RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THPT

LỜI NÓI ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Trong chương trình toán học ở trường trung học phổ thông, phương pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng. Phương pháp toạ độ được xem là phương pháp toán học cơ bản và cần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải quyết được các đối tượng trên mặt phẳng và không gian. Phương pháp toạ độ là công cụ chủ yếu ở chương trình hình học lớp 10 và lớp 12 cho nên việc hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học bằng phương pháp này là cần thiết. Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức về toạ độ còn giúp các em thấy rõ được ứng dụng to lớn của phương pháp này trong bài toán hình học và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chương trình hình học lớp 12. 2.Cơ sở thực tại Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tôi có yêu cầu học sinh làm Bài 89, trang 138, sách bài tập hình học 12 nâng cao, các em đã lúng túng và ngạc nhiên vì đây lại là một bài tập đại số. Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán của hình học giải tích. Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giải theo cách nhìn Đại số thì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học và vận dụng phương pháp toạ độ vào thì lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phương pháp khác. Sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại 1 số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức… Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp. Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó. Năm học 2012-2013, tôi được phân công giảng dạy các lớp 12B2, 12B6. Tuy là các lớp ban khoa học tự nhiên, nhưng vẫn còn bộ phận không nhỏ học sinh tiếp thu bài chậm, kĩ năng làm bài còn kém, tư duy chưa rõ ràng. Đặc biệt các em rất lúng túng khi gặp các bài toán đại số có chứa 3 ẩn số mà số phương trình(hoặc điều kiện) liên quan tới ẩn số lại ít. Yêu cầu của các bài toán này thường là: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa 3 biến số. Thực tế cho thấy khi các em làm những dạng toán này thường là các em còn lúng túng và không xét hết các trường hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm không đáng có. Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm toán cơ bản nhất và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn. Do đó tôi đã mạnh dạn hướng dẫn các em sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải các bài toán Đại số trong chương trình trung học phổ thông. Đó cũng chính là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài: “KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 2 TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.” II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận 2. Phương pháp điều tra thực tiễn 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 4. Phương pháp thống kê III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3 Trong phạm vi đề tài tôi mới chỉ đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ giải các bài toán về hệ phương trình 3 ẩn, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa 3 biến số thông qua một vài ví dụ. IV. ỨNG DỤNG Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một phương pháp và một số kỹ năng cơ bản và biết đưa bài toán từ ngôn ngữ đại số về ngôn ngữ hình học để giải. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có thêm một cái nhìn cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải hệ phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất qua việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian. Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn chế. Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc. Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng 5 năm 2013. Người viết Nguyễn Văn Trường 4 NỘI DUNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong hệ trục toạ độ Oxyz 1. Tọa độ của điểm: ( ) ; ;M x y z OM xi y j zk ⇔ = + + uuuur r r r , với (1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = = r r r đặc biệt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;0 ; ;0;0 0; ; ; 0; ;0 ;0; ; 0;0; M Oxy M x y M Ox M x M Oyz M y z M Oy M y M Oxz M x z M Oz M z ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ 2. Toạ độ vectơ: ( ) ; ;u x y z u xi y j zk = ⇔ = + + r r r r r 3. Các công thức tính toạ độ vectơ: ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z = − − − uuur Cho ( ) ; ;u x y z= r và ( ) ' '; '; 'u x y z= ur ' { '; '; '}u u x x y y z z = ⇔ = = = r ur ( ) ' '; '; 'u u x x y y z z ± = ± ± ± r ur ( ) ; ;ku kx ky kz = r 4. Tích vô hướng: . ' . ' . ' . 'u u x x y y z z = + + r ur . 0u v u v= ⇔ ⊥ r r r r 5. Các công thức tính độ dài và góc 5 2 2 2 u x y z= + + r ( ) 2 2 2 ) ( ) ( B A B A B A AB x x y y z z = − + − + − ( ) 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ' cos ; ' ' . ' ' ' u u xx yy zz u u u u x y z x y z + + = = + + + + r ur r ur r ur với ; 'u u r ur ≠ 0 r 6.Một số tính chất của vectơ. Tính chất 1: 0)( 2 2 ≥= aa . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 = a Tính chất 2: baba +≥+ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng hướng. Tính chất 3: baba ≤ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương. 7. Mặt cầu 7. 1. Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R − + − + − = . (1) Dạng 2: ( ) 2 2 2 2 2 2 2ax +2by +2cz +d = 0 0x y z a b c d + + + + + − > (2). Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . 6 7.2.Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng ( ) . ∆ Tính: ( ) ,d I ∆ . Nếu: ( ) ( ) ( ) , :d I R C ∆ > ∆ ∩ = ∅ ; ( ) ( ) ( ) , :d I R C ∆ < ∆ ∩ tại 2 điểm phân biệt; ( ) ( ) ( ) , : ,d I R C ∆ = ∆ tiếp xúc nhau, ( ) ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. 7.3.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng ( ) : Ax +By+ Cz+D = 0P . Tính: ( ) ( ) 2 2 2 Aa +Bb +Cc+D , A d I P B C = + + . Nếu: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) , :d I P R P C > ∩ = ∅ ; 2) ( ) ( ) ( ) ( ) , :d I P R P C < ∩ là đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 ; ;H r R d I P = − với H là hình chiếu của I trên (P). 3) ( ) ( ) ( ) ( ) , : ,d I P R P C = tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C). 7 II. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp. Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương 3. Sách bài tập Hình học 12 nâng cao) a) Chứng minh: 5 2 5 2 5 2 6. 3x y z+ + + + + ≤ với mọi x, y, z ≥ -2/5 và x+ y+ z= 6 b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= x m x n m n+ + + + + với x, m, n ≥ 0 và x+ m+ n= 1. c) Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x y z x y z− + − + + + + + − + − ≥ 2. 2 với mọi x, y, z Giải. a) Xét hai véc tơ 5 2, 5 2, 5 2(1,1,1) ; ( )x y zu v + + += = ur r 5 2 5 2 5 2. x y zu v + + + + += ur r Ngoài ra tính được 3 5( ) 6 6; x y zu v + + + == = ur r Vậy . .u v u v≤ ur r ur r = 6. 3 hay 5 2 5 2 5 2 6. 3x y z+ + + + + ≤ 8 Dấu “=” xảy ra khi x= y= z= 2. b) Xét hai véc tơ , ,(1,1,1) ; ( )x m x n m nu v + + += = ur r f(x)= . x m x n m nu v + + + + += ur r Ngoài ra tính được 3 2;u v= = ur r Vậy f(x)= . .u v u v≤ ur r ur r = 6 hay maxf(x)= 6 khi x= m= n=1/3 . c) Ta xem mỗi căn thức là độ lớn của một véctơ, do đó cần xác định các điểm trong không gian. Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) và M(x; y; z) Khi đó AB= 2. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ; ( 1) ( 1) ( 1)MA x y z MB x y z= − + − + + = + + − + − Từ bất đẳng thức MA+ MB ≥ AB, ta suy ra 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x y z x y z− + − + + + + + − + − ≥ 2. 2 Dấu “=” xảy ra khi M nằm giữa 2 điểm A; B hay .AM t AB= uuuur uuur với 0≤ t≤ 1 Hay x= 1- 2t; y= 1; z= -1+ 2t với 0≤ t≤ 1 Bài 2. Chứng minh rằng: ∀a, b, c ∈ R, ta có: abc(a + b + c) ≤ a 4 + b 4 + c 4 Giải. Ta có: VT = a 2 bc + ab 2 c + abc 2 và xét hai véctơ ( ) ( ) ; ; ; ; u ab bc ca v ac ba bc  =   =   r r 9 ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . u a b b c c a v a c b a b c u u v a bc ab c abc  = + +   = + + =   = + +   r r r r r Từ . .u v u v≤ r r r r ⇒ VT = a 2 bc + ab 2 c + abc 2 ≤ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 (1) xét thêm: ( ) 2 2 2 ; ;a a b c= r và ( ) 2 2 2 ; ;b b c a= r ⇒ 4 4 4 2 2 2 2 2 2 . a a b c b a b a b b c c a  = + + =    = + +  r r r r Do 2 2 2 2 2 2 4 4 4 . .a b a b a b b c c a a b c≤ ⇒ + + ≤ + + r r r r (2) Từ (1) và (2) ⇒ abc(a + b + c) ≤ a 4 + b 4 + c 4 Đẳng thức xảy ra ⇔ 2 2 2 2 2 2 ab bc ca b c a ac ba bc a b c c a b a b c b c a  = =   ⇔ = = ⇔ = =   = =   Bài 3. Cho ba số thực x, y, z thỏa: 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm GTLN và GTNN của 2 2 9F x y z= + − − Giải. Xét mặt cầu (S): 2 2 2 1x y z+ + = , tâm O, bán kính R = 1 và mặt phẳng (α): 2 2 9x y z+ − − = 0 10 [...]