HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2021 MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tran g 1 1 2 2 16 17 17 17 Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Theo Nghị Số 29-NQ/TW “Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường’’ Bộ GD&ĐT Kể từ năm học 2016 – 2017 học sinh thi theo hình thức trắc nghiệm gồm 50 câu thời gian 90 phút Vì học sinh cần tư nhanh chóng liên hệ kiến thức để hồn thiện làm Mơn tốn học THPT mơn học với lượng lý thuyết tập tương đối nhiều, thời lượng học lớp có hạn Vì vậy, việc hướng dẫn cho học sinh kỹ phương pháp giải tập vô cần thiết Năm học 2017-2018 nghiên cứu dạng tập liên quan đến đồ thị ' hàm số y = f (x) sáng kiến kinh nghiệm tơi Hội đồng khoa học ngành xếp loại C Năm học 2018-2019 nghiên cứu dạng tập liên quan đến đồ thị hàm số y = f (x) sáng kiến kinh nghiệm tơi lại Hội đồng khoa học ngành xếp loại C Năm học 2019-2020 nghiên cứa dạng tập liên quan đến đồ thị hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) , y = f ' ( x ) y = g ' ( x ) , y = f ( x ) y = f ' ( x ) hay đồ thị ba hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) y = f '' ( x ) , sáng kiến kinh ngiệm Hội đồng khoa học ngành xếp loại C Vẫn mạch kiến thức đồ thị nghiên cứu sang dạng tập mà từ đồ thị cho ta vẽ thêm đường thẳng y=ax+b hay y=ax2+bx+c để tìm điều kiện tham số để bất phương trình f ( g ( x ) ) < m, f ( g ( x ) ) > m có nghiệm, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f ( x ) + u ( x ) , vv phần tập vận dụng có tính liên hệ cao lý thuyết lẫn thực hành, dạng tập đa dạng phức tạp xuất đề thi THPT quốc gia đề thi mẫu từ năm 2017 đến nay, khả phân tích xử lý dạng tập học sinh yếu Trước thực trạng tiếp tục chọn đề tài “Sử dụng phương pháp vẽ thêm đường phụ giúp học sinh lớp 12 giải số tập liên quan đến đồ thị hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết xây dựng cách giải tập liên quan đến đồ thị hàm số - Rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời tập trắc nghiệm phần đồ thị hàm số - Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy học môn toán học THPT, đặc biệt phần đồ thị hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức: + Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ đồ thị hàm số (chương I- Giải tích 12) + Kĩ đọc đồ thị hàm số (chương II- Đại số 10) - Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Đông Sơn năm học 2020 -2021 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ hàm số - Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng phát triển theo mục tiêu dự kiến - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu xem xét lại thành thực tiễn khứ để rút kết luận bổ ích cho thực tiễn - Phương pháp thống kê xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận SKKN * Từ đồ thị sẵn có hàm số ta làm được: + Vẽ thêm đồ thị hàm số y = a , y = ax+b , y = ax +bx+c + Xét tính tương giao với đường thẳng y = a , y = ax+b hay với parabol y = ax +bx+c * Đồ thị hàm y = f ′ ( x ) cắt trục hồnh điểm x0 x0 điểm cực trị hàm y = f ( x ) * Cơng thức tính đạo hàm hàm hợp y = f ( u ( x ) ) ⇔ y′ = f ′ ( u ( x ) ) u ′ ( x ) * Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y = f ( x ) , y = g ( x ) b đường thẳng x = a, x = b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 12 nhận rằng: - Phần lớn học sinh khả phân tích nhận dạng tập vận dụng có liên quan đến đồ thị hàm số tương đối yếu - Rất nhiều học sinh lúng túng giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số đề thi THPT Quốc gia, đề thi mẫu từ năm 2017 đến nay, đề thi thử TNTHPT trường, 2.3 Các giải pháp sử dụng sử dụng để giải vấn đề Để giúp học sinh