Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc MC LC: Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc PHN I : T VN Trong chng trỡnh mụn toỏn trng THCS ta thy bi toỏn rt nhiu v a dng Gii toỏn l mt ngh thut thc hnh, ging nh bi li, trt tuyt, hay chi n, cú th hc c ngh thut ú, ch cn bt chc theo nhng mu mc ỳng n v thng xuyờn thc hnh.Khụng cú chỡa khoỏ thn k m mi ca ngừ, khụng cú hũn ỏ thn k bin mi kim loi thnh vng ( - Cỏc v Leibnitz ) Tỡm c li gii hay ca bi toỏn tc l ó khai thỏc c nhng c im riờng ca bi toỏn iu ú lm cho hc sinh cú th bit c cỏi quyn r ca s sỏng to cựng nim vui thng li ( Polia-1975 ) Gii bi toỏn l quỏ trỡnh suy lun, nhm khỏm phỏ quan h logic gia cỏi ó cho (gi thit) vi cỏi phi tỡm (kt lun) Nhng cỏc quy tc suy lun cng nh cỏc phng phỏp chng minh cha c dy tng minh Do ú hc sinh thng gp nhiu khú khn gii bi Phng phỏp chung tỡm li gii bi toỏn l : Bc 1: Tỡm hiu ni dung bi toỏn Bc 2: Xõy dng chng trỡnh gii Bc 3: Thc hin chng trỡnh gii Bc 4: Kim tra v nghiờn cu li gii Trong bc mt cụng vic ớt c thc hin ú l: Nghiờn cu nhng bi toỏn tng t, m rng hay lt ngc ú l khai thỏc bi toỏn Thc tin dy hc cng cho thy cú k nng gii bi phi qua quỏ trỡnh luyn Tuy rng khụng phi l c gii nhiu bi l cú k nng Vic luyn s cú hiu qu nu nh bit khộo lộo khai thỏc t mt bi sang mt loi bi tng t, nhm dng mt tớnh cht no ú Trong quỏ trỡnh ging dy giỏo viờn cn khai thỏc cỏc bi sỏch giỏo khoa giỳp hc sinh hiu sõu kin thc, cú k nng gii bi tp, nhm nõng cao cht lng dy hc v vic lm ny c bit quan trng cụng tỏc bi dng hc sinh gii gi hc.Vỡ vy tụi ó rỳt kinh nghim Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc PHN II: GII QUYT VN 2.1.C s lý lun: Qua nghiờn cu v thc t ging dy trng THCS, cỏc nm qua tụi ó nghiờn cu v rỳt mt s kinh nghim vic khai thỏc bi toỏn xõy dng mt h thng bi bi dng hc sinh gii nh l: 1.Chuyn iu cha bit thnh bi toỏn 2.Thay i hỡnh thc phỏt trin bi toỏn 3.Tỡm cỏc bi toỏn liờn quan 4.M rng cỏc bi khỏc 2.2 Thc trng ca : Hc sinh trng THCS ngi hc mụn toỏn cho rng õy l mụn hc rt khú nht l hỡnh hc ũi hi hc sinh tng hp c kin thc, cú k nng trỡnh by logic, cht ch, nu ch hc cỏc gi hc chớnh khoỏ trờn lp thỡ khú cú th gii c cỏc bi toỏn nõng cao, khụng kin thc tham gia thi hc sinh gii mụn toỏn Cỏc em hc sinh ngoi vic hc ton din cỏc mụn hc cũn tham gia cỏc hot ng xó hi ớt thi gian hc thờm, cha say mờ vi mụn hc, khụng thy c nhng iu k diu ca toỏn hc, ũi hi giỏo viờn ging dy phi nghiờn cu tỡm tũi, sỏng to xõy dng cỏc chuyờn bỏm sỏt chng trỡnh, theo chun kin thc, k nng, phỏt huy tớnh tớch cc ca hc sinh 2.3.Cỏc bin phỏp mi ó thc hin gii quyt Trong sỏch giỏo khoa, sỏch bi cú nhiu bi dng kin thc lý thuyt rt hay gii bi chỳng ta cn khai thỏc theo nhiu khớa cnh khỏc ú l cỏc cỏch gii khỏc nhau, hoc thay i d kin bi toỏn ta c mt s bi toỏn khỏc tng t hoc liờn quan t bi toỏn ban u ta gi ú l bi toỏn chỡa khoỏ ta cú th gii c rt nhiu bi khỏc , cng c c nhiu kin thc, rỳt ngn c thi gian hc tp, hc sinh c luyn c