... pháp toạ độ trong không gian vào giải toán Đại số KẾT LUẬN 1 Kết quả nghiên cứu 1.1.Đối với học sinh Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy Toán lớp 12 tại trường THPT Hoằng Hoá 4 Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số hoặc bài toán min-max là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán THPT nói chung và trong việc ôn thi Đại học. .. em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian trong giải toán Đại số, tôi còn khuyến khích động viên học sinh tìm tòi việc sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng giải các bài toán về hệ phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu... được dụng ý: sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải toán Đại số 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 21 Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau: TN 20 Điểm 8 trở lên Số Tỷ lệ lượng 5 25% ĐC 20 2 Năm Tổng Lớp học 20122013 số 10 % Điểm từ 5 đến 8 Số Tỷ lệ lượng 12 60 % Điểm dưới 5 Số Tỷ lệ lượng 3 15 % 10 8 50 %... học sinh giỏi nói riêng Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm 22 Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số và bài toán min-max Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh. .. chứng khả năng sử dụng phương pháp toạ độ vào giải một số bài toán Đại số như hệ phương trình, bất đẳng thức… 19 2 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Hoằng Hoá 4 +) Lớp thực nghiệm: 12B2 +) Lớp đối chứng: 12B6 Chọn ở lớp 12B2 và 12B6, mỗi lớp 20 học sinh có học lực tương đương nhau giữa 2 lớp 3 Nội dung thực nghiệm Đề kiểm tra (thời gian 30 phút) Bài 1 .Giải hệ phương... Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là ≤ x ≤ Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001) Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x; y; z ≤ 1 (1)   x + y + z = 3 / 2 (2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F= cos(x2 + y2 + z2) (3) Giải Sự có mặt của 3 số x, y, x trong bài toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ độ Ta xác định hệ toạ độ đề-các vuông góc Oxyz như hình... là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của 20 học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh u r r u = ( x0 , y0 , z0 ) ; v = ( x02 , y0 2 , z02 ) trong đó Hướng dẫn: Bài 1 Xét hai véc tơ ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm (nếu có) của hệ đã cho ur r 3 3 Ta có u.v... π/2) hàm số cosx nghịch biến nên ta có : Cos(5/4)≤ cos(x2 + y2 + z2)≤ cos(3/4) 13 Hay maxF= cos(3/4) khi H là tâm của lục giác đều MNPQRS tức x= y= z= 1/2 minF= cos(5/4) khi H trùng với một trong các đỉnh của lục giác đều MNPQRS, chẳng hạn H≡M tức x= 1, y= 0, z= 1/2 Việc định hướng phân tích như trên phục vụ cho việc giải bài tập này cho lớp 12 nhằm nêu bật ứng dụng của hình học trong Đại số Không chỉ... dụng trong việc giải bất phương trình hay chứng minh bất đẳng thức, mà trong những bài toán giải hệ nhiều ẩn, nếu ta khéo léo chọn véc tơ hay chọn mặt phẳng và mặt cầu, ta sẽ đưa bài toán về xét sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng hoặc đường thẳng  x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0(1)  Bài 6 Giải hệ phương trình: 3x + 2 y − 2 z − 8 = 0(2) 3 x + 3 y − 4 z −12 = 0(3)  Giải Ở bài này nếu từ. .. + y + z =1 Bài 2 Cho a, b là hai số thực tuỳ ý Chứng minh rằng 1 (a + b)(1 − ab) 1 − ≤ ≤ 2 (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh Đề kiểm tra như trên là không quá . PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó. là một bài tập đại số. Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán của hình học giải tích. Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giải theo cách nhìn Đại. thức toạ độ để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp. Bài 1. (Bài tập 89- Ôn tập chương