SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP đọc đồ THỊ hàm số GIÚP học SINH lớp 12 GIẢI một số bài tập LIÊN QUAN đến đồ THỊ

MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… Trang 1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 16 17 17 3.2 Kiến nghị 17 Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Theo Nghị Số 29-NQ/TW “Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường’’ Bộ GD&ĐT Kể từ năm học 2016 – 2017 học sinh thi theo hình thức trắc nghiệm gồm 50 câu thời gian 90 phút Vì học sinh cần tư nhanh chóng liên hệ kiến thức để hồn thiện làm Mơn tốn học THPT môn học với lượng lý thuyết tập tương đối nhiều, thời lượng học lớp có giới hạn Vì vậy, việc hướng dẫn cho học sinh kỹ phương pháp giải tập vô cần thiết Những tập mà từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm hàm số y  f (x) , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f (x) đoạn, vv phần tập có tính liên hệ cao lý thuyết lẫn thực hành, dạng tập đa dạng phức tạp xuất đề thi THPT quốc gia năm 2017, đề thi mẫu năm 2018 khả phân tích xử lý dạng tập học sinh yếu Trước thực trạng mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết xây dựng cách giải tập liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) - Rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời tập trắc nghiệm phần đồ thị hàm số y  f '(x) - Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn học THPT, đặc biệt phần đồ thị hàm số y  f '(x) 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức: + Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ đồ thị hàm số + đặc biệt kĩ đọc đồ thị hàm số - Học sinh: lớp 12A5, 12A6 trường THPT Đông Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ hàm số y  f '(x) - Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng phát triển theo mục tiêu dự kiến - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu xem xét lại thành thực tiễn khứ để rút kết luận bổ ích cho thực tiễn - Phương pháp thống kê xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận SKKN * Từ đồ thị sẵn có hàm số ta làm + Tìm giao điểm với trục Ox + Xét dấu hàm số qua giao điểm * Hàm số y  f (x) xác định có đạo hàm y  f '(x) tập K + Nếu f '(x)  có nghiệm đổi dấu qua nghiệm hàm số y  f (x) đạt cực trị điểm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 12 nhận rằng: - Phần lớn học sinh khả phân tích nhận dạng dạng tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) tương đối yếu - Rất nhiều học sinh lúng túng giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) đề thi THPT Quốc gia, đề thi mẫu năm 2018, đề thi thử TNTHPT trường, 2.3 Các giải pháp sử dụng sử dụng để giải vấn đề Để giúp học sinh hình thành kỹ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) nghiên cứu hình thành SKKN theo bước sau: - Đầu tiên tơi nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống tập có liên quan đến đồ thị hàm số - Sau tơi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) * Dạng 1: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm hàm số hay đồ thị hàm số y  f (x) - Phương pháp: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) giả thiết toán ta lập hệ phương trình để tìm hệ số hàm số y  f (x) - Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c với  a �0  có đồ thị hàm số y  f '(x) hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y  f (x) tiếp xúc với đường thẳng y  2 đồng thời qua điểm M  2; 14  Giá trị biểu thức P  a  b  c là? A P  a  b  c   B P  a  b  c   C P  a  b  c   D P  a  b  c  2 2 Giải : Từ hình vẽ đồ thị hàm số y  f '  x   4ax  2bx cho ta nhận thấy rằng: f '  1  4 � 4a  2b  4 � 2a  b  2 Hơn nữa, ta có a  0, b  đồ thị hàm số có điểm cực đại để đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với đường thẳng y  2 c  2 Mặt khác đồ thị hàm số qua điểm M  2; 14  nên 16a  4b  c  14 Do ta tìm a   , b  1, c  2 nên P  a  b  c   2 Chọn đáp án A 2 Ví dụ 2: Cho y  f  x   ax  bx  cx  d với a, b,c,d  �, a (C) Biết (C) tiếp xúc