nhiu, thy c tớnh logic ca toỏn hc v say mờ hc toỏn hn Sau õy l mt s bi minh ho T mt bi toỏn ni ting m hỡnh v c in trờn trang u ca mt s cun sỏch nõng cao lp 8, ú l: Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Bi toỏn A: Cho hỡnh vuụng ABCD t hỡnh vuụng A/B/C/D/ bờn hỡnh vuụng ny cho tõm trựng Chng minh rng : trung im ca AA / ; BB/; CC/; DD/ l nh hỡnh vuụng khỏc Li gii: Cỏch 1: = VAOA/ AA/ = BB/ Tng t VAOM / = AA/ = BB/ =CC/ = DD/ VBOM / = VC / OP OM = ON = OP = OQ = VD / OQ t giỏc MNPQ l hỡnh bỡnh hnh O l trung im ca MP v NQ MP = NQ MNPQ l hỡnh ch nht VCOP ( c.g.c ) VBOB / = ã POQ VDOQ = 900 = VAOM = VBON ã COP = ã DOQ t giỏc MNPQ l hỡnh vuụng Cỏch 2: Ni B/C ; C/D; D/A; A/B, gi E, F, G, H ln lt l trung im ca cỏc cnh B/C ; C/D; D/A; A/B Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc EP // B/ C/ v EP = B/ C/, FQ // C/D/ v EQ = C/D/ 2 GM// A/ D/ v GM = A/ D/, HN // A/B/ v HN= EP = FQ = GM = HN NE// BC v NE = BC, PF // CD v PF = CD QG// AD v QG = AD, MH// AB v MH = AB NE = PF = QG = MH VNEP A/B/ = VPFQ = VQGM = ( c.g.c) VMHN MN = NP = PQ = QM v ã MQP = 90 MNPQ l hỡnh vuụng Cỏch 3: Thc hin phộp quay tõm O gúc quay 900 cựng chiu kim ng h thỡ OA OB ; OA/ OB/ AA/ BB/ ;BB/ CC/; CC/ DD/; DD/ AA/ M N;N *T nhn xột: P;P AM AA/ = Q;Q BN BB / = M CP CC / MNPQ l hỡnh vuụng = DQ DD / t AM AA/ =k (k0) AA/ AM BB / BN CC / CP DD / DQ Chng minh rng : MNPQ l hỡnh vuụng Khi k = thỡ bi toỏn 1a chớnh l bi toỏn A *Nu khai thỏc bi toỏn theo cỏch gii th v phộp quay ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 2a: Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Cho a giỏc u A1A2An t bờn a giỏc ny mt a giỏc u cho tõm ca a giỏc ú trựng Gi / n A ca A1 / A , A2 / A , , An / n A Chng minh rng: // // // A A // A A // n A // n A A1/ A2/ l trung im l a giỏc u *Thờm vo bi toỏn 2a yu t t l ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 3a: Cho a giỏc u A1A2An t bờn a giỏc ny mt a giỏc u A2/ An/ cho tõm ca a giỏc ú trựng Gi l cỏc im nm trờn on A1 = / 3 // 3 / // AA AA = AA A4 A / A Chng minh rng: , A2 / A // , , An // A A // n A A1// A2// / n A cho A1/ An// A1 A1/ A2 A2/ = A1 A1// A2 A2// l a giỏc u Khi k = thỡ bi toỏn chớnh l bi toỏn 2a * Nu khai thỏc theo cỏch gii 1,2 khụng cn n tõm O ta cú bi toỏn sau Bi toỏn 4a: t hỡnh bỡnh hnh A/B/C/D/ hỡnh bỡnh hnh ABCD cho cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh A/B/C/D/ nm hỡnh bỡnh hnh ABCD Chng minh rng : trung im ca AA/ ; BB/; CC/; DD/ l cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh Tng quỏt hn ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 5a: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, t hỡnh bỡnh hnh A /B/C/D/ cho cỏc nh ca nú nm hỡnh bỡnh hnh ABCD Gi M, N, P, Q ln lt l cỏc im nm trờn cỏc on AA/ ; BB/; CC/; DD/ cho / AA AM = BB BN ( k > 0) Chng minh rng : MNPQ l hỡnh bỡnh hnh *Khi k = thỡ bi toỏn 5a chớnh l bi toỏn 4ê / = / CC CP = / DD DQ =k Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Khai