Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán hình học 9 được thực hiện với mong muốn góp phần vào việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình. Mời các bạn cùng tham khảo.
Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK PHỊNG GD & ĐT KRƠNG ANA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Họ tên : Nguyễn Anh Tuấn Đơn vị công tác: Trường THCS Bn Trấp Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm Mơn đào tạo : Tốn Krơng Ana, tháng năm 2015 Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số toán Hình học I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý chọn đề tài : - Toán học mơn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Đặc biệt với hình học giúp cho học sinh khả tính tốn, suy luận logíc phát triển tư sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học tốn khơng đơn cung cấp cho em số kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải toán sở kiến thức học - Qua nhiều năm công tác giảng dạy Tốn trường THCS Bn Trấp tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh lực học tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn việc cần làm người thầy, giúp học sinh khai thác đề toán để từ toán ta cần thêm bớt số giả thiết hay kết luận ta có tốn phong phú hơn, vận dụng nhiều kiến thức học nhằm phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Vì tơi sức tìm tịi, giải chắt lọc hệ thống lại số tập mà ta khai thác đề để học sinh lĩnh hội nhiều kiến thức toán - Với mong muốn góp phần cơng sức nhỏ nhoi việc bồi dưỡng lực học toán cho học sinh nhằm rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh để em tự phát huy lực độc lập sáng tạo mình, nhằm góp phần vào cơng tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán ngành giáo dục Krông Ana ngày khả quan Tôi xin cung cấp trao đổi đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học lớp " Đề tài ta bồi dưỡng lực học tốn cho học sinh dùng việc dạy chủ đề tự chọn toán trường THCS Mong quý đồng nghiệp tham khảo góp ý I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Đây đề tài rộng ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể rõ vẻ đẹp mơn Hình học đặc biệt giúp phát triển nhiều tư học sinh, vấn đề tiếp tục khai thác hàng năm quan tâm góp ý thầy hẳn kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh giỏi.Vì đề tài rộng nên kinh nghiệm trình bày vài chủ đề mơn Hình lớp 9, chủ yếu phần đường tròn chương gần gũi với học sinh xuất nhiều kỳ thi Chỉ thấy thú vị toán thực tế giảng dạy, tốn làm cho số học sinh lúng túng chưa nắm phương pháp giải dạng toán Khi sâu tìm tịi tốn khơng học sinh nắm sâu kiến thức mà cịn tìm vẻ đẹp mơn Hình học Vẻ đẹp thể qua cách giải khác nhau, cách kẻ đường phụ, ý tưởng mà mơn Hình học có, làm học sinh u thích mơn Tốn Đó mục đích giáo viên dạy môn cần khêu gợi niềm vui, u thích học sinh mơn học Nhưng mục đích lớn việc dạy học phát triển tư học sinh hình thành nhân cách cho học sinh Qua toán học sinh có nhìn nhận đánh giá xác, sáng tạo tự tin qua việc giải tập Hình phẩm chất người I.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh cấp học THCS chủ yếu học sinh khối ôn luyện thi vào 10, thi vào trường chuyên, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp qua nhiều năm học Thời gian thực năm học 2009 - 2015 I.5 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu tài liệu mạng Thực nghiệm, đối chiếu so sánh Nhận xét II PHẦN NỘI DUNG II.1.Cơ sở lí luận Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm THCS thấy đa số học sinh sợ học mơn Hình học Tìm hiểu ngun nhân tơi thấy có nhiều học sinh chưa thực hứng thú học tập môn chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù mơn, hứng thú với mơn Hình học có Có nhiều ngun nhân, xem xét nguyên nhân sau: - Đặc thù mơn Hình học suy luận có cứ, để có kĩ học sinh nắm vững kiến thức mà cịn phải có kĩ trình bày suy luận cách logic Kĩ học sinh tương đối khó, đặc biệt học sinh lớp em làm quen với chứng minh Hình học Các em bắt đầu tập dượt suy luận có trình bày chứng minh Hình học hồn chỉnh Đứng trước tốn hình học học sinh thường khơng biết đâu, trình bày chứng minh - Trong q trình dạy tốn nhiều giáo viên xem nhẹ chưa trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển toán đơn giản SGK chưa đầu tư vào lĩnh vực này, chưa tạo hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề từ toán - Việc đưa toán phát triển toán cho phù hợp với đối tượng học sinh để có kết giáo dục tốt cịn hiều hạn chế - Học sinh THCS nói chung chưa có lực giải tốn khó, giáo viên định hướng phương pháp kiến thức vận dụng, gợi ý phạm vi tìm kiếm em giải vấn đề - Ngay với học sinh giỏi cịn e ngại với mơn Hình Học thiếu tự tin niềm đam mê II.2 Thực trạng a) Thuận lợi, khó khăn: *) Thận lợi: Tơi trực tiếp giảng dạy mơn Tốn khối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi toán ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10, thi vào trường chuyên nên thấy cần thiết phải thực đề tài "Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học lớp " Tơi đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm góp ý kiến giảng dạy, tham khảo tài liệu liên quan mạng, Học sinh độ tuổi ln động sáng tạo, ln thích khám phá học hỏi điều lạ Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số toán Hình học Điều kiện kinh tế xã hội ngày phát triển Từ quan tâm bậc phụ huynh học sinh ngày nâng lên, tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho em thiết bị đồ dùng học tập *) Khó khăn: Trong chương trình Tốn THCS “Các tốn hình học” đa dạng, phong phú trừu tượng, dạng tốn có nhiều phương pháp giải khác Học sinh học tốn khó, Hình học lạ khó vì: Để làm tốn Hình học học sinh phải vận dụng tất định nghĩa, tính chất , mà học cách linh hoạt Bên cạnh