Ứng dựng đạo hàm để giải một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông

thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh.Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh.Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa xôi, học chỉ l

MỤC LỤC

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Cơ sở thực tiễn 4

2.3 Thực trạng giải pháp cũ thường làm 4

2.4 Giải pháp mới cải tiến: 5

2.5 Nội dung: 5

A – KIẾN THỨC CHUNG 5

B – BÀI TẬP VẬN DỤNG 5

3 KẾT LUẬN 17

1 Kết quả của sáng kiến 17

2 Ý nghĩa của đề tài sáng kiến 18

3 Hiệu quả kinh tế, xã hội 18

4 Điều kiện và khả năng áp dụng 18

5 Những đề xuất kiến nghị 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn .”

Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất nước.Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội

Đối với môn học xã hội thì các ứng dụng thực tế là rất dễ thấy.Học môn địa lý thì các

em có thể hiểu vì sao có các hiện tượng ngày, đêm, mưa, gió vì vậy rất dễ lôi cuốn sự hứng thú của học sinh Ngược lại môn toán thì sao?Có lẽ ai đã từng học toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản như cộng, trừ nhân chia thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng đối với học sinh.Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh.Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa xôi, học chỉ là học mà thôi.Học sinh học toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi cử.Hình như ngoài điều đó ra các em không biết học toán để làm gì.Vì vậy họ có quyền nghi ngờ rằng liệu toán học có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?

Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất rõ trong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế

Sự thay đổi hình thức thi THPTQG môn toán từ tự luận sang trắc nghiệm là một trong những bước ngoặt quan trọng trong cải cách giáo dục Việt Nam Nội dung ma trận

đề thi trắc nghiệm minh họa môn toán đã được xác định, kiến thức được đề cập đến tất cả các phần của lớp 12 Một điều quan trọng mà ta dễ nhận thấy là có 5 phần kiến thức luôn

có sự xuất hiện các bài toán ứng dụng thực tế mới lạ và hay Từ đó để học sinh thấy rằng việc học môn toán không chỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong đời sống gần gũi của chúng ta Trên tinh thần đó tôi đã chọn đề tài sáng kiến “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC

TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG” Đây là nội dung mới nên học sinh thường gặp nhiều lúng túng khi giải quyết các bài toán dạng này Vì vậy, nội dung tài liệu

đã phân loại thành các phần để học sinh dễ dàng nhận biết, bao gồm rất nhiều bài tập trắc nghiệm phong phú vận dụng toán học vào thực tế Sau phần đề bài tài liệu còn có phần đáp án và lời giải chi tiết để đọc giả đối chiếu và tham khảo Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập, chủ động tự tin bước vào kì thi THPT

quốc gia sắp tới; và cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy cho học sinh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ứng dụng giải toán thực tế nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đanh giá mới và phát triển năng lực tư duy giải toán cho học sinh

Giúp giáo viên hệ thống kiến thức và hướng dẫn học sinh cách tư duy giải các bài toán ứng dụng thực tế trong chương trình phổ thông

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đưa ra một số chủ đề kiến thức trong trương trình Giải tích lớp 12 và đặt ra các bài tập toán ứng dụng thực tế

- Sử dụng một số kiến thức liên quan về hình học, giải tích lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Phương pháp điều tra – khảo sát

- Thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp thực nghiệm

- Ngoài ra còn kết hợp các tài liệu tham khảo, trao đổi chuyên môn đồng nghiệp và của các thành viên trong nhóm có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác giảng dạy

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

Để hình thành một kỹ năng không phải đơn giản mà phải trải qua một quá trình dài trên cơ sở đúc rút những kinh nghiệm vốn có, trên cơ sở phân tích, tổng hợp và vận dụng thực tế

Kỹ năng trong giải toán và và vận dụng nó trong thực tế cũng có thể được hiểu như

là những những thủ thuật, sự sáng tạo trong quá trình giải toán Đối với mỗi dạng toán đều mang trong nó những cách giải với những thủ thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh những thủ thuật đó là một điều thật sự cần thiết cho người học toán