thỏc t mt bi toỏn hỡnh hc lp quen thuc sau: Bi toỏn B: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O).im M thuc cung BC Chng minh rng: MA = MB + MC Li gii : Trờn tia CM ly im N cho MN = MB NC = MB + MC = ả M V ả M = 60 BMN u ( vỡ Bà = Cà = 60 ) ả M = 600 BN = BM Ta cú: BC = BA ãABM = ãABC + CBM ã ã = 600 + CBM ABM = CBN ( c.g.c) = ã MBC AM = NC = MB + MC Nhn xột t bi toỏn B ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 1b: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O); im M thuc cung nh BC Chng minh: MA MB + MC Gi nguyờn bi, thay i cõu hi ta cú bi toỏn sau Bi toỏn 2b: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O); im M thuc cung nh BC Chng minh: 1 = + MD MB MC Li gii: Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc MD MA = MB MC MDB : MCA MD MC = MB MA 1 1 MB + MC = = + MD MB.MC MD MB MC T bi toỏn trờn ta cú th gii c bi toỏn sau Bi toỏn 3b Cho tam giỏc ABC dng tam giỏc u trờn cnh ca tam giỏc ú l tam giỏc ACB/, tam giỏc ABC/ tam giỏc BCA/ Chng minh rng: ng trũn (ACB/); (ABC/); (BCA/) ng quy ti I Li gii: Gi I l giao ca ng trũn (ACB/) v ng trũn (ABC/) = 1200 , = 1200 = 1200 ãAIC I ãAIB ã BIC (BCA/) hay ng trũn ng quy T bi toỏn 3b ta d dng chng minh c bi toỏn sau: * Bi toỏn 4b: Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Cho tam giỏc ABC dng tam giỏc u trờn cnh ca tam giỏc ú l tam giỏc ACB/, tam giỏc ABC/ tam giỏc BCA/ , ng trũn (ACB/); (ABC/); (BCA/) ng quy ti I Chng minh rng: ng thng AA/ ; BB/; CC/ ng quy Bi toỏn 5b: Cho tam giỏc ABC dng tam giỏc u trờn cnh ca tam giỏc ú l tam giỏc ACB/, tam giỏc ABC/ tam giỏc BCA/, ng trũn (ACB/); (ABC/); (BCA/) ng quy ti I Chng minh rng: IA + IB + IC = ( IA/ + IB/ +IC/ ) Bi toỏn 6b: Cho tam giỏc ABC dng tam giỏc u trờn cnh ca tam giỏc ú l tam giỏc ACB/, tam giỏc ABC/ tam giỏc BCA/, ng trũn (ACB/); (ABC/); (BCA/) ng quy ti I Chng minh rng: = ( ) ú A1, B1 , C1 l giỏo ca 1 + + IA IB IC 1 1 + + IA1 IB1 IC1 vi cỏc cnh ca tam giỏc Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Bi toỏn 7b: Cho tam giỏc ABC dng tam giỏc u trờn cnh ca tam giỏc ú l tam giỏc ACB/, tam giỏc ABC/ tam giỏc BCA/ , ng trũn (ACB/); (ABC/); (BCA/) ng quy ti I Chng minh rng: IA + IB + IC nh nht vi mi I thuc tam giỏc ABC Bi toỏn 8b: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O).im M thuc cung BC Chng minh rng: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 Vi a l cnh ca tam giỏc Bi toỏn 9b: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O).im M thuc cung BC Tỡm m MA + MB + MC ln nht Bi toỏn 10b: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O).im M thuc cung BC Tỡm m MA2 + MB2 + MC2 ln nht Bi toỏn 11b: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O).im M thuc cung BC Chng minh rng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4 Vi a l cnh ca tam giỏc 10 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Bi toỏn C: ả Cho xOy = 90 Trên Ox lấy điểm A cố định