SKKN khai thác phương pháp toạ độ trong không gian từ một bài tập đại số trong sách hình học

LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong chương trình tốn học trường trung học phổ thông, phương pháp toạ độ chiếm vị trí quan trọng Phương pháp toạ độ xem phương pháp toán học cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải đối tượng mặt phẳng không gian Phương pháp toạ độ công cụ chủ yếu chương trình hình học lớp 10 lớp 12 việc hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn hình học phương pháp cần thiết Ngoài việc giúp em củng cố kiến thức toạ độ giúp em thấy rõ ứng dụng to lớn phương pháp tốn hình học tiền đề để em học tốt chương trình hình học lớp 12 2.Cơ sở thực Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tơi có u cầu học sinh làm Bài 89, trang 138, sách tập hình học 12 nâng cao, em lúng túng ngạc nhiên lại tập đại số Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, người thường hay nghĩ đến tốn hình học giải tích Thực tế cho thấy nhiều tốn đại số giải theo cách nhìn Đại số khó phức tạp, khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học vận dụng phương pháp toạ độ vào lời giải ngắn gọn, dễ hiểu so với phương pháp khác Sẽ khơng có nhiều người nghĩ phương pháp toạ độ cho ta lời giải hay toán đại số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức… Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp toạ độ phương pháp hữu hiệu để giải nhiều toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải tốn chứa “Cái hồn hình học” mà nhiên ta chưa nhìn thấy Năm học 2012-2013, phân công giảng dạy lớp 12B2, 12B6 Tuy lớp ban khoa học tự nhiên, cịn phận khơng nhỏ học sinh tiếp thu chậm, kĩ làm kém, tư chưa rõ ràng Đặc biệt em lúng túng gặp tốn đại số có chứa ẩn số mà số phương trình(hoặc điều kiện) liên quan tới ẩn số lại Yêu cầu tốn thường là: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nhất, có nghiệm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa biến số Thực tế cho thấy em làm dạng toán thường em cịn lúng túng khơng xét hết trường hợp tham số, mắc sai lầm khơng đáng có Chính mà lần lên lớp, thân trăn trở, làm để truyền đạt cho em dễ hiểu? Dạy cho em kĩ làm toán đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Do tơi mạnh dạn hướng dẫn em sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian vào giải tốn Đại số chương trình trung học phổ thơng Đó nhận thức ý tưởng chọn đề tài: “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong phạm vi đề tài đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ giải toán hệ phương trình ẩn, tốn tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa biến số thơng qua vài ví dụ IV ỨNG DỤNG Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp số kỹ biết đưa toán từ ngơn ngữ đại số ngơn ngữ hình học để giải Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có thêm nhìn phương pháp giải lớp tốn giải hệ phương trình, giá trị lớn nhỏ qua việc sử dụng phương pháp toạ độ không gian Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc dạy học Mặc dù cố gắng nhiều, vấn đề đưa nhiều cịn thiếu sót, hạn chế Mong góp ý q thầy bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng năm 2013 Người viết Nguyễn Văn Trường NỘI DUNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong hệ trục toạ độ Oxyz uuuu r r r r Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk , r r r với i = (1;0;0); j = (0;1;0); k = (0;0;1) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y; ) ; M ∈ Ox ⇒ M ( x; 0; ) đặc biệt: M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) ; M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) ; M ∈ Oz ⇒ M ( 0; 0; z ) r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Toạ độ vectơ: Các cơng thức tính toạ độ vectơ: uuu r AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) r ur Cho u = ( x; y; z ) u ' = ( x '; y '; z ') r ur u = u ' ⇔ {x = x '; y = y '; z = z '} r ku = ( kx; ky; kz ) r ur u ± u ' = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ' ) r ur rr r r u.v = ⇔ u ⊥ v u.u ' = x.x '+ y y '+ z.z ' Tích vơ hướng: Các cơng thức tính độ dài góc r u = x2 + y + z AB = (x − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( z B − z A ) B r ur r ur u.u ' cos u; u ' = r ur = u u' ( xx '+ yy '+ zz ' ) r ur x + y + z x' + y' + z' 2 2 2 r với u; u ' ≠ 6.Một số tính chất vectơ Tính chất 1: (a ) = a ≥ Đẳng thức xảy a = Tính chất 2: a + b ≥ a +b Đẳng thức xảy a b hướng Tính chất 3: a.b ≤ a b Đẳng thức xảy a b phương Mặt cầu Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 2 2 2 Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a + b + c − d 7.2.Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng ( ∆ ) Tính: d ( I , ∆ ) Nếu: d ( I , ∆ ) > R : ( ∆ ) ∩ ( C ) = ∅ ; d ( I , ∆ ) < R : ( ∆ ) ∩ ( C ) điểm phân biệt; d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) , ( C ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi tiếp tuyến mặt cầu 7.3.Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Tính: d ( I , ( P ) ) = Nếu: Aa +Bb +Cc+D A2 + B2 + C 1) d ( I , ( P ) ) > R :( P ) ∩ ( C ) = ∅ ; ( 2 2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( C ) đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) 3) d ( I , ( P ) ) = R :( P ) , ( C ) tiếp xúc điểm H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C) II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Khi giải phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu đề tốn sang ngơn ngữ toạ độ, sau dùng kiến thức toạ độ để giải tốn, cuối chuyển kết từ ngôn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương Sách tập Hình học 12 nâng cao) a) Chứng minh: x + + y + + z + ≤ với x, y, z ≥ -2/5 x+ y+ z= b) Tìm giá trị lớn hàm số f(x)= x + m + x + n + m + n với x, m, n ≥ x+ m+ n= c) Chứng minh: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) + ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 2 với x, y, z Giải u r r a) Xét hai véc tơ u = (1,1,1) ; v = ( x + 2, y + 2, z + ) u rr u.v = x + + y + + z + u r r u = ; v = 5( x + y + z ) + = Ngồi tính u rr u r r Vậy u.v ≤ u v = hay x + + y + + z + ≤ Dấu “=” xảy khiurx= y= z= 2.r b) Xét hai véc tơ u = (1,1,1) ; v = ( x + m , x + n , m + n ) u rr f(x)= u.v = x + m + x + n + m + n u r r Ngồi tính u = ; v = u rr u r r Vậy f(x)= u.v ≤ u v = hay maxf(x)= x= m= n=1/3 c) Ta xem thức độ lớn véctơ, cần xác định điểm không gian Trong không gian Oxyz, lấy điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) M(x; y; z) Khi AB= 2 MA = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) ; MB = ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) Từ bất đẳng thức MA+ MB ≥ AB, ta suy ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) + ( x + 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 2 uuuu r uuur Dấu “=” xảy M nằm điểm A; B hay AM = t AB với 0≤ t≤ Hay x= 1- 2t; y= 1; z= -1+ 2t với 0≤ t≤ Bài Chứng minh rằng: ∀a, b, c ∈R, ta có: abc(a + b + c) ≤ a4 + b4 + c4 Giải r u = ( ab; bc; ca ) Ta có: VT = a2bc + ab2c + abc2 xét hai véctơ  r v = ( ac; ba; bc ) r  