Sử dụng bất đảng thức cô si vào giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Người thực hiện: Hồ Thị Bình Chức vụ: Giáo viên SKKN (thuộc lĩnh vực mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Việc đổi phương pháp, hình thức dạy học kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển lực học sinh triển khai từ 30 năm qua Hầu hết giáo viên trang bị lí luận phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực q trình đào tạo trường sư phạm trình bồi dưỡng, tập huấn năm Tuy nhiên, việc thực phương pháp dạy học tích cực thực tiễn chưa thường xuyên chưa hiệu Bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số dạng Tốn khó hầu hết học sinh phổ thông, kể học sinh giỏi Trong đề thi THPT quốc gia đề thi Học sinh giỏi tỉnh thành, toán bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số ln tập đòi hỏi mức độ vận dụng cao Mặc dù đa phần tập quy biến dùng kỹ thuật khảo sát hàm số để giải quyết, song với thời gian giải đề thi trắc nghiệm nay, việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian Chính vậy, tơi chọn đề tài “ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số tốn thực tế chương trình phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy vào tốn thực tế, nhằm giúp học sinh bớt khó khăn giải tốn bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số trình học thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 10 12 qua năm giảng dạy từ trước đến 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, thống kê đưa toán tổng quát NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy học tập, đứng trước toán bất đẳng thức, thương đặt câu hỏi: Vai trò biến bất đẳng thức (Bình đẳng hay khơng bình đẳng) Có đại lượng có tổng hay tích số hay khơng Dấu bất đẳng thức xảy Biểu thức lớn, biểu thức bé bất đẳng thức Những công thức, đẳng thức liên quan đến biểu thức toán … Việc trả lời câu hỏi giúp định hướng cách giải, đánh giá biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức bất đẳng thức…để giải tốn.Trong viết này, tơi xin nêu số phương pháp thường sử dụng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy chương trình phổ thơng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với thay đổi kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, tốn thực tế đưa vào đề thi Như đề thi minh họa lần lần Bộ Giáo Dục Đào tạo có tốn thực tế nói chung Trước thực đề tài nhiều học sinh có tâm lý sợ tập toán liên hệ thực tế Đây dạng tốn khó nên đa số học sinh gặp dạng tốn lúng túng khơng giải Học sinh thường làm theo phương pháp hàm nhiều thời gian so với sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy Trường hợp số: Cho hai số thực dương ta có a + b ≥ ab Đẳng thức xảy Trường hợp số: Cho ba số thực dương ta có a + b + c ≥ 3 abc Đẳng thức xảy Mở rộng Với số thực dương ta có a1 + a + + a n ≥ n n a1.a .a n Đẳng thức xảy Chú ý Trong tài liệu này, ta gọi giá trị biến làm cho dấu bất đẳng thức xảy điểm rơi toán 2.3.2 Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3.2.1 Phương pháp tách ghép cặp nghịch đảo Với phương pháp này, học sinh cần ý số hệ trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy sau a) Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng hai số đạt giá trị nhỏ hai số b) Với ta có 1 1 + ÷≥ x y  ( x + y)   1 1 + + ÷≥ x y z  ( x + y + z)  Ví dụ 1.Cho Chứng minh a b + ≥2 b a Lời giải Rõ ràng hai số hạng vế trái nghịch đảo Do ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy sau a b a b + ≥2 =2 b a b a Đẳng thức xảy Ví dụ Cho Tìm GTNN Lời giải.