cho OA = a Điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vuông ABCD a) Tính khoảng cách từ D đến Ox b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D B di động Oy Hớng dẫn: Kẻ DH Ox H Có AHD vuông H nên a) ảA + D ả = 900 1 ảA + àA = 900 y C suy ảA = D ả D C' D' ảA + A3 = 900 ã BAO +à A3 = 900 Suy ảA = BAO ã 2 B ả ã Hay D1 = BAO O A Xét DHA AOB Hình ả ã Có: H = O = 90 , D1 = BAO DA = AB (cạnh hình vuông) Vậy DHA = AOB = (T/h Bằng đặc biệt thứ tam giác vuông) Vậy: DH = OA = a b) Theo chứng minh DH = a (const) 11 H x Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Khi B di động Oy D di động theo nhng cách Ox khoảng DH = a Vậy quỹ tích D thuộc đờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a Giới hạn: Khi B O H A D D' D' điểm thuộc đờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a, A cố định suy D' cố định Kết luận: Khi B di động Oy quỹ tích D tia D'z // Ox, D' cách A khoảng a Khai thỏc 1: Từ lời giải ta thấy hình vuông OAD'C' nhỏ tập hình vuông ABCD B di động Oy Và đơng nhiên tập hình vuông diện tích hình vuông OAD'C' có giá trị nhỏ Từ suy xét ta có toán Bài toán 1c: ả Cho xOy = 90 lấy A thuộc tia Ox cho OA = a Một điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vuông ABCD Xác định vị trí điểm D để SABCD nhỏ 12 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Chứng minh y Thật SABCD = AB2 ã Trong OAB có AOB = 90 AB > OA C D D' C' Do A cố định, B di động nên I AB OA = a I' SABCD a2 B Do SABCD = a2 nhỏ O B O A H x Hình Khai thác 2: Từ kết ta suy hình vuông OAD'C' cố định cạnh a Thế OD' cố định nên trung điểm I' cố định Vấn đề đặt là: Nếu B chuyển động Oy D chuyển động tia D'D Khi trung điểm I OD chuyển động đờng ta có toán Bài toán 2c: ả Cho góc xOy = 90 Lấy A Ox cho OA = a, điểm ả B di động Oy Trong góc xOy vẽ hình vuông ABCD Gọi I trung điểm OD Tìm tập hợp (qũy tích) điểm I Hớng dẫn: (Hình 2) Theo kết D' giới hạn D D' cố định Gọi I' trung điểm OD' I' cố định Trong OD'D có I'I đờng trung bình I'I // D'D a Nên quỹ tích I tia I'I // Ox cách Ox khoảng = Khai thác 3: 13 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Suy xét: (hình 3) y Qua C kẻ đờng thẳng // Ox cắt Oy Q cắt DH P Q C P D Theo ta chứng minh đợc AOB = DHA huyền góc nhọn) DH = a (Cạnh OA = I B OB = AH O A Nhng CQ // Ox CQB = 1v CP H x Hình = y OA PD = OB C Q Vậy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO P D C' Mà QOA = 1v Nờn t giỏc OHPQ l hỡnh vuụng Ta có toán I Bài toán 3c: ã B Cho góc xOy , tia Ox lấy A cho OA = a, Oy ã O xOy hình vuôngA ABCD; H điểm B di động Dựng góc qua Cx kẻ đờng thẳng // Ox, qua d kẻ đờng thẳng // Oy Hai đờng thẳng cắt P lần lợt cắt Oy Q, cắt Ox H a) Chứng minh t giỏc OHPQ hình vuông b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh O, I, P thẳng hàng Từ suy xét dễ dàng suy điều chứng minh Khai thác 4: Suy xét tiếp ta thấy Ta chuyển hớng toán dới dạng khác 14 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Nếu