Việc hình thành cho học sinh kỹ năng trong giải toán và vận dụng thực tế không chỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để trong mỗi tình huống

cụ thể, công việc cụ thể sẽ vận dụng khả năng nào là hợp lý Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng

2.2 Cơ sở thực tiễn

- Căn cứ vào mục đích dạy học môn Toán

- Căn cứ vào tình hình dạy ở trường và đặc điểm, khả năng của học sinh

- Căn cứ vào sách giáo khoa và chương trình hiện hành của BGD

- Căn cứ vào tình huống dạy học và từng đối tượng học sinh

- Căn cứ vào việc hướng dẫn, bồi dưỡng, rèn luyện học sinh tham gia thi các kỳ thi của Bộ Giáo dục

2.3 Thực trạng giải pháp cũ thường làm

- Các bài toán vận dụng kiến thức sách giáo khoa để giải quyết vấn đề thực tế còn ít, nếu

có thì cũng chỉ mang tính tượng trưng hoặc áp đặt khiên cưỡng

- Các tài liệu về mảng đề tài này còn rất hạn chế và không có sự phân loại rõ ràng

- Học sinh còn rất lúng túng khi giải các bài toán loại này

+ Ưu điểm:

- Đã đề cập đến các bài toán ứng dụng thực tế vận dụng các kiến thức trong chương trình

sách giáo khoa

+ Nhược điểm:

- Môn Toán trong trường phổ thông là một môn học khó, lượng kiến thức lại nhiều, đòi hỏi sự tư duy lôgic và tính trừu tượng cao Học sinh hiện nay học thấy xa rời thực tế nên

dễ nản lòng và không hứng thú học tập

+ Tồn tại và giải pháp cần được khắc phục:

Do học sinh không thấy được tính thiết thực của kiến thức nên dẫn đến học sinh không chăm học, học không đều, số đông chưa chuẩn bị ở nhà bài trước khi đến lớp

Một số giáo viên còn thiếu năng động, học hỏi, tìm tòi kiến thức mới không thoát

lý khỏi kiến thức của sách giáo khoa chậm đổi mới phương pháp dạy học

      Để khắc phục tình trạng này: Giáo viên giảng dạy cần phải đổi mới phương pháp dạy học, đẩy mạnh hơn nữa sự vận dụng của môn Toán vào thực tiễn đời sống, sử dụng nhiều

2.4 Giải pháp mới cải tiến:

+ Bản chất của giải pháp mới:

- Giảng dạy cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sách giáo khoa từ đó vận dụng các kiến thức để giải quyết các bài toán trong thực tế đặt ra

+ Tính mới, tính sáng tạo của giải pháp:

- Phân loại theo từng dạng chủ đề kiến thức rõ ràng

- Đưa ra các phần kiến thức chung tương ứng trong chương trình sách giáo khoa

- Hệ thống các bài tập toán ứng dụng thực tế theo hình thức trắc nghiệm khách quan

- Bài tập vận dụng được đề cập đều có lời giải chi tiết và phân tích tường tận

- Những bài tập cần thiết đều có hình vẽ minh hoạ rõ ràng sinh động và phong phú để học sinh dễ dàng nhận biết và vận dụng giải toán

- Các bài toán đề cập đến các nội dung gần gũi và thực tế với đời sống hàng ngày không hàn lâm xa vời

2.5 Nội dung:

A – KIẾN THỨC CHUNG

1 Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số

2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)

- Tính , giải phương trình tìm nghiệm trên D

- Lập BBT cho hàm số trên D

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN

Quy tắc riêng: (Dùng cho ) Cho hàm số xác định và liên tục trên

- Tính , giải phương trình tìm nghiệm trên

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm

- Tính 4 giá trị So sánh chúng và kết luận

B – BÀI TẬP VẬN DỤNG

Hướng dẫn giải:

Gọi , đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới Khi đó:

Bài toán 1: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc Với giá bán này thì

số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất ?