với đường thẳng y  có đồ thị 13 điểm có hồnh độ dương đồ thị hàm số y  f '(x) cho hình vẽ bên Giá trị 3a  2b  c  d là? A B C D Giải : Tìm a, b, c ta tính f '  x   3ax  2bx  c sau giải hệ sau: � a � f ' 2  � 12a  4b  c  � � � � f '  2   � � 12  4b  c  � � b0 � � � � c4 c4 f ' 0  � � � � Vậy f  x    x  4x  d Để tìm d ta ý (C) tiếp xúc với đường thẳng y 13 13 tức y  điểm cực trị x  2 x  (Được suy 3 nghiệm phương trình f '  x  giao điểm đồ thị hàm số f  f '  x  với trục hồnh - Xem hình ban đầu) Mặt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng y  ta cần giải phương trình y  13 điểm có hồnh độ dương 13 tìm d  1 Chọn đáp án D Ví dụ 3: Cho y  f  x   ax  bx  cx  d với a, b,c,d  �, a có đồ (C) Biết đồ thị hàm số y  f '(x) cho hình vẽ bên điểm cực đại đồ thị (C) nằm trục tung có tung độ Xác định giá trị P  a  b  c  d A P  B P  C P  D P  Giải : � f ' 0  � f ' 2  � Tương tự trên, ta giải hệ: � f '  1  1 � � f  0  � Chọn đáp án A Ví dụ 4: (trích mã đề 102 thi TNTHPT năm 2017) Cho hàm số y  f ( x) Đồ thị hàm số y  f '(x) hình bên Đặt g ( x)  f ( x)  ( x  1) Mệnh đề ? y A g ( 3)  g (3)  g (1) B g (1)  g (3)  g (3) C g (3)  g ( 3)  g (1) D g (1)  g (3)  g ( 3) 3 O 3x Giải: y g '( x)  f '( x)  x  g '( x)dx  g (3)  g (1) � 3 1 3 g '( x )dx  � (2 f '(x)  x  2)dx có � 3x O xét hàm số y  f '(x)  x  dựa vào cơng thức tính thể tích S1  � ( 2 f '(x)  x  2) dx  � g (3)  g (1) Tương tự ta có g (1)  g (3)  g ( 3) Chọn đáp án D Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '(x) hình bên Biết f  a   0, hỏi đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành nhiều điểm? A điểm B điểm C điểm D điểm Giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '(x) ta có BBT hàm số y  f  x  có dạng hình vẽ x � y' a - f  a y + f  b � c b - + f  c Do f  a   nên đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành nhiều điểm f  c   Chọn đáp án D Ví dụ 6: Các hàm số f  x  , g  x  h  x  xác định có đạo hàm � Các hàm số có đồ thị tương ứng hình (1), (2), (3) đồng thời hàm số f '  x  ,g '  x  , h '  x  có đồ thị số hình (a), (b), (c) Hãy tương ứng đồ thị hàm số đạo hàm �  1   a  � A �    c  �  3   b  � �  1   c  � B �    b  �  3   a  � �  1   b  � C �    a  �  3   c  � �  1   c  � D �    a  �  3   b  � Đáp án D * Dạng 2: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x  - Phương pháp: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) ta khoảng mà f '(x)  0, hay f '(x)  Bước 2: Từ ta tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x - Các ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số f  x  xác định �và có đồ thị hàm số y  f '(x) đường cong hình vẽ Mệnh đề sau ? A f  x  đồng biến khoảng  1;  B f  x  nghịch biến khoảng  0;  C f  x  đồng biến khoảng  2;1 D f  x  nghịch biến khoảng  1;1 Giải: x  2 � Dựa vào đồ thị hàm số y  f '(x) ta thấy f '  x   � � 0 x2 � x2 � f ' x   � � Do hàm số f  x  nghịch biến khoảng  0;2  2  x  � Chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) Biết f (x) có đạo hàm f '(x) hàm số y  f '(x) có đồ thị hình vẽ sau Kết luận sau đúng? A Hàm số y  f (x) có điểm cực trị B Hàm số y  f (x) đồng biến khoảng  1;3 C Hàm số y  f (x) nghịch biến khoảng  �;  D Đồ thị hàm số y  f (x) có điểm cực trị chúng nằm hai phía trục hồnh Giải: Vì y '  có nghiệm phân biệt nên hàm số y  f (x) có điểm cực trị Do loại hai phương án A, D Vì  �;2  f '(x) nhận dấu âm dương nên loại C Vì  1;3 f '(x) mang dấu dương nên y  f (x) đồng biến khoảng  1;3 Chọn đáp án B Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x) xác định liên tục � đồng thời có đồ thị hàm số y  f '(x) hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số y  f (x) đồng biến  2; 1 B Hàm số y  f (x) đồng biến  1;� C Hàm số y  f (x) nghịch biến  1;0  D Hàm số y  f (x) đồng biến  1;0  Giải tương tự hai ví dụ ta chọn đáp án D Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm � Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y  f '(x) ( y  f '(x) liên tục �) Xét hàm số g  x   f  