để giải tốn Hình học lớp học sinh phải nắm vững tất kiển thức, toán lớp Kinh tế gia đình khơng đồng đều, số gia đình có điều kiện cịn mải lo làm kinh tế, khơng có thời gian quan tâm đến việc học hành em mình, phó mặc cho cái, biết cho em tiền dẫn đến em hư hỏng Tác động xã hội làm số học sinh khơng làm chủ nên đua địi, ham chơi, khơng tâm vào học tập mà dẫn thân vào tệ nạn xã hội chơi game, bi da, đánh b) Thành công, hạn chế *) Thành cơng: Các tập Hình phát triển dựa toán sách giáo khoa sách tập nên mục đích cần hướng đến học sinh trung bình cần phải làm tốt tập *) Hạn chế: Giải tập toán lúc học sinh thể kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư Các tập Hình sách giáo khoa đa dạng phần lớn học sinh trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề quan trọng Do đặc điểm mơn Hình học khó, phải tư trừu tượng kèm thêm việc vẽ hình phức tạp, giải tốn hình học sinh phải vận dụng tất định nghĩa, định lí, tính chất, mà học cách linh hoạt Nên giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ vẽ hình hướng dẫn học sinh tư dựa toán c) Mặt mạnh, mặt yếu *) Mặt mạnh: Giúp cho học sinh hiểu số toán phát triển từ toán bản, quan trọng giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu hướng phát triển toán Tại phải làm vậy? Làm đạt mục đích gì? Qua giúp em say mê mơn Tốn Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình nhìn tốn nhiều góc độ học sinh tự tin hơn, thích thú với mơn học, yếu tố quan trọng q trình tự học, giúp q trình rèn luyện hình thành tư cho học sinh tốt *) Mặt yếu: Số học sinh hiểu số tốn phát triển từ tốn khơng nhiều vấn đề khó cần kiên trì cố gắng học sinh giáo viên hướng đến 1/3 số học sinh đạt điều này, học sinh khơng tạo dạng mà thầy làm vốn kinh nghiệm học sinh hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp em tự tin Việc sáng tạo khơng cần có kiến thức vơ chắn mà học sinh cần có nhạy cảm tốn học Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Điều phù hợp với học sinh giỏi nên áp dụng yêu cầu trình dạy học sinh giỏi d) Các nguyên nhân, yếu tố tác động *) Học sinh không giải được: - Học sinh chưa biết liên hệ kiến thức kiến thức nâng cao - Chưa có tính sáng tạo giải toán khả vận dụng kiến thức chưa linh hoạt *) Học sinh giải được: - Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, nhiều thời gian - Chưa sáng tạo vận dụng kiến thức Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả học mơn Tốn em lớp học khơng đồng Bên cạnh phận khơng nhỏ học sinh cịn yếu kỹ phân tích vận dụng … Một số phận phụ huynh học sinh khơng thể hướng dẫn em giải tốn hình Vì chất lượng làm tập nhà cịn thấp e) Phân tích đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt Trong hoạt động dạy học Tốn nói chung, mơn hình học nói riêng vấn đề khai thác, nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác nhiều cho ta kết thú vị Ta biết trường phổ thơng, việc dạy tốn học cho học sinh thực chất việc dạy hoạt động toán học cho họ Cụ thể truyền thụ cho học sinh đơn vị kiến thức ngồi việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức việc khơng phần quan trọng vận dụng đơn vị kiến thức học vào hoạt động toán học Đây hoạt động mà theo tơi, thơng qua dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng người giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác học sinh khai thác toán sách giáo khoa để từ xây dựng hệ thống tập từ đến nâng cao đến toán khó hoạt động khơng thể thiếu người giáo viên Từ toán chuẩn kiến thức, giáo viên khơng dừng việc giải tốn Việc khai thác số tốn hình học SGK gớp phần rèn luyện tư cho HS giỏi mà tạo chất lượng, phù hợp với học, gây hứng thú cho HS nhiều đối tượng khác + Để giải vấn đề trình giảng dạy cần toán SGK Biết phát triển toán đơn giản gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển lực tư tốn học, vừa có điều kiện tăng khả nhìn nhận vấn đề từ đơn giản từ hình thành phẩm chất sáng tạo giải toán sau + Việc phát triển toán phù hợp với đối tượng học sinh cần thiết quan trọng, vừa đảm bảo tính vừa sức giải pháp có hiệu cao việc giải tốn khơng tạo cho học sinh nhụt chí mà động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có tự tin trình học tập, bên cạnh cịn hình thành cho em u thích đam mê môn - Các em phải tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Phát huy khả sáng tạo, phát triển khả tự học, hình thành cho học sinh tư tích cực ,độc lập kích thích tị mị ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho em II.3 Giải pháp, biện pháp a Mục tiêu giải pháp, biện pháp : Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học - Tìm tịi, tích lũy đề toán nhiều dạng sở vận dụng kiến thức học - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề - Giải hướng dẫn học sinh cách giải - Khai thác toán giúp học sinh hướng giải toán khai thác - Trang bị cho em dạng toán bản, thường gặp - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Kỹ nhận dạng đề phương pháp giải thích hợp trường hợp cụ thể Giúp học sinh có tư linh hoạt sáng tạo - Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức học sinh thơng qua kiểm tra Qua kịp thời điều chỉnh nội dung phương pháp giảng dạy - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích dạng tốn hình học, thơng qua tốn có tính tư b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp Trong đề tài tơi đưa số tốn có liên quan đến: ĐƯỜNG TRỊN VÀ TIẾP TUYẾN I Dạng tốn đường tròn Bài 1: Cho hai đường thẳng a b cắt O Trên a lấy điểm A b lấy điểm B Có đường trịn qua ba điểm O, A, B? Tìm hiểu đề Bài liên quan đến xác định đường tròn qua ba điểm O, A, B O giao điểm hai đường thẳng a, b A B hai điểm thuộc a b Hướng dẫn cách tìm lời giải Lưu ý A B nằm hai phía O, ngồi A B trùng với O khác O Do xét trường hợp sau: - O khác A B; - A trùng với O B khác O ngược lại; - Ba điểm O, B, A trùng Cách giải: `- Trường hợp O khác A B, ba điểm O, a B A, B khơng thẳng hàng nên có có đường trịn qua ba điểm A, O, B O - Trường hợp A trùng với O B khác O (hoặc A b B trùng với O A khác O) có vơ số đường Hình trịn qua hai điểm O B mà tâm chúng nằm đường trung trực đoạn thẳng OB OA - Trường hợp A B trùng với O có vơ số đường trịn qua O mà tâm điểm tùy ý mặt phẳng.