SKKN sử dụng bất đảng thức cô si vào giải quyết một số bài toán thực tế trong chương trình phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG Người thực hiện: Hồ Thị Bình Chức vụ: Giáo viên SKKN (thuộc lĩnh vực mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .2 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức 2.3.2 Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy áp dụng vào toán thực tế KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18 3.1 Kết thực nghiệm 18 3.2 Bài học kinh nghiệm 18 3.3 Kết luận 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Việc đổi phương pháp, hình thức dạy học kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển lực học sinh triển khai từ 30 năm qua Hầu hết giáo viên trang bị lí luận phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực trình đào tạo trường sư phạm trình bồi dưỡng, tập huấn năm Tuy nhiên, việc thực phương pháp dạy học tích cực thực tiễn chưa thường xuyên chưa hiệu Bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số dạng Tốn khó hầu hết học sinh phổ thông, kể học sinh giỏi Trong đề thi THPT quốc gia đề thi Học sinh giỏi tỉnh thành, toán bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số ln tập đòi hỏi mức độ vận dụng cao Mặc dù đa phần tập quy biến dùng kỹ thuật khảo sát hàm số để giải quyết, song với thời gian giải đề thi trắc nghiệm nay, việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian Chính vậy, tơi chọn đề tài “ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải số tốn thực tế chương trình phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy vào toán thực tế, nhằm giúp học sinh bớt khó khăn giải tốn bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN hàm số trình học thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 10 12 qua năm giảng dạy từ trước đến 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, thống kê đưa toán tổng quát NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy học tập, đứng trước toán bất đẳng thức, thương đặt câu hỏi: - Vai trị biến bất đẳng thức (Bình đẳng hay khơng bình đẳng) - Có đại lượng có tổng hay tích số hay khơng Dấu bất đẳng thức xảy Biểu thức lớn, biểu thức bé bất đẳng thức Những công thức, đẳng thức liên quan đến biểu thức toán … Việc trả lời câu hỏi giúp định hướng cách giải, đánh giá biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức bất đẳng thức…để giải tốn.Trong viết này, xin nêu số phương pháp thường sử dụng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy chương trình phổ thơng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với thay đổi kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, toán thực tế đưa vào đề thi Như đề thi minh họa lần lần Bộ Giáo Dục Đào tạo có tốn thực tế nói chung Trước thực đề tài nhiều học sinh có tâm lý sợ tập toán liên hệ thực tế Đây dạng tốn khó nên đa số học sinh gặp dạng tốn cịn lúng túng không giải Học sinh thường làm theo phương pháp hàm nhiều thời gian so với sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức Bất đẳng thức Cauchy Trường hợp số: Cho hai số thực dương ta có a b ab Đẳng thức xảy Trường hợp số: Cho ba số thực dương ta có a b c 33 abc Đẳng thức xảy Mở rộng Với số thực dương ta có a1 a2 an n n a1 a2 .an Đẳng thức xảy Chú ý Trong tài liệu này, ta gọi giá trị biến làm cho dấu bất đẳng thức xảy điểm rơi toán 2.3.2 Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.3.2.1 Phương pháp tách ghép cặp nghịch đảo Với phương pháp này, học sinh cần ý số hệ trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy sau a) Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng hai số đạt giá trị nhỏ hai số b) Với ta có 1 x y x y xyz 111 9xyz Ví dụ 1.Cho Chứng minh a b b a Lời giải Rõ ràng hai số hạng vế trái nghịch đảo Do ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy sau a b2 a b b a ba Đẳng thức xảy Ví dụ Cho Tìm GTNN Lời giải.Ở đây, khơng phải hai số có tích khơng đổi nên chưa thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số Do ta biến đổi Vậy sau đạt Ví dụ Chứng minh với ta có Lời giải Tương tự ví dụ ta biến đổi vế trái sau Và từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Đẳng thức xảy Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Lời giải Với ý tưởng tương tự ví dụ trước, ta tìm cách tách P thành tổng số hạng có tích khơng đổi sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có Do 2.3.2.2 Phương pháp tách ghép, thêm bớt số hạng Ý tưởng phương pháp dự đoán điểm rơi toán, từ tách ghép, thêm bớt số hạng cho phù hợp sau sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Trước tiên ta dự đoán GTNN đạt có lời giải sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có Từ Cộng bất đăng thức ta có Vậy Min P = 3, đạt Ví dụ 2.Cho số thực dương thỏa mãn Tìm GTNN biểu thức sau Với tốn này, nhiều học sinh mắc phải sai lầm với đánh giá kết luận GTNN S Sai lầm dấu đánh giá xảy nhiên điều xảy với giả thiết Để có phép đánh giá ta phải dự đoán điểm rơi toán Lời giải Ta có Từ Nhận xét.Qua ví dụ ta nhận thấy việc dự đoán điểm rơi toán yếu tố định đến việc tách ghép số hạng cách hợp lý Ví dụ Cho Tìm GTNN biểu thức Cũng giống ví dụ trước, nhiều học sinh mắc sai lầm với đánh giá trực tiếp kết luận Sai lầm nằm việc dự đoán điểm rơi dấu đánh giá xảy Ta dự đốn S đạt GTNN khơng thỏa mãn giả thiết Khi Lời giải Ta có Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Từ ta có 2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào tốn thực tế Ví dụ Từ tờ giấy hình trịn bán kính R , ta cắt hình chữ nhật có diện tích lớn bao nhiêu? A 4R2 B R2 C R2 D 2R2 Chọn D Lời giải Gọi a , b cạnh hình chữ nhật nội tiếp đường trịn bán kính R Ta có: a b 4R2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: S a.b a b2 2R2 Dấu “=” xảy a b Ví dụ Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ bằng: A.16 cm B cm C 24 cm D cm Lời giải Chọn A Cách Gọi cạnh hình chữ nhật: a, b;