Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT MỤC LỤC THỐNG NHẤT Trang A.MỞ ĐẦU 02 1- Lý chọn đề tài 02 2- Mục đích đề tài 02 3- Phạm vi đối tượng đề tài .02 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4- Phương pháp nghiên cứu 02 5- Đóng góp đề tài………………………………………… 03 B NỘI DUNG 03 1- Cơ sở lý thuyết 03 2- Nội dung đề tài 04 HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG C KẾTMẶT LUẬNTRÒN VÀ KIẾN NGHỊ: .33 CỦA XOAY ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 THỰC TẾ Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI 23 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình phổ thơng mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng Nó góp phần hình thành phát triển phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập kết nối ý tưởng toán học, Toán học với thực tiễn, Tốn học với mơn học hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với mơn Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hố học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn hiện viết lâu chỉnh lý, bổ sung nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn học hạn chế, bên cạnh đa số giáo viên dạy cịn nặng lý thuyết tính tốn, truyền thụ kiến thức chiều, chưa trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn Do đó, nhiều học sinh học đặt câu hỏi: “ Học nội dung để làm ?” em chưa thấy không thấy hết ứng dụng thực tế Toán học đẫn đến việc học Toán đối với em trở nên gượng ép, nhàm chán Vì q trình lên lớp, ngồi việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủ động sáng tạo nắm kiến thức bản, rèn luyện kĩ giải tốn giáo viên phải người khơi gợi học sinh vận dụng kiến thức từ tốn để giải quyêt vấn đề thực tế Điều phù hợp với mục đích đổi mới phương pháp dạy học nhà trường giúp học sinh hứng thú từ việc học nhẹ nhàng đạt hiệu tốt Kiến thức chương II Hình học lớp 12: “Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu” 3: “Ứng dụng tích phân hình học” chương III Giải tích lớp 12 mạch kiến thức quan trọng mơn Tốn bậc THPT Các tốn mặt trịn xoay nói chung tốn ứng dụng mặt trịn xoay vào thực tế nói riêng đa dạng phong phú, thường có mặt kỳ thi THPT Quốc gia trước kỳ thi Tốt nghiệp THPT hiện Những toán ứng dụng mặt trịn xoay để giải tốn thực tế tốn hay song gây khơng khó khăn cho học sinh kể với học sinh khá- giỏi Từ thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn khối 12 ơn thi Tốt nghiệp THPT tơi xây dựng thành hệ thống tốn áp dụng dạy chuyên đề: Mặt tròn xoay ứng dụng mặt tròn xoay Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày phần chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải số toán thực tế” Đề tài nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức cách lôgic, đầy đủ ứng dụng thực tiễn mặt tròn xoay, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, biết vận dụng vào toán thực tế, đáp ứng u cầu đổi mới dạy học mơn Tốn đổi mới kỳ thi Tốt nghiệpTHPT 1.2 Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hình thành phương pháp rèn luyện kỹ giải toán, bồi dưỡng lực tư sáng tạo Từ nâng cao khả giải tốn phần “ Mặt trịn xoay ứng dụng” chương trình mơn Tốn lớp 12 Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập mơn Tốn, vận dụng kiến thức học để giải toán thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các toán khai thác ứng dụng mặt tròn xoay thực tế - Học sinh lớp 12A1 năm học 2019-2020 học sinh lớp 12A1 năm học 20202021 trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa mơn Tốn lớp 12 tài liệu tham khảo - Phương pháp phân tích tổng hợp tập nhằm xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên kiểm tra đánh giá để biết mức độ hiểu biết khả giải toán học sinh, từ để đánh giá xác kết phương pháp giảng dạy PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong chương II Hình học lớp 12 : Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 3: Ứng dụng tích phân hình học chun đề hay đồng thời có nhiều tốn thực tế vận dụng kiến thức mặt trịn xoay để giải Vì để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, q trình ơn lụn chuẩn bị kiến thức, kỹ cho học sinh tham gia kỳ thi Tốt nghiệp THPT yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống tập để giảng dạy chuyên đề cẩn thận chu đáo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn theo dõi q trình học tập học sinh, tơi nhận thấy q trình giảng dạy giáo viên khơng hệ thống kiến thức, không xây dựng hệ thống tập rõ ràng, khơng khai ứng dụng Tốn học thực tế khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến em thấy “ngại” học Toán, thường biết áp dụng cơng thức cách máy móc em khơng hiểu học để làm gì? Thậm chí, có em học xong chương trình THPT khơng thể tính thể tích khối gỗ hình trụ, thể tích nón mà người gia đình thường dùng trình học tập học sinh biết giải toán sách mà chưa thấy mối liên hệ kiến thức học với thực tế đời sống Dẫn đến hiệu học tập, kết kiểm tra, thi không cao Với thực trạng để giúp học sinh học làm thi tốt học phần theo giáo viên cần hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thống tập có ứng dụng thực tiễn sống cách hợp lý từ hình thành cho học sinh khả tư giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng tìm lời giải toán Với thực trạng sáng kiến kinh nghiệm hệ thống số công thức nêu số toán ứng dụng thực tế Mặt tròn xoay để học sinh học tập, tìm hiểu 2.3 Giải quyết vấn đề Để thuận lợi cho trình học tập hệ thống hố kiến thức học sinh tơi chia chun đề: Khai thác ứng dụng mặt tròn xoay để giải số toán thực tế thành hai dạng sau: Dạng 1: SỬ DỤNG CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 1.1 Bài tốn liên quan đến hình nón, khối nón a, Các cơng thức tính diện tích, thể tích hình nón, khối nón Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh l , bán kính đáy R là: S xq = π Rl Diện tích tồn phần hình nón có đường sinh l , bán kính đáy R là: Stp = π R ( l + R ) Diện tích xung quanh hình nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy R1 , R2 là: S xq = π h ( R1 + R2 ) Diện tích tồn phần hình nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy R1 , R2 là: Stp = π ( hR1 + hR2 + R12 + R22 ) Thể tích khối nón có chiều cao h , đường sinh l , bán kính đáy R là: V = π hR Thể tích khối nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy R1 , R2 là: V = π h ( R12 + R1.R2 + R22 ) b, Bài toán áp dụng Bài Để làm mũ sinh nhật người ta lấy miếng giấy hình tam giác ABC cạnh 3dm (như hình vẽ) Gọi K trung điểm BC Người ta dùng compa có tâm A bán kính AK vạch cung trịn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB AC ) cắt miếng giấy theo cung trịn Lấy phần hình quạt người ta gián cho cạnh AM AN trùng thành mũ hình nón khơng đáy với đỉnh A Tính thể tích mũ tạo thành? Lời giải 3 Ta có tam giác ABC có cạnh nên đường cao AK = Chu vi đường tròn đáy mũ chiều dài x dây cung MN ¼ = 60° suy độ dài Mặt khác số đo cung MN số đo góc tâm nên sđ MN dây cung MN độ dài đường tròn 1 3 π Ta có: x = 2π AK = 2π = 6 2 x Gọi r bán kính đường trịn đáy mũ, ta có x = 2π r ⇒ r = 2π π 3 = = 2π 2 3 3  3 105 Chiều cao mũ: h = AK − r =  −  = ÷ ÷ ÷ ÷     3 Suy thể tích mũ là: V = π r h = π ( 105 105 ) = π (dm3 ) 4 64 Bài Một cổ động viên bóng đá đội tuyển Việt Nam muốn làm nón có dạng hình nón sơn hai màu Vàng Đỏ quốc kỳ Biết thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân Cổ động viên muốn sơn màu Vàng bề ¼ mặt phần hình nón có đáy cung nhỏ MBN với ∆SMN tam giác đều, phần hình nón sơn màu Đỏ Tính tỉ số phần diện tích hình nón sơn màu Vàng với phần diện tích sơn màu Đỏ Lời giải Ta có SO = OA = OB = r ⇒ SM = r = MN Do dó tam giác OMN vng cân O Gọi S diện tích xung quanh hình nón, Sd diện tích xung quanh phần · hình nón sơn màu đỏ, ứng với góc MON = 900 nên S1 900 SV = = ⇒ = S 3600 SD S S1 900 1 = = ⇒ d = S 360 St Bài Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Bạn An muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn bạn An cắt cung trịn hình quạt bao nhiêu? Lời giải Gọi x (x>0) chiều dài cung trịn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình trịn đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2π r = x ⇒ r = x 2π Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R − r = 2 π x  Thể tích khối nón: V = π r H =  ÷ 3  2π  x2 R − 4π 2 x2 R − 4π 2 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:  x2 x2 x2 + + R − 2 2  4π x x x 4π 8π 8π 4π V2 = (R2 − )≤  8π 8π 4π    Do V lớn x 8π = R2 − x2 4π  ÷ 4π R ÷= 27 ÷ ÷  ⇔ x= 2π R = 6π Bài Một đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh khép lại , đường sinh hình nón hợp với đáy góc 60°.Biết chiều cao đồng hồ 30 cm tỉ lệ thể tích phần lớn phần nhỏ Thể tích cát (lấy gần đến hàng phần trăm) để đổ đầy phần nhỏ đồng hồ cát bao nhiêu? Lời giải Gọi x chiều cao hình nón nhỏ; 30 − x chiều cao phần lớn (Điều kiện: < x < 15 ) · Tam giác OIM vuông O có IMO = 60° , OM = OI cot 60° = ( 30 − x ) M′ O′ x I · ′O′ = 60° , Tam giác O′IM ′ vng O′ có IM x Theo giả thiết ta có pt: OI OM = ⇔ ( 30 − x ) = x ⇔ x = 10 O′I O′M ′ Thể tích phần nhỏ là: 1000π V = π x3 = ≈ 349, 07cm 9 30 – x O′M ′ = O ′I cot 60° = O M Vậy thể tích cát cần dùng để đổ đầy 349,07 cm 1.2 Bài toán liên quan đến hình trụ, khối trụ a, Các cơng thức tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: S xq = 2π Rh Diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: Stp = 2π R ( h + R ) Thể tích khối trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: V = π hR b,Bài toán áp dụng Bài (Trích đề minh họa thi TN THPT năm 2021) Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên.Biết giá tiền m2 kính 1500000 đồng Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? Lời giải Giả sử mặt đáy hình trụ đường trịn tâm I , bán kính R qua ba điểm A , B , C hình vẽ AC 4, 45 = ⇒ R = 4, 45 m · sin ABC sin150° Diện tích kính diện tích xung quanh hình hộp Diện tích kính π Rh là: Sk = 2π hR = π 4, 45.1,35 ≈ 9437000 đồng Vậy giá kính là: T = 1500000 Khi R = Bài (Trích đề thi THPT QG 2019) Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,8m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Tính bán kính đáy bể nước mà sở sản xuất dự dịnh làm Lời giải Gọi V , R thể tích bán kính bể nước cần tính Ta có: V1 = π R12 h ; V2 = π R2 h V = π R h Theo đề ta có: V = V1 + V2 ⇔ π R h = π R12 h + π R2 h ⇔ R = R12 + R2 ≈ 2, ( m ) Vậy bán kính đáy bể nước mà sở sản xuất dự định làm 2,6 m Bài Một tạ tay có hình dạng gồm khối trụ, hai khối trụ hai đầu khối trụ làm tay cầm Gọi khối trụ làm đầu tạ ( T1 ) khối trụ làm tay cầm ( T2 ) có bán kính chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r1 = 4r2 , h1 = h2 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối trụ tay cầm ( T2 ) 30 ( cm ) tạ làm inox có khối lượng riêng D = 7, g / cm3 