( cho đường trịn qua ba điểm O, A, B biến thành điểm O) Khai thác toán: Với toán ta thêm câu hỏi sau: +) Tính bán kính đường trịn qua O, A, B trường hợp: 1) OAB vuông O với OA = m; OB = n 2) OAB vuông cân O với OA = OB = p 3) OAB với cạnh q Giải: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học 1) Nếu OAB vng O tâm đường trịn trung điểm cạnh huyền AB bán kính m2 n2 2) Nếu OAB vng cân O tâm đường tròn trung điểm AB bán kính p 2 3) Nếu OAB cạnh q tâm đường trịn giao điểm G ba đường trung tuyến tam giác OBA bán kính OG 2/3 đường cao tam giác tức q 3 q 3 Bài 2: Cho đường tròn tâm O điểm A bên đương tròn Qua A dựng dây BC cho B1 a) BC có độ dài nhỏ C A b) BC nhận A làm trung điểm M Tìm hiểu đề bài: C1 O Đây tốn dựng hình đương trịn (O) Yêu cầu B phải dựng qua điểm A cho trước bên (O) dây BC cho BC có độ dài nhỏ nhất, BC nhận A làm trung điểm (HìnhHình 2a)7a Hướng dẫn cách tìm lời giải a) Hãy thay “Dây BC có độ dài nhỏ nhất” “ Khoảng cách OM từ tâm O đến dây lớn nhất”, nhận xét OM OA, từ OM lớn OA suy cách dựng BC (hình 2a) b) Do AB phải AC nên nối OA OA BC Từ suy cách dựng BC (hình 2b) Cách giải: a) Gọi BC dây qua A cách tâm O khoảng OM Ta thấy BC có độ dài nhỏ OM có độ dài lớn Do OM OA nên OM lớn OM = OA tức M trùng với A Suy cách dựng sau đây: qua A dựng dây B1C1 vng góc (Hình 2b) với OA Dây B1C1 dây có độ dài nhỏ Bài tốn có nghiệm hình b) Giả sử BC dây dựng mà A trung điểm Nối AO ta có C A B O Hình 7b OA BC Suy cách dựng sau đây: Nối A với tâm O dựng đường thẳng vng góc với OA A cắt (O) B C Dây BC dây cần dựng Bài tốn có nghiệm hình Khai thác tốn: S1 S Có thể đặt thêm câu hỏi sau: A Tìm đường trịn (O) điểm S cho OSA lớn T1 O Giải: Kéo dài SA cắt (O) T ta thấy tam giác cân T SOT có cạnh bên khơng đổi OSA lớn SOT nhỏ tức dây ST nhỏ ( hình 2c) Hình 7C Như toán quy câu a trên: Dựng dây S1T1 có độ dài (Hình 2c) nhỏ với S1T1 OA ta điểm S1 phải tìm Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Bài 3: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán tập 1) Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK (*) (Gợi ý kẻ OM CD ) Giải: Ta có AH CD BK CD (gt) nên AH// BK Tứ giác AHKB hình thang Kẻ OM CD M MC = MD (1) ( ĐL quan hệ vng góc đường kính dây) Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK ( CD ) OM đường trung bình hình thang MH MK (2) Từ (1) (2), ta có CH = DK Đối với tập ta khai thác theo hai hướng sau : + Hướng thứ : Từ toán (*) dây cung CD cắt đường kính AB kết luận CH = DK có cịn khơng? Kết luận có tốn khó toán (*) chút sau: Bài 3.1: Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB G Gọi H K hình chiếu A B CD Chứng minh CH = DK Hướng dẫn giải: Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD HK có chung trung điểm Qua O vẽ đường thẳng song song với AH BK cắt CD I, cắt AK F Lập luận để có OI đường trung trực đoạn CD FI đường trung bình tam giác AHK I trung điểm HK đpc/m Cũng toán phát triển dạng khác phức tạp sau: Bài 3.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Chứng minh hình chiếu vng góc cạnh đối diện tứ giác đường chéo CD ( Cách giải hoàn toàn tương tự 1) Bài 3.3: Gọi G điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng với A B) Lấy AB, AG BG làm đường kính, dựng đường trịn tâm O, O1, O2 Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) C D, cắt (O1) H, cắt (O2) K Chứng minh CH = DK Hướng dẫn giải: Lập luận để có AH CD BK CD Cách giải hoàn toàn tương tự 1) + Hướng thứ hai: Bài 3.4: Thêm vào tập câu b sau: Chứng minh H K bên ngồi đường trịn (O) Giải : ( dùng phương pháp phản chứng) Giả sử chân đường vng góc hạ từ A đến đường thẳng CD H’ H’ điểm nằm hai điểm C D Xét ACH , ta có : ACH' ACB BCD 900 BCD Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học ACH' 900 Mà ACH' 900 (theo giả sử) Tổng góc ACH lớn 1800 điều vơ lí Vậy H’ phải nằm ngồi đường trịn(O) hay H nằm (O) Chứng minh tương tự điểm K * Nhận xét: Từ việc vẽ OM CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy SOMH SOMA SOMK SOMB SOHK SAMB HK.OM = AB.MM’(với MM ' AB M’) Bài 3.5: Qua nhận xét ta thêm vào câu c: Chứng minh S AHKB SACB SADB Vẽ thêm CC ' AB, DD' AB ( C ', D ' AB ) Ta có CC ' DD ' MM ' (MM’ đường trung bình hình thang CDD’C’) HK.OM AB CC ' DD ' AB CC ' DD ' SACB SADB 2 Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM đường trung bình hình thang AHBK, nên OM Từ S AHKB AH KB ) SACB SADB (đpc/m) Bài 3.6: Đặc biệt CD dây mà CD trở thành tiếp tuyến (O) hình vẽ bên ta có SAMB SHOK HK.OM AB.MM ' ( lúc M thuộc nửa đường tròn (O) nên AB = 2OM Do ta có HK.OM = 2OM.MM’ MM ' HK Dựa vào điều kiện điểm thuộc đường trịn ta có M ' ( M ; (M ; HK ) HK ) tiếp xúc với AB M’ Từ ta có tập Bài 3.7: Từ tốn ta lại có tốn quỹ tích: a/ Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng CD C (hoặc D) chạy đường trịn (O) b/ Tìm quỹ điểm H K C ( D) chạy đường trịn O đường kính AB Từ tốn phát biểu tốn đảo sau : Bài 3.8 : Trên đường kính AB đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H K cho AH = KB Qua H K kẻ hai đường thẳng song với cắt đường tròn hai điểm C D ( C, D thuộc nửa đường tròn tâm O) Chứng minh HC CD , KD CD Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB M điểm nửa đường trịn M A, B Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H K chân đường vng góc hạ từ A, B xuống xy Chứng minh : Đường trịn (M) đường