Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT MỤC LỤC THỐNG NHẤT Trang A.MỞ ĐẦU 02 1- Lý do chọn đề tài 02 2- Mục đích của đề tài 02 3- Phạm vi và đối tượng của đề tài .02 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4- Phương pháp nghiên cứu 02 5- Đóng góp của đề tài………………………………………… 03 B NỘI DUNG 03 1- Cơ sở lý thuyết 03 2- Nội dung đề tài 04 HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG C KẾT LUẬNPHÂN VÀ KIẾN NGHỊ: .33 CỦA TÍCH ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG D TÀI LIỆU KHẢO 34 VÀ THAM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1 1.1 Lý do chọn đề tài 1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1 1.3 Đối tượng nghiên cứu 2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 2 PHẦN NỘI DUNG 2 2.1 Cơ sở lý luận 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Giải quyết vấn đề 3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 23 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 DANH MỤC SKKN Đà ĐƯỢC XẾP LOẠI 26 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài: Trong chương trình phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng Nó giúp học sinh tiếp thu những tri thức và rèn luyện những kĩ năng toán học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Học Toán còn giúp học sinh có tư duy logic, rành mạch, điều này sẽ tạo tiền đề cho việc tiếp cận với các lĩnh vực, các tình huống trong thực tế trở nên dễ dàng hơn Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán do được viết đã lâu và chưa được chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học còn hạn chế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán, chỉ truyền thụ kiến thức một chiều,chưa chú trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm gì ?” bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế của Toán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán Vì vậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì giáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giải quyêt những vấn đề thực tế Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mới phương pháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việc học sẽ nhẹ nhàng và đạt hiệu quả tốt hơn Tích phân là một trong những phần quan trọng của bộ môn Giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia Những năm gần đây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vì vậy những bài toán về tích phân và ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế là các bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể cả với học sinh khá- giỏi Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ôn thi THPT Quốc gia tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụng trong khi dạy chủ đề: Tích phân và ứng dụng của tích phân Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức lôgic, đầy đủ về ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, biết vận dụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học môn Toán cũng như những đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “Tích phân và ứng dụng của tích phân” của môn Toán Giải tích lớp 12 Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế 1 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các dạng toán về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng - Các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của tích phân - Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 và học sinh lớp 12A1 năm học 2018-2019 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài: Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao, các tài liệu tham khảo - Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệ thống bài tập đi từ dễ đến khó - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánh giá để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán ứng dụng tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 học sinh được học chuyên đề Tích phân và Ứng dụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay và khó đồng thời có nhiều bài toán thực tế có thể vận dụng kiến thức phần này để giải quyết Vì vậy để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũng như rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trong quá trình