SKKN Khai thác phương pháp toạ độ trong không gian từ một bài tập đại số trong sách hình học ở THPT

Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức về toạ độ còngiúp các em thấy rõ được ứng dụng to lớn của phương pháp này trong bài toán hình học và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chươn

ĐỀ TÀI:

"KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC"

1

LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Trong chương trình toán học ở trường trung học phổ thông, phương pháp toạ độ chiếmmột vị trí quan trọng Phương pháp toạ độ được xem là phương pháp toán học cơ bản vàcần thiết, kết hợp với phương pháp tổng hợp ta giải quyết được các đối tượng trên mặtphẳng và không gian Phương pháp toạ độ là công cụ chủ yếu ở chương trình hình họclớp 10 và lớp 12 cho nên việc hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán hình học bằngphương pháp này là cần thiết Ngoài việc giúp các em củng cố kiến thức về toạ độ còngiúp các em thấy rõ được ứng dụng to lớn của phương pháp này trong bài toán hình học

và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chương trình hình học lớp 12

2.Cơ sở thực tại

Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tôi có yêu cầu học sinh làm Bài 89, trang

138, sách bài tập hình học 12 nâng cao, các em đã lúng túng và ngạc nhiên vì đây lại làmột bài tập đại số

Thật vậy, nói đến phương pháp toạ độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán củahình học giải tích Thực tế cho thấy nhiều bài toán đại số nếu giải theo cách nhìn Đại sốthì rất khó hoặc phức tạp, nhưng nếu khéo léo chuyển sang cách nhìn Hình học và vậndụng phương pháp toạ độ vào thì lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phương phápkhác Sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giảihay đối với các bài toán đại số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minhbất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức… Cùng với nhiềuphương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để

2

giải nhiều bài toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong

nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó

Năm học 2012-2013, tôi được phân công giảng dạy các lớp 12B2, 12B6 Tuy là cáclớp ban khoa học tự nhiên, nhưng vẫn còn bộ phận không nhỏ học sinh tiếp thu bàichậm, kĩ năng làm bài còn kém, tư duy chưa rõ ràng Đặc biệt các em rất lúng túng khigặp các bài toán đại số có chứa 3 ẩn số mà số phương trình(hoặc điều kiện) liên quan tới

ẩn số lại ít Yêu cầu của các bài toán này thường là: Tìm giá trị của tham số để hệphương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểuthức chứa 3 biến số Thực tế cho thấy khi các em làm những dạng toán này thường là các

em còn lúng túng và không xét hết các trường hợp của tham số, và còn mắc những sailầm không đáng có Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào

để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm toán cơ bản nhất

và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốthơn

Do đó tôi đã mạnh dạn hướng dẫn các em sử dụng phương pháp toạ độ trong không gianvào giải các bài toán Đại số trong chương trình trung học phổ thông Đó cũng chính lànhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài:

“KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.”

Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trongviệc dạy và học

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạnchế Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc

3

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi đề tài tôi mới chỉ đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ giải các bàitoán về hệ phương trình 3 ẩn, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa

IV ỨNG DỤNG

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một phươngpháp và một số kỹ năng cơ bản và biết đưa bài toán từ ngôn ngữ đại số về ngôn ngữ hìnhhọc để giải Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em họcsinh có thêm một cái nhìn cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải hệphương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất qua việc sử dụng phương pháp toạ độ trong khônggian

NỘI DUNG

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

Trong hệ trục toạ độ Oxyz

1 Tọa độ của điểm:  M x y z; ;  OM                             xi y j zk                             

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2 y b 2 z c 2 R2 (1)

Dạng 2: x2  y2 z2  2ax + 2by + 2cz + d = 0a2 b2 c2  d  0 (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a;-b; -c), bán kính R a2 b2 c2  d

7.2.Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng  

Tính: d I  ,  Nếu: d I ,   R:   C ;

 ,  :   

d I  R   C tại 2 điểm phân biệt;

 ,  :   ,

d I  R  C tiếp xúc nhau,   gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

7.3.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng  P : Ax + By + Cz + D = 0

Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề

bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuốicùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Giáo viên cần hướngdẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp

Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương 3 Sách bài tập Hình học 12 nâng cao)

a) Chứng minh: 5x  2 5y  2 5z 2 6 3  với mọi x, y, z ≥ -2/5 và

= 6 hay maxf(x)= 6 khi x= m= n=1/3

c) Ta xem mỗi căn thức là độ lớn của một véctơ, do đó cần xác định các điểm trongkhông gian

Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) và M(x; y; z)

8

Bài 2 Chứng minh rằng: a, b, c  R, ta có: abc(a + b + c)  a4 + b4 + c4

9

Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là32 x 503

Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001).

Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:

Sự có mặt của 3 số x, y, x trong bài toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ độ Ta

xác định hệ toạ độ đề-các vuông góc Oxyz như hình vẽ

Ta có min T = OI2 = 3/4 với I là tâm lục giác đều MNPQRS

Max T đạt được khi H là những điểm M, N, P, Q, R, S của lục giác đều MNPQRS khi đó:Max T =OM2 mà M(1;0;1/2)  OM2=5/4

Ta có : 0<3/4≤OH2≤5/4<π/2,

Mà trên (0 ; π/2) hàm số cosx nghịch biến nên ta có :

Cos(5/4)≤ cos(x2 + y2 + z2)≤ cos(3/4)

Hay maxF= cos(3/4) khi H là tâm của lục giác đều MNPQRS tức x= y= z= 1/2

minF= cos(5/4) khi H trùng với một trong các đỉnh của lục giác đều MNPQRS,chẳng hạn H≡M tức x= 1, y= 0, z= 1/2

x

y

SA

Việc định hướng phân tích như trên phục vụ cho việc giải bài tập này cho lớp 12 nhằmnêu bật ứng dụng của hình học trong Đại số.