kính HK tiếp xúc với AB ( Xác định vị trí tương đối (M) với đường thẳng AB M chạy (O)) Bài 5: Cho đoạn thẳng HK, qua H, K vẽ đường thẳng d d’ vng góc với HK Một góc vng với đỉnh trung điểm M HK có cạnh cắt d A, cạnh cắt d’ B Chứng minh Ab tiếp tuyến đường trịn đường kính HK Giải : Vẽ MD AB D AB (1) Gọi C AM d ' Ta có AMH CMK g.c.g MA = MC ABC có BM vừa đường cao, vừa trung tuyến nên ABC cân B BM phân giác ABC MDB MKB ( cạnh huyền – góc nhọn) MD MK mà MH MK HK (2) Từ (1) (2) suy Ab tiếp tuyến đường trịn đường kính HK Bài 6: Cho tứ giác AHKB có đường trịn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng HK Chứng minh đường trịn đường kính HK tiếp xúc với đường thẳng AB AH // BK Giải : Gọi O O’ trung điểm AB HK Vẽ O ' D AB , nối OO’ ta có O ' O HK ( OO’là đường trung bình cua hình thang HABK) Đặt OO’ = a, O’D = b SO 'OA SO 'OH SO 'OB SO 'OK AB.b Mà SO 'OA SO 'OH OA.O ' D SOO ' B SO 'OK HK a O ' K OO ' AB HK AB ( Vì OO’ = a = OA = OB = AB ) HK AB.b AB.HK HK HK b O'D 2 O ' D O ' H O ' K D (O ') đường kính HK Đường trịn đường kính HK tiếp xúc với AB D Như BK // AH Bài 7: Cho đường trịn tâm O bán kính R hai dây EF GH cắt M a) Tứ giác EGFH hình gì? b) Tính khoảng cách từ O đến dây biết EF GH R Tìm hiểu đề Bài cho đương tròn (O; R) hai dây EF = GH cắt M Yêu cầu nhận dạng tứ giác EFGH tính khoảng cách từ O đến dây biết độ dài hai dây Hướng dẫn cách tim lời giải: a) Gọi OI, OJ khoảng cách từ O đến hai dây ta có E H M J I O G F Hình Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 10 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học OI = OJ Từ chứng minh OMI = OMJ, xét hai tam giác cân đỉnh M để suy EH // GF Do EGFH hình thang, sau chứng minh thêm hình thang cân (hình 2) b) Để tính khoảng cách OI OJ ta xét hai tam giác vuông OEI OHJ áp dụng định lý Pitago để tính Cách giải a) Do EF = GH nên khoảng cách từ tâm đến hai dây hay OI = OJ Xét OMI OMJ có: MJO MIO 900 ( gt ) OI OJ cmt OMI OMJ(ch cgv) OM chung MJ = MI (cạnh tương ứng) Hai tam giác cân đỉnh M MEH MGF có góc đỉnh M nên E1 F1 (so le trong) suy EH // GH Tứ giác EGFH hình thang có hai đường chéo EF = GH nên EGFH hình thang cân b)Xét tam giác vng OEI theo định lí Pitago ta có: R 8R 2R OI OE EI R R 9 3.2 Vậy OI = OJ = 2R Khai thác tốn: Ta nêu thêm câu hỏi sau: Nếu góc M vng: c) Tính diện tích tứ giác OIMJ bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác d) Tính tổng ME2 + MF2 + MG2 + MH2 theo R Giải: G R c) OIMJ hình vng cạnh OI = nên diện tích R 6R 2R SOIMJ F M J O K Đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIMJ có đường kính OM, ta có: OM OI I E H Hình R 2R R 2 Vậy bán kính đường trịn là: 3 d) Kẻ đường kính FK ta có KEF vng E (vì trung tuyến OE KEF 1/2 cạnh KF) Do KE // HG ( EF) nên EG KH suy EG = KH Xét hai tam giác vng EMG HMF, theo định lý Pytago ta có: ME2 + MG2 = EG2 (1) MF2 + MH2 = FH2 (2) Cộng vế (1) (2) ta được: ME2 + MG2 + MF2 + MH2 = EG2 + FH2 = KH2 + FH2 = KF2 ( tam giác HF vng H) Vậy tổng phải tìm KF2 = (2R)2 = 4R2 Bài 8: Cho đường tròn tâm O dây cung AD Từ D vẽ tia Dx vng góc với OD Đường kính vng góc với OA cắt AD B Dx C a) Chứng minh BCD cân b) Chứng minh trục đối xứng dây AD song song với trung tuyến CM tam giác BCD Tìm hiểu đề bài: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 11 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Đề cho đường trịn (O) dây cung AD, tia vng góc với OD đường x kính vng góc với OA u cầu chứng minh tam giác cân trục đỗi xứng C song song với trung tuyến tam giác cân Hướng dẫn cách tìm lời giải: a) Để chứng minh BCD cân ta cần chứng minh tam giác A B M có hai góc đáy ( B D ) cách xét tam D giác vuông AOB tam giác cân OAD (hình 4) O b) Trục đối xứng AD đường trung trực nó, trung tuyến CM trung trực BD Từ ta suy điều phải chứng minh Cách giải Hình a) Trong tam giác vng AOB ta có: A B1 90 CD tiếp tuyến (O) D, D1 D2 900 Nhưng A D1 tam giác ODA cân Từ B1 D2 ; B1 B2 (đối đỉnh), suy B2 D2 Vậy BCD cân C b) Trục đối xứng dây AD trung trực nên vng góc với AD Đường trung tuyến CM tam giác cân BCD vng góc với BD nên vng góc với AD Suy trục đối xứng dây AD song song với trung tuyến CM BCD Khai thác toán: Với tốn ta nêu thêm câu hỏi sau: c) Chứng minh hệ thức: OA.BM = OB.CM Thật vậy: Xét AOB CMB (g,g) ta có OA OB CM BM suy OA.BM = OB.CM (đpcm) Bài 9: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính MN dây DE Gọi P Q theo thứ tự hình chiếu M N đường thẳng DE Đường thẳng NQ cắt nửa đường tròn G Goi H trung điểm dây DE I hình chiếu H MN, chứng minh: a) OH MG b) OH.MG = MN.HI Tìm hiểu đề Q E Bài cho nửa đường trịn đường kính MON dây DE với H trung điểm Hình chiếu đường kính MN D H G P đường thẳng DE PQ Hình chiếu H MN I Yêu cầu phải chứng minh hai đoạn thẳng vng góc 1 hệ thức (hình 5) M M' I O E' Hướng dẫn tìm lời giải Hình a )Trước hết chứng minh MGN 90 MG // PQ Kết hợp với H trung điểm DE để suy điều phải chứng minh b) Xét hai tam giác vuông đồng dạng OIH NGM Cách giải: a) MGN vuông G trung tuyến OG = PQ QN suy MG // PQ MN, nên MG QN Ta lại có Do H trung điểm DE nên OH DE tức OH PQ Vậy OH MG b) Ta có OH // NQ nên O1 N1 (đồng vị) Do OIH NGM Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Bn Trấp – Krông Ana 12 N Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học OH HI hay OH.MG = MN.HI MN MG Khai thác toán: Với toán ta hỏi thêm : Chứng minh PD = EQ diện tích tứ giác MPQN tổng diện tích hai tam giác MDN MEN Thật vậy: Hình thang vng MPQN có OH đường trung bình nên HP = HQ, ngồi HD = HE Do HP – HD = HQ – HE hay PD = EQ Kẻ DD’ EE’ vng góc với MN ta có: SMDN SMEN = 1 DD'+EE' MN DD'+ MN EE' =MN 2 mà DD'+EE' HI hình thang vng DD’E’E nên tổng diện tích MN.HI Theo câu b MN.HI = OH.MG diện tích tứ giác MPQN hình thang có diện tích MP NQ MG OH MG SMDN SMEN Vậy SMPQN Bài 10: Cho đường trịn tâm O đường kính AB dây CD cắt bán kính OA I Kẻ AE, BH vng góc với CD Qua O kẻ đường kính vng góc với CD G cắt EB M Chứng minh: a) M trung điểm EB G trung điểm EH b) EC = HD Tìm hiểu đề bài: Đề có chỗ tương tự yêu cầu phải chứng minh hai trung điểm hai đoạn thẳng hai đoạn thẳng EC = HD PD = EQ (ở phần khai thác toán trước) Hướng dẫn tìm lời giải: a) Hãy chứng minh OM đường trung bình tam giác AEB MG đường trung bình tam giác EHB (hình 6) b) Áp dụng định lý đường kính vng góc với dây chia đơi dây lưu ý G trung điểm EH (theo câu a) để đẳng thức cần chứng minh Cách giải a) Ta có OM // AE vng góc với CD Điểm O lại trung điểm AB nên OM đường trung bình tam giác EAB, suy M trung điểm EB Xét tam giác EHB có MG // HB vng góc với CD, lại qua trung điểm M EB nên MG đường trung bình tam giác EHB suy G trung điểm EH b) Do OG CD nên G chia dây CD thành hai phần hay GC = GD (1) Mặt khác G lại trung điểm EH nên GE = GH (2) Trừ vế (1) cho (2) ta EC = HD Khai thác tốn: Bài thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng: c) AE IG = IE OG; b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh) II Dạng toán tiếp tuyến đường trịn Bài tốn ( 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1) Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phảng bờ Ab) Qua điểm M D H G I A O E M C Hình Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 13 B Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học thuộc nửa đường trịn ( M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: a) COD 900 b) CD = AC + BD c) Tích AC.BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường trịn Giải : a) Xét (O) có CA, CM tiếp tuyến (O) OC tia phân giác AOM hay O1 O2 ( t/c tiếp tuyến) (1) Tương tự DB, DM tiếp tuyến (O) O3 O4 (2) Từ (1) (2) O1 O4 O2 O3 Mà O1 O2 O3 O4 1800 O1 O4 O2 O3 900 hay COD 900 (đpc/m) b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM DB = DM Mà M CD CD CM MD CD CA BD Vậy CD CA BD (đpc/m) c) Xét COD vng O (c/mt), có: OM CD (gt) OM CM DM ( đ/l) Mà CA = CM DB = DM OM AC.BD mà OM = R (gt) AC.BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường trịn (đpc/m) y D t Tơi khai thác tốn sau: 1) Đối với học sinh trung bình: a) OC OD cắt AM BM theo thứ tự E F Xác định tâm P đường tròn qua bốn điểm O, E, M, F b) Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ hình chữ nhật tính diện tích nhỏ Tìm hiểu đề bài: Bài cho nủa đường tròn tâm O ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B M (O) Yêu cầu chứng minh đẳng thức, bốn điểm thuốc đường trịn diện tích nhỏ tứ giác tạo thành Hướng dẫn cách tìm lời giải: a) Chứng minh tứ giác OEMF hình chữ nhật nên giao điểm P hai đường chéo cách bốn đỉnh hình chữ nhật x N Q M C E P F A O b) Tứ giác ACDB hình thang, diện tích B Hình 11 AC BD AB Hãy chứng minh AC + BD nhỏ CD // AB Cách giải: b) Tứ giác EMFO hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật Tâm P hình chữ nhật cách đỉnh, P tâm đường tròn qua điểm O, E, M, F c) Tứ giác ACBD hình thang vng có diện tích ( AC BD).AB = ON.AB OQ.AB (ON đường trung bình hình thang) Vậy diện tích ACDB nhỏ Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 14 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học AQ.AB hay AB AB Khi N trùng với Q ACDB hình chữ nhật (tiếp AB 2 tuyến CD // AB) 2) Đối với học sinh khá, giỏi: d) Gọi K giao điểm BC AD Chứng minh: MK // AC // BD e) Gọi H giao điểm MK AB Chứng minh K trung điểm MH f) Gọi E, F giao điểm OC AM, OD BM Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng Chứng minh : Xét AKC có AC // BD (gt) KD KB DB ( KA KC AC đ/l talet) (1) CA, CM tiếp tuyến nửa đường tròn (O) nên CM = CA, DB = DM (t/c) (2) Từ (1) (2) KD MD MK / / AC ( theo định lí KA MC talet đảo) Vậy MK // AC // BD (đpc/m) Sau chứng minh MK // AC ta có thêm yêu học sinh chứng minh: CD.MK = CM.DB Chứng minh: Theo chứng minh MK //AC CKM CBD CD DB đpc/m CM MK Khai thác tốn Ta đặt thêm câu hỏi sau đây: Khi M chạy nửa đường trịn (O) c) Tìm quỹ tích N; d) Tìm quỹ tích P; e) Chứng minh tích AC.BD khơng đổi Cách giải sau: d) Vì ON đường trung bình hình thang ACBD nên ON // Ax // By Do quỹ tích N tia Qt song song cách hai tia Ax By e) Giao điểm P đường chéo hình chữ nhật OEMF cách O khoảng R PO OM điểm O cố định, khoảng cách PO khơng đổi nên quỹ tích P nửa 2 đường trịn đồng tâm với (O) bán kính nửa bán kính (O) f) Xét tam giác vng COD có OM đường cao nên OM2 = MC.MD, mà MC = AC, MD = BD OM = R đó: AC.BD = R2 khơng đổi Từ tốn ta tốn sau: Cho ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (A) D, E Chứng minh rằng: a) D, A, E thẳng hàng b) BD.CE = AH2 ( không đổi) c) DE tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài 2: Cho đường tròn (O; R) điểm A với OA R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN a) Chứng minh tứ giác AMON hình vng b) Gọi H trung điểm dây MN, chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 15 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học M Tìm hiểu đề bài: Đặc điểm cho đường tròn (O; R), khoảng cách OA R hai tiếp tuyến AM, AN Yêu cầu A H O chứng minh AMON hình vng (câu a) chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng H trung điểm dây MN N (câu b) Hướng dẫn tìm lời giải: Hình a) Hãy chứng minh cho tam giác AMO vuông cân để suy MO = AM = R, từ chứng minh AMON có bốn cạnh góc vng (hình 8) b) Chứng minh cho OH tia phân giác góc MON OA phân giác góc MAN Suy hai tia OH OA trùng Cách giải: a) Tam giác AMO vuông M OM MA (bán kính vng góc với tiếp tuyến tiếp điểm), có cạnh huyền OA R OM nên vng cân Suy MO = MA = R Tương tự tam giác ANO vuông cân N AN = NO = R Mặt khác tính chất hai tiếp tuyến cắt nên AN = AM Suy AN =AM = OM = ON = R Tứ giác AMON có bốn cạnh lại có góc vng nên hình vuông b) Do H trung điểm MN tam giác MON cân O nên OH phân giác góc MON, mặt khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt OA phân giác góc MON Suy OH trùng OA A, O, H ba điểm thẳng hàng Khai thác tốn: Ta đặt thêm câu hỏi sau: c) Một đường thẳng (m) quay xung quanh A cắt (O) P Q Goi S trung điểm dây PQ, tìm quỹ tích điểm S d) Tìm vị trí đường thẳng (m) để tổng AP + AQ lớn e) Tính theo R độ dài đoạn HI I giao điểm AO với cung nhỏ MN Giải c)Ta có OS PQ (vì S trung điểm dây PQ) M Q S Do góc ASO vng A, O cố định nên quỹ tích S P đường trịn đường kính OA Vì S nằm đường trịn (O) A H O P' nên S chạy cung MON (O) d) Kẻ đường kính P’Q’ qua A ta chứng minh tổng AP’+ AQ’ có giá trị lớn Muốn ta cần chứng N minh AP’+ AQ’ >AP + AQ Hình Thật vậy; ta có: AP + AQ = AP + AP + PQ = 2AP + 2PS = 2(AP +PS) = 2AS (1) Mặt khác: AP’+AQ’ = AP’+AP’+P’Q’ = AP’+AP’ + P’O + OQ’ = 2(AP’+P’O) = 2AO (2) Vì AO > AS nên từ (1) (2) suy 2AO > 2AS Tức AP’+ AQ’ >AP + AQ Vậy tổng AP + AQ lớn đường thẳng (m) trùng với AO e) Điểm I điểm P (theo câu d), để tính HI ta tính HP’ HP’ = OP’ – OH = R - R R(2 2) 2 Bài 3: Cho đường tròn (O; R) Từ điểm M với OM = 2R ta vẽ hai tiếp tuyến MP MQ Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 16 (m) Q' Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học a) Chứng minh tam giác MPQ tính cạnh b) Đường thẳng qua M O cắt (O) S E Tứ giác DPOQ hình gì? Tính diện tích Tìm hiểu đề bài: Bài cho (O; R) điểm M (O) với OM = 2R hai tiếp tuyến MP, MQ Yêu cầu chứng minh tam giác MPQ tính cạnh theo (câu a), xác định dạng tính diện tích tứ giác DPOQ DE đường kính qua M (câu b) Hướng dẫn cách tìm lời giải: P a)Tam giác MPQ tam giác cân (MP = MQ), chứng minh thêm góc PMQ 60 (hình 10) Để tính cạnh tam giác MPQ lưu ý MPO M N 1 D nửa tam giác có cạnh huyền MO = 2R 2 O b) Hãy chứng minh tứ giác DPOQ hình thoi Diện tích nửa tích hai đường chéo DO PQ S Cách giải: Q a) Ta có MP = MQ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Hình 10 nên tam giác MPQ cân Tam giác vng MPO có MO R (cạnh góc vng nửa cạnh huyền) nên M1 300 , mà M1 M ( MO phân giác góc tạo hai tiếp tuyến cắt M) Suy PMQ 600 OP Tam giác MPQ cân có góc 600 nên MPQ tam giác Trong tam giác vng MPO ta có: MP OP R R R Vậy cạnh tgM1 tg 30 tam giác MP R b) Do M1 300 nên tam giác vng MPO góc O1 600 DPO tam giác cân có góc đỉnh O 600 nên tam giác Chứng minh tương tự ta có tam giác ODQ tam giác Suy OP = PD = DQ = QO (= R) Vậy tứ giác DPOQ hình thoi 2 Suy diện tích tứ giác DPOQ là: SDPOQ DO.PQ R.R R2 Khai thác tốn: Có thể đưa thêm vào toán câu hỏi sau: c) Chứng minh tứ giác MPEQ hình thoi tính diện tích d) Từ O kẻ đường vng góc với PO cắt MQ S Chứng minh tam giác SMO cân, DS tiếp tuyến (O) Cách giải sau: d) Tứ giác MPEQ có đường chéo ME PQ vng góc với ME đường trx,ung trực PQ Mặt khác tam giác DPO nên đường cao PN trung tuyến, ND = NO = R/2 MN MO NO 2R - R 3R R 3R NE = NO + OE = R 2 2 Do N trung điểm ME Vậy tứ giác MPEQ có hai đường chéo vng góc cắt trung điểm đường nên hình thoi Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 17 E Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học ME.PQ MN PQ mà MN đường cao PQ ( R 3)2 3R PQ tam giác MPQ nên MN , MN.PQ = 2 2 d) Vì OS // MP (cùng vng góc với PO) nên M1 MOS (soletrong ) Diên tích hình thoi mà M1 M suy SMO cân S Ta có D trung điểm MO nên SD trung tuyến tam giác cân SMO cúng đường cao suy SD MO D SD tiếp tuyến (O) Bài 4: Cho đường tròn (O, R) Và dây cung PQ với POQ 1200 Hai tiếp tuyến P Q cắt M a) Tính cạnh tam giác MPQ b) Gọi I điểm cung nhỏ PQ K, N giao điểm tiếp tuyến I với MP, MQ Chứng minh chu vi tam giác MKN không đổi Tìm hiểu đề bài: Bài cho (O, R) POQ 1200 M giao điểm hai tiếp tuyến P Q Yêu cầu tính cạnh ∆MPQ (câu a) chứng minh chu vi ∆MKN không đổi với K, N giao điểm tiếp tuyến I với MP, MQ (câu b) Hướng dẫn cách tìm lời giải: a) Trước hết chứng minh ∆MPQ ta cần tính độ dài cạnh b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ K từ N để tìm chu vi tam giác MKN hai lần độ dài MP (hoặc MQ) Cách Giải (hình 12) a) Do tổng góc tứ giác 3600 mà P Q 1800 nên M O 1800 P K I M O E N Q Hình 12 Suy KMQ 1800 1200 600 Tam giác MPQ cân (vì MP = MQ theo tính chất hai tiếp tuyến cắt M) có góc M đỉnh 600 tam giác Do ta cần tính độ dài ba cạnh chẳng hạn MQ Xét tam giác vuông MQO nửa tam giác ( MO phân giác góc M góc O nên MQ đường cao: MQ MO 2OQ R 2 Vậy MP = MQ = PQ R b) Ta có IK = IP, NI NQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) Chu vi ∆MKN = MK + KI + IN + MN = MK + KP + MN + NQ = MP + MQ = 2MP = R khơng đổi Ta đặt thêm câu hỏi sau c) Chứng minh góc KON khơng đổi I chạy cung nhỏ PQ; d) Chứng minh tứ giác MKON hình thoi I trung điểm cung nhỏ PQ Hướng dẫn: c)Vì KO NO tia phân giác POIvà QOI nên KON POQ 600 không đổi d) Nếu I trung điểm cung nhỏ PQ KN // PQ vng góc với MO, suy ∆MKN nên MO trung trực KN Do ∆OKN cân, lại có KON 600 , nên tam giác Vậy hai tam giác MKN OKN có chung cạnh KN nên chúng Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 18 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Suy tứ giác MKON hình thoi Bài 5: Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) M từ điểm P d kẻ tiếp tuyến PN với (O) a) Tìm quỹ tích trung điểm K PO b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác PMN Tìm hiểu đề bài: Bài cho đường (O) hai tiếp tuyến PM, PN xuất phát từ điểm P PM Yêu cầu tìm quỹ tích trung điểm PO quỹ tích trực tâm tam giác PMN P chạy tiếp tuyến PM Hướng dẫn cách tìm lời giải: a) Từ K hạ KD vng góc với d ta có KD đường trung bình tam giác vng PMO nên KD = ½ OM khơng đổi (hình 13) Từ suy quỹ tích K b) Đường cao NL tam giác PMN cắt PO H trực tâm tam giác Chứng minh tứ giác ONHM hình thoi, từ có MH = MO khơng đổi Suy quỹ tích H Cách giải: a) Hạ KD d ta có KD đường trung bình tam giác vng PMO nên KD = ½ OM khơng đổi Điểm K cách d khoảng không đổi nên quỹ tích K đường thẳng k song song với d cách khoảng ½ OM b) Kẻ đường cao NL tam giác PMN cắt PO H Do PO vng góc với MN nên H trực tâm tam giác PMN Để tìm quỹ tích H trước hết ta chứng minh tứ giác OMHN hình thoi Thật vậy: Ta có NH // OM ( vng góc với d ), MH // ON ( vng góc với PN) nên tứ giác OMHN hình bình hành, có hai đường chéo vng góc nên hình thoi Suy MH = MO không đổi Điểm M cố định, độ dài MH khơng đổi quỹ tích điểm H đường trịn tâm M bán kính OM Khai thác tốn: Nếu đường thẳng d khơng tiếp xúc với (O) mà cách (O) khoảng OI lớn bán kính (O) gọi P điểm d, M điểm (O) độ dài PM ngắn nào? Giải: Gọi H giao điểm OI với d xét tam giác POM Hình 14 ta có (hình 14): PM MO OP OI hay PM OI OM tức PM HI (vì OM = OH) Suy PM có độ dài nhỏ HI Lúc P trùng với I M trùng với H Một số tập tham khảo: Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai Q Chứng minh: 1) BEDC tứ giác nội tiếp 2) HQ HC = HP HB 3) Đường thẳng DE song song với đường thẳng PQ 4) Đường thẳng OA đường trung trực đoạn thẳng PQ Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 19 d k M L D O K P H Hình 13 N d I H O P M Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2012 – 2013) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiếp ; 2) MB2 = MA.MD 3) BFC MOC ; 4) BF // AM Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014) Bài ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015) Cho tam giác ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M khơng trùng với H, C) Hình chiếu vng góc M lên cạnh AB, AC P Q 1) Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ 2) Chứng minh : BP BA = BH BM 3) Chứng minh : OH vng góc PQ 4) Chứng minh M thay đổi HC MP + MQ không đổi c) Điều kiện để thực giải pháp, biện pháp Để gặt hái thành tích cao học tập Học sinh nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, nhân tố giữ vai trò định thành công hay thất bại giáo viên làm công tác giảng dạy Vì em người học, người thi người đem lại thành tích Người giáo viên giảng dạy tốn phải người có nhìn tổng qt mơn tốn bậc học mình, phải người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên thuật tốn, thủ thuật giải tốn hiệu Nói tóm lại kiến thức thầy phải vững vàng, thầy thực phải người giỏi toán Cần phải lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực Cập nhật thường xuyên kiến thức mà em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy tố chất tốt em để công việc học tập em đạt hiệu cao Trong chuyên đề toán học giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải, kịp thời lưu ý cho em sai lầm giải, dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán Việc phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu Sau tập tổng hợp để học sinh phân biệt dạng tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề, phát cách giải tìm phương pháp phù hợp nhất, khoa học Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 20 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học d) Mối quan hệ giải pháp, biện pháp Để giúp cho học sinh gặt hái thành cơng, địi hỏi em phải có nỗ lực lớn Một tâm học tập hết khả thân Chính vậy, động viên, quan tâm, giúp đỡ lãnh đạo ngành, gia đình em giáo viên lớn Nhất lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi em có tác động không nhỏ đến việc học tập emm Nhận thức rõ điều đó, giáo viên cần phải dành quan tâm lớn đến em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho em có tâm lớn cơng việc học tập Đồng thời giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng tốn có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề e) Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Qua nhiều năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến tơi thấy khả vận dụng tốn hình học học sinh có nhiều tiến bộ, thể chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo bước đầu chủ động tìm tịi kiến thức góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Với đối tượng học sinh khối trường trung học sở Buôn Trấp, áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: Phương pháp tư duy, kỹ giải tập lực sáng tạo học sinh tốt Trong kiểm tra đạt kết định sau: +/ Năm học 2009 - 2010: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A5 42 40 95,2% 4,8% 9A6 40 35 87,5% 12,5% +/ Năm học 2010 - 2011: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển toán Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 40 32 80% 20% 9A3 40 35 87,5% 12,5% 9A6 40 34 85% 15% +/ Năm học 2011 - 2012: Lớp 9A1 Sĩ số 40 Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 30 75% 10 25% Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 21 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học 9A2 40 32 80% 20% +/ Năm học 2012 - 2013: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 28 66,7% 14 33,3% 9A2 40 29 72,5% 11 27,5% +/ Năm học 2013 - 2014: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 25 59,5% 17 40,5% 9A2 40 26 65% 14 35% - Giá trị khoa học: Đề tài giúp giáo viên học sinh biết cách khai thác phát triển số toán Hình học cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày I.4 Kết 1/ Nhận xét: Các tập Hình phát triển dựa tốn sách giáo khoa sách tập nên mục đích cần hướng đến HS trung bình cần phải làm tốt tập Sau GV phải giúp cho số học sinh hiểu số toán phát triển từ toán quan trọng GV cần giúp cho học sinh hiểu hướng phát triển toán Tại phải làm vậy? Làm đạt mục đích gì? Qua giúp em say mê mơn Tốn, số học sinh làm điều khơng nhiều vấn đề khó cần kiên trì cố gắng HS GV hướng đến 1/3 số học sinh đạt điều này, học sinh khơng tạo dạng mà thầy làm vốn kinh nghiệm học sinh hạn chế nên GV cần phải động viên giúp em tự tin Việc sáng tạo khơng cần có kiến thức vơ chắn học sinh cần có nhạy cảm toán học Điều phù hợp với học sinh giỏi nên áp dụng yêu cầu trình dạy học sinh giỏi Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình nhìn tốn nhiều góc độ học sinh tự tin hơn, thích thú với mơn học, yếu tố quan trọng q trình tự học, giúp q trình rèn luyện hình thành tư cho học sinh tốt 2/ Kết sau áp dụng : Trên đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn hình học 9” mà áp dụng giảng dạy thực tế trường THCS Buôn trấp, thấy chất lượng kiểm tra nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng học sinh trung bình, q trình ơn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi nâng lên rõ rệt Tôi đồng nghiệp thu kết sau: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 22 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học +) Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn + Học sinh tránh sai sót có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ củ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ III.1.Kết luận Mỗi dạng tốn Hình có phương pháp giải tập khác nhau, nhiên làm tập Hình học, học sinh có nhìn góc cạnh khác hiểu sâu sắc tập Hình học tìm đẹp mơn Tốn Cái nhìn phương diện khác cách thay đổi tốn trở thành dễ thành tốn khó Khi làm ý thức tự học học sinh cao hơn, tập khó trở nên dễ hơn, quan trọng học sinh có tự tin làm tập Để làm giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy tốn khó tốn HS cảm thấy thân tạo tốn có dạng tương tự Chính mà tơi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn tốn, thay đổi phong cách học tập tư cho phù hợp với lứa tuổi, cách nêu nên cách dạy số tốn Hình học sách giáo khoa, thay đổi, phát triển tốn thành toán khác Làm học sinh thấy tự tin gặp toán lạ có khả tự tìm lời giải cho tốn, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu sống đại - Mặc dù thân tơi có cố gắng nhiều q trình viết SKKN thời gian nghiên cứu chưa nhiều, lực có hạn, q trình cơng tác kinh nghiệm cịn nên khơng thể tránh thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu q thầy đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài tơi hồn thiện triển khai áp dụng vào thực tiễn III.2 Kiến nghị Căn vào nhiệm vụ đề cập kết nghiên cứu sau nhiều năm đề tài, mạnh dạn đề xuất số ý kiến chủ quan thân phương pháp “Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học 9” nói riêng mơn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm cách giải, từ khiến em u thích mơn góp phần nâng cao chất lượng mơn: */ Đối với lãnh đạo Phịng giáo dục: - Tăng cường tổ chức chuyên đề phương pháp dạy dạng toán phù hợp với đối tượng học sinh trường Tổ chức nhiều buổi chuyên đề mảng kiến thức khó để giáo viên chia sẻ, học tập lẫn khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ Nên phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay cấp huyện, cấp tỉnh thành chuyên đề để giáo viên chúng tơi học tập, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy */ Đối với lãnh đạo trường: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 23 Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học - Chỉ đạo đổi cách sinh hoạt tổ mơn theo hướng tích cực, trọng đến phương pháp nâng cao chất lượng học tập học sinh khơng nên mang nặng tính hình thức - Nếu cho áp dụng SKKN tồn khối để kiểm tra tính thực tế - Tạo điều kiện thời gian cho giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ - Kết hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh tạo điều kiện học tập tối đa cho học sinh, học sinh khối */ Đối với giáo viên: - Ln tìm tịi, sáng tạo dạy học, tận dụng hội tiếp xúc với học sinh, lắng nghe học sinh nói để tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh từ nâng cao chất lượng đại trà mơn - Đổi cách đề tập, giải tập, trọng vào phương pháp lấy học sinh làm trung tâm, gây hứng thú học tập cho học sinh học mơn Tốn Khuyến khích em nhìn tốn nhiều góc độ khác nhau, từ tìm cách giải mới, hay không nên bắt buộc em phải giải theo cách - Tự học để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ, sử dụng tốt CNTT phục vụ cho hoạt dộng dạy học để tạo hứng thú học tập cho học sinh - Tận tâm với nghề dạy học, tôn trọng kết đạt học sinh dù nhỏ nhất… Xin chân thành cảm ơn! Buôn Trấp, Ngày 01 tháng 01 năm 2015 Người viết Nguyễn Anh Tuấn NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN ( Ký tên, đóng dấu ) Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 24 3x-4 = x - Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa, sách tập toán 2) Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn trung học sở 3) Sách Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác giả: Trần Thị Vân Anh) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 4) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh Hồng, Nguyễn Đồn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang Thanh…) Nhã xuất Đại học quốc gia Hà Nội 5) Sách 50 đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn ( Tác giả: Minh Tân ) Nhà xuất Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng) Nhà xuất giáo dục Việt Nam 7) Các tài liệu tham khảo Internet, Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana 25 ... Krông Ana Hướng dẫn học sinh khai thác phát triển số tốn Hình học - Tìm tịi, tích lũy đề tốn nhiều dạng sở vận dụng kiến thức học - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề - Giải hướng dẫn học sinh cách... Năm học 2012 - 2013: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 28 66,7% 14 33,3% 9A2 40 29. .. +/ Năm học 2013 - 2014: Lớp Sĩ số Số h/s chưa biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số h/s biết cách khai thác phát triển tốn Hình học Số lượng % Số lượng % 9A1 42 25 59, 5% 17 40,5% 9A2 40