Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm phương pháp tọa độ trong không gian theo phương pháp dạy học tích cực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN BÙI THỊ XOA ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” THEO PPDH TÍCH CỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

BÙI THỊ XOA

ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”

THEO PPDH TÍCH CỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

TH.S NGUYỄN VĂN HÀ

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ tận tình của các thầy cô giáo em đã tiếp thu được một tri thức khoa học, kinh nghiệm cũng như phương pháp học tập mới và bước đầu đã được làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận của em đã được hoàn thành

Qua đây, em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - Th.S Nguyễn Văn Hà, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo

em trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận này Cảm ơn những người bạn đã luôn bên tôi, đóng góp kiến hữu ích để tôi hoàn thành tốt khóa luận này Con xin gửi lời cảm ơn bố mẹ - người đã nuôi dưỡng và ủng hộ con trong suốt những năm tháng qua

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy cô, những người thân và bạn bè lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Xoa

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Th.S Nguyễn Văn Hà Em xin cam đoan luận văn và đề tài: “Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm

“Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 theo PPDH tích cực” là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và không trùng với kết quả của bất

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 4

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

1.1 Phương pháp dạy học tích cực 4

1.2 Ứng dụng của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán 9

1.3 Dạy học khái niện Toán học 13

Chương 2: Ứng dụng CNTT trong dạy học các khái niệm về phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 31

2.1 Nội dung và phân phối chương trình 31

2.2 Ứng dụng CNTT trong dạy học các khái niệm về phương pháp tọa độ trong không gian 31

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học và công nghệ, mà nổi bật là công nghệ thông tin (CNTT) CNTT đang xâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của đời sống con người Việc đưa CNTT với tư cách là phương tiện dạy học hiện đại trở thành một trào lưu mạnh mẽ với quy mô quốc tế và đó là một xu thế của giáo dục thế giới Việc ứng dụng CNTT thể hiện sự lớn mạnh

về khoa học, về công nghệ, về kinh tế,… của một đất nước Để đáp ứng yêu cầu hội nhập thế giới công nghệ hiện đại, đáp ứng yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, giáo dục thực sự phải đi trước Trong giáo dục, CNTT đã làm thay đổi căn bản bức tranh của nền kinh tế tri thức đó

Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và ứng dụng của những thành tựu CNTT vào việc dạy học đang là yêu cầu bức thiết đặt ra ở tất

cả các cấp học, môn học Cùng với sự phát triển của CNTT, yêu cầu phương pháp dạy học hiện nay cũng phải thay đổi theo quan điểm dạy học tích cực, lấy học trò làm trung tâm, giáo viên là người chỉ đạo, tổ chức, điều khiển, dẫn dắt học sinh tự chiếm lĩnh tri thức

Phần kiến thức “Phương pháp tọa độ trong không gian” là chương cuối

cùng trong chương trình học nâng cao lớp 12 trung học phổ thông Khi học tập và giảng dạy chương này, học sinh gặp phải một số khó khăn như: các đối tượng hình học trong không gian trước kia đã được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp sang phương pháp tọa độ thì các đối tượng đã được hình thức hóa ở mức trừu tượng cao hơn vì vậy học sinh khó thấy được nghĩa hình học của phương pháp tọa độ bởi một lí do quan trọng là thiếu những dụng cụ trực quan, sinh động

Do đó, việc tiếp thu, lĩnh hội các kiến thức của phần này gặp những hạn chế, đôi khi học sinh phải chấp nhận một số tính chất, tiếp thu một cách thụ động Để nâng cao chất lượng tri thức của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách có căn cứ khoa học thì việc trực quan hóa các tính chất hình học là một nhu cầu cần thiết khi giảng dạy

Với những lí do như trên, em đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm “Phương pháp tọa độ trong không gian” lớp 12 theo phương pháp dạy học tích cực”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu về lí luận:

- Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo phương pháp dạy học tích cực

- Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy học môn toán ở phổ thông

- Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm phần phương pháp tọa độ trong không gian

+Thiết kế và xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theo phương pháp tích cực các khái niệm về phương pháp tọa độ trong không gian