hình thành kỹ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số nghiên cứu hình thành SKKN theo bước sau: - Đầu tiên tơi nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống tập có liên quan đến đồ thị hàm số - Sau tơi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số * Dạng 1: Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) tìm khoảng đơn điệu hay cực trị hàm số y = f ( x ) + u ( x ) - Phương pháp: + Bước 1: Tính đạo hàm y ' = f '( x ) + u '( x ) + Bước 2: Từ dồ thị cho ta vẽ thêm đường phụ y = u '( x ) + Bước 3: Dựa vào đồ thị tìm nghiệm y’, xét dấu y’ Từ ta tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số y = f ( x) + u ( x) - Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ' ¡ Đồ thị hàm số y = f ( x ) hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) − x có điểm cực trị? A C B D y O −2 x Cách giải: Đặt g ( x ) = f (x) − x ⇒ g '( x ) = f '(x) − Từ đồ thị hàm số ta vẽ thêm đường thẳng y = y y=2 O −2 x ⇒ phương trình f ' ( x) = có nghiệm bội lẻ ⇒ đồ thị hàm số y = f (x) − x có điểm cực trị Chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′( x) cho hình bên Hàm số y = −2 f ( − x ) + x nghịch biến khoảng A ( −3; − ) B ( −2; − 1) C ( −1; ) D ( 0; ) Cách giải: Ta có y′ = − ( − x ) ′ f ′ ( − x ) + x y′ = f ′ ( − x ) + x ⇒ y′ < ⇔ f ′ ( − x ) + x < ⇔ f ′( − x ) < ( − x ) − Từ đồ thị hàm số y = f ′( x) ta vẽ thêm đường thẳng y = x − (như hình vẽ bên ) Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x − cắt đồ thị y = f ′( x ) hai 1 < x1 < điểm có hồnh độ ngun liên tiếp  từ đồ thị ta thấy x =  ′ f ( x ) < x − miền < x < nên f ′ ( − x ) < ( − x ) − miền < − x < ⇔ −1 < x < Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −1; ) Chọn đáp án C Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số x3 g ( x ) = f ( x ) − + x − x + đạt cực đại điểm nào? A x = B x = C x = −1 D x = INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25436373_147132562964 6698_1258573945_n.jpg? oh=5f38a61c7797d376ac6f3a f13e255fe2&oe=5A384243" \ * MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25436373_147132562964 6698_1258573945_n.jpg? oh=5f38a61c7797d376ac6f3a f13e255fe2&oe=5A384243" \ * MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25436373_147132562964 6698_1258573945_n.jpg? oh=5f38a61c7797d376ac6f3a f13e255fe2&oe=5A384243" \ * MERGEFORMATINET Cách giải: Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x − 1) Điểm cực trị hàm số y = g ( x ) nghiệm phương trình g ′ ( x ) = tức nghiệm phương trình f ′ ( x ) = ( x − 1) suy điểm cực trị hàm số y = g ( x ) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ′( x ) ; y = x2 − 2x + Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = x − x + (như hình vẽ bên) INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25463789_1472254826220445_ 126390102_n.jpg? oh=b2db3b45e5a08f238fbe88c6754 64e8e&oe=5A3995B0" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25463789_1472254826220445_ 126390102_n.jpg? oh=b2db3b45e5a08f238fbe88c6754 64e8e&oe=5A3995B0" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://scontent.fsgn21.fna.fbcdn.net/v/t34.012/25463789_1472254826220445_ 126390102_n.jpg? oh=b2db3b45e5a08f238fbe88c6754 64e8e&oe=5A3995B0" \* MERGEFORMATINET Dựa vào đồ thị ta có BBT hàm số y = g ( x ) sau: Dựa vào BBT ta thấy hàm số y = g ( x ) có điểm cực đại x = Chọn đáp án D Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm x2 số y = f ′( x) hình bên Đặt h( x ) = f ( x) − Mệnh đề đúng? A.Hàm số y = h( x) đồng biến khoảng (−2;3) B.Hàm số y = h( x ) đồng biến khoảng (0;4) C.Hàm số y = h( x) nghịch biến khoảng (0;1) D.Hàm số y = h( x ) nghịch biến khoảng (2;4) Cách giải: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x ) − x Từ đồ thị y = f ′( x) vẽ thêm đường thẳng y = x ta suy khoảng (2;4) đồ thị y = f ′( x) nằm đường thẳng y = x Do h′ ( x ) < (2;4) Chọn đáp án D Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x − 1) + x − 12 x + 2021 nghịch biến khoảng đây? A ( 1;+ ∞ ) B ( 1;2 ) C ( −∞ ;1) D ( 3;4 ) Cách giải: 2 Ta có y′ = f ′ ( x − 1) + 3x − 12 = f ′ ( t ) + 3t + 6t − = f ′ ( t ) − ( −3t − 6t + ) , với t = x − Nghiệm phương trình y′ = hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) ; y = −3t − 6t + Vẽ đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) ; y = −3t − 6t + hệ trục tọa độ hình vẽ sau: Dựa vào đồ thị trên, ta có BXD hàm số y′ = f ′ ( t ) − ( −3t − 6t + ) sau: ( t0 < −1) Vậy hàm số nghịch biến khoảng t ∈ ( t0 ;1) Do hàm số nghịch biến khoảng x ∈ ( 1;2 ) ⊂ ( t0 + 1;2 ) Chọn đáp án B * Dạng 2: Từ đồ thị hàm số cho tìm số nghiệm phương f (u ( x )) = a hay trình tìm tham số m để phương trình f ( u ( x) ) < m, f ( u ( x) ) > m thỏa mãn điều kiện cho trước - Phương pháp: + Bước 1: Tính đạo hàm y ' = f '( x) + u '( x) (nếu cần) + Bước 2: Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đường phụ y=a hay y = u '( x ) + Bước 3: Từ đồ thị vừa vẽ biện luận số nghiệm phương trình f ( u ( x) ) < m, f ( u ( x) ) > m , hay xác định số nghiệm phương trình f (u ( x )) = a - Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm ( ) thực phương trình f x − x = A B 10 C 12  f x − x = ( )  Cách giải: Ta có f ( x − x ) = ⇔   f ( x3 − 3x ) = −  D ( 1) ( 2) Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đường thẳng y =1/2 y = -1/2  x − x = α1 ( −2 < α1 < )  ( 1) ⇔ f ( x3 − 3x ) = ⇔  x − 3x = α ( < α < )   x − x = α ( α > )  x3 − x = α ( x4 < −2 )  ( ) ⇔ f ( x3 − x ) = − ⇔  x3 − x = α ( α > )   x − x = α ( α > ) Xét hàm số y = x − x, D = ¡ 10 Ta có y ' = 3x − Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có Phương trình: x − x = α có nghiệm, phương trình: x3 − x = α có nghiệm Mỗi phương trình x - x = α , x - x = α , x - x = α , x - x = α có ( ) nghiệm Từ suy phương trình f x − x = có 10 nghiệm Chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị đường cong trơn (khơng bị gãy khúc), hình vẽ bên g ( x ) = f  f ( x )  Hỏi phương trình g ′ ( x ) = có Gọi hàm nghiệm phân biệt? A 14 C 12 B 10 D Cách giải: Ta có: g ′ ( x ) = f ′  f ( x )  f ′ ( x ) , x ∈ ¡  f ′ ( x ) = ( 1) g ′ ( x ) = ⇔ f ′  f ( x )  f ′ ( x ) = ⇔   f ′  f ( x )  = ( ) Từ đồ thị thấy: (1) có x = x1 ∈ ( −2; −1) , x = 0, x = x2 ∈ ( 1;2 ) , x = nghiệm nghiệm  f ( x ) = x1   f ( x) = Xét phương trình (2) ta có: ( ) ⇔   f ( x ) = x2  f ( x) =  f ( x ) = có nghiệm phân biệt x = −2, x = 0, x = (hai nghiệm trùng với (1)) Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đường thẳng 11 y = 2, y = x1 ∈ ( −2; −1) , y = x2 ∈ ( 1;2 ) ta thấy: f ( x ) = có nghiệm x3 , x4 , x5 tương ứng hoành độ điểm C1 , D1 , E1 f ( x ) = x1 có nghiệm x6 ứng với hoành độ điểm Z f ( x ) = x2 có nghiệm x7 , x8 , x9 tương ứng hoành độ điểm U ,V ,W Từ đồ thị thấy điểm nghiệm −2,0, 2, x1 , x2 , , x9 hồn tồn phân biệt nên phương trình g ′ ( x ) = có tổng cộng 12 nghiệm phân biệt Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị x + 1) hàm số y = f ′( x) hình vẽ bên Biết f ( 1) = g ( x ) = f ( x ) − ( 2 Mệnh đề sau đúng? A Phương trình g ( x ) = có hai nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] B Phương trình g ( x ) = khơng có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] C Phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] D Phương trình g ( x ) = có ba nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] Cách