SKKN nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7,8

MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp tổ chức để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 2.3.2 Tổ chức thực 2.3.2.1 Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán 2.3.2.2 Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối liên hệ để giải toán 11 2.3.2.3 Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Ngày nay, việc nâng cao chất lượng dạy học vấn đề thường xuyên có tính chất liên tục Để đạt điều này, yêu cầu người giáo viên (GV) phải có phương pháp dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tượng học sinh (HS) Tốn học mơn khó chương trình phổ thơng, đặc biệt phân mơn Hình học Khi giải tập hình học, đặc biệt tập hình học cần kẻ thêm đường phụ yêu cầu khó HS THCS Song khơng khó HS nắm vững kiến thức bản, hiểu phương pháp giải tập Thông qua số phương pháp giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ chắn em HS hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú phương pháp giải loại toán Từ tảng cho em trình giải tập hình mức độ cao hơn, phức tạp Thực tế cho thấy rằng, phương pháp chung cho việc kẻ thêm đường phụ giải tốn hình học Vì thế, giải tốn địi hỏi người HS phải có suy nghĩ lơgic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ cách có hệ thống tổng hợp Từ có cách kẻ thêm đường phụ hợp lý để đưa đến cách giải hay độc đáo Song công việc tuỳ tiện, việc kẻ thêm đường phụ phải tn theo tốn dựng hình mà biết Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học giả thiết với kết luận tốn địi hỏi HS có sáng tạo, tìm tịi, biết phân tích tổng hợp, tư Vì vậy, giải tốn hình việc xác định phương pháp yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều địi hỏi HS phải có lực trí tuệ tư khoa học hình học, cụ thể hướng giải phương pháp giải Để làm điều đó, người GV cần cung cấp cho HS đầy đủ hệ thống kiến thức bản, đặc biệt số phương pháp giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ Với đề tài “Nâng cao kỹ giải tốn hình học phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp ; ”, tơi muốn góp phần tạo nên sở để em học sinh học tốt loại tốn hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng loại tốn hình học nói chung 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang bị cho học sinh lớp ; cách có hệ thống phương pháp dạng tốn hình học có kẻ đường phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các tốn dựng hình - Các tốn chương trình THCS cần kẻ thêm đường phụ 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu tài liệu - Thu thập thông tin - Điều tra khảo sát - Thử nghiệm thực tế Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Các tốn hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với HS THCS Bởi để giải tốn dạng không yêu cầu HS nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi HS có kỹ giải tốn có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học giả thiết với kết luận tốn địi hỏi phải thực thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá Việc kẻ đường phụ để giải toán, sách giáo khoa (SGK) đề cập đến không đáng kể Do thời lượng không cho phép nên việc làm ví dụ dạng tốn lớp khơng nhiều Tuy nhiên, tập SGK, SBT lại đưa nhiều dạng toán đặc biệt tập nâng cao giải thông thường cần phải kẻ thêm đường phụ Trên thực tế, HS giải tốn dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Mà việc sâu vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có kẻ thêm đường phụ HS cịn Mặt khác, đa số HS việc nắm vững mục đích, yêu cầu kẻ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ hạn chế Các tài liệu viết riêng loại tốn nên việc tham khảo HS cịn gặp nhiều khó khăn Vì với trình bày đề tài thân tơi mong muốn nội dung tham khảo cho GV, HS để góp phần tạo nên sở cho GV dạy tốt hơn, HS hiểu làm tốt tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình dạy mơn tốn nói chung, đặc biệt phân mơn hình học nói riêng, tơi nhận thấy hầu hết em HS