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận các tài liệu về PPDH tích cực, về PPDH môn Toán,…

- Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học này

- Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bài giảng điện tử theo phương pháp dạy học tích cực:

+ Phần mềm trình diễn MS PowerPoint, Violet,…

+ Phần mềm hình học động Cabri Geometry, Geometer’s Sketchapd

- Nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa môn toán phần phương pháp tọa độ trong không gian

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học tích cực

1.1.1 Các khái niệm

- Phương pháp là con đường, là cách thức để đạt những mục đích nhất định

- Phương pháp dạy học (PPDH) là những cách thức hoạt động và ứng

xử của GV gây nên những hoạt động và giao lưu cần thiết của học sinh trong quá trình dạy học nhằm đạt được các mục đích dạy học

- PPDH tích cực là để chỉ những PPDH theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

- PPDH tích cực còn có thể được hiểu một cách ngắn gọn là PPDH hướng tới các hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

1.1.2 Hệ thống phân loại các PPDH

- Hiện nay, chúng ta chưa có sự thống nhất trên phạm vi quốc tế việc phân loại các PPDH Hệ thống phân loại các PPDH hiện nay không thống nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương diện khác nhau từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau

- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên ngoài: + PPDH thuyết trình

+ PPDH giảng giải minh họa

+ PPDH gợi mở - vấn đáp

+ PPDH trực quan

- PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học các môn học: + Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lý toán học, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học,…

+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật lý, PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm,…

+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích tác phẩm văn học,…

1.1.3 Đặc trưng của PPDH tích cực

- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS

Theo tâm lý học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi học có nhu cầu hứng thú với hoạt động đó Nhà tâm lý học Xô Viết V.P Simonov đã mô

tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và lôi cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu số của kiến thức cần thiết và kiến thức cần có như sau:

T = N(KCT - KĐC)

Trong đó: - T là mức độ tích cực của HS

- N là nhu cầu nhận thức

- KCT làkiến thức, kỹ năng cần thiết của HS

- KĐC là kiến thức, kỹ năng đã có của HS

Do đó, trong dạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết và trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị lôi cuốn vào nhiệm vụ học tập

- Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tự học là rèn luyện cho người học có được phương pháp,

kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức: biết tự lực phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người học lòng ham học, ham hiểu biết Do vậy, trong quá trình dạy học cần chú ý dạy cho người học phương pháp học, tạo ra sự chuyển biến từ việc học tập thụ động sang học tập chủ động

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Thông qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng kiến thức của mình lên một trình độ mới Nhờ

đó, kĩ năng cũng như phương pháp học tập của học sinh dần được nâng cao và ngày càng phát triển hơn

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt động nhóm nhỏ sẽ không có hiện tượng ỷ lại, tính cách năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ

- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS

Trong dạy học, việc đánh giá HS là nhằm mục đích đánh giá thực trạng

và điều chỉnh hoạt động của đồng thời của cả HS và GV

Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập của mình và GV cũng phải tạo điều kiện để các HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó hình thành cho HS biết tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình

đó chính là năng lực rất cần thiết cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho các HS

- Dạy học thông qua các hoạt động học tập của HS

Trong dạy học, theo quan điểm tích cực GV phải đặt HS vào những tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và HS được trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết

Đối với môn toán, GV tạo ra và đặt HS vào các tình huống toán học thực tiễn, đồng thời tổ chức để cho HS có thể trực tiếp tham gia trải nghiệm vào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa,…

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện kiến thức toán học

+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, định nghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựng hình, giải toán tìm tập hợp điểm,…)

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính gải được, mô hình hóa và thể hiện,…

+ Hoạt động ngôn ngữ: HS phát biểu, trình bày nội dung kiến thức toán học dưới các dạng khác nhau hoặc lập luận biến đổi mệnh đề, chứng minh mệnh đề toán học

Như chúng ta đã biết, đặc điểm của môn toán là khoa học suy diễn, trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ tiên đề hoặc điều đã biết bằng suy luận logic Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổ thông là phải dạy cho HS suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý (cách suy nghĩ

hợp logic) Vì vậy, dạy học toán ở trường phổ thông bằng các hoạt động toán

học thực chất là cho HS được tập dượt cách suy nghĩ thông qua việc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp

Từ những nghiên cứu trên ta thấy một vẫn đề có ý nghĩa thực tiễn đối với sự đổi mới PPDH toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng,

cụ thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các tình huống dạy

học điển hình của môn toán Quan điểm đó là: Dạy học tình huống toán

học như thế nào được coi là tích cực và như thế nào được coi là thụ động (ít tích cực)?