Ở đây, khơng phải hai số có tích không đổi nên chưa thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số Do ta biến đổi Vậy sau đạt Ví dụ Chứng minh với ta có Lời giải Tương tự ví dụ ta biến đổi vế trái sau Và từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Đẳng thức xảy Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Lời giải.Với ý tưởng tương tự ví dụ trước, ta tìm cách tách P thành tổng số hạng có tích khơng đổi sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có Do 2.3.2.2 Phương pháp tách ghép, thêm bớt số hạng Ý tưởng phương pháp dự đốn điểm rơi tốn, từ tách ghép, thêm bớt số hạng cho phù hợp sau sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Trước tiên ta dự đốn GTNN đạt Từ có lời giải sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có Cộng bất đăng thức ta có Vậy Min P = 3, đạt Ví dụ 2.Cho số thực dương thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức sau Với toán này, nhiều học sinh mắc phải sai lầm với đánh giá kết luận GTNN S Sai lầm dấu đánh giá xảy nhiên điều khơng thể xảy với giả thiết Để có phép đánh giá ta phải dự đoán điểm rơi tốn Lời giải Ta có Từ Nhận xét.Qua ví dụ ta nhận thấy việc dự đoán điểm rơi toán yếu tố định đến việc tách ghép số hạng cách hợp lý Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Cũng giống ví dụ trước, nhiều học sinh mắc sai lầm với đánh giá trực tiếp kết luận Sai lầm nằm việc dự đốn điểm rơi dấu đánh giá xảy Ta dự đoán S đạt GTNN khơng thỏa mãn giả thiết Khi Lời giải Ta có Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Từ ta có 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào tốn thực tế Ví dụ Từ tờ giấy hình tròn bán kính R , ta cắt hình chữ nhật có diện tích lớn bao nhiêu? A 4R B π R2 C R D 2R Lời giải Chọn D Gọi a, b cạnh hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bán kính R Ta có: a + b = 4R Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: S = a.b ≤ a + b2 = R Dấu “=” xảy a = b Ví dụ Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 cm 2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bằng: A.16 cm B cm C 24 cm D cm Lời giải Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b; ) πR R Cách 1: Khảo sát hàm số, thu f ( R ) ⇔ R = ⇒h= 2π π3 4π Cách 2: Dùng bất đẳng thức: 1 1 = 2π R + + ≥ 3 2π R = 3 2π πR R R R R Dấu xảy R3 = 2π Stp = 2π R + 2π Rh = 2π R + 2π R Ví dụ Cho nhơm hình vng cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A B C D Lời giải Chọn B Ta có S EFGH = S ABCD − ( S AHE + S DHG + SGCF + S EBF ) Để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ S AHE + S DHG + SGCF đạt giá trị lớn 1 1 Ta có S AHE = AE AH = 2.x = x ; S DHG = DH DG $SC$; SCGF = CG.CF = y 2 2 2 Đặt S = S AHE + S DHG + SGCF , S = ( x + y + 36 − x − y + xy ) = ( 36 + xy − x − y ) (1) Mặt khác ta lại có ∆AEH ∽ ∆CGF ⇒ 1 AH AE = ⇒ xy = (2) CF CG 18    Thay (2) vào (1) ta có S =  42 −  x + ÷ 2 x   Ta có S lớn 4x + Khi x = 18 18 nhỏ ⇔ 4x = ⇔ x = x x y = 2 Vậy x + y = 2 Ví dụ Trong mùa cao điểm du lịch, tổ hợp nhà nghỉ Đà Nẵng gồm 100 phòng đồng giá ln ln kín phòng giá th 480 nghìn đồng/phòng Qua khảo sát năm trước phận kinh doanh nhà nghỉ thấy rằng: tăng giá phòng lên x % ( x ≥ 0) so với lúc kín phòng (giá th 480 nghìn đồng/phòng) số phòng cho th giảm 4x % Hỏi nhà nghỉ phải niêm yết giá phòng để đạt doanh thu cao nhất? A 540 nghìn đồng C 600 nghìn đồng B 480 nghìn đồng D 660 nghìn đồng Lời giải Chọn A Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng x % là: 100 − 100 4x % = 100 − x 5 Tổng doanh thu tương ứng:   A ( x ) =  100 − x ÷ ( 480 + 4,8 x )   Ta có A ( x ) = 3,84 ( 125 − x ) ( 100 + x )  125 − x + 100 + x  ⇒ A ( x ) ≤ 3,84  ÷ = 48600 (nghìn đồng)   Dấu " = " xảy 125 − x = 100 + x ⇔ x = 12,5 Giá phòng niêm yết là: 480 + 4,8.12,5 = 540 (nghìn đồng) Ví dụ Xét hình chóp S ABC có SA = SB = SC = AB = BC = a Giá trị lớn khối chóp S ABC A 3a B a3 a3 C D a3 Lời giải Chọn D  SD ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SCD ) CD ⊥ AB Gọi D trung điểm cạnh AB Theo giải