(SKKN 2022) ỨNG DỤNG TOÁN học vào GIẢI QUYẾT một số bài TOÁN tối ưu THỰC tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN Người thực hiện: Trần Văn Thành Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn Người thực hiện: Đào Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 02 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 02 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… .02 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… .02 1.5 Những điểm SKKN 02 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm .03 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiêm 03 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực 03 2.3.1 Một số kiến thức ký hiệu áp dụng sáng kiến: …… 04 2.3.2 Một số dạng toán thường gặp:…… ………… ………………05 Dạng LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI … … 05 Dạng LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH…… 08 Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG………… 11 2.4 Những kết đạt .14 Kết luận .15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 (*)Tài liệu tham khảo 1.Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài : Tốn học mơn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng để giải số vấn đề xảy thực tế Vì việc dạy học mơn Tốn dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực từ giúp học sinh học tập tiếp thu kiến thức khoa học biết cách vận dụng vào sống Dạy học mơn Tốn người thầy khơng dạy cho học sinh kiến thức tốn học ( cơng thức, định lý, định đề , tiên đề …) mà người thầy cịn phải dạy cho học sinh có lực, trí tuệ để giải vấn đề nêu học tập sau Trong năm gần khoa học ngày phát triển, người cần phải nắm bắt kiến thức đại Do việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp thiết để học sinh nắm bắt kiến thức khoa học có khả vận dụng vào thực tiễn góp phần vào việc xây dựng bảo vệ tổ quốc Với phương pháp dạy học đại việc truyền thụ, cung cấp kiến thức, kỹ cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa kiến thức học cách hệ thống để học sinh có khả vận dụng kiến thức học để tự giải vấn đề cách động sáng tạo Trong Chương trình tốn học sơ cấp THPT tốn tối ưu thực tế dạng toán quen thuộc gần gũi với đối tượng học sinh Rất nhiều toán khác từ toán cổ thực tế đến toán phức tạp môn học khác cần áp dụng tính chất tốn Đặc biệt kỳ thi HSG tỉnh HSG quốc gia tập tốn thực tế ln chủ đề hay khiến đại phận học sinh cảm thấy bế tắc trình định hướng tìm lời giải Trên thực tế có tài liệu tham khảo giảng toán thực tế tối ưu Trong qua nghiên cứu dạng tốn năm gần kỳ thi tuyển sinh nhận thấy kiến thức hình học,giải tích cần sử dụng để giải toán đơn giản Phần lớn giả thiết toán gợi ý cho ta mối liên hệ tính chất tốn Trên sở việc giải tốn trở nên tương đối nhẹ nhàng với đại phận học sinh Trong trình giảng dạy trường THPT giảng dạy số lớp ôn thi đại học, ôn thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi tơi nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải lớp tốn này, cịn lúng túng nhầm lẫn trình làm Học sinh vận dụng kiến thức học để giải vấn đề lý sau: quên kiến thức học, chưa hiểu yêu cầu tốn, rèn luyện nên dẫn đến khả phân tích, tổng hợp dạng cịn yếu, khơng nhận dạng loại tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu: Với lý nêu chọn đề tài: “Ứng dụng toán học vào giải số toán tối ưu thực tế” với mong muốn dần hình thành cho học sinh tư thuật tốn q trình tìm lời giải cho toán thực tế, để học sinh tham khảo vận dụng trình học tập Bên cạnh thơng qua ví dụ việc phân tích lời giải tập nêu đề tài nhằm giúp học sinh hình thành tư thuật tốn q trình tiếp cận với toán dạng tập tốn thực tế mối liên hệ hình học yếu tố giải tích có liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng mà hướng đến học sinh lớp 12 trường THPT Mai Anh Tuấn học sinh luyện thi THPT Quốc gia,thi học sinh giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Trong trình nghiên cứu để hình thành đề tài, tơi chủ yếu sử dụng phương pháp sau Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm giảng dạy Thực hành thông qua tiết dạy ôn thi đại học ơn tập học sinh giỏi mơn Tốn nhà trường 1.5 Những điểm SKKN: “Bài toán tối ưu’’ chủ đề học sinh phổ thông, đặc biệt học sinh khá, giỏi trường THPT Mai Anh Tuấn điều mẻ Chính thế, Sáng kiến kinh nghiệm thân tơi giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với tốn thực tế Bên cạnh đó, qua tốn có kèm theo đánh giá, nhận xét, tính sáng kiến tơi Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến: Trên quan điểm dạy học làm để phát huy lực trí tuệ, phẩm chất người học Để làm điều người thầy phải tạo hứng thú học tập em, đặc biệt em phải yêu thích mơn dạy từ tạo hứng thú tìm tịi em Đối với giáo viên tốn qua nhiều năm cơng tác giảng dạy, thấy để tạo niềm đam mê học tốn