khơng thích ngại làm tốn hình Bởi em thấy tốn dạng khó, em khơng biết phương pháp giải giải Chính làm tơi trăn trở nhiều, GV trực tiếp dạy mơn tốn tơi suy nghĩ làm giúp em có phương pháp giải tốn hình Từ giúp em gặp tốn hình em khơng cịn ngại mà trở nên ham thích, say mê hứng thú việc tìm lời giải hay, ngắn gọn đơn giản Trước đưa vào thực sáng kiến này, tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải tốn hình có lời giải kẻ thêm đường phụ HS khối 7, trường THCS trực tiếp giảng dạy cuối năm học 2016 - 2017: Kết thu sau: Khối Tổng lớp số HS Số HS giải thành thạo Số lượng Tỉ lệ % Số HS giải chưa thành thạo Số lượng Tỉ lệ % Số HS giải Số lượng Tỉ lệ % 54 7,4 13 24,1 37 68,5 58 8,6 15 25,9 38 65,5 Qua kết nhận thấy rằng: số HS chưa biết làm, lúng túng, lơ mơ chưa giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ lớn, số em biết giải thành thạo dạng toán Từ thực tế trên, thân GV trực tiếp giảng dạy mơn Tốn trường THCS trăn trở làm để hút em HS vào môn học tạo cho em tâm lí vững vàng, khơng sợ khó, khơng ngại học phải giải tốn Hình học Và SKKN “Nâng cao kỹ giải tốn hình học phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp ; ” phương pháp mà thân muốn đưa để áp dụng nhằm nâng cao chất lượng dạy - học phân mơn Hình học nói riêng mơn Tốn học nói chung 2.3 Các giải pháp tổ chức để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp 2.3.1.1 Các yêu cầu kẻ (dựng) đường phụ a Kẻ đường phụ phải có mục đích Đối với số tốn hình để giải cần phải kẻ thêm đường phụ Vì kẻ đường phụ phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, dự đốn logic theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho toán kết luận phải tìm Nếu kẻ đường phụ khơng giúp ích cho việc chứng minh làm cho hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm việc tìm lời giải Vì vậy, tiến hành kẻ đường phụ phải đặt câu hỏi: "Kẻ đường phụ có đạt mục đích u cầu khơng ?” b Các đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định 2.3.1.2 Một số loại đường phụ thường sử dụng giải tốn hình học THCS - Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý - Nối hai điểm cho trước hai điểm xác định - Từ điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước - Từ điểm cho trước dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước 2.3.1.3.Các phương pháp sử dụng đường phụ phân dạng loại tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ * Các phương pháp sử dụng đường phụ - Kẻ thêm đường phụ để tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối liên hệ để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng * Phân dạng loại tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nửa hay gấp hai lần đoạn thẳng cho trước Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng xác định Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng Dạng 5: Tính số đo đoạn thẳng Dạng 6: Tính số đo góc 2.3.2 Tổ chức thực 2.3.2.1 Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải tốn Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng * Một cách chứng minh hai đoạn thẳng ta tạo hình sử dụng định nghĩa hay tính chất hình để giải tốn Bài 1: Cho ABC, có B = C Chứng minh: AB =AC * Phân tích: Từ kết luận toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ nào? Để chứng minh AB = AC gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ cho AB AC cạnh tam giác đó, chứng minh tam giác có chứa cạnh - Cách 1:Kẻ thêm đường phụ: Qua A kẻ tia phân giác AI góc BAC (I BC) + HD chứng minh : Ta chứng minh AB = AC cách chứng minh : ABI = ACI Để chứng minh ABI = ACI ta cần chứng minh : AIB = AIC Đến HS dễ dàng chứng minh toán * Ta kẻ thêm đư ờng phụ cách khác: - Cách 2: Qua A kẻ AH BC (H BC) + HD chứng minh : Ta chứng minh AB = AC cách chứng minh : ABH = ACH Để chứng minh ABH = ACH ta cần chứng minh : A BAH = CAH Để chứng minh : BAH = CAH ta dựa vào kiến thức tổng B H C ba góc tam giác Từ đó, ta giải tốn Kết luận: Như vậy, từ đường phụ kẻ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác Tuy nhiên, ta nên lựa chọn cách nhanh đơn giản nhất, Và hai cách ta nên chọn cách ABC, vẽ AH vng góc với BC (H BC) Trên nửa mặt Bài Cho phẳng bờ AH có chứa điểm B, dựng AD AB cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng lại dựng AE AC cho AE = AC Nối D với E, AH cắt DE M Chứng minh MD = ME * Phân tích: Từ kết luận tốn, hình cần tạo hình để từ giải toán? + Kẻ thêm đường phụ: AH) - Từ D hạ DK AH (K - Từ E hạ EN AH (N AH) + HD chứng minh: - Để chứng minh DM = ME ta chứng minh KDM = NEM - Để chứng minh KDM = NEM Ta cần chứng minh DK = EN, KDM = NEM ( so le trong) - Để chứng minh DK = EN ta chứng minh : HAB = KDA ( cạnh huyền - góc nhọn) Và HAC = NEA ( cạnh huyền - góc nhọn) Kết luận: Như cách kẻ thêm đường phụ DK EN ta giải tốn dễ dàng * Bài t ập tự luy ện C cắt I Bài : Cho ABC có  = 600 Các tia phân giác B, cắt AC, AB theo thứ tự D E Chứng minh: a ID = IE b BE + CD = BC Gợi ý: Kẻ tia phân giác BIC cắt BC K ( K BC ) Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nửa hay gấp hai lần đoạn thẳng cho trước * Chứng minh đoạn thẳng có độ dài nửa độ dài đoạn thẳng khác đoạn gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể: Cách1: Chia đơi đoạn thẳng dài chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng ngắn Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng dài Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có góc  = 120o Tia phân giác góc D qua trung điểm I cạnh AB Kẻ AH CD Chứng minh AH = DI * Phân tích: Từ kết luận tốn để chứng minh AH = DI gợi ý cho ta nghĩ đến việc tạo đoạn thẳng DI cho đoạn thẳng DI Từ phân tích ta đến kẻ thêm đường phụ nào? + Kẻ thêm đường phụ: - Qua A dựng AM DI (M DI) + HD chứng minh: Để chứng minh AH = DI Vì ADI cân A ( hai góc đáy nhau), mà AM đường cao, suy AM trung tuyến DM = DI - Để chứng minh AH = DM ta cần chứng minh : ADM = ADH ( cạnh huyền - góc nhọn) Đến HS dễ dàng chứng minh toán Bài 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền - Đối với toán GV cần gợi ý cho HS : * Phân tích: Để chứng minh AM = BC ta cần phải chứng minh điều gì? Điều gợi cho ta cần phải chứng minh: AM=BM Vậy để chứng minh AM=BM( AM = CM) Ta phải chứng minh AMB (hoặc AMC) tam giác cân M Từ phân tích đó, để chứng minh AM = BM hay AM = MC ta cần kẻ thêm đường phụ nào? +Kẻ đường phụ: - Dựng E trung điểm AC - Dựng đoạn thẳng ME +HD chứng minh:Để chứng minh AM = BC ta chứng minh AM=MC= BC - Để AM=MC ta chứng minh AMC cân M (hoặc ME đường trung trực AC) Như với việc kẻ thêm đường phụ ME HS chứng minh toán cách dễ dàng * Ta kẻ thêm đường phụ cách khác: + Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC E + Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME AC + Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME AC (E AC) GV lưu ý : Tuy đường phụ kẻ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác * Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ABC, lấy M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay AC, lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng: a) AM = DE b) AM DE Gợi ý: tia đối tia MA lấy điểm K cho MK = MA Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng tổng (hay hiệu) hai đoạn thẳng xác định Bài 1: Chứng minh “ Đường trung bình hình thang song song với hai đáy có độ dài nửa tổng độ dài hai đáy” * Phân tích:Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm đường phụ GV cần phải phân tích cho HS: Từ khái niệm“ đường trung bình” hình thang gợi cho ta liên tưởng đến định lí tương tự tam giác? Liệu định lí đường trung bình tam giác sử dụng cho lời giải tốn khơng? Từ GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa tam giác để vận dụng kiến thức có để chứng minh tốn Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể gì? +Kẻ thêm đường phụ: - Dựng đoạn thẳng BN - Kéo dài BN phía N cắt CD E + HD chứng minh: GV: Đến xuất vấn đề cần giải quyết? Ta có MN đường trung bình BEC 1 Do MN = EC Mà EC =ED + CD Nên MN = (ED + CD) - Như để chứng minh MN = ( AB + CD) ta cần chứng minh AB = ED - Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ABN = DEN (g.c.g) Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC E suy nghĩ quy việc sử dụng định lí đường trung bình tam giác (kiến thức có) để giải toán Đoạn thẳng CE tạo tổng hai đáy hình thang (phù hợp với mục đích tính chất) Như tốn khơng dùng phương pháp kẻ thêm đường phụ việc tìm lời giải trở nên khó khăn nhiều Bài : Cho tam giác ABC vuông cân ( = 90o) Lấy điểm M tuỳ ý cạnh BC (M khác B C) Chứng minh rằng: MB2 + MC2 =2 MA2 * Phân tích: Từ kết luận toán gợi cho ta liên tưởng đến định lý Py-ta-go Từ ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ cho MB MC hai cạnh tam giác vng Từ phân tích ta đến việc kẻ đường phụ ? Đến HS tự tìm cách kẻ đường phụ hướng chứng minh + Kẻ đường phụ : AB (N AB) - Từ M, dựng MN - Từ M, dựng MP AC (P AC) + HD chứng minh: Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có: - Để chứng minh MB + MC =2 MA2 ta cần chứng minh MB2 + MC2 =2(MN +NA ) Hay ta cần phải chứng minh MB =2MN2 MC =2NA2 Đến ta cần áp dụng định lý Pitago tam giác vuông cân NMB N +MN =2MN2 MB2 = NB2 Áp dụng định lý Py-ta- go vuông cân PMC P MC2 = PM 2+PC =2MP2 Đến HS cần MP = NA (tứ giác ANMP hình chữ nhật) Và dễ dàng suy điều cần chứng minh K ết lu ận: Như để giải tốn hình ta cần ý đến phương pháp thêm đường phụ kẻ Đối với việc kẻ đường phụ cần thiết giải tốn hình, cần phải xác định phân tích đề thật tốt để định hướng cho việc kẻ đường phụ Kẻ đường phụ phải có mục đích giúp cho việc giải toán đến giải nhanh đơn giản * Bài tập tự luyện AB, O trung điểm AB Trên nửa mặt Bài 1: Cho đường thẳng phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax, đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh: CD = AC + DB K Gợi ý: kéo dài CA phía A, OD phía O cắt Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng Bài 1: Cho ABC có AB < AC AD là tia phân giác * Phân tích: Từ kết luận toán gợi cho ta suy nghĩ cần tạo tam giác mà hai cạnh có độ dài BD; CD Từ so sánh góc đối diện với hai cạnh Đến ta kẻ thêm đường phụ ? *Kẻ đường phụ: - Trên AC lấy điểm E cho AE = AB BAC (D BC) Chứng minh rằng: CD > BD Ta DEC đạt theo yêu cầu Vậy điểm E yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp ta giải toán * HD chứng minh: - Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minh BD DE CD DE (CD DEACE Do để chứng minh CD > DE ta chứng minh DEC) DEC > ECD Đến dễ dàng chứng minh DEC > ECD dựa vào mối quan hệ góc ngồi tam giác Bài 2:Cho ABC ( AB = AC) , D điểm tam giác cho Chứng minh DC > DB tam giác Tương tự tốn trên, ta tìm cách tạo có hai cạnh có độ dài DC; DB Như ta cần kẻ thêm đường phụ ? B * Kẻ thêm đường phụ - Vẽ tia Ax nửa mặt phẳng bờ AC không A ADB > ADC D C chứa điểm B cho CAx = BAD - Trên tia Ax lấy điểm E cho AE = AD * HD chứng minh : - Để chứng minh DC >DB ta cần chứng minh DC > EC ( EC =BD DAB = EAC ( c.g.c).) - Để DC > EC ta chứng minh DEC >EDC - Để chứng minh DEC >EDC ta cần chứng minh AEC - AED > ADC - ADE Đến HS dễ dàng chứng minh AEC > ADC ADE = AED K ết lu ận: Nhờ có kẻ thêm đường phụ dẫn đến việc giải toán cách đơn giản Bài Cho ABC, M điểm tia phân giác ngồi góc C Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC * Phân tích: Từ kết luận tốn ta suy nghĩ tạo đoạn thẳng nhau, dựa vào quan hệ cạnh tam giác Vậy đường phụ cần kẻ đường ? + Kẻ thêm đường phụ : Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với MCcắt BC D Từ cách dựng ta chứng minh AC = CD; MA= MD Xét MBD có MD+MB>BD (Bất đẳng thức tam giác) Mà BD = CD + BC nên từ ta chứng minh MA+MB>AC+BC * Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ABC có AC > AB Tia phân giác  cắt BC D, điểm E đường thẳng AD Chứng minh: AC - AB > EC - EB Gợi ý: Trên cạnh AC lấy điểm P cho AP = AB - Trên cạnh AC dựng điểm F cho AF = AE - Nối F với I Ta IF đoạn thứ ba cần vẽ + HD chứng minh:- Để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh IF = IE; ID = IF - Để chứng minh IF = IE ta chứng minh IAE = IAF (c.g.c) - Để chứng minh IF = ID ta chứng minh DIC = FIC (g.c.g) Bằng cách vẽ thêm đường phụ IF, HS chứng minh toán cách dễ dàng * Bài tập tự luyện cân A, Â= 1400 Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa Bài : Cho ABC điểm A, kẻ tia Cx cho BA Chứng minh: AD = BC Gợi ý: Kẻ tia CE CD Trên BC lấy điểm M, N cho BAN = 400, CAM = 400 Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nửa hay gấp hai lần đoạn thẳng cho trước Bài 1: Cho ABC có BC = 2AB, M trung điểm cạnh BC D trung diểm BM Chứng minh AC = 2AD ACx = 110 Gọi D giao điểm tia Cx minh * Phân tích: Từ kết kuận tốn để chứng AC = 2AD, ta tìm cách tạo đoạn thẳng 2AD Từ tìm cách chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng AC Từ việc phân tích trên, việc vẽ thêm yếu tố phụ nào? + Kẻ thêm đường phụ: - Trên tia đối tia DA dựng điểm E cho AD = DE + HD chứng minh: Để AC =2AD ta cần chứng minh AC= AE( AE = 2AD) - Vậy để AC = AE ta chứng minh AME = AMC Đến HS dễ dàng chứng minh: AME = AMC (c.g.c) o Bài 2: Cho góc xAy = 60 Az tia phân giác xAy Từ điểm B Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az C Vẽ BD vng góc với Ay (D Ay) Chứng minh: BD = AC Từ kết luận toán, để chứng minh BD = AC ta cần phải tạo đoạn thẳng hai lần đoạn BD cho đoạn thẳng AC Từ phân tích đó,ta kẻ thêm đường phụ ? + Kẻ thêm đường phụ: - Trên tia đối tia DB lấy điểm F cho DF = DB + HD chứng minh - Để chứng minh cho 12 DB = AC ta cần chứng minh BF = AC - Để BF = AC ta chứng minh ABF = BAC (g.c.g) Đến HS chứng minh dễ dàng Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ giúp toán trở nên đơn giản Vì GV phải hướng dẫn HS xác định việc kẻ thêm đường phụ dạng toán hợp lý để dẫn đến tốn có lời giải Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng xác định Bài Trên cạnh BC ABC lấy điểm D,E cho BD = CE Qua D E vẽ đường thẳng song song AB cắt cạnh AC F G Chứng minh: DF + EG = AB * Phân tích : Từ kết luận tốn, ta có suy nghĩ cần vẽ thêm đường thẳng tổng hai đoạn thẳng cho, chứng minh đoạn thẳng doạn thẳng thứ ba Từ việc phân tích trên, ta kẻ thêm đường phụ nào? + Kẻ thêm đường phụ: - Trên tia đối tia DF lấy điểm M cho DM = EG + HD chứng minh - Để chứng minh FD + EG = AB ta cần chứng minh FD+MD=AB - Để chứng minh FD + MD = AB ta cần chứng minh AB =FM - Để AB =FM ta cần chứng minh BM //AF (hai góc có vị trí so le nhau) Đến HS dễ dàng chứng minh tốn Kết luận: Hồn tồn tương tự vẽ thêm điểm N tia đối EG cho EN = DF *Ta giải tốn theo cách kẻ thêm đường phụ theo cách khác: 1) Vẽ đoạn thẳng hiệu đoạn thẳng thứ ba hai đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng lại + Kẻ thêm đường phụ: - Trên cạnh AB lấy điểm I cho BI =EG + HD chứng minh - Để DF + EG =AB ta cần chứng minh AI+BI = AB Đến ta cần chứng minh AI = DF Và tương tự ta vẽ thêm điểm K cạnh AB cho BK = DF 2) Vẽ thêm đoạn thẳng ‘bù thêm’ hai đoạn thẳng cách thích hợp chứng minh đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba đoạn thẳng bù thêm đoạn thẳng + Kẻ đường phụ : - Qua A kẻ Ax//BC cắt DE P + HD chứng minh Để DF + EG = AB ta chứng minh AB = DP Mà DP = DF + FP Nên ta cần chứng minh FP = EG 13 Đến ta cần chứng minh APF = CEG (g.c.g) Tương tự ta thể vẽ thêm AQ//BC (Q EG) chứng minh được: AB = DF + EG = 90 ; Oz tia phân giác Bài : Cho xOy o Trên tia Oz lấy điểm A, từ A kẻ AB Ox, AC Oy (B Ox ; C Oy) D điểm tuỳ ý đoạn thẳng OB Nối A với D Tia phân giác góc CAD cắt Oy E Chứng minh: AD = CE + BD * Phân tích: Ta chọn cách giải tạo đoạn thẳng có độ dài CE + BD cần chứng minh đoạn thẳng AD xong Xuất phát từ suy nghĩ yếu tố phụ cần kẻ ? + Kẻ đường phụ: Trên tia đối tia BO lấy điểm F cho BF = CE AD = CE +BD ta + HD chứng minh: Để cần chứng minh AD = BF + BD Mà BF + BD = DF Do cần chứng minh AD = DF - Để chứng minh AD = DF ta cần chứng minh ADF cân D ADF cân D ta chứng - Để chứng minh minh DAF (Vì có CAE = = DFA Lại có Đến HS dễ dàng chứng minh DAF + EAD BFA + BAF = 90 BAF (c.g.c) suy CAE = BAE o o Có CAE =DFA +DAB= 90 o Hay EAD + BAF + DAB = 90 suy DFA = DAF ) Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng Bài 1: Cho ABC AB < BC Đường phân giác B cắt AC D Chứng minh rằng: DA< CD * Phân Từ kết luận toán gợi cho ta tích: suy nghĩ đến nội dung kiến thức có ? Ta thấy CD DA hai cạnh hai tam giác BCD BAD Vậy ta liên tưởng đến định lý quan hệ cạnh góc tam giác khơng? Liệu áp dụng định lý quan hệ góc cạnh đối diện tam giác không? áp dụng vào tam giác nào? Từ ta cần phải làm gì? Bằng số câu hỏi gợi mở cho HS Đến em tự tư nghĩ cách tích cực, sáng tạo đến tự tìm đến lời giải Để làm điều ta cần phải kẻ thêm đường phụ cho yếu tố CD DA có tam giác Từ phân tích tổng hợp theo mục đích đề ra, ta đến việc kẻ thêm đường phụ dựa sở ABC AB < BC ta dựng tam giác BCD ? + Kẻ thêm đường phụ: - Kéo dài BA phía A, lấy điểm E cho BE = BC - Dựng đoạn thẳng DE; EC + HD chứng minh - Từ cách dựng ta có BCD = BED (c.g.c) CD=ED 14 - Từ việc chứng minh AD < CD ta đến chứng minh AD < ED Và ED DA cạnh ADE điều cần chứng minh đến rõ ràng đơn giản Từ việc chứng minh AD < DE Ta suy chứng minh dễ dàng DA góc ngồi ABC DEA < DAE Điều E Bài M điểm nằm đoạn thẳng AD Chứng minh MB - MC < AB - AC * Phân Từ điều cần chứng minh : tích: MB - MC < AB - AC giả thiết AD tia phân giác phụ cho từ kiến thức học có mối quan hệ với giả thiết kết luận tốn Từ việc phân tích ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ nào? *Kẻ đường phụ: - Trên tia AB lấy điểm E cho AE = AC Khi ta có: AB - AC = EB ME = MC ( AME = AMC ( c.g.c )) MEB cho ta MB - ME < EB Từ suy MB - MC < AB - AC Kết luận: Như có lời giải toán đơn giản cách vẽ thêm đường phụ Dạng : Tính số đo đoạn thẳng Bài : Cho ABC (AB = AC); A = 300 ; BC = 2cm = 600 Tính độ dài AD * Phân Để tính độ dài AD, ta nghĩ tích: tạo để có đoạn thẳng đoạn thẳng AD mà tính độ dài dựa vào yếu tố toán cho : Cho ABC có AB > AC; AD tia phân giác BAC BAC gợi cho ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD Chẳng hạn: Từ ABC cân A; CBD = 60 Từ ta suy nghĩ đến việc kẻ đường phụ nào? + Kẻ đường phụ: - Dựng đường phân giác góc A - Dựng điểm I thuộc tia phân giác A cho + HD chứng minh Đến từ việc tìm độ dài AD ta chứng minh độ dài AD = BI.( độ dài BI tính được) - Để chứng minh AD =BI ta chứng minh ADM = BIM (g.c.g) (M giao điểm BD AI) Từ tính BI cách dễ dàng BI = BC2 = (cm) BIC =1v AD = Bài 2: 2 cm Cho tam giác vuông cân ABC A, M điểm nằm tam giác ABC cho MA = 2cm; MB = 3cm, o AMC = 135 Tính độ dài đoạn thẳng MC * Phân tích : có BAC = 90o Từ giả thiết tốn: ABC o ABC = ACB =45 ( D BC) 15 Ta có 135o = 90o + 45o Từ phân tích giúp ta nghĩ việc vân dụng kiến thức định lý Pytago tam giác vuông cân để tạo tam giác vng cho có cạnh MC hai cạnh tìm độ dài Từ phân tích ta kẻ đường phụ ? + Kẻ đường phụ : - Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B Dựng ADM vuông cân A + HD chứng minh Trong MCD vng M để tính độ dài MC ta cần tính MD DC - Tính MD dựa vào tam giác vng cân AMD A có cạnh góc vng AD = AM = 2cm - Tính DC ta chứng minh DC = MB dựa vào ADC = AMB (c.g.c) Như nhờ việc kẻ thêm đường phụ mà HS giải tốn dễ dàng Dạng 6: Tính số đo góc Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có Â=80o Gọi D điểm nằm tam giác cho DBC =10o ; o DCB =30 Tính số đo BAD * Phân tích:Tam giác ABC (AB = AC),  =80o suy o ABC = ACB =50 Mà DBC =10o; DCB =30o cần tìm số đo BAD Từ phân tích để tính số đo BAC ta cần phải nghĩ đến việc vẽ tam giác + Kẻ thêm đường phụ: - Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác BEC + HD chứng minh: - Để tính số đo BAD ta cần tính ABD ADB - Ta ABD = ADB có ABD cân B (BA= BD) Đến ta cần chứng minh BA = BD HS chứng minh BA = BD cách dễ dàng cách chứng minh EBA = CBD ( ABE = CBD = 10o) BE = BC ( BEC đều) , BEA = BCD = 30o) Như nhờ việc kẻ thêm yếu tố phụ mà HS đưa toán từ tưởng chừng khó tốn đơn giản Bài 2: Cho ABC cân A có A = 20o điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh bên AB, AC