giải: Ta có g ( 1) = f ( 1) ( + 1) − 2 = f ( 1) − = g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) Từ đồ thị hàm số y = f ′( x) ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = x + (như hình vẽ bên), từ hình vẽ ta có:  x = −3 g′( x ) = ⇔ f ′( x ) = x + ⇔  x =   x = Xét hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) ; y = x + 1; x = −3; x = có diện tích S1 > ⇔ 1 −3 −3 ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx > 12 ⇔ g ( 1) − g ( −3) > ⇒ g ( −3) < g ( 1) − = Xét hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) ; y = x + 1; x = 1; x = có 3 1 diện tích S2 < ⇔ ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx < ⇔ ∫ g ′ ( x ) dx < ⇔ − g ( 3) + g ( 1) < ⇒ g ( 3) > g ( 1) − = Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên hàm y = g ( x ) [ −3;3] Từ bảng biến thiên suy phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] Chọn đáp án C Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ bên Bất f ( 2sin x ) − 2sin x < m phương trình với x ∈ ( 0;π ) 1 A m > f ( ) − B m > f ( 1) − 2 1 C m ≥ f ( 1) − D m ≥ f ( ) − 2 Cách giải: Đặt 2sin x = t Vì x ∈ ( 0;π ) nên t ∈ ( 0;2 ) t2 Bất phương trình trở thành f ( t ) − < m 2 t Đặt g ( t ) = f ( t ) − với t ∈ ( 0;2 ) Bất phương trình với t ∈ ( 0;2 ) g( t) < m max ( 0;2 ) Ta có g ′ ( t ) = f ′ ( t ) − t , g ′ ( t ) = ⇔ f ′ ( t ) = t Nghiệm phương trình khoảng ( 0;2 ) hoành độ giao điểm đồ thị y = f ′ ( t ) đường thẳng y = t với t ∈ ( 0;2 ) 13 Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = t (như hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị ta nghiệm t = 1∈ ( 0;2 ) Cũng dựa vào đồ thị ta thấy t ∈ ( 0;1) f ′ ( t ) > t ⇒ g ′ ( t ) > , t ∈ ( 1;2 ) f ′ ( t ) < t ⇒ g ′ ( t ) < Bảng biến thiên: g ( t ) = g ( 1) = f ( 1) − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max ( 0;2 ) Vậy bất phương trình cho với x ∈ ( 0;π ) m > f ( 1) − Chọn đáp án B Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x3 − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  A m ≥ f C m ≥ ( 5) f ( 0) ( ) B m ≥ f − D m ≤ f ( 5) Cách giải: 14 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x − ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −3x + Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = −3x + Từ hình vẽ ta f ′ ( x ) = −3x + ⇔ x = ∨ x = ± Ta thấy g ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈  − 5;  nên hàm số g ( x ) đồng biến  − 5;  Do đó, để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  max g ( x ) ≤ ⇔ g  − 5;    ( ) ≤ ⇔ m ≥ 23 f ( ) Chọn đáp án A * Dạng 3: Từ đồ thị hàm số cho tìm giá trị nhỏ , lớn hàm số y = f ( x ) + u ( x ) - Phương pháp: + Bước 1: Tính đạo hàm y ' = f '( x) + u '( x) + Bước 2: Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đường phụ y = u '( x ) + Bước 3: Từ đồ thị vừa vẽ ta tìm giá trị nhỏ , lớn hàm số y = f ( x ) + u ( x ) - Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số y = f (x) Biết ' hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình Trên [ −4;3] , hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( − x ) đạt giá trị nhỏ điểm nào? A x = −1 B x = C x = −4 D x = −3 Cách giải: 15 Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( − x ) [ −4;3] , Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( − x ) g ' ( x ) = ⇔ f ' ( x ) = − x ' Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng y = − x Từ đồ thị  x = −4 f ' ( x ) = − x ⇔  x = −1   x = ta thấy Bảng biến thiên hàm số g ( x ) sau: g ( x ) = g ( −1) ⇔ x = −1 Chọn đáp án A Vậy [ −4;3] Ví dụ 2: (Sở GD Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ bên Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x