ta coi hình vuông OHPQ cố định cạnh = a Trên cạnh HO, OB, PQ, PH lần lợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = DH Tiếp tục: Nếu cho A di động OH cha thoả mãn ABCD hình y Q vuông chu vi AOB có giá trị thay đổi nh Cụ thể có quan hệ với a cạnh hình vuông OHPQ C P D I B O A H x Hình Thật dễ chứng minh đợc AOB = DHA = CPD = BQC Từ t giỏc ABCD hình vuông AOB có: AB < OA + OB Nhng OB = AH AB < OA + AH = OH = a Do A, B chuyển động thoả mãn ABCD hình vuông Nên A H, B O AB = OH = a Do đó: OA + OB + AB OH + OH = 2a Vậy CAOB 2a (CAOB : chu vi AOB) (Chu vi AOB có giá trị lớn 2a) Ta có toán Bài toán 4c: Cho hình vuông OHPQ cạnh a Trên cạnh HO, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD a) Chứng minh: T giỏc ABCD hình vuông 15 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc b) Khi A chuyển động OH thoả mãn ABCD hình vuông (A O, A H) Chứng minh CAOB < 2a Từ suy xét ta dễ chứng minh đợc điều Khai thác 5: Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp Ta có OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung tập 4) Nh OA + OB = a (const) Suy OA.OB lớn OA = OB (Tổng số dơng không đổi tích chúng lớn hai số nhau) Để ý thấy rằng: OA OB = 2SAOB (SAOB diện tích AOB) Mà hình vuông OHPQ có S OHPQ = a2 (SOHPQ diện tích t giỏc OHPQ) Và SOHPQ = SABCD + 4SAOB SABCD Hay SABCD = a2 - SAOB Nếu SAOB lớn SABCD nhỏ SAOB nhỏ lớn Mà SAOB lớn OA.OB lớn lý luận OA.OB lớn OA = OB OH a Từ OA = OB = = Hay A trung điểm OH, B trung điểm OQ ? Ta có toán Bài toán 5c: Cho hình vuông OHPQ cạnh a Trên OH, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD Q a) Chứng minh ABCD hình vuông C P b) A chuyển động OH D (vẫn thoả mãn ABCD hình vuông) Xác định vị trí A để SABCD nhỏ 16 I B O A H P Q Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Tìm giá trị Hớng dẫn: a) D I B Dễ chứng minh đợc: AOB = DHA (c.g.c) Hình AB O = A A1 HAD Tơng tự CB = CD = AB Vậy t giỏc ABCD hình thoi (1) àA = D ả 1 m ảA + D ả = 900 Từ (1) (2) suy ảA + A3 = 900 (2) ABCD hình vuông b) Ta có SOHPQ = a2 Theo kết AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c) SABCD = a2 - SAOB = a2 - 2.OA.OB Do OA + OB = OA + AH (vì OB = AH) OA + AH = OH = a a Không đổi nên tích OA.OB lớn OA = OB = a2 a a Nghĩa OA.OB = Vậy SABCD a2 a2 a2 a2 - = a2 - = Do SABCD a2 = giá trị nhỏ đó: OA = OB = OH Chứng tỏ A trung điểm OH 2.4.Hiu qu ca SKKN 17 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc p dng kinh nghim dy hc trờn vo vic ging dy mụn toỏn THCS ó t c mt s kt qu hc sinh yờu thớch mụn hc, cht lng b mụn c nõng cao, cỏc em cú t tin tham gia i tuyn hc sinh nng khiu mụn toỏn 18 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc PHN III: KT LUN V NGH 3.1.Kt lun : Trờn õy l mt s bi t SGK , SBT hỡnh hc lp 8, lp c khai thỏc theo nhiu khớa cnh khỏc nhau, ó c dy cho hc sinh cỏc gi hc v cụng tỏc bi dng hc sinh gii Lỳc u cỏc em thy mụn toỏn hỡnh quỏ khú, khụng bit cỏch trỡnh by cm thy ngi hc mụn toỏn hỡnh , sau ỏp dng kinh nghim ny a s hc sinh hiu bi hn v rt thớch hc mụn toỏn cỏc em thy t tin hn, t mỡnh cú th gii c cỏc bi toỏn khú, ng thi phn trỡnh by ca cỏc em logic , cht ch hn trng ph thụng , dy toỏn l dy hot ng toỏn hc i vi hc sinh cú th xem vic gii toỏn l hỡnh thc ch yu ca hot ng toỏn hc Trong dy hc toỏn, mi bi toỏn hc c s dng vi nhng dng ý khỏc nhau, cú th dựng to tin xut phỏt gi ng c, lm vic vi ni dung mi, cng c hoc kim tra thi im c th no ú, mi bi cha ng tng minh hay n tng nhng chc nng khỏc nhng chc nng ny u hng ti vic thc hin cỏc mc ớch dy hc Gii toỏn nh th no l luụn c quan tõm nghiờn cu v khai thỏc t bi toỏn ú to nhiu bi lm phong phỳ thờm kin thc rốn kh nng suy lun hp lý logic , kh nng qyuan sỏt d oỏn, phỏt trin trớ tng tng, bi dng cỏc phm cht ca t nh linh hot, c lp v sỏng to, hỡnh thnh thúi quyen t hc, say mờ vi mụn hc Trong cỏc gi toỏn nht l cỏc gi luyn cn khai thỏc cỏc bi s luyn c nhiu bi hn v kin thc c khc sõu hn Vi cỏch lm nh trờn cú th ỏp dng cho nhiu bi chng trỡnh toỏn THCS Thc hin c cỏc chuyờn nh trờn l lm tt cụng tỏc t bi dng giỳp cho giỏo viờn nõng cao trỡnh chuyờn mụn, nõng cao cht lng giỏo dc, gúp phn tớch cc cụng tỏc bi dng hc sinh gii Trờn õy ch l mt kinh nghim nh ca tụi vỡ khụng cú iu kin trỡnh by ht tt c cỏc bi tụi ch xin trỡnh by1 bi hỡnh hc lp v mt bi hỡnh hc lp lm vớ d minh ho cho chuyờn ca mỡnh, mong mun trao i v vi ý tng ny tụi s tip tc nghiờn cu nhiu chuyờn hn na 19 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc 3.2 Kin ngh: Phũng giỏo dc v o to tip tc trỡ vic lm SKKN mi cỏn b giỏo viờn c rốn luyn, hc hi, trao i kinh nghim nõng cao cht lng giỏo dc, v ph bin rng rói nhng sỏng kin, kinh nghim hay, sỏt thc tin cho tt c cỏn b giỏo viờn hc 20 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc TI LIU THAM KHO Cỏc thi hc sinh gii cỏc nm Sỏch giỏo khoa toỏn lp Sỏch bi toỏn lp Sỏch nõng cao v phỏt trin toỏn v lp 7,8,9 Tỏc gi V Hu Bỡnh ch biờn Bi Nõng cao v mt s chuyờn Toỏn Tỏc gi Bựi Vn Tuyờn ch biờn Ti liu chuyờn toỏn THCS Toỏn 7,8,9 Tỏc gi V Hu Bỡnh ch biờn Toỏn tui th THCS Nh xut bn giỏo dc Vit Nam 21 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc S GIO DC V O TO QUN THANH XUN M SKKN SNG KIN KINH NGHIM KHAI THC V PHT TRIN MT S BI TON HèNH HC Mụn: Toỏn Cp hc: THCS Ti liu kốm theo: a CD NM HC: 2015 2016 22 ... a Khai thỏc 1: Từ lời giải ta thấy hình vuông OAD'C' nhỏ tập hình vuông ABCD B di động Oy Và đơng nhiên tập hình vuông diện tích hình vuông OAD'C' có giá trị nhỏ Từ suy xét ta có toán Bài toán. .. có toán Bài toán 5c: Cho hình vuông OHPQ cạnh a Trên OH, OQ, QP, PH lần lợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD Q a) Chứng minh ABCD hình vuông C P b) A chuyển động OH D (vẫn thoả mãn ABCD hình. .. suy xét dễ dàng suy điều chứng minh Khai thác 4: Suy xét tiếp ta thấy Ta chuyển hớng toán dới dạng khác 14 Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn hỡnh hc Nếu ta coi hình vuông OHPQ cố định cạnh = a