thiết ⇒  Gọi H trung điểm cạnh SC DH ⊥ SC 3 Ta có VS ABC = 2VS ADC = S∆SDC AD = SC.DH AD Đặt B ⇒ SD = a − x Xét tam giác vng SHD có HD = SD − SH = 3a 3a − x ⇒ HD = − x2 4 Ta có VS ABC 3a x2 + − x2 a3 3a 2 = AD.SC.DH = a.x = − x ≤ a Dấu " = " xảy ABCD ⇔ x = a Vậy giá trị lớn khối chóp S ABC a3 10 Ví dụ Ông Quang muốn xây bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3000 lít Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500 000 đồng cho mét vuông Hỏi chi phí thấp ơng An cần bỏ để xây bể nước bao nhiêu? A 490123 đồng B 500 000 đồng C 5151214 đồng D 6500 000 đồng Lời giải Chọn A Gọi x chiều rộng bể, chiều dài bể 2x ⇒ diện tích đáy 2x Do thể tích bể V = 3000 ( l ) = ( m ) nên chiều cao bể 2x Diện tích xây dựng diện tích tồn phần bể 3   9   S =  x + x + x ÷ =  x + ÷ = x + + ≥ 3 81 2x 2x  2x  2x 2x   Vậy diện tích xây dựng S = 3 x = 9 ⇔x= 2x Chí phí xây dựng 3.500 000 = 6490123 đồng Ví dụ 10 Chi phí cho xuất x tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) cho C ( x ) = 0, 0001x − 0, x + 10000 , C ( x ) tính theo đơn vị vạn đồng Chi phí phát hành cho nghìn đồng Tỉ số T ( x) với T ( x ) tổng chi phí (xuất phát hành) cho x tạp x chí, gọi chi phí trung bình cho tạp chí xuất x M ( x) = Khi chi phí trung bình cho tạp chí M ( x ) thấp nhất, tính chi phí cho tạp chí A 20.000 đồng B 15.000 đồng C 10.000 đồng D 22.000 đồng Lời giải Chọn D Ta có T ( x) = C ( x).10000 + 4000 x = x + 2000 x + 100000000 (đồng) T ( x) x + 2000 x + 100000000 100000000 = = x + 2000 + Suy M ( x) = (đồng) x x x Lại có M ( x) = x + 2000 + 100000000 100000000 ≥ x + 2000 = 22000 (đồng) x x Ví dụ 11 Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 400 ( km ) Vận tốc dòng nước 10 ( km/h ) Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v ( km/h ) lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v ) = cv 3t , c số, E tính jun Tìm vận tốc cá nước đứng yên để lượng tiêu hao 11 A 20 ( km/h ) B 18 ( km/h ) C 12 ( km/h ) Lời giải D 15 ( km/h ) Chọn D Với vận tốc tự thân v (km/h) , vận tốc dòng nước 10 (km/h) Vận tốc di chuyển ngược dòng cá hồi : v − 10 (km/h) Thời gian để cá hồi vượt 400 (km) ngược dòng nước : t= 400 (km) v − 10 Như ( v > 10 ) lượng lượng tiêu hao cá hồi là: v3 E ( v ) = cv 3t = 400c × (jun) v − 10 Dùng bất đẳng thức Cauchy v3 1000 1000 = v + 10v + 100 + = ( v − 10 ) + 30 ( v − 10 ) + + 300 v − 10 v − 10 v − 10 125 = ( v − 10 ) + 6.5 ( v − 10 ) + + 300 ≥ 1515 56.1258 + 300 = 675 v − 10 125 ⇒ v = 15 Dấu đạt ( v − 10 ) = ( v − 10 ) = v − 10 Vậy vận tốc tự thân cá hồi 15 (km/h) lượng tiêu hao f ( v) = thấp Ví dụ 12 Cho nhơm hình tam giác có cạnh 20 ( cm ) Người ta cắt ba góc nhơm ba tam giác hình vẽ để hình chữ nhật MNPQ Tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn A ( cm ) B ( cm ) C ( cm ) Lời giải D 10 ( cm ) Chọn A Giả sử MB = x ⇒ NC = x nên MN = 20 − x  10 − x + x  Ta có MQ = x nên S = ( 20 − x ) x = ( 10 − x ) x ≤  ÷ = 50   Dấu xảy 10 − x = x ⇔ x = 12 Ví dụ 13 Cho nhơm hình vuông cạnh 2016 ( cm ) Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x ( cm ) , gập nhơm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = 672 B x = 1008 C x = 336 Lời giải D x = 504 Chọn C Điều kiện: < x < 1008, ta có V = h.B = x ( 2016 − x ) = f ( x ) Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x; 2016 − x; 2016 − x 1  x + ( 2016 − x ) + ( 2016 − x )  = x ( 2016 − x ) ( 2016 − x ) ≤  ÷ 4   V = x ( 2016 − x ) Dấu " = " xảy x = 2016 − x ⇔ x = 336 Vậy x = 336 thể tích lớn Ví dụ 14 Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r = 38 2π B r = 36 2π C r = 36 2π D r = 38 2π Lời giải Chọn A Thể tích cốc: V = π r h = 27 ⇒ r h = 81 81 ⇒h= π π r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ S xq = 2π rl = 2π r r + h = 2π r r + 812 812 = π r + π r4 π r2 