Không chỉ sử dụng trong việc giải bất phương trình hay chứng minh bất đẳng thức, màtrong những bài toán giải hệ nhiều ẩn, nếu ta khéo léo chọn véc tơ hay chọn mặt phẳng vàmặt cầu, ta sẽ đưa bài toán về xét sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng hoặc đườngthẳng

Bài 6 Giải hệ phương trình:

Giải Ở bài này nếu từ (2) và (3) rút y, z theo x rồi thế vào(1) tìm được x, từ đó suy ra y,

z cũng là một cách giải Tuy nhiên nếu ta xem (1) là phương trình mặt cầu, (2) và (3) là phương trình các mặt phẳng thì hệ gồm phương trình (2) và (3) là phương trình của đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng Khi đó:

Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của:

Mặt cầu (S): 2 2 2

x y z  x y z và đường thẳng = (P)∩(Q) với (P): 3x+ 2y- 2z- 8= 0 và (Q): 3x+ 3y- 4z- 12= 0

 qua M(0; 4; 0) và có VTCP u = (-2; 6; 3)

  có phương trình tham số:  

2

4 6 3

13

 2t24 6  t2 3t 2 2 2 t 4 4 6  t 6.3 0t 

0 10 49

t t

14

H (2; -3; -1)Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 2; y = -3; z = -1)

Bình luận: Gặp hệ này ít khi học sinh rút thế bởi vì sẽ còn 2 ẩn, và cách làm hình học trên rõ ràng đã giải quyết đơn giản bài toán, cũng với cách làm này ta còn có thể chứng

minh hệ vô nghiệm.

Bài 8 Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm:

Vậy hệ vô nghiệm

Bài 9.Giải hệ phương trình:

Giải Ở bài này nếu học sinh biến đổi tương đương và kết hợp với phương pháp thế thì

cũng giải được, xong lời giải sẽ dài

Nếu nhìn (1) là phương trình mặt phẳng, (2) là phương trình mặt cầu thì ta có cách giải 1 dưới đây

Cách 1 Mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  3, tâm O(0; 0; 0); bán kính R = 3 và mp(): x + y

+ z – 3 = 0 tiếp xúc với nhau vì  ,( ) 2 32 2 3

1 1 1

d O     R

 

15

dễ thấy nghiệm đó là x = y = z = 1 và nghiệm này cũng thỏa (3)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1

Nếu nhìn (2) dưới góc độ bình phương độ dài của véctơ, (1) là tích vô hướng của

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1)

Bài 10 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm:

Giải Rõ ràng nếu ta dùng phương pháp thế thì vẫn còn tới 2 ẩn số, hoặc nếu ta sử dụng

bất đẳng thức để đánh giá ở phương trình (2) thì lời giải vẫn chưa cụ thể

Nhưng nếu để ý, phương trình (1) là phương trình của mặt cầu, phương trình (2) là

Do đó hệ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (S) và () tiếp xúc nhau

Ta có giao điểm là hình chiếu vuông góc H của O(0; 0; 0) trên (1): 2x – y + 2z – 3 = 0

Đường thẳng  qua O và vuông góc với (1) có phương trình  

2 2

III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

1 Mục đích thực nghiệm

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng sử dụng phương pháp toạ độ vào

giải một số bài toán Đại số như hệ phương trình, bất đẳng thức…

3 Nội dung thực nghiệm

Đề kiểm tra (thời gian 30 phút)

Bài 1.Giải hệ phương trình

111

Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra này dànhcho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng Xin được phân tích

rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh

Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ họcsinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồngthời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của họcsinh

1cos( , )

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC)được thể hiện thông qua bảng sau:

Năm

Tổngsố

Điểm 8 trởlên

Điểm từ 5 đến

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ2012-

1 Kết quả nghiên cứu

1.1.Đối với học sinh

20

Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạyToán lớp 12 tại trường THPT Hoằng Hoá 4.

Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số hoặc bài toán min-max làmột trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán THPT nói chung vàtrong việc ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Nhưng đối với học sinh lại

là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinhđồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải hệ phương trình, hệ phương trìnhchứa tham số và bài toán min-max Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướngdẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian trong giải toán Đại số, tôi cònkhuyến khích động viên học sinh tìm tòi việc sử dụng phương pháp toạ độ trong mặtphẳng giải các bài toán về hệ phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất củabiểu thức 2 biến

1.2.Đối với giáo viên

- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể xem là tài liệu tham khảo cho giáo viên

2.Kiến nghị đề xuất.

2.1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường

- Các tổ chuyên môn nên tăng cường trình bày các chuyên đề trong chương trình bộmôn

- Nhà trường nên tổ chức thêm các buổi trao đổi kinh nghiệm học tập và giảng dạy.2.2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo

21

Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinh nghiệm có chấtlượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế.

Cuối cùng, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ toán nhà trường đãgóp các ý kiến bổ ích cho bài viết, cảm ơn ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho bài viết cóchất lượng hơn

22