x   Mệnh đề sai ? A Hàm số g  x  nghịch biến  �; 2  B Hàm số g  x  đồng biến  2; � C Hàm số g  x  nghịch biến  1;0  D Hàm số g  x  nghịch biến  0;2  Giải: Xét hàm số g  x   f  x   �, có g '  x    x   f '  x    x f '  x   ' Phương trình x0 � x0 � � g '  x   � x f '  x    � � �� x   1 � �f '  x    � x2   � x0 � � x  �1 � � x  �2 � Với x  � x   mà f '  x   0, x � 2; � suy f '  x    0, x � 2; � Bảng biến thiên x f '  x2  2 � g  x 2 +  1  +  + 0     � + + Chọn đáp án C Ví dụ (trích đề minh họa thi TNTHPT quốc gia 2018) Cho hàm số y  f (x) Hàm số y  f '(x) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y  f   x  đồng biến khoảng sau đây? A  1;3 B  2; � C  2;1 D  �; 2  Giải: f   x � '  f '   x    x  '   f'   x   � f '   x   Ta có � � �  x  1 x3 � � �� Dựa vào đồ thị ta có: f '   x   � � 1 2 x  2  x  � � Vậy hàm số đồng biến  2;1 Chọn đáp án C * Dạng : Từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm điểm cực trị hàm số y  f (x) hay hàm số g(x) có liên quan đến hàm y  f (x) + Phương pháp: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) ta nghiệm phương trình f '(x)  Bước 2: nhận xét: + Nếu qua nghiệm mà f '(x) đổi dấu từ âm sang dương hàm số y  f (x) đạt cực tiểu + Nếu qua nghiệm mà f '(x) đổi dấu từ dương sang âm hàm số y  f (x) đạt cực đại + Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  f (x) xác định có đạo hàm f '  x  Biết hình bên đồ thị hàm số f '  x  Khẳng định sau cực trị hàm số f (x) A Hàm số f  x  đạt cực đại x  1 B Hàm số f  x  đạt cực tiểu x  C Hàm số f  x  đạt cực tiểu x  2 10 D Hàm số f  x  đạt cực đại x  2 Giải: Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  ta thấy f '  x  đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số f  x  f '  x  không đổi dấu qua điểm x  2 nên x  2 điểm cực trị Chọn đáp án B Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị f '  x  khoảng K hình vẽ bên Khi K, hàm số y  f (x) có điểm cực trị? A B C D Giải: Phương trình f '  x   có nghiệm, có nghiệm kép tiếp xúc Dạng phương trình f '  x    x  x1   x  x  Do hàm số y  f (x) có điểm cực trị Chọn đáp án A Ví dụ 3: Cho hàm số y  f (x) liên tục � Biết đồ thị hàm số y  f '(x) cho hình vẽ bên Vậy hàm số y  g  x   f  x   x2 có điểm cực đại ? A B C D Giải : 11 Trước tiên ta nhắc lại kiến thức: Điểm cực đại hàm số g  x  điểm mà hàm số chuyển từ đồng biến  g '  x    thành nghịch biến  g '  x    Mặt khác g '  x   f '  x   x ta vẽ thêm đường thẳng y  x hình vẽ bên xét dấu biểu thức g '  x   f '  x   x vẽ Ta nhận xét hàm số g  x  có cực đại Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) liên tục có đạo hàm  0;6 Đồ thị hàm số y  f '(x) đoạn  0;6 cho hình bên Hỏi hàm số y� f  x � � � có tối đa cực trị A B R C D y Giải: Đáp án C Ví dụ 5: (trích đề khảo sát lần trường THPT Đông Sơn năm 2018) Cho hàm số y  f (x) xác định R có đồ thị f '  x  hình vẽ -1 O -1 x -2 12 Đặt g  x   f  x   x Hàm số g  x  đạt cực đại điểm sau đây? A x  B x  C x  D x  1 Giải: Ta có: g '  x   f '  x   � f '  x  x0  � 1 � � x0  � � x  1 � g '  x   � f '  x   � x � �; 1 � 2; � g '  x   � f '  x   � x � 1;1 � 1;2  Ta có BBT: x � g ' x  1 + - � - + g x Ta thấy qua x  1 g '  x  đổi dấu từ dương sang âm, qua x  g '  x  khơng đổi dấu (ln mang dấu âm) qua x  2, g '  x  đổi dấu từ âm sang dương Vậy x  1 điểm cực đại hàm số y  g  x  , x  điểm cực tiểu hàm số y  g  x  Chọn đáp án D * Dạng 4: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  f (x) đoạn [a;b] + Phương pháp: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f '(x) ta lập bảng biến thiên hàm số y  f (x) [a;b] Bước 2: Từ BBT ta đưa kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f (x) [a;b] + Các ví dụ minh họa 13 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  Đồ thị hàm số y  f '(x) cho hình vẽ bên Biết f    f  3  f    f   Giá trị nhỏ giá trị lớn f  x  đoạn [0;5] A f   ,f   B f   ,f   C f  1 ,f   D f   ,f   Giải: Từ đồ thị y  f '(x) đoạn [0;5] , ta có bảng biến thiên hàm số y  f (x) hình vẽ bên x f ' x  - + f  x � f  x   f  2 Suy  0;5 CT Từ giả thiết, ta có f    f  3  f    f   � f    f    f    f   Hàm số f (x) đồng biến  2;5 � f  3  f   � f    f    f    f    f    f   � f    f   f  x    f   ;f     f   Suy max  0;5 Chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho hàm số y  f (x) xác định liên tục � 7� 0; , có đồ thị hàm số y  f '(x) hình vẽ bên Hỏi � � 2� � � 7� 0; hàm số y  f (x) đạt giá trị nhỏ đoạn � điểm � 2� � x đây? A x  B x  C x  D x  Giải: Dựa vào đồ thị ta thấy 14 Khi x � 0;3 � f '  x   hàm số nghịch biến khoảng  0;3 � 7� � 7� 3; �� f '  x   hàm số đồng biến khoảng � 3; � Khi x �� � 2� � 2� Từ suy Min f  x   f  3 � 7� 0; � � � 2� Chọn đáp án D y Ví dụ 3: (trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2017- 2018) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '(x) -3 f  x , hình vẽ bên Đặt M  max  2;6 -2 -1O x -2 m  f  x  , T  M  m Mệnh đề  2;6 đúng? A T  f    f  2  B T  f    f  2  Đáp án B C T  f    f   D T  f    f   Ví dụ 4: Cho hàm số y  f (x) xác định liên tục  a, e  có đồ thị hàm số y  f '(x) hình vẽ bên Biết f  a   f  c   f  b   f  d  Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  f (x)  a,e  ? � max f  x   f  c  � a ,e A � f  x   f  a  � � a,e � max f  x   f  a  � a ,e B � f  x   f  b  � � a ,e � max f  x   f  e  � a ,e C � f  x   f  b  � � a,e � max f  x   f  d  � a,e D � f  x   f  b  � � a ,e Giải: Ta có bảng biến thiên hình vẽ sau: 15 x f ' x  f  x a - b c + - d f  a e + f  e f  d f  c f  b Giá trị nhỏ chắn f  b  giá trị lớn ta ý vào f  a  f  e  ; f  a   f  c  f  b  f  d � f  a   f  d  f  b  f  c  � f  a   f  d   f  e f  x   f  e  , f  x   f  b  Chọn đáp án C Vậy max  a;e  a;e 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy, tơi thử nghiệm với hai lớp: 12A5, 12A6 Kết kiểm tra phần tập liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) sau: Trước tiến hành thử nghiệm: Lớp Sĩ số 12 A5 42 12 A6 40 Số học sinh giải ( = 4,8%) ( = 12,5%) Sau thử nghiệm: Lớp Sĩ số Số học sinh giải 12 A5 42 10 (= 23,8%) 12 A6 40 15 (= 37,5%) Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy thấy : số lượng học sinh giải dạng tập tăng lên, chưa nhiều số học sinh có tư dạng tập tăng lên (có thể em chưa giải đúng) điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn tốn, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết dạy 16 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận + Để áp dụng có hiệu đề tài việc cần làm phải giúp em nắm vững lí thuyết chương sách giáo khoa Giải tích 12 Sau tơi hướng dẫn em: - Xác định rõ bước làm dạng tập - Xây dựng hệ thống công thức tổng quát, nhận dạng nhanh dạng tập + Căn vào mục tiêu học xây dựng giáo án chi tiết cho nội dung kiến thức + Vận dụng linh hoạt hệ thống phương pháp giảng dạy Chú trọng việc tạo tình có vấn đề cách giải tập tình 3.2 Kiến nghị Thời gian tiến hành làm đề tài khơng nhiều, hạn chế trình độ chun môn số lượng tài liệu tham khảo nên chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Mặt khác tơi mong muốn bạn đồng nghiệp tiếp tục viết thêm skkn liên quan đến chuyên đề để hoàn thiện bổ sung thêm phương pháp dạy học giúp em lĩnh hội tốt chuyên đề Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 26 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thu Thủy Nguyễn Thị Hà 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao Sách tập Giải tích 12 nâng cao Báo toán học tuổi trẻ số 483-T9/2017 Các đề thi TNTHPT năm 2017, đề thi mẫu Bộ giáo dục đào tạo 18 ... tập có liên quan đến đồ thị hàm số - Sau tơi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) * Dạng 1: Từ đồ. .. chọn đề tài Phương pháp giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết xây dựng cách giải tập liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x)... rằng: - Phần lớn học sinh khả phân tích nhận dạng dạng tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x) tương đối yếu - Rất nhiều học sinh lúng túng giải tập có liên quan đến đồ thị hàm số y  f '(x)