Tính khối lượng tạ Lời giải Thể tích hai khối trụ làm đầu tạ ( T1 ) : V1 = 2π r12 h1 = 2π ( 4r2 ) h2 = 16π r2 h2 = 16.30 = 480 ( cm3 ) Tổng thể tích tạ tay: V = V1 + V2 = 480 + 30 = 510 ( cm ) Khối lượng tạ: m = D.V = 7, 7.510 = 3927 ( g ) = 3,927 ( kg ) Bài Bác Nam muốn xây dựng hố ga khơng nắp hình trụ với dung tích 3m3 Hãy tính chi phí mà bác Nam phải bỏ xây dựng hố ga, biết tiền công vật liệu cho 1m thành bê tông hố ga (thành bê tông đáy thành bê tông xung quang) 685000đồng Lời giải V = π R π R2 3 Mặt khác: S xd = 2π Rh + π R = + π R = + + π R ≥ 3 9π ( m ) (áp dụng BĐT Cơ-si) R R R Ta có: V = π R h ⇒ h = Để chi phí bác Nam bỏ nhỏ diện tích xây dựng hố ga hình trụ nhỏ nhất, S xd = 3 9π ( m ) Vậy số tiền bác Nam phải bỏ là: 685000.3 9π ≈ 6260000 đồng Bài Một công ty muốn thiết kế hộp để đựng sữa với thể tích lít Hộp thiết kế hai mơ hình sau:hình hộp chữ nhật có đáy hình vng dạng hình trụ sản xuất nguyên vật liệu giấy Biết 1m vật liệu giấy có giá 20.000 đồng Hỏi cơng ty sản xuất 100.000 hộp đựng sữa mơ hình tiết kiệm vật liệu tốn hết tiền (lấy gần đến hàng nghìn)? Lờigiải TH1: Hộp làm theo mơ hình hình hộp chữ nhật có đáy hình vng + Gọi a, b cạnh đáy chiều cao hình hộp Ta có: ba = ⇒ b = diện tích a a a a vật liệu làm hộp là: S1 = 2a + 4ab = 2a + = 2a + + ≥ TH2: Hộp làm theo mơ hình dạng hình trụ Gọi h, R chiều cao bán kính đáy hình trụ Ta có: π hR = ⇒ h = π R2 diện tích vật liệu làm hộp π     S2 = 2π R ( h + R ) = 2π  + R ÷ = 2π  + + R ÷ ≥ ≈ 5,5 πR   2π R 2π R  So sánh hai trường hợp ta thấy làm hộp theo dạng hình trụ tiết kiệm vật liệu 1.3 Bài toán liên quan đến mặt cầu, khối cầu a, Các công thức tính diện tích, thể tích hình trụ, khối trụ Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S = 4π R Thể tích khối cầu có bán kính R là: V = π R Diện tích chỏm cầu có chiều cao h mặt cầu có bán kính R là: S = 2π hR Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h khối cầu có bán kính R là: h  V = π h2  R − ÷ 3  b,Bài toán áp dụng Bài Một chậu nước hình bán cầu nhơm bán kính R = 10 cm Ban đầu lượng nước chậu có chiều cao (tính từ đáy chậu đến mặt nước) h = cm , người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín h 2 viên bi Biết thể tích khối chỏm cầu tính theo cơng thức V = π h  R − ÷  3 Hãy tính bán kính viên bi (làm trịn đến hàng đơn vị) Lời giải h  416π 2 Thể tích nước ban chậu nhơm là: V1 = π h  R − ÷ = Gọi r bán kính viên bi ( < r ≤ ) Thể tích khối cầu là: V2 =  3 4π r 2r  2r  2 2 Thể tích chỏm cầu bỏ viên bi vào là: V3 = π ( 2r )  R − ÷ = 4π r 10 − ÷    4π r ( 30 − 2r ) 416π 4π r ⇒ 416 + 4r = 4r ( 30 − 2r ) + = 3 3 ⇒ 12r − 120r + 416 = ⇒ r ≈ cm Ta có: V1 + V2 = V3 ⇒ 3  Bài Công ty vàng bạc đá quý muốn làm đồ trang sức có hình hai khối cầu giao hình vẽ Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách hai tâm khối cầu 40cm Giá mạ vàng 1m 4.700.000 đồng Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh đồ trang sức Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức gần với giá trị sau 11 Lời giải (Phần màu nhạt phần giao hai khối cầu) Gọi h chiều cao chỏm cầu Ta có h = R − d 2.25 − 40 = = 5cm 2 ( d khoảng cách hai tâm) Diện tích xung quanh chỏm cầu là: S xq = 2π Rh Vì khối cầu nên hình chỏm cầu S xq khối trang sức = S xq khối cầu −2 S xq chỏm cầu 2 Khối trang sức có Sxq = 2.4π R − 2.2π Rh = 4500π cm = 0,45π m Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức 4.700.000.0,45π = 6.640.000 đồng Bài Ông An cần làm đồ trang trí hình vẽ Phần dưới phần khối cầu bán kính 20 cm làm gỗ đặc, bán kính đường trịn phần chỏm cầu 10 cm Phần phía làm lớp vỏ kính suốt Biết giá tiền m2 kính 1.500.000 đồng, giá triền m3 gỗ 100.000.