814 812 812 1 812 81 = 2π r + 2 + 2 ≥ 2π r 2 2 = 3π 4π 2π r 2π r 2π r 2π r (theo BĐT Cauchy) S xq nhỏ ⇔ r = 81 ⇔ r = ⇔ r = 2π r 2π 38 2π Ví dụ 15 Một hồ rộng có hình chữ nhật Tại góc nhỏ hồ người ta đóng cọc vị trí K cách bờ AB m cách bờ AC m , dùng sào ngăn góc nhỏ hồ để thả bèo (như hình vẽ) Tính chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K (bỏ qua đường kính sào) 13 A 65 B 5 C D 71 Lời giải Chọn B Đặt AP = a ; AQ = b ( a, b > ) Gọi E F hình chiếu vng góc K xuống AB AC Suy KE = , KF = KE PK KF QK KF KE Ta có: AQ = PQ ; AP = PQ ⇒ AP + AQ = + = a b (Hoặc dùng phép tọa độ hóa: Gán A = ( 0;0 ) , P = ( 0; a ) , Q = ( b;0 ) Khi K = ( 1;8 ) x b y a 8k k Ta có: PQ = a + b Vì + = ⇒ + = k ∀k > a b a b Phương trình đường thẳng PQ : + = Vì PQ qua K nên + = ) b a 8k   k  4k 4k   k k   a + b + k =  a + ÷+  b + ÷ =  a + + ÷+  b + + ÷ ≥ 3 16k + 3 k a   b  a a   2b 2b    4k a = a k = 250  k   ⇒ a = 10 Suy PQ nhỏ ⇔ a + b2 nhỏ ⇔ b = b  b =  8 + = a b  Vậy giá trị nhỏ PQ a + b = 125 = 5 Từ suy chiều dài ngắn sào để sào chạm vào bờ AB , AC cọc K 5 Ví dụ 16 Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm , AB = 40cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn A 4000 ( cm ) B 2000 ( cm ) C 400 ( cm ) D 4000 ( cm ) 14 Lời giải Chọn A Đáy lăng trụ tam giác cân có cạnh bên x , cạnh đáy 60 − 2x 60 − x  ÷ = 60 x − 900 , với H trung   Đường cao tam giác AH = x −  điểm NP Diện tích đáy S = S ANP = 1 AH NP = 60 x − 900 ( 30 − x ) = 30 ( 60 x − 900 ) ( 900 − 30 x ) ( 900 − 30 x )  900  2 ⇒S≤  ÷ = 100 cm Diện tích đáy lớn 100 3cm nên thể tích 30   ( ) lớn V = 40.100 = 4000 ( cm ) Ví dụ 17 Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm Vói chiều cao h bán kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ A r = 38 2π B r = 2π C r = 2π D r = 38 2π Lời giải Chọn A Ta có: V = π r h ⇒ h = 3V nên độ dài đường sinh là: π r2 38  3V   81  l = h + r =  ÷ + r2 =  ÷ + r2 = + r2 π r π r π r     2 Diện tích xung quanh hình nòn là: S xq = π rl = π r 38 38 + r = π + r4 2 π r π r Áp dụng BĐT Cauchy ta giá trị nhỏ r = 38 2π Ví dụ 18 Từ miếng tơn hình vng cạnh dm , người ta cắt hình quạt tâm O bán kính OA = dm (xem hình) để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) Tính chiều cao phễu A h = B h = 15 C h = 14 D h = 13 15 Lời giải Chọn B O dm h dm I Ta có cung AB có độ dài A≡B π = 2π Dựa vào đề ta thấy tạo thành hình nón đỉnh O, đường sinh OA Để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) chu vi C đường tròn đáy độ dài cung AB 2π Khi bán kính đáy 2π = 2π Xét tam giác OIA vng I có OA = dm , IA = R = dm C = 2π R ⇒ R = h = OI OI = OA2 − IA2 = 42 − 12 = 15 ⇒ OI = 15 Vậy h = 15 Ví dụ 19 Cho miếng tơn hình tròn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Tính bán kính hình nón A 25 ( cm ) B 26 ( cm ) C 23 ( cm ) D 22 ( cm ) Lời giải Chọn A Đặt a = 50 cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y ( x, y > ) Ta có SA = SH + AH = x + y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp = π x + π x x + y Theo giả thiết ta có π x + π x x + y = π a ⇔ x x + y + x = a ⇔ x x +y =a −x ⇔ x (x +y 2 2 2 ) a4 = a + x − 2a x ⇔ x = y + 2a a4 y y = π a4 2 y + 2a y + 2a 2 Khi thể tích khối nón V = π 4 2 16 V đạt giá trị lớn Ta có y + 2a đạt giá trị nhỏ y y + 2a 2a 2a = y+ ≥ y = 2a y y y Vậy V đạt giá trị lớn y = 2a a , tức y = a ⇒ x = = 25 cm y Ví dụ 20 Với miếng tơn hình tròn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình tròn gấp phần lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Thể tích lớn hình nón có người ta cắt cung tròn hình quạt có chiều dài bao nhiêu? A 6π ( cm ) B 26 ( cm ) C 23 ( cm ) D 22 ( cm ) Lời giải Chọn A Gọi x ( x > ) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình tròn đường sinh hình nón đường