u = a 2b + b c + c a  r r 2 2 2 ⇒  v = a c +b a +b c = u r r 2 u.v = a bc + ab c + abc  rr r r Từ u.v ≤ u v ⇒ VT = a2bc + ab2c + abc2 ≤ a2b2 + b2c2 + c2a2 (1) r r  a = a4 + b4 + c4 = b r r  2 2 2 xét thêm: a = ( a ; b ; c ) b = ( b ; c ; a ) ⇒ r r 2 2 2  a.b = a b + b c + c a rr r r ⇒ a 2b + b c + c a ≤ a + b + c (2) Do a.b ≤ a b ⇒ Từ (1) (2) Đẳng thức xảy abc(a + b + c) ≤ a4 + b4 + c4  ab bc ca  ac = ba = bc ⇔  2 a = b = c  b c a ⇔ b c a = = c a b ⇔ a =b=c Bài Cho ba số thực x, y, z thỏa: x + y + z =1 Tìm GTLN GTNN F = 2x + y − z − Giải Xét mặt cầu (S): x + y + z =1 , tâm O, bán kính R = mặt phẳng (α): x + y − z − =  x = 2t  Đường thẳng ∆qua O vng góc với (α) có phương trình  y = 2t ( t ∈ R ) z = − t  giá trị tham số t tương ứng với giao điểm ∆và (S) t = ±  2 1  2 1 ⇒∆và (S) cắt điểm: A  ; ; − ÷ B  − ; − ; ÷ 3 d ( A, (α ) ) = 4 + + −9 3 + + ( −1) 2 =2; Lấy M(x; y; z) ∈(S), d ( M , (α ) ) = 3 d ( B, (α ) ) =  3 3 4 − − − −9 3 + + ( −1) 2x + y − z − 22 + 22 + ( −1) 2 =4 = F Ln có d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) ) ⇔2 ≤ F ≤ ⇔6 ≤ F ≤ 12 ;z= − 3 Max F = 12 đạt x = y = − ; z = 3 Vậy F = đạt x = y = Bài Giải bất phương trình: x + + x − + 50 − 3x ≤ 12 Giải Điều kiện:   x ≥ −1  3 50  ⇔ ≤x≤ x ≥ 2  50   x ≤ Trong hệ toạ độ Oxyz xét vectơ: r u = (1,1,1) r v = ( x + 1, x − 3, 50 − x ) r u = r  ⇒  u = x + + x − + 50 − x = 48 = r r u.v = x + + x − + 50 − x  rr r r Suy ra(1) ⇔ u.v ≤ u v Đẳng thức 50 Vậy nghiệm bất phương trình cho ≤ x ≤ Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001) Cho số x, y, z thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x; y; z ≤ (1)   x + y + z = / (2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F= cos(x2 + y2 + z2) (3) Giải Sự có mặt số x, y, x toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ độ Ta xác định hệ toạ độ đề-các vng góc Oxyz hình vẽ Dựng hình lập phương ABCO.A1B1C1O1 có cạnh z J O1 Cắt hình lập phương A1 trục Ox, Oy, Oz Q H B1 điểm có toạ độ K(3/2; 0; 0); L(0; 3/2; 0); J(0; 0; 3/2)) O M Thiết diện tạo mặt phẳng (KLJ) với hình lập phương MNPQRS C1 S mặt phẳng : x+ y+ z= 3/2, cắt ABCO.A1B1C1O1 tức lục giác R A P K C L y B N x Gọi điểm H(x;y;z) thuộc thiết diện Ta có: OH = x + y + z Đặt T= x2 + y2 + z2 OI khoảng cách từ O(0;0;0) tới mp(KLJ) OI = −3 / = 3/ Ta có T = OI2 = 3/4 với I tâm lục giác MNPQRS Max T đạt H điểm M, N, P, Q, R, S lục giác MNPQRS đó: Max T =OM2 mà M(1;0;1/2) ⇒ OM2=5/4 Ta có : 0 ⇔ x = y = z > (4) 1 11 Thế (4) vào (3) ta x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1)  x + y + z =1(1) Bài 10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:   x − y + z = m(2) Giải Rõ ràng ta dùng phương pháp cịn tới ẩn số, ta sử dụng bất đẳng thức để đánh giá phương trình (2) lời giải chưa cụ thể Nhưng để ý, phương trình (1) phương trình mặt cầu, phương trình (2) phương trình mặt phẳng ta thấy rằng: Nghiệm hệ phương trình (nếu có) tọa độ giao điểm chung mặt cầu (S): x + y + z =1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = mặt phẳng ( α ) :2 x − y + z − m = Do hệ có nghiệm (S) (α) tiếp xúc ⇔ d ( O, (α ) ) = −m m = =1 ⇔  + (−1) + m = − 2 TH1: m = Ta có giao điểm hình chiếu vng góc H O(0; 0; 0) (α1): 2x – y + 2z – =  x = 2t  Đường thẳng ∆qua O vng góc với (α1) có phương trình  y = − t ( t ∈ R )  z = 2t  giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (α1) ∆là t = ⇒H 2 2  ;− ; ÷ 3 3 TH2: m = -3 Gọi H’ hình chiếu vng góc O (α2): 2x – y + 2z + =  2 ⇒H’  − ; ; − ÷ (tương tự TH1)  3 3   2 Vậy m = hệ có nghiệm  x = ; y = − ; z = ÷ 3  2  m = - hệ có nghiệm  x = − ; y = ; z = − ÷  3 3 12 III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả sử dụng phương pháp toạ độ vào giải số toán Đại số hệ phương trình, bất đẳng thức… Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Hoằng Hoá +) Lớp thực nghiệm: 12B2 +) Lớp đối chứng: 12B6 Chọn lớp 12B 12B6, lớp 20 học sinh có học lực tương đương lớp Nội dung thực nghiệm Đề kiểm tra (thời gian 30 phút) Bài 1.Giải hệ phương trình x + y + z =1  2 x + y + z =1  3 x + y + z =1 Bài Cho a, b hai số thực tuỳ ý Chứng minh (a + b)(1 − ab) − ≤ ≤ (1 + a )(1 + b ) Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Hướng dẫn: Bài Xét hai véc tơ u r r u = ( x0 , y0 , z0 ) ; v = ( x02 , y0 , z02 ) ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm (nếu có) hệ cho 13 u rr Ta có u.v = x03 + y03 + z03 = u r r u = ; v = − 2( x02 y02 + y02 z02 + z02 x02 ) ≤ Ngồi tính u r r u rr Vậy u v ≤ = u.v u rr u r r Do u.v = u v , từ suy nghiệm Bài Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Đề - vuông góc Oxyz, đặt u r u = (1, a,0) r v = (1, −b,0) u r r  − ab cos(u, v) = + a + b2 ⇒  u r r a+b  sin( u , v) =  1+ a2 1+ b2  u r r u r r u r r 2(1 − ab)(a + b) ≤1 (1 + a )(1 + b ) (a + b)(1 − ab) ≤ ⇔− ≤ (1 + a )(1 + b2 ) Qua phân tích sơ thấy rằng, đề kiểm tra thể ta có sin 2(u, v) = 2sin(u, v).cos(u, v) = dụng ý: sử dụng phương pháp toạ độ không gian vào giải toán Đại số Đánh giá kết thực nghiệm Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua bảng sau: Năm học 20122013 Lớp TN ĐC Tổng số 20 20 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 25% 10 % Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng 12 60 % 10 50 % Điểm Số Tỷ lệ lượng 15 % 40 % Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian vào giải tốn Đại số KẾT LUẬN Kết nghiên cứu 14 1.1.Đối với học sinh Trên kinh nghiệm mà đúc rút q trình giảng dạy Tốn lớp 12 trường THPT Hoằng Hố Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số toán min-max nội dung quan trọng chương trình mơn tốn THPT nói chung việc ôn thi Đại học bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số tốn min-max Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian giải tốn Đại số, tơi cịn khuyến khích động viên học sinh tìm tòi việc sử dụng phương pháp toạ độ mặt phẳng giải tốn hệ phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhỏ biểu thức biến 1.2.Đối với giáo viên - Sáng kiến kinh nghiệm xem tài liệu tham khảo cho giáo viên 2.Kiến nghị đề xuất 2.1.Đối với tổ nhóm chun mơn nhà trường - Các tổ chun mơn nên tăng cường trình bày chun đề chương trình mơn - Nhà trường nên tổ chức thêm buổi trao đổi kinh nghiệm học tập giảng dạy 2.2.Đối với Sở giáo dục đào tạo Nên giới thiệu phổ biến trường phổ thông sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng để trao đổi áp dụng thực tế 15 Cuối cùng, xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo tổ tốn nhà trường góp ý kiến bổ ích cho viết, cảm ơn ban giám hiệu tạo điều kiện cho viết có chất lượng Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Trường 16 ... tài: ? ?KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp. .. với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian giải tốn Đại số, tơi cịn khuyến khích động viên học sinh tìm tịi việc sử dụng phương pháp toạ độ mặt... giải phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu đề tốn sang ngơn ngữ toạ độ, sau dùng kiến thức toạ độ để giải tốn, cuối chuyển kết từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học