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng An mua vật liệu để làm đồ trang trí Lời giải Bán kính mặt cầu R = 20 cm ; bán kính đường trịn phần chỏm cầu r = 10cm 10 = ⇒ α = 300 20 360 − 2.30 4000π 4π 202 = cm ) Diện tích phần làm kính là: S = ( 360 Theo hình vẽ ta có sin α = Xét hình nón đỉnh tâm mặt cầu, hình trịn đáy có bán kính r = 10 cm ; l = R = 20 cm ⇒ h = 20 − 10 = 10 3cm Thể tích phần chỏm cầu Vc hom cau = 2.30 π R − π r h = 16000π − 1000π ( cm3 ) 360 3 12 Số tiền ông An cần mua vật liệu là: T=  16000π 1000π  4000π 150 +  − ÷ ÷.100 ≈ 1.005.000 3   Vậy số tiền ông An mua vật liệu 1.005.000 đồng 1.4 Bài toán kết hợp mặt tròn xoay: Bài Một bồn chứa dầu gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước 128π m3 ) Diện tích xung quanh bồn chứa nước bằng: ( Lờigiải Gọi x ( m ) chiều cao hình trụ Suy đường trịn đáy hình trụ mặt cầu có bán kính x ( m ) Thể tích bồn chứa nước thể tích khối trụ có bán kính đáy R = x , chiều cao h = x thể tích khối cầu có bán kính R = x 128π  3 ⇔ x = 2( m) Do đó: π  x x + x ÷ =   2 Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: S = π ( x + 2.x.4 x ) = 48π ( m ) Bài Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón Giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau; biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu Gọi h r chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỉ số h r Lời giải Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) Vc = π r 3 34 3 h Theo đề: VN = VC ⇔ π r h =  π r ÷ ⇔ = 43 r  Thể tích khối nón (phần ốc quế) VN = π r 2h Bài Ông An đặt hàng cho sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao làm loại chai nước có kích thước phần khơng gian bên chai hình vẽ, đáy dưới có bán kính R = cm , bán kính cổ chai r = cm , AB = cm , BC = cm , CD = 16 cm Tính thể tích V phần khơng gian bên chai nước 13 Lời giải Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1 = π R ×CD = 400π ( cm ) Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2 = π r ×AB = 12π ( cm ) Ta có MC CF = = ⇒ MB = MB BE Thể tích phần giới hạn BC : V3 = Suy ra: V = V1 + V2 + V3 = 490π ( cm ) π R MC − r ×MB ) = 78π ( cm3 ) ( Bài (Trích đề thi THPT QG 2018) Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính Giả định 1m3 gỗ có giá a (triệu đồng) , 1m3 than chì có giá 8a (triệu đồng) Tính giá nguyên vật liệu làm bút chì trên? Lời giải Thể tích phần phần lõi làm than chì: Vr = π R h = π 10−6.0, = 0, 2.10−6 π ( m3 ) Thể tích bút chì khối lăng trụ lục giác đều: V = B.h = 3 27 −6 ( 3.10−3 ) 0, = 10 10 (m ) Thể tích phần thân bút chì làm gỗ: Vt = V − Vr = 27 −6 10 − 0, 2.10−6 π ( m ) 10 Giá nguyên vật liệu làm bút chì:  27 −6  0, 2.10−6 π 8a +  10 − 0, 2.10 −6 π ÷ a ≈ 9, 07.10 −6.a (triệu đồng) ÷  10  Bài Sân vườn nhà ơng Bình có dạng hình chữ nhật với chiều dài chiều rộng mét mét Trên đó, ơng đào ao ni cá hình bán ngụt có bán 14 kính mét ( tức lịng ao có dạng nửa khối trụ cắt mặt phẳng qua trục, tham khảo hình vẽ bên) Phần đất đào lên, ơng san phần vườn lại làm cho mặt vườn nâng lên 0,1 mét Hỏi sau hồn thành, ao cá có độ sâu bao nhiêu? (Kết tính theo đơn vị mét, làm trịn đến hàng phần trăm) Lời giải Gọi h ( h > 0, m ) độ sâu cần đào ao cá (so với mảnh vườn ban đầu) Do lòng ao có dạng nửa khối trụ có bán kính mét nên thể tích đất đào lên là: V = π R h = 2π h ( m ) (1) Diện tích vườn lại sau đào ao là: S sân − Sao = 6.8 − π 22 = 48 − 2π ( m ) Do phần đất đào lên san phần vườn lại làm cho mặt vườn nâng lên 0,1 mét nên thể tích đất đào lên là: V = ( 48 − 2π ) 0,1 ( m3 ) (2) Từ (1) (2) ta có phương trình: 2π h = ( 48 − 2π ) 0,1 ⇒ h = ( 48 − 2π ) 0,1 ≈ 0, 66 ( m ) 2π Vì mảnh vườn đổ thêm đất nên độ sâu ao sau hoàn thành 0, 66 + 0,1 = 0, 76 ( m ) Bài Một khối đồ chơi gồm khối trụ khối nón có bán kính chồng lên nhau, độ dài đường sinh khối trụ độ dài đường sinh khối nón đường kính khối trụ, khối nón (tham khảo hình vẽ ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 50cm3 , Tính thể tích khối trụ? Lời giải Gọi l ; r độ dài đường sinh bán kính đáy khối trụ Khi ta có: l = 2r Suy thể tích khối trụ Vt = π r l = 2π r Gọi hn ; ln chiều cao đường sinh khối nón.Theo giả thiết ta có 15 ln = l  2  hn = l − r = 3r Khi thể tích khối nón Vn = π r hn = 3 πr Do thể tích tồn khối đồ chơi 50cm3 nên 3  3 150 π r =  + π r = 50 ⇒ π r = ÷ ÷ 3  6+  Khi thể tích khối trụ Vt = π r 2l = 2π r ≈ 38,8cm3 Vt + Vn = 2π r + Bài Người ta chế tạo đồ chơi cho trẻ em theo công đoạn sau: Trước tiên, chế tạo mặt nón trịn xoay có góc đỉnh 2β = 60o thủy tinh suốt Sau đặt hai cầu nhỏ thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác cho mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc với mặt nón Quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy mặt nón Cho biết chiều cao mặt nón cm Bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh, tính tổng thể tích hai khối cầu Lời giải Gọi R bán kính hình nón bán kính cầu lớn cầu nhỏ Thiết diện qua trục hình nón sau: SAB tam giác nên r1 , r2 2SO 2.9 ⇒ AB = = = 3 SO = =3 Gọi I tâm tam giác SAB , r1 = 3 SO =3 Tam giác SCD có chiều cao SH = SH = = Gọi J tâm tam giác SCD , r2 = 3 4 Tổng thể tích hai cầu là: V = π r1 + π r2 3 4 112 = π r13 + r23 = π ( 27 + 1) = π 3 SO = AB ( ) Dạng KẾT HỢP VỚI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 16 Một ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay để hồn thiện kiến thức tốn thực tế liên quan đến khối trịn xoay ta cần bổ sung số toán thực tế áp dụng cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay a, Hệ thống kiến thức cần nhớ: Thể tích V khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục hoành là: b V = π ∫ f ( x) dx a Thể tích V khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x), y = g ( x) hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục hoành TH1: Nếu đồ thị hai hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) nằm phía trục hồnh b 2 nằm phía dưới trục hồnh đoạn [ a; b] V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx a TH2: Nếu đồ thị hai hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) nằm hai phía so với trục hoành b f ( x) > g ( x) đoạn [ a; b] V = π ∫ f ( x)dx a TH3: Nếu đồ thị hai hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) nằm hai phía so với trục hoành b f ( x) < g ( x) đoạn [ a; b] V = π ∫ g ( x)dx a b, Bài tập áp dụng: Bài Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa Lời giải Đặt hệ trục với tâm O , tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox , đường ngang Oy ; đường trịn lớn có phương trình : x + y = 25 Thể tích hình giới hạn Ox , đường cong y = 25 − x , x = 3, x = −3 , quay quanh Ox V = π ∫ ( 25 − x ) dx = 132π −3 Bài Bạn An có cốc thủy tinh hình trụ, đường kính lịng đáy cốc cm, chiều cao lòng cốc 10 cm đựng lượng nước Bạn An nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc 17 Lời giải Xét thiết diện cắt mên vng góc với đường kính vị trí có : R − x R − x tan α ⇒ S ( x ) = ( R − x ) tan α S ( x) = R 2 Thể tích hình nêm là: V = tan α ∫ ( R − x ) dx = R tan α −R Thể tích khối nước tạo thành