cho BCM = 50o, CBN = 60o Tính MNA * Phân tích: Từ kết luận tốn, để tính MNA ta cần phải tạo góc cho có quan hệ với MNA giả thiết cho Từ ta kẻ thêm đường phụ nào? + Kẻ thêm đường phụ: - Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AN - Dựng đoạn thẳng ND, CD, MI (I giao điểm CD BN) + HD chứng minh: Bằng cách dựng ta có DN//BC o AND = ACB = 80 Như để tính MNA ta cần tính MNA 16 Ta có tam giác BIC tam giác DIN tam giác Để tính DNM ta cần chứng minh NM tia phân giác DNI Bằng cách chứng minh MDN = MIN (1) Vì: Ta có: MDI = MDN - NDI =100o- 60o = 40o Ta cần tính MID Ta có BCM cân B ( BMC = BCM BC=BM BI=BM BIM cân B có MBI =20o = 50o) BIM =80 o o MID = 40 (2) Từ (1) (2) MDI cân M, MD = MI MDN = MIN (c.c.c) Đến ta dễ dàng tính MNA = 30o + 80o = 110o 2.3.2.3: Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng * Phương pháp phản chứng phương pháp chứng minh gián tiếp, để chứng tỏ kết luận toán đúng, ta chứng tỏ phủ định kết luận sai Bài Chứng minh : “Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song hai góc đồng vị nhau” * Phân tích: Từ kết luận toán, phương pháp chứng minh phản chứng ta giả sử hai góc đồng vị khơng Giả sử A1 B1 hai góc đồng vị A1 không B1 Vậy ta cần vẽ thêm đường phụ nào? + Kẻ đường phụ: xy tạo với - Qua B kẻ đường thẳng đường thẳng c góc ABy = A1 + HD chứng minh Theo cách dựng ta có xy //a xy a tạo thành hai góc đồng vị nhau.Nhưng qua B, theo tiên đề Ơclít có đường thẳng song song với a Vậy đường thẳng xy b ABy = B1 A1 = B1 Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có góc 300 cạnh đối diện với góc nửa cạnh khác tam giác tam giác vng * Phân tích: Từ kết luận tốn, phương pháp chứng minh phản chứng ta chứng minh tam giác khơng vng o - Xét Ta giả sử BAC ABC có B =30 ,AC= o BC Chứng minh BAC =90 o 90 Điều gợi cho ta kẻ đường phụ nào? + Kẻ đường phụ: - Từ C dựng CH AB ( H A) + HD chứng minh Cách 1: - Từ cách dựng ta có: HC < AC.Ta cần điều mâu thuẫn với giả thiết - Tam giác vng HBC có B = 30o nên CH = BC Mà AC= BC (gt) CH = CA.Điều mâu thuẫn với HC < AC (cách dựng) Điều giả sử sai 17 Vậy BAC phải 90o ABC vuông A Cách 2: - Theo cách dựng ta có: Tam giác vng HBC có = 30o 1 BC B MàAC= BC (gt) CH = CAAHC cân tai C H = A Vậy 2một tam giác khơng thể có hai góc 90o điều giả sử sai Vậy góc A phải 90o Bài 3.: Tam giác ABC có = 60 o ;BC= =90 Chứng minh: B C o * Phân tích : Từ kết luận toán, phương pháp chứng minh phản chứng ta giả sử ACB 90o Vậy kẻ đường phụ ? + Kẻ đường phụ: - Từ A dựng AH BC (H C) + HD chứng minh Từ cách dựng ta có AHB o o vng H có B = 60 (gt) Suy BAH = 30 , suy BH = AB ( từ kết 1) MàBC= AB (gt)nên C H (mâu thuẫn) = 90 o Bài Vậy ACB ABC có ba góc nhọn, đường phân giác AD, đường trung tuyến BM đường cao CH đồng qui Chứng minh rằng: Â> 45o * Phân tích: Từ kết luận toán Bằng phương pháp chứng minh phản chứng : Giả sử  45o Từ để chứng minh điều ta cần kẻ thêm đường phụ nào? + Kẻ đường phụ: - Kẻ Hx tia đối tia HA - Trên tia Hx lấy điểm E cho HE = HA - Qua O dựng đoạn thẳng EF (O giao điểm AD, BM, CH.) (F AC) - Dựng đoạn EC + Chứng minh: 45o CEA = CAE Từ HE = HACEA cân C o 90 Ta chứng minh o ) Và điều vơ lí ( trái với giả thiết cho Chứng minh điều cách chứng tỏ B tia Ex Thật vậy: EAC có EA > EC (vì EA đối diện với góc lớn hơn) Mà EF phân Do ACE ACB > ACE ACB < 90 giác AEC (ba đường phân giác đồng qui) Suy AF > FC AF > AC 18 Vì M trung điểm AC (gt) nên M nằm A F B Ex o o Do ACB > ACE Mà ACE 90 ACB > 90 ( trái với giả thiết) Vậy  > 450 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua thực nghiệm phương pháp hướng dẫn HS giải số tốn hình7 ; có kẻ thêm đường phụ khối 7, trường THCS mà trực tiếp giảng dạy cuối năm học 2016 - 2017, kết thu sau: Kết khảo sát cuối năm học 2016 - 2017: Khối Tổng lớp số HS Số HS giải thành thạo Số lượng Tỉ lệ % Số HS giải chưa thành thạo Số lượng Tỉ lệ % 54 7,4 13 58 8,6 15 Kết học kì I năm học 2017- 2018: Khối Tổng lớp số HS Số HS giải thành thạo Số lượng Tỉ lệ % 24,1 25,9 Số