Khi khẳng định sau đúng? A g ( −4 ) = g ( −2 ) B g ( ) ≤ g ( ) C g ( ) < g ( ) D g ( −2 ) > g ( ) Cách giải: 16 Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − x − g '( x ) = ⇔ f '( x ) − x − = ⇔ f ' ( x ) = x + Vẽ đường thẳng y = x + thêm vào hình vẽ ta hình bên Nhận thấy hai đồ thị cắt điểm ( −2; 1) ; ( 0; 3) ( 2; 5) +) Trên khoảng ( −2; ) ( 2;+∞ ) , thấy f ′ ( x ) > x + ⇒ g ′ ( x ) > ⇒ g ( x) đồng biến x ∈ ( −2;0 ) ( 2;+∞ ) +) Trên khoảng ( −∞ ; − ) ( 0; ) , thấy f ′ ( x ) < x + ⇒ g ′ ( x ) < ⇒ g ( x) nghịch biến x ∈ ( −∞ ; − ) ( 0; ) Như vậy, ta lập bảng biển thiên g ( x ) sau: Từ bảng biến thiên trên, Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị y = f ′( x) cho hình Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề A.Không tồn g ( x ) [ −3;3] g ( x ) = g ( 1) B [ −3;3] g ( x ) = g ( 1) D max g ( x ) = g ( 3) C max [ −3;3] [ −3;3] Cách giải: 17 Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + ) = ⇔ f ′ ( x ) = x + Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = x +1 Quan sát đồ thị bên ta có hồnh độ giao điểm f ′ ( x ) y = x + khoảng ( −3;3) x = Vậy ta so sánh giá trị g ( −3) , g ( 1) , g ( 3) Xét 1 −3 −3 ∫ g ′ ( x ) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > ⇔ g ( 1) − g ( −3) > ⇔ g ( 1) > g ( −3) 3 1 Tương tự xét ∫ g ′ ( x ) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1) dx < ⇔ g ( 3) − g ( 1) < ⇔ g ( 3) < g ( 1) Xét 3 −3 −3 ∫ g ′ ( x ) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1) dx + 2∫  f ′ ( x ) − ( x + 1) dx > ⇔ g ( 3) − g ( −3) > ⇔ g ( 3) > g ( −3) Vậy ta có g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) g ( x ) = g ( 1) Chọn đáp án C Vậy max [ −3;3] Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ bên Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x Mệnh đề sau đúng? A g ( 1) > g ( ) B g ( −1) = g ( 1) C g ( 1) = g ( ) D g ( −1) > g ( 1) Cách giải: Xét hàm số h ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) Khi hàm số y = h ( x ) liên tục đoạn [ −1;1] , [ 1;2] có g ( x ) nguyên hàm hàm số y = h ( x ) Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số y = 2x +1 (như hình vẽ bên dưới)  x = −1 x =  Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng giới hạn   y = f ′( x )  y = x + 18 1 S1 = ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx = ∫  f ′ ( x ) − ( x + 1)  dx −1 −1 = g ( x) −1 = g ( 1) − g ( −1) Vì S1 > nên g ( 1) > g ( −1) x = x =  Diện tích hình phẳng giới hạn   y = f ′( x )  y = x + S2 = ∫ f ′ ( x ) − ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) − f ′ ( x )  dx = − g ( x ) = g ( 1) − g ( ) Vì S2 > nên g ( 1) > g ( ) Chọn đáp án A Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình bên Trên đoạn [ −4;3] , hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( − x ) đạt giá trị nhỏ điểm A x0 = −3 C x0 = −1 B x0 = −4 D x0 = Cách giải: Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( − x ) g′( x ) = ⇔ f ′( x ) − ( − x ) = ⇔ f ′( x ) = − x Từ đồ thị cho ta vẽ thêm đồ thị hàm số ⇔ y = − x Dựa vào hình vẽ bên ta có:  x = −4 g ′ ( x ) = ⇔  x = −1   x = Và ta có bảng biến thiên 19 Suy hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( − x ) đạt giá trị nhỏ điểm x0 = −1 Chọn đáp án C Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ Xét hàm số 3 g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2021 Mệnh đề đúng? g ( −3) + g ( 1) g ( x ) = g ( −3) A B g ( x ) = [ −3; 1] [ −3; 1] g ( x ) = g ( −1) g ( x ) = g ( 1) C D [ −3; 1] [ −3; 1] Cách giải: 3 3 Ta có: g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2021 ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x − x + 2 Căn vào đồ thị