Dạy học tích cực Dạy học thụ động (ít tích cực) Dạy

học

khái

niệm

+ Phân tích tìm các dấu hiệu đặc

trưng của khái niệm toán học

+ Hoạt động gợi động cơ suy

đoán định lý - Nêu nội dung định

+ Tóm tắt nội dung bài toán

+ Phân tích tìm đường lối chứng

minh toán học

+ Hoạt động chứng minh toán

học

+ Kiểm tra và khai thác bài toán

+ Tóm tắt nội dung bài toán

+ Hoạt động chứng minh toán học

Kết luận: Quan điểm nổi bật của PPDH tích cực đối với môn Toán ở

trường phổ thông là tổ chức các hoạt động học tập cho HS theo phương châm coi trọng việc tìm ra đường lối chứng minh toán học, không chỉ chú trọng vào việc dạy học chứng minh toán học

1.2 Ứng dụng của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán

1.2.1 Thực tiễn việc ứng dụng CNTT trong dạy học hiện nay

Thực tế ở các trường THPT hiện nay đều được trang bị phòng máy, phòng đa năng, nối mạng Internet và Tin học được đưa vào giảng dạy chính thức là một môn học trong suốt ba năm lớp 10, 11, 12 ở trường THPT Một số trường còn trang bị thêm các thiết bị ghi âm, chụp hình, quay phim, máy quét hình và một số thiết bị khác tạo cơ sở hạ tầng CNTT tương đối tốt cho GV có thể sử dụng thuận tiện vào quá trình dạy học của mình

Hiện nay, việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy ở trường phổ thông mới chỉ là bước khởi đầu Các tiết dạy học có ứng dụng CNTT chưa phổ biến Thông thường, chỉ những tiết thao giảng hoặc tiết hội thi giáo viên dạy giỏi thường dễ lạm dụng, trong đó diễn ra có việc trình chiếu toàn bộ nội dung bài giảng, nên dẫn tới việc đạt hiệu quả không cao

Các kiến thức, kỹ năng về CNTT ở một bộ phận GV còn hạn chế, chưa

đủ vượt ngưỡng để có thể đam mê và sáng tạo, thậm chí còn né tránh Công tác đào tạo, bồi dưỡng, tự bồi dưỡng đội ngũ GV chỉ mới dừng lại ở việc xóa

mù tin học nên họ chưa đủ kiến thức, kĩ năng và năng lực để có thể ứng dụng CNTT Việc nghiên cứu ứng dụng thành tựu của CNTT để đổi mới PPDH chưa được nghiên cứu kỹ dẫn đến việc ứng dụng nó không cao

Việc đánh giá một tiết dạy có ứng dụng CNTT còn lúng túng, chưa xác định hướng ứng dụng CNTT trong dạy học Chính sách, cơ chế quản lý còn bất cập, chưa tạo được sự đồng bộ trong thực hiện Các phương tiện, thiết bị phục vụ cho dạy học như máy chiếu projector,… còn thiếu và chưa đồng bộ nên chưa triển khai rộng khắp Việc kết nối và sử dụng Internet chưa được thực hiện triệt để và có chiều sâu; sử dụng không thường xuyên do thiếu kinh phí, do tốc độ đường truyền hạn chế

1.2.2 Tác động của CNTT đối với sự đổi mới PPDH Toán

- CNTT trợ giúp cho GV toán có thể dễ dàng tạo được sự cuốn hút với

HS và lôi cuốn một cách mạnh mẽ vào các nhiệm vụ học toán:

+ Khai thác mạng máy tính Internet, để chọn ra các hình ảnh trong thực tế cuộc sống có liên quan tới bài học Đây là phương tiện hiệu quả để cho GV tổ chức hoạt động gợi động cơ mở đầu trong dạy học toán

+ Tạo ra các hình vẽ, đồ thị có tính chuẩn mực cao, trực quan và hấp dẫn với HS Tạo ra các bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ thay thế việc sử dụng bảng phụ của GV

+ Đặc biệt tạo ra được các hình vẽ động, mô phỏng đúng các tình huống toán học trong thực tiễn có chứa các đối tượng chuyển động Nhờ đó

mà HS đễ dàng quan sát, nhận biết được các mối quan hệ đích thực giữa các đối tượng của tình huống đó

- GV sử dụng phần mềm dạy học toán đã tạo điều kiện cho HS có cơ hội thuận lợi để trải nghiệm các phép suy đoán gợi giả thuyết, phân tích tìm đường lối chứng minh toán học;

+ Dự đoán được các kết luận, gợi lên giả thuyết, tạo tiền đề thuận lợi

để tìm đường lối chứng minh toán học

+ Kết hợp với lời nói của GV sẽ hỗ trợ thể hiện việc phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, mô tả các bước thuật toán một cách rõ ràng

+ Nhanh chóng khai thác các kết quả qua các hoạt động toán học phức hợp

- Sử dụng ứng dụng CNTT trong dạy học sẽ giúp GV tiết kiệm được thời gian trong việc tổ chức dạy học từng hoạt động toán học:

+ Tạo tình huống có vấn đề cho HS trong dạy học toán

+ Phân tích tình huống để tìm đường lối chứng minh toán học

Ví dụ: Ứng dụng CNTT trợ giúp dự đoán kết quả và tìm lời giải bài toán đó sau:

“Cho góc xOy và hai điểm M, N chuyển động lần lượt trên Ox, Oy sao cho OM + ON  k > 0 - không đổi Chứng minh rằng đường thẳng trung trực

d của MN luôn đi qua một điểm cố định?”

Để giải bài toán này thì khó khăn đầu tiên và cơ bản là phải biết cách

dự đoán điểm cố định cần tìm là điểm cần tìm

Khi sử dụng phần mềm tin học ta nhanh chóng, thuận tiện trong việc dự đoán điểm cố định bằng cách:

+ Vẽ hình mô tả bài toán

+ Di chuyển để điểm M ≡ O và N ≡ O và tạo vết cho đường thẳng d + Cho điểm D chuyển động trên đoạn AB thấy vết của d đi qua điểm cố định I nằm trên đường phân giác của góc xOy

Chú ý:

Ứng dụng CNTT trợ giúp cho PPDH tích cực môn toán của chúng ta hiện nay có nhiều tiềm năng và cần tiếp tục nghiên cứu, thử nghiệm để có thể đạt hiệu quả cao hơn và được triển khai một cách rộng rãi mang tính phổ cập hơn

1.2.3 Các phần mềm tin học trong dạy học Toán

Phần mềm Microsoft PowerPoint

Phần mềm PowerPoint là phần mềm trình diễn chuyên nghiệp, thuận tiện và đơn giản trong sử dụng PowerPoint cho phép trình diễn với nhiều mục đích khác nhau: Báo cáo khoa học, báo cáo trong các hội nghị, hội thảo chuyên môn, báo cáo chuyên đề, bảo vệ luận văn,… Để sử dụng PowerPoint dạy học có hiệu quả thì giáo viên không những phải có kiến thức tối thiểu về phần mềm PowerPoint và kiến thức về lí luận dạy học và các phương pháp dạy học tích cực, kế đó là sự linh hoạt sáng tạo trong thiết kế các trang trình

chiếu thông qua việc xây dựng nội dung bài giảng trên các sile và tạo ra các hiệu ứng thích hợp với tình huống dạy học

Phần mềm Cabri (Cabri Geometry II Plus và Cabri 3D):

Phần mềm Cabri cho phép vẽ các hình hình học thông qua việc tạo ra các đối tượng cơ bản như: Điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng (trong không gian); đường tròn, mặt cầu (trong không gian); xác định trung điểm của đoạn thẳng; đường thẳng trung trực, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng (trong không gian) với đường thẳng và mặt phẳng cho trước,… và cho phép

đo đạc, tính toán trên các đối tượng tạo ra

Ngoài việc tạo ra các hình vẽ tĩnh nhanh chóng và chính xác, phần mềm Cabri còn tạo ra được hình vẽ động cho phép mô phỏng đúng được những bài toán hình học có đối tượng chuyển động và biết được kết quả của bài toán yêu cầu

Phần mềm Geometer’s Sketchpad:

Geometer’s Sketchpad (viết tắt GSP) là một phần mềm hình học nổi tiếng và đã được sử dụng rộng rãi tại rất nhiều nước trên thế giới Ý tưởng của GSP là biểu diễn động các hình hình học GSP là một công cụ cho phép tạo ra các hình hình học dành cho đối tượng phổ thông bao gồm giáo viên, học sinh, các nhà nghiên cứu Phần mềm có chức năng chính là vẽ đồ thị, vẽ hình, mô phỏng quỹ tích, các phép biến đổi của hình học phẳng (phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự)

Phần mềm GSP đã được sử dụng rộng rãi trong việc thiết kế bài giảng môn toán Giáo viên đưa ra các mô hình, ví dụ, hình vẽ trực quan sinh động

về các đối tượng hình học (hình ảnh của GSP đẹp và rõ nét hơn Cabri), từ đó học sinh có thể đo đạc, quan sát, phân tích, suy đoán, trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm được các dấu hiệu đặc trưng làm cơ sở hình thành kiến thức mới mà học sinh cần chiếm lĩnh

Không giống như nhiều phần mềm giáo dục khác, thường chỉ là công

cụ hỗ trợ giáo viên tạo ra các bài giảng sinh động, trực quan để giảng dạy cho học sinh Học sinh có thể tìm hiểu để giải bài tập, xét các trường hợp riêng của một bài toán hình ở mọi góc độ, vị trí khác nhau, làm các thử nghiệm, sáng tạo theo cách riêng của mình

1.3 Dạy học khái niện Toán học

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a) Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc trưng

bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng

Như vậy có hai loại khái niệm:

- Khái niệm về lớp đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm: “Hình chóp”, “Hình chóp đều”, …

+ Hình chóp: “Trong mặt phẳng () cho đa giác A1A2A3…An và điểm

S không thuộc mặt phẳng () Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2,

SA2A3,…, SAnA1 và miền đa giác A1A2A3…An gọi là hình chóp S.A1A2A3…An”

+ Hình chóp đều: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác

đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đa giác

- Khái niệm về quan hệ đối tượng

Chẳng hạn như khái niệm: “Phương trình tương đương”, “Quan hệ

chia hết”, …

+ Phương trình tương đương: Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là

tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm Nếu phương trình f1(x) 

g1(x) tương đương với phương trình f2(x)  g2(x) thì ta viết:

f1(x)  g1(x)  f2(x)  g2(x)

+ Quan hệ chia hết: Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Đềcac

NN: A{(m,n) / (q/nmq)}, trong đó N là tập số tự nhiên, còn m, n, qN

và m ≠ 0

b Nội hàm và ngoại diên của khái niệm

+ Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng

phản ánh trong định nghĩa khái niệm

+ Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối

tượng hoặc quan hệ đối tượng

Ví dụ 1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình vuông, nội hàm của khái niệm trên là:

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối quan hệ mang tính quy luật,

nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Thật vậy, nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì

khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

c) Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối

tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch

ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng

nhau

Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là

hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng

của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể

được định nghĩa theo một cách khác, chẳng hạn như: “Hình vuông là hình

thoi có một góc vuông”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét

Giả sử cho tứ giác ABCD (hình vẽ)

Nếu xét xem ABCD có phải là một hình vuông hay không thì “AB = BC”

là một trong những thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ giác đó có phải là

hình bình hành hay không thì thuộc tính đó là không bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, từ chỉ miền đối

tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết Một khả năng vi

phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ: “ Phép

cộng là phép tìm tổng của hai hay nhiều số”; “ Tổng của hai hay nhiều số là

kết quả thực hiện phép cộng”

d) Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết

Ví dụ: Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên, quá trình trên không

thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông còn có một số khái niệm khác cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô

tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a) Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học

nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến

thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh

b) Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết

thể hiện khái niệm

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải

Toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm

với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí do

sư phạm, các yêu cầu trên lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm

Chẳng hạn, đối với những khái niệm “hình bình hành”, “đạo hàm”,… học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm chiều của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác dựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình

1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phổ thông

a) Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng

- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loài - chủng là một định

nghĩa hình thức nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

- Ví dụ 1: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau Trong định nghĩa này:

+ Hình bình hành là khái niệm loài

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

- Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là

1 và chính nó” Ở đây:

+ Số tự nhiên là khái niệm loài

+ Chỉ có hai ước số chung là 1 và chính nó là đặc tính của chủng

- Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k không đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho '

OM

k OM

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu V(O,k)

Trong định nghĩa này:

+ Phép biến hình là khái niệm loài

+ Số k không đổi khác 0, O cố định, OM'

kOM

là đặc trưng của chủng

b) Định nghĩa bằng quy ước

- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho

đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng đã biết nào đó

Ví dụ: a0 = 1 (Đối tượng cần định nghĩa là a0)

Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải

thích tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp lý không

Ví dụ: a0 = 1 là hợp lý vì:

0 m m m

m

aa

a

a

.

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

- Nội dung: Để định nghĩa một khái niệm bằng phương pháp tiên đề

người ta chỉ ra quan hệ các đối tượng thỏa mãn hệ thống tiên đề nào đó

+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương , (X,) được gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:

i) Tính chất phản xạ

ii) Tính chất đối xứng

iii) Tính chất bắc cầu

+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái niệm nhóm như sau:

Cho tập X cùng phép toán 2 ngôi * được gọi là nhóm nếu:

*: XX  X

(a,b)  c thỏa mãn * có tính chất kết hợp

* Có phần tử đơn vị eX sao cho xX : x.e=e.x tồn tại phần tử nghịch đảo xX, x-1X: x.x-1 = x-1.x=e

d) Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

- Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định

nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cần định nghĩa hoặc quan hệ đối tượng cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (Mô tả theo kiểu kiến thiết)

+ Ví dụ 1: Khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thẳng, mặt phẳng”

là không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng): Cho hai tia Ou, Ov nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay

chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì ta nói: Tia Om

quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov

1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

+ Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng

+ Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp những số này không thể khai căn được” là định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vi khái niệm định nghĩa, ví dụ số e và số  là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép khai căn nào

+ Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định

nghĩa, ví dụ có những số thập phân vô hạn như 1 1,

3 7… Nhưng không phải là

số vô tỉ

b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa mà phải dựa và khái niệm đã biết, đã được định nghĩa

+ Ví dụ 1: Định nghĩa về số đo góc: “Độ là 1

90 của góc vuông, góc vuông là góc có số đo 900” là định nghĩa vòng quanh

+ Ví dụ 2: “Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng đi qua một đường thẳng” là định nghĩa không đúng vì khái niệm góc chưa xác định

Ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không gian giới hạn bới hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng”

c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

+ Ví dụ 1: Định nghĩa: “Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa 1 trong điều kiện song song và bằng nhau

+ Ví dụ 2: Định nghĩa: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “là 1 và chính nó” nhưng vì lí do

sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ 2 ước đó

là 2 ước cụ thể nào

d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được phân chia thành hai tập hớp triệt để (tức là khái niệm loài không bao gồm hai khái

niệm mâu thuẫn)

+ Ví dụ 1: “Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên dấu hiệu xem xét 1 hình vuông không phải là hình thoi, chưa chỉ ra được đặc trưng của hình thoi

+ Ví dụ 2: “Số siêu việt là nững số thực không đại số” là định nghĩa đúng vì khái niệm loài được phân chia thành số đại số và số siêu việt

1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:

- Con đường quy nạp

- Con đường suy diễn