HS giải chưa thành thạo Số lượng Tỉ lệ % Số HS giải Số lượng Tỉ lệ % 37 38 68,5 65,5 Số HS giải Số lượng Tỉ lệ % 54 10 18,5 27 50 17 31,5 58 12 20,7 26 44,8 20 34,5 Qua kết nhận thấy việc hướng dẫn HS giải số tốn hình 7, có kẻ thêm đường phụ giúp cho HS giải tốn hình mà lâu em vấn đề nan giải Kinh nghiệm qua việc giảng dạy tốn hình cho thấy để HS có kỹ giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ, GV phải hướng dẫn HS tự phân tích đề tốn để tìm cách vẽ đường phụ phù hợp cần vẽ Từ đó, giúp HS giải tốn hình khơng cũn khú khn Nhng để nắm vững đợc bớc phân tích đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ kiến thức bản, biết liên hệ kiến thức t¬ng tù Đây phần rât quan trọng định đến lời giải toán Bởi lẽ, trình phân tích rõ ràng, cụ thể, xác giúp HS dễ dàng nhận đường phụ Và từ giúp em có kỹ độc lập sáng tạo ,phát huy tính tự giác tích cực học tập hình thành cho em số phương pháp kỹ làm toán Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận: Qua việc thực nghiệm dạy tốn hình có kẻ thêm đường phụ khối lớp trường THCS thân thấy: hầu hết HS khơng cịn quan niệm việc kẻ đường phụ công việc mà GV làm được, em tự làm, đặc biệt em khơng phải mị mẫm để tìm đường phụ mà phân tích đề tổng hợp kiến thức có mà tự tìm cho cách kẻ thêm đường phụ hợp lý để dẫn đến việc tìm lời giải tốn dễ dàng đơn giản Thậm chí có toán phương pháp kẻ thêm đường phụ mà cho lời giải hay hơn, ngắn gọn Và nhờ việc kẻ thêm đường phụ mà toán cho em nhiều cách giải khác ứng với cách kẻ thêm đường phụ khác Để từ em lựa chọn cách dễ hiểu nhất, ngắn gọn hay để trình bày Đặc biệt, HS giỏi sử dụng linh hoạt phương pháp kẻ thêm đường phụ vào việc giải tốn hình khó, phức tạp, em vận dụng sáng tạo trình giải tập Điều giúp em say mê hứng thú học tập 19 3.2 Kiến ngh Để giáo viên có hội học hỏi kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp, rút kinh nghiệm cho thân trình giảng dạy Đề nghị Phòng giáo dục tổ chức buổi sinh hoạt ngoại khoá cho giáo viên, giới thiệu sáng kiến hay, có giá trị cho học tập XC NHN CA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thọ xuân, ngày 23 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Bùi Thị Hiền 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính NĂM XUẤT BẢN 2009 Phan Đức Chính STT TÊN TÁC GIẢ TÊN TÀI LIỆU NHÀ XUẤT BẢN SGK toán NXB Giáo dục 2009 SGK tốn NXB Giáo dục Phan Đức Chính 2009 SGK tốn NXB Giáo dục Phan Đức Chính 2009 SGK tốn NXB Giáo dục Tơn Thân 2010 Sách tập toán NXB Giáo dục Tơn Thân 2010 Sách tập tốn NXB Giáo dục Tơn Thân 2010 Sách tập tốn NXB Giáo dục Tôn Thân 2010 Sách tập toán NXB Giáo dục 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Chức vụ : Đơn vị công tác: Bùi Thị Hiền Giáo viền Trường THCS Tây Hồ Cấp đánh TT Tên đề tài SKKN Rèn khả tư sáng tạo giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Phòng Giáo Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Năm học việc giải tốn hình học lớp cho học sinh giỏi dục Thọ Xuân B 2011 - 2012 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốt Phòng Giáo Xếp loại Năm học dạng tập vận dụng định lí Vi-Ét phương trình bậc hai dục Thọ Xuân C 2014 - 2015 Rèn khả vận dụng kiến thức Phòng Giáo Xếp loại Năm học để giải tập qua tiết luyện tập hình học phẳng lớp dục Thọ Xuân B 2016 - 2017 22 ... ? ?Nâng cao kỹ giải toán hình học phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp ; ”, tơi muốn góp phần tạo nên sở để em học sinh học tốt loại tốn hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng loại tốn hình. .. ngại học phải giải tốn Hình học Và SKKN ? ?Nâng cao kỹ giải tốn hình học phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp ; ” phương pháp mà thân muốn đưa để áp dụng nhằm nâng cao chất lượng dạy - học. .. HS giải số tốn hình 7, có kẻ thêm đường phụ giúp cho HS giải tốn hình mà lâu em vấn đề nan giải Kinh nghiệm qua việc giảng dạy toán hình cho thấy để HS có kỹ giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ,