(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT MỤC LỤC THỐNG NHẤT Trang A.MỞ ĐẦU 02 1- Lý chọn đề tài 02 2- Mục đích đề tài 02 3- Phạm vi đối tượng đề tài .02 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4- Phương pháp nghiên cứu 02 5- Đóng góp đề tài………………………………………… 03 B NỘI DUNG .03 1- Cơ sở lý thuyết 03 2- Nội dung đề tài 04 HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG C KẾT LUẬNPHÂN VÀ KIẾN NGHỊ: .33 CỦA TÍCH ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG D TÀI LIỆU KHẢO 34 VÀ THAM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiê ̣m 2.3 Giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiê ̣m 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI 26 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình phổ thơng, mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng Nó giúp học sinh tiếp thu tri thức rèn luyện kĩ tốn học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển lực trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện đức tính cẩn thận, xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Học Tốn cịn giúp học sinh có tư logic, rành mạch, điều tạo tiền đề cho việc tiếp cận với lĩnh vực, tình thực tế trở nên dễ dàng Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn viết lâu chưa chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn học cịn hạn chế, bên cạnh đa số giáo viên dạy cịn nặng lý thuyết tính tốn, truyền thụ kiến thức chiều,chưa trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn Do đó, nhiều học sinh học đặt câu hỏi: “ Học nội dung để làm ?” em chưa thấy không thấy hết ứng dụng thực tế Toán học đẫn đến việc học Toán đối với em trở nên gượng ép, nhàm chán Vì q trình lên lớp, ngồi việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủ động sáng tạo nắm kiến thức bản, rèn luyện kĩ giải tốn giáo viên phải người khơi gợi học sinh vận dụng tốn để giải quyêt vấn đề thực tế Điều phù hợp với mục đích đổi mới phương pháp dạy học nhà trường giúp học sinh hứng thú từ việc học nhẹ nhàng đạt hiệu tốt Tích phân phần quan trọng mơn Giải tích lớp 12 Các tốn tích phân nói chung tốn ứng dụng tích phân nói riêng đa dạng phong phú, thường có mặt kỳ thi THPT Quốc gia Những năm gần Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với mơn Tốn, tốn tích phân ứng dụng tích phân để giải toán thực tế tốn hay song gây khơng khó khăn cho học sinh kể với học sinh khá- giỏi Từ thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn khối 12 ôn thi THPT Quốc gia xây dựng thành hệ thống toán áp dụng dạy chủ đề: Tích phân ứng dụng tích phân Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày phần chun đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giải số toán thực tế” Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức lôgic, đầy đủ ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, biết vận dụng vào toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy học mơn Tốn đổi mới kỳ thi THPT Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hình thành phương pháp rèn luyện kỹ giải toán, bồi dưỡng lực tư sáng tạo Từ nâng cao khả giải tốn phần “Tích phân ứng dụng tích phân” mơn Tốn Giải tích lớp 12 Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập mơn Tốn, vận dụng kiến thức học để giải toán thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các dạng toán ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng - Các toán thực tế liên quan đến ứng dụng tích phân - Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 học sinh lớp 12A1 năm học 2018-2019 trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài: Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ Nâng cao, tài liệu tham khảo - Phương pháp phân tích tổng hợp tập nhằm xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánh giá để biết mức độ hiểu biết khả giải tốn ứng dụng tích phân học sinh cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong chương trình Tốn Giải tích lớp 12 học sinh học chuyên đề Tích phân Ứng dụng tích phân hình học chun đề hay khó đồng thời có nhiều tốn thực tế vận dụng kiến thức phần để giải Vì để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, q trình ơn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ cho học sinh tham gia kỳ thi THPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống tập để giảng dạy chuyên đề cẩn thận chu đáo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiêm ̣ Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn theo dõi q trình học tập học sinh, tơi nhận thấy q trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiến thức, không xây dựng hệ thống tập rõ ràng, không khai ứng dụng Tốn học thực tế khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến em thấy “ngại” học Tốn, thường biết áp dụng cơng thức cách máy móc em khơng hiểu học chương này, chương ví dụ chương 3- Giải tích lớp 12: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em học xong chương trình THPT khơng thể tính diện tích ngơi nhà hay diện tích mảnh đất gia đình mình, trình học tập học sinh biết giải toán sách mà chưa thấy mối liên ̣ kiến thức học với thực tế đời sống Đặc biệt phần Tích phân Ứng dụng tích phân phần có nhiều ứng dụng thực tiễn Dẫn đến hiệu học tập, kết kiểm tra, thi không cao Với thực trạng để giúp học sinh học làm thi tốt phần Tích phân ứng dụng tích phân, theo giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống tập hợp lý từ hình thành cho học sinh khả tư theo dạng toán Việc rèn luyện tư qua q trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng tìm lời giải tốn Trong sáng kiến kinh nghiệm nêu số dạng tốn của: “ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giải số toán thực tế” 2.3 Giải quyết vấn đề Để thuận lợi cho trình học tập hệ thống hố kiến thức học sinh tơi chia tốn liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giải số tốn thực tế” thành hai phần sau: Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị khơng âm x[a, b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành hai đường thẳng x = a đường thẳng x = b b S= f ( x)dx a Tổng qt: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y y = f(x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b y=f(x) b S = | f (x) | dx x a b a Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   x  x  trục Ox Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm  x 1  x 3 x  x  0   3 1 2 Do đó, diện tích cần tìm là: S x  x  dx   x  x  3 dx  Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x ln x, trục hoành đường thẳng x e Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x ln x 0  x 1 Khi e e 1 S x ln x dx  x ln xdx u ln x Đặt dv xdx    e du  dx   x2   x  Ta có S   ln x   x  1 v    x e2 x d x    2 e e  e2 1 2x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y  x  1 e , trục hoành đường thẳng x 0; x 2 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành  x  1 e2 x 0  x  0  x 1  0; 2 Vậy diện tích hình phẳng cho S  x  1 e 2x dx   x  1 e 2x dx  x  1 e dx   x  1 e x dx S1  S 2x 1 S1  x  1 e2 x dx du dx   2x v  e u x   Đặt  2x dv e dx S1  0 1 1  x  1 e2 x  e2 x dx   x  1 e x  e x  e  21 4 1 e4 e2 2x Tương tự, ta có S2  x  1 e dx  e  e Suy S    4 4 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x sin x , trục hoành đường thẳng x 0 , x  Lời giải u  x  Đặt  dv sin xdx du dx   v  cos x 1 1 x.cos x   cos x  dx  x.cos x  sin x  C 2  x 0   Xét  0;   ta có x sin x 0   x    x    x sin x  dx  Diện tích hình phẳng   0    S x sin x dx x sin x dx  x sin x dx   x sin x  dx   x sin x  dx     1        x.cos x  sin x     x.cos x  sin x    0   2 Diê ̣n tích hình phẳng giới hạn đường cong Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục đoạn  a; b Gọi D hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số đường thẳng x = a, x = b Khi b diện tích hình phẳng là: S = | f (x)  g(x) | dx a y y f(x) y= f(x) s g(x) a b a x O c x b O Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường  C  : y 3 x  x  x  ,  C  : y 2 x3  x  3x  , x 1 x 2 Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C   C  ta có  x   3x3  x  x  2 x3  x  x   x3  x  x  0   x 2  x 1 Khi diện tích hình phẳng cần tính là: 2 1 S 3 x  x  x    x  x  x  1 dx x  x  x  dx 2  x x3 x    x  x  x   dx      2x     12 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x  3x  đường thẳng x  y  0 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường y x  3x  y  x   x 3  x3  3x   x   x3  x  x  0   x 1  x  1 1 3 Diện tích S  x  3x  x  dx  x  3x  x  dx 1 S   x3  3x  x  3 dx   x  3x  x  3 dx 8 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y ( x  1)e x , y x  Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đường y ( x  1)e x , y  x   x 1 ( x  1)e x  x    x   e x   x 1  x 0  Ta có diện tích hình phẳng cần tìm 1  x3  S  x    x  1 e  dx  x   e  xe  dx   x  2e x  xe x  e   0 0 2 x x x x Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e 1 x , y   e  x Lời giải  x 0 x Phương trình hồnh độ giao điểm: (e  1) x (1  e ) x    x 1 1 x Diện tích S (e  1) x  (1  e ) x dx  (e  e ) xdx x 0 u  x du dx   x dv (e  e )dx v ex  e Đặt  x 1  x2 e x  e  e x x  x ex  e  ex  e x  ( ) d ( ) ( )d e  e           0 0 x x x Vậy e S   2 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  x  , y x  Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm ta có  x  0   x 0  x  x  x     x  x   x   x 5   x  x   x      Quan sát hình vẽ ta thấy x  x  x  3, x   0;5 Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính   S  x   x  x  dx  x   x  x  3 dx   x   x  x  3 dx   x   x  x   dx 2 1 3   x  x  dx   x  x   dx    x  x  dx 3  x3 x   x3 3x   x3 5x  109        x        0  2 3  1  Bài 6: (trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018) Cho hình ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung trịn có phương trình y   x (với x 2 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) (H ) Tính diện tích hình Lời giải: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm  x 1 (nhan) x   x  3x  x  0  x  x  0    x  (loai )    Do đó: S  3x dx   2 3  x dx  x |0   x dx     x dx 3 1 2 Tính I   x dx Đặt x 2sin t  dx 2 cos tdt    x 1  sin t   t  Đổi cận   x 2  sin t 1  t    /2  /2  /2 I   x dx    4sin t cos tdt  4 cos tdt  2  cos 2t  1 dt 2  /6  /6  /6 2  3 2 4   Suy S    3  /2 sin 2t | /2 /6 2t | /6  Bài 7: Cho  H  hình phẳng giới hạn parabol y  x nửa đường elip có phương trình y   x ( với   x 2 ) trục hoành (phần tô đậm a  b ( với a , b , c   ) Tính hình vẽ) Gọi S diện tích của, biết S  c P a  b  c Lời giải 3 9  x2   27 x   x3 x3   x3  S  x  d x   d x x     27 ln Khi         27 ln   27  x 27  81  0 3  81   Bài 5: Cho  H  hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn  x x 1 10 x  x , y  Tính diện tích  x  x  đường có phương trình y  hình  H  Lời giải Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  x y x  là:  x  x   x 1 Diện tích hình phẳng cần tính là:  10   10  S  x  x  x  dx   x  x  x   dx 3   0 1 3  13  7  S  x  x  dx   x  x   dx 3   0 1  13  7  S  x  x  dx   x  x   dx 3   0 1  13 x3  S  x   3  7  13 x3   x2   2x   6 1 Bài tốn tỷ số diện tích x2 Bài 1: Parabol y  chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính thành hai phần có diện tích S1 S2 , S1  S2 Tìm tỉ số 2 S1 S2 Lời giải Diện tích hình trịn S  r 8 x2 Ta có S1    x  dx 2  2 Suy S2 S  S1 6  12 S 3  Vậy S 9  Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017) y Cho hình thang cong  H  giới hạn đường y e x , y=0, x 0 , x ln Đường thẳng x=k (0