y = f ' ( x ) , ta có:  f ′ ( −1) = −2  g ′ ( −1) =    f ′ ( 1) = ⇒  g ′ ( 1) =  ′  ′  f ( −3 ) =  g ( −3 ) = Ngoài ra, vẽ đồ thị ( P ) hàm số 3 y = x + x − hệ trục tọa độ 2 hình vẽ bên , ta thấy ( P ) qua điểm 33 ( −3;3) , ( −1; −2 ) , ( 1;1) với đỉnh I  − ; − ÷  16  Rõ ràng 3 + Trên khoảng ( −1;1) f ′ ( x ) > x + x − , nên g ′ ( x ) > ∀x ∈ ( −1;1) 2 3 + Trên khoảng ( −3; −1) f ′ ( x ) < x + x − , nên g ′ ( x ) < ∀x ∈ ( −3; −1) 2 Từ nhận định trên, ta có bảng biến thiên hàm y = g ′ ( x ) [ −3;1] sau: 20 Vậy g ( x ) = g ( −1) [ −3; 1] Chọn đáp án C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy, tơi thử nghiệm với hai lớp: 12A2, 12A3 Kết kiểm tra phần tập vẽ thêm đồ thị hàm sốnhư sau: Trước tiến hành thử nghiệm: Lớp Sĩ số Số học sinh giải 12 A2 37 ( = 10,8%) 12 A3 36 ( = 8,3%) Sau thử nghiệm: Lớp Sĩ số Số học sinh giải 12 A2 37 29 (= 78,4%) 12 A3 36 27 (=75 %) Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy thấy: số lượng học sinh giải dạng tập tăng lên, chưa nhiều số học sinh có tư dạng tập tăng lên (có thể em chưa giải đúng) điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn tốn, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết dạy Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận + Để áp dụng có hiệu đề tài việc cần làm phải giúp em nắm vững lí thuyết chương Đại số 10 chương sách giáo khoa Giải tích 12 Sau tơi hướng dẫn em: - Xác định rõ bước làm dạng tập - Xây dựng hệ thống công thức tổng quát, nhận dạng nhanh dạng tập + Căn vào mục tiêu học xây dựng giáo án chi tiết cho nội dung kiến thức + Vận dụng linh hoạt hệ thống phương pháp giảng dạy Chú trọng việc tạo tình có vấn đề cách giải tập tình 3.2 Kiến nghị Thời gian tiến hành làm đề tài khơng nhiều, cịn hạn chế trình độ chun mơn số lượng tài liệu tham khảo (vì mảng tập cịn mới) nên chắn tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Mặt khác mong muốn bạn đồng nghiệp tiếp tục viết thêm skkn liên quan đến chuyên đề tơi để hồn thiện bổ sung thêm phương pháp dạy học giúp em lĩnh hội tốt chuyên đề Tôi xin chân thành cảm ơn! 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Thị Thu Thủy Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Hà 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao Sách tập Giải tích 12 nâng cao Báo toán học tuổi trẻ Các đề thi TNTHPT Quốc gia từ năm 2017 đến Các đề thi mẫu Bộ giáo dục đào tạo từ năm 2017 đến Đề thi thử trường THPT toàn quốc Tài liệu mạng xã hội 23 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hà Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Tốn trường THPT Đơng Sơn TT Tên đề tài SKKN Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải số toán liên quan ' đến đồ thị y = f (x) Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải số toán liên quan đến đồ thị y = f (x) Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải số toán liên quan ' đến đồ thị y = f (x) , y = f (x) y = f '' (x) Cấp đánh giá Kết Năm học xếp loại đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại Sở GD & ĐT Thanh hóa C 2017-2018 Sở GD & ĐT Thanh hóa C 2018-2019 Sở GD & ĐT Thanh hóa C 2019-2020 24 ... (x) Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải số toán liên quan đến đồ thị y = f (x) Sử dụng phương pháp đọc đồ thị hàm số giúp học sinh lớp 12 giải số toán liên quan ' đến. .. tài ? ?Sử dụng phương pháp vẽ thêm đường phụ giúp học sinh lớp 12 giải số tập liên quan đến đồ thị hàm số? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết xây dựng cách giải tập liên quan. .. thống tập có liên quan đến đồ thị hàm số - Sau tơi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số * Dạng 1: Từ đồ thị hàm số