ôn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thi THPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập để giảng dạy chuyên đề này cẩn thận chu đáo 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của học sinh, tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiến thức, không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán học trong thực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy “ngại” học Toán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các em không hiểu học chương này, chương kia ví dụ như chương 3- Giải tích lớp 12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em đã học xong chương trình THPT nhưng vẫn không thể tính được diện tích ngôi nhà hay diện tích mảnh đất của gia đình mình, bởi vì trong quá trình học tập học sinh chỉ biết giải các bài toán trong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thức được học với thực tế đời sống Đặc biệt là ở phần Tích phân và Ứng dụng của tích phân đây là phần có nhiều ứng dụng thực tiễn Dẫn đến hiệu quả học tập, kết quả các bài kiểm tra, bài thi không cao Với thực trạng ấy để giúp học sinh học và làm bài thi tốt hơn ở phần Tích phân và ứng dụng của tích phân, theo tôi giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống bài tập hợp lý từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo 2 các dạng toán Việc rèn luyện tư duy qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” 2.3 Giải quyết vấn đề Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh tôi chia các bài toán liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” thành hai phần như sau: Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm x[a, b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là b S= f ( x) dx � a Tổng quát: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b b là y=f(x) x a b S = | f (x) | dx a 2 Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f  x   x  4 x  3 và trục Ox Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x 1 � x3 � x2  4 x  3  0 � � 3 3 x  4 x  3 dx  �   x2  4 x  3 dx  Do đó, diện tích cần tìm là: S  � 2 1 1 4 3 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, trục hoành và đường thẳng x  e Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x ln x  0 � x  1 e e 1 1 x ln x dx  � x ln xdx Khi đó S  � 3 1 � e du  dx � u  ln x � �x 2 � ex e2 x2 � x dx   Đặt �dv  xdx � � 2 Ta có S  �2 ln x �  � 2 2 4 x � � � 1 � 1 v � 2 e  1 e2  1 4 2x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị hàm số y   x  1 e , trục hoành và các đường thẳng x  0; x  2 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là  x  1 e2 x  0 � x  1  0 � x  1� 0; 2 Vậy diện tích của hình phẳng đã cho là 1 2 0 2 0 1 1 1 S�  x  1 e2 x dx  �  x  1 e2 x dx  �  x  1 e2 x dx  �  x  1 e2 xdx  S1  S 2 0 S1  �  x  1 e2 x dx 1 du  dx � u  x 1 � � � � 1 2x Đặt � v e d v  e 2 x dx � � � 2 0 0 0 0 1 1 2x 1 1 1 3 S1   x  1 e 2 x  � e dx   x  1 e 2 x  e 2 x  e 2  2 21 2 4 4 4 1 1 1 2 1 4 1 2 e4 e2 3 2x S  x  1 e d x  e  e   S    Tương tự, ta có 2 � Suy ra 4 4 4 2 4 1 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x sin 2 x , trục hoành và các đường thẳng x  0 , x   Lời giải du  dx � ux � � �� Đặt � 1 dv  sin 2 xdx � v   cos 2 x � � 2 1 1 1 1  x sin 2 x  dx   x.cos 2 x  �  cos 2 x  dx   x.cos 2 x  sin 2 x  C � 2 2 2 4 x0 � �  Xét trên  0;   ta có x sin 2 x  0 � �x  � 2 � x  � Diện tích hình phẳng là   2 0 0   2   x sin 2 x  dx  �  x sin 2 x  dx S� x sin 2 x dx  � x sin 2 x dx  � x sin 2 x dx  �  2 0  2 4  2  1 1 �1 � �1 �  � x.cos 2 x  sin 2 x �  �  x.cos 2 x  sin 2 x �   �2 4 �0 � 2 4 � 2 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong Cho hai hàm số y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên đoạn  a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b Khi đó b diện tích hình phẳng là: S = | f (x)  g(x) | dx a y y f(x) y= f(x) s g(x) a x b a O c x b O 3 2 Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  C  : y  3x  x  4 x  1 ,  C�  : y  2 x 3  x 2  3x  1 , x  1 và x  2 Lời giải  ta có Xét phương trình hoành độ giao điểm của  C  và  C � x  1 � � x2 3x  x  4 x  1  2 x  x  3x  1 � x  2 x  x  2  0 � � � x 1 � 3 2 3 2 3 2 Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là: 2 2 1 1 S� 3 x3  x 2  4 x  1   2 x3  x 2  3 x  1 dx  � x 3  2 x 2  x  2 dx 2 2 3 2 �4 �  �  x  2 x  x  2  dx  �x4  23x  x2  2 x �  125 � � 1 1 3 2 Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  4 và đường thẳng x  y  1  0 Lời giải 5 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  x 3  3x 2  4 và y  x  1 là x3 � � x 1 x3  3x 2  4  x  1 � x3  3x 2  x  3  0 � � � x  1 � S Diện tích S 1 3 1 1 x 3  3 x 2  x  3 dx  � x 3  3x 2  x  3 dx � 1 3 1 1  x3  3x 2  x  3 dx  �  x 3  3x 2  x  3 dx  8 � Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ( x  1)e x , y  x 2  1 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y  ( x  1)e x , y  x 2  1 là x 1 x 1 � � ( x  1)e x  x 2  1 � �x �� x0 e  x 1 � � Ta có diện tích hình phẳng cần tìm là 1 1 1 �x 3 � S� x  1  x  1 e d x  x  1  e  xe d x      �  �3  x  2e x  xe x �  e  83 � �0 0 0 2 x 2 x x x Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   e  1 x , y   1  e  x Lời giải x0 � x 1 � x Phương trình hoành độ giao điểm: (e  1) x  (1  e ) x � � 1 1 (e  1) x  (1  e ) x dx  � (e  e x ) xdx Diện tích S  � x 0 0 ux � du  dx � � � dv  (e  e x ) dx v  ex  e x � � Đặt � 6 1 1 1 � x2 � e ( e  e ) x d x  x ( ex  e )  ( ex  e )d x   e  ex �  1 � � � 1 4 2 430 0 �2 �0 2 0 x x 1 x 0 Vậy S e 1 2 2 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x  4 x  3 , y  x  3 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có �x  3 �0 x0 � 2 � x  4x  3  x  3 x 2  4 x  3  x  3 � �� �� x5 � �� 2 x  4 x  3    x  3 �� Quan sát hình vẽ ta thấy x  4 x  3 �x  3, x � 0;5 Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là 2 5   S� x  3  x 2  4 x  3 dx 0 1 3 5 �  x  3  x 2  4 x  3 dx  �  x  3  x 2  4 x  3  dx  �  x  3  x 2  4 x  3  dx 0 1 1 3 3 5 �   x 2  5 x  dx  �  x 2  3 x  6  dx  �   x 2  5 x  dx 0 1 3 1 3 5 � x 5 x � �x 3x � � x 3 5 x 2 � 109 �    6x � �   � �  � 2 �0 �3 2 2 �3 6 � 3 � � 3 1 3 2 3 2 Bài 6: (trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018) Cho hình ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  3x 2 , cung tròn có phương trình y  4  x 2 (với 0 �x �2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) (H ) Tính diện tích của hình 7 Lời giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm x 1 (nhan) � 3 x 2  4  x 2 � 3x 4  x 2  4  0 � x 2  1 x 2  4  0 � � x  1 (loai ) �    Do đó: 1 2 2 2 3 3 1 3 S  �3x dx  �4  x dx  x |0  �4  x 2 dx   �4  x 2 dx 3 3 1 0 1 1 2 2 2 Tính I  �4  x 2 dx 1 Đặt x  2sin t � dx  2 cos tdt 1  � x  1 � sin t  � t  � � 2 6 Đổi cận � �x  2 � sin t  1 � t   � 2 2 I  �4  x dx  2 1  /2 �4  4sin 2 t 2cos tdt   /6  /2 �4 cos  /6 2 tdt   /2 �2  cos 2t 1 dt  /6 2 3  3 2 3 2 3 4  3    Suy ra S  3 3 2 6  sin 2t | //62 2t | /6/ 2  3 Bài 7: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2 và nửa đường elip 2 1 có phương trình y  4  x 2 ( với 2 �x �2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong 2 a  b 3 hình vẽ) Gọi S là diện tích của, biết S  ( với a , b , c �� ) Tính c P abc 8 Ta có x 2  27 x x 2 27 2 � x  3, � x 0, x   �x9 x 27 27 x 2 3 3 9 � 2 x 2 � 9 �27 x 2 � �x 3 x 3 � � x3 � x  d x   d x    27 ln x  Khi đó S  � � � � � � � � �  27 ln 3 27 � � x 27 � 81 �3 0� 3� �2 81 �0 � Bài 5: Cho  H  là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình y   x khi x �1 � 10 x  x2 , y  � Tính diện tích của 3 �x  2 khi x  1 hình  H  Lời giải Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y   x và y  x  2 là:  x  x  2 � x  1 Diện tích hình phẳng cần tính là: 1 3 10 10 � � � � 2 2 S � dx  � dx � x  x  x� � x  x  x  2� 3 3 � 1� � 0� 1 3 1 3 13 � �7 � 2� 2 S� dx  � dx � x x � � x  x  2� 3 3 � � � � 0 1 13 � �7 � 2� 2 S� dx  � dx � x x � � x  x  2� 3 3 � � � � 0 1 1 3 � � 13 13 2 x 3 � �7 2 x 3 S  � x  �  � x   2x �  3 �0 �6 3 �6 �1 2 4 Bài toán tỷ số diện tích x2 Bài 1: Parabol y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 2 S 1 thành hai phần có diện tích là S1 và S2 , trong đó S1  S2 Tìm tỉ số S 2 Lời giải Diện tích hình tròn là S   r 2  8 12 2 Ta có S1  2 �8  x  2 Suy ra S x2 4 dx  2  2 3 S 2  S  S1  6  4 3 3  2 1 Vậy S  9  2 2 Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017) y Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường y  e x , y=0, x  0 , x  ln 4 Đường thẳng x=k (0