Số tiền đã giảm là: Số lượng xe tăng lên là:

Vậy tổng số sản phẩm bán được là:

Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:

Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là:

Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:

Doanh thu – Tiền vốn

Cho Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi

Vậy giá bán mới là (triệu đồng)

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải:

Đặt x B C km x ' ( ) , [0;9],BC  x236;AC  9 x

Chi phí xây dựng đường ống là C x( ) 130.000 x236 50.000(9  x) (USD) Hàm C x( ), xác định, liên tục trên [0;9] và '( ) 10000. 132 5

36



x

C x

x

2

'( ) 0 13 5 36

C x x x 169x2 25(x2 36) x2 254  x 52

(0) 1.230.000

2

  

 

 

C ; (9) 1.406.165C  Vậy chi phí thấp nhất khi x  2,5 Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km

Chọn đáp án A

Bài toán 2: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một

điểm B trên một hòn đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước.B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển.Khoảng cách từ A đến B’ là 9km Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theoACB thì số tiền ít nhất Khi đó C cách A một đoạn bằng

9km

6km

đảo

bờ biển

biển

A

B

B'

Hướng dẫn giải:

Chi phí mắc dây điện:

Khảo sát hàm ta được:

Chọn đáp án B

Hướng dẫn giải:

Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là:

Chọn đáp án A

Bài toán 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C).biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là

3000 USD Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí

ít nhất

C

Bài toán 4: Có hai chiếc cọc cao và lần lượt đặt tại hai vị trí Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng Người ta chọn một cái chốt ở vị trí trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh và của cọc (như hình vẽ).Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Bài toán 5: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng

"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất) Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương.Theo bài ra ta có: S = xy;

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là , y = thì mương có dạng thuỷ động học

Chọn đáp án D

Bài toán 6: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là

sao cho diện tích của hình quạt là cực đại Dạng của quạt này phải như thế nào?

Hướng dẫn giải:

+ Gọi là bán kính hình quạt, là độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều là

Ta cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung tròn y và bán kính sao cho diện

x y

y

x x

tích quạt lớn nhất Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt là và độ dài cung tròn , ta có diện tích hình quạt là: Vận dụng trong bài toán nàydiện tích

+ Dễ thấy cực đại Như vậy với chu vi cho trước, diện tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nó bằng nửa độ dài cung tròn

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải:

Thanh gỗ trôi qua được khi thanh gỗ chạm điểm thì Vậy khi

( nằm trên bờ mương , nằm trên bờ mương ) Do hai mương có chiều rộng bằng nhau nên tam giác vuông cân tại Khi đó

A

O

B

 Q H

 P

8m 8m

J I

Bài toán 7: Mương nước thông với mương nước , bờ của mương nước vuông góc với bờ của mương nước Chiều rộng của hai mương bằng nhau và bằng Một thanh gỗ , thiết diện nhỏ không đáng kể trôi từ mương sang mương Độ dài lớn nhất của thanh (lấy gần đúng đến chữ số phần trăm) sao cho

khi trôi không bị vướng là

(Q)

(P)

A

B

Q O

P

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải:

Ta có SEFGH nhỏ nhất  S S AEH S CGF S DGH lớn nhất

Tính được 2S  2x 3y (6 x)(6 y) xy 4 x 3y 36     (1)

Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên AE AH xy 6

CG CF   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2S 42 (4 x 18)

x

   Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi4 x 18

x

 nhỏ

2

x

Chọn đáp án C

Bài toán 9: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt

(tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó ? ( gọi là góc nhìn)

A B C D

O A

C

B 1,4

1,8

Bài toán 8:Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ Tìm tổng để diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Với bài toán này ta cần xác định OA để góc lớn nhất Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất Đặt OA = x (m) với x > 0,

ta có

Ta có bảng biến thiên

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.Ta có

f'(x) = , f'(x) = 0 x = 2,4

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải:

Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

0

f(x)

+

2,4

84 193

0 0

0

x f'(x)

Bài toán 10:Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E

dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu

là 50 000 đồng một mét Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được

Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:

Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt

nên ta có mối quan hệ:

Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

Ta có BBT

Chọn đáp án A