ngun cốc có hình dạng nêm nên Vkn = h R tan α ⇒ Vkn = R = 60cm3 3 R Bài Một trống trường có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có diện tích 1600π ( cm ) , chiều dài trống 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh trống đường Parabol Tính thể tích trống ? Lời giải Ta có chọn hệ trục Oxy hình vẽ Thiết diện vng góc với trục cách hai đáy hình trịn có bán kính r có diện tích 1600π ( cm ) , nên y r 2π = 1600π ⇒ r = 40cm Ta có: Parabol có đỉnh I ( 0; 40 ) qua A ( 50;30 ) Nên có phương trình y = − x + 40 250 O x Thể tích trống 18 50   V =π ∫ − x + 40 ÷ dx 250  −50  406000 = π cm ≈ 425, 2dm3 Bài Cho hai đường tròn ( O1 ;5) ( O2 ;3) cắt hai điểm A, B cho AB đường kính đường tròn ( O2 ) Gọi ( D ) hình thẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( D ) quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành A ( D) O1 O2 B Chọn hệ tọa độ Oxy Lời giải với O2 ≡ O, O2C ≡ Ox, O2 A ≡ Oy Đoạn O1O2 = O1 A2 − O2 A2 = 52 − 32 = ⇒ ( O1 ) : ( x + ) + y = 25 Kí hiệu ( O1 ) : ( x + ) ( H1 ) hình phẳng giới hạn đường + y = 25, Oy : x = 0, x ≥ 2 Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đường ( O2 ) : x + y = 9, Oy : x = 0, x ≥ y A ( D) O1 O2 ≡ O C x B 19 Khi thể tích V cần tìm thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình ( H1 ) xung quanh trục Ox Ta có V2 = π r = π 33 = 18π  x + )  14π (  = Lại có V1 = π ∫ y dx = π ∫  25 − ( x + )  dx = π  25 x − 3 0   1 Do V = V2 −V1 = 18π − 14π 40π = 3 2.4 Hiệu sáng kiến Qua trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy, nhận thấy hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu để giải số toán thực tế cách phân loại dạng toán cụ thể học sinh học sinh nắm bài, hiểu sâu kiến thức, nâng cao khả tư duy, tính sáng tạo giải tốn hào hứng với toán thực tế, em hiểu tầm quan trọng Toán học thực tế sống Từ kĩ giải toán nâng lên, nhiều học sinh học tốt thích học chương II- Hình học 12: “ Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu ” Trong kiểm tra kết thúc chuyên đề em trình bày chặt chẽ, lôgic đạt kết cao cụ thể: với đề kiểm tra gồm câu hỏi: Câu 1: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng tính viền, mép, phần thừa) Câu 2: Một khối lập phương có cạnh 1m chứa đầy nước Đặt vào khối khói nón có đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi thể tích lượng nước ban đầu khối lập phương 20 Câu 3: Nghiêng cốc nước hình trụ có đựng nước, người ta thấy bề mặt nước hình elip có độ dài trục lớn 10 cm , khoảng cách từ hai đỉnh trục lớn elip đến đáy cốc cm 11 cm Tính thể tích nước cốc Câu 4: Một đồng hồ cát hình vẽ, gồm hai phần đối xứng qua mặt nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục hai parabol chung đỉnh đối xứng qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết phần đồng hồ chiều cao h mực cát chiều cao bên (xem hình) Cát chảy từ xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 cm phút Khi chiều cao cát cịn cm bề mặt cát tạo thành đường tròn chu vi 8π cm (xem hình) Biết sau 30 phút cát chảy hết xuống phần bên dưới đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm? (Kết làm tròn đến hàng đơn vị) Cuối năm học 2019 – 2020 chưa áp dụng chuyên đề SKKN này,tôi chọn 40 học sinh học khối A lớp 12A1 trường THCS&THPT Thống Nhất khảo sát đề kiểm tra kết sau : Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A1 10% 13 32,5% 15 37,5% 20% 21 Cuối năm học 2020 - 2021 sau dạy chuyên đề SKKN chọn 42 học sinh học khối A lớp 12A1 trường THCS&THPT Thống Nhất khảo sát đề kiểm tra kết sau : Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A1 