tròn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2π r = x ⇒ r = x 2π Chiều cao hình nón là: h = R − r = R − x2 4π 2 π x  x2 Thể tích khối nón: V = π r h =  ÷ R − 3  2π  4π Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:  x2 x2 x2 + + R − 4π x x  x  4π  8π 8π 4π V2 =  R − ÷≤  8π 8π  4π     Do V lớn  ÷ 4π R ÷= ÷ 27 ÷  x2 x2 2π = R − ⇔ x= R ⇔ x = 6π 2 8π 4π 17 KẾT LUẬN 3.1 Kết thực nghiệm 3.1.1 Kết kiểm tra Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tổng Số 12C2 40 12C3 43 8.0 – 10.0 SL % Tổng 83 Trên Khá 18 chiếm 21,7% Lớp 6,5 – 7,9 SL % 15 16,3 Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 Tổng Lớp Số SL % SL % 12C2 40 10 25 22 55 12C3 43 15 34,8 20 46,5 Tổng 83 5.0 – 6.4 SL % 20 50 22 51,2 5.0 – 6.4 SL % 20 18,7 Trên Khá 67 chiếm 80,7% 3.5 – 4.9 SL % 12 30 11 25,5 0.0 – 3.4 SL % 0 0 Dưới Khá 65 chiếm 78,3% 3.5 – 4.9 SL % 0 0 0.0 – 3.4 SL % 0 0 Dưới Khá 16 chiếm 19,3% 3.1.2 Kết chung Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy khối 10, khối 12 luyện thi đại học trong hai năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu 3.2 Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh 3.3 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu giúp đỡ đóng góp ý kiến đồng nghiệp đề tài hoàn thành với số ưu nhược điểm sau: 3.3.1 Ưu điểm - Sáng kiến đạt yêu cầu đặt phần đặt vấn đề - Tìm hiểu đưa hệ thống tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết 18 - Phần lớn tập đưa phù hợp với trình độ nhận thức học sinh - giỏi THPT Bên cạnh đề tài đưa tập khó dành cho học sinh giỏi - Giúp học sinh có tập tương tự để phát triển tư 3.3.2 Nhược điểm: - Hệ thống tập chưa phong phú 3.3.3 Hướng phát triển - Do thời gian thực đề tài có hạn nên tơi giới hạn hệ thống tập - Xây dựng hệ thống tập phong phú đa dạng KẾT LUẬN Như biết, bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức tiếng phạm vi ứng dụng rộng rãi Ngồi việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số bất đẳng thức Cauchy sử dụng các chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay tốn cực trị hình học Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu không nhiều nên chuyên đề vấn đề thú vị chưa đề cập đến Trên số kinh nghiệm có q trình dạy hoc, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chun mơn Các ví dụ sưu tầm chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học năm đề thi học sinh giỏi tỉnh nước Mặc dù cố gắng song kinh nghiệm khiêm tốn Mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn động nghiệp nội dung hình thức trình bày để chun đề hồn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2019 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Hồ Thị Bình 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số (Nguyễn Đức Tấn) Báo toán học tuổi trẻ DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC TỈNH XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hồ Thị Bình Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng TT Tên đề tài SKKN Áp dụng công nghệ thơng tin vào dạy học số tốn chương Vecto- Hình học 10 Rèn luyện tư giải tốn cho học sinh thơng qua mối liên hệ hình học phẳng hình khơng gian Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành giáo dục cấp tỉnh C 2012 Ngành giáo dục cấp tỉnh C 2017 20 21 ... Cauchy vào giải số tốn thực tế chương trình phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy vào toán thực tế, nhằm giúp học sinh bớt khó khăn giải tốn bất đẳng... biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức bất đẳng thức để giải tốn .Trong viết này, tơi xin nêu số phương pháp thường sử dụng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy chương. .. với sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy Trường hợp số: Cho hai số thực dương ta có a + b ≥ ab Đẳng thức