12 28,5 % 20 47,5 % 19 % 5% Rõ ràng sau năm học áp chuyên đề SKKN vào giảng dạy, kết học tập học sinh giải tốn ứng dụng mặt trịn xoay để giải số tốn thực tế có tiến rõ rệt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên hệ thống kiến thức đưa giảng dạy chuyên đề: “ Khai thác ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giải số tốn thực tế” Nhìn chung, chun đề hay tương đối khó lĩnh hội tri thức với nhiều học sinh Qua áp dụng chuyên đề vào giảng dạy tơi thấy với học sinh có học lực từ trung bình trở lên em biết cách khai thác ứng dụng tích phân để giải toán thuộc dạng Với học sinh khá, giỏi em khơng cịn e ngại làm tốt toán dạng đề thi kỳ thi THPT Quốc gia đề khảo sát chất lượng lớp 12 Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, em cung cấp kiến thức cách hệ thống chọn lọc cẩn thận qua rèn luyện thành thạo kĩ giải tốn Mặt khác tơi ln lưu ý với học sinh “ Trong tốn ln phải có vận dụng sáng tạo” Đặc biệt tốn có tính phân loại kì thi Do để học sinh học tốt tốn dạng yêu cầu học sinh rèn luyện thêm, đồng thời cần nhìn nhận, phân tích tính chất tính chất hình học, dấu hiệu riêng biệt áp dụng với toán Trong thực hiện đề tài tránh khỏi thiếu sót cịn hạn chế việc hệ thống dạng tốn Kính mong thầy cơ, đóng góp thêm để đề tài hồn thiện Trong thời gian tới, mong muốn mở rộng đề tài với dạng toán khác toán thực tế tính thể tích Khai thác thêm tốn ứng dụng tích phân lĩnh vực Vật lý vận dụng tốn tính qng đường, tính cơng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 22 Vũ Văn Thành Nguyễn Văn Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) tác giả Hình học 12 nhà xuất giáo dục 2.Trần Văn Hạo ( chủ biên)- Vũ Tuấn (Chủ biên) tác giả Giải tích 12 nhà xuất giáo dục Đề thi thức, đề minh họa kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018, 2019, đề thi TN THPT năm 2020 đề thi tham khảo kỳ thi TN THPT năm 2021 Đề khảo sát chất lượng lớp 12 Sở giáo dục Thanh Hóa năm 2017, 2018, 2019, 2021 Một số đề thi khảo sát trường THPT tỉnh, nước 5.Website http://baigiang.violet.vn 6.Website http://math.net.vn Báo Toán học tuổi trẻ 23 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn Trường THCS&THPT Thống Nhất, Yên Định TT Tên đề tài SKKN Các phương pháp giải phương trình bậc cao cho học sinh lớp 10 Ứng dụng biến thiên hàm số giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Mũ-Lơgarit Sử dụng tọa độ để giải tốn cực trị quỹ tích hình học khơng gian Cấp đánh giá xếp loại (Phịng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Sở GiáoDục&ĐàoTạo C 2006-2007 Sở GiáoDục&ĐàoTạo C 2007-2008 Sở GiáoDục&ĐàoTạo C 2009-2010 24 Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỷ Hướng dẫn học sinh giải tốn hình vng mặt phẳng tọa độ Oxy Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giải số toán thực tế Sở GiáoDục&ĐàoTạo B 2011-2012 Sở GiáoDục&ĐàoTạo C 2015-2016 Sở GiáoDục&ĐàoTạo C 2018-2019 25 ... vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy, nhận thấy hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu để giải số toán thực tế cách phân loại dạng toán cụ thể học sinh học sinh. .. mặt tròn xoay để giải số toán thực tế? ?? Đề tài nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức cách lôgic, đầy đủ ứng dụng thực tiễn mặt tròn xoay, giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, biết vận dụng vào toán. .. thống toán áp dụng dạy chuyên đề: Mặt tròn xoay ứng dụng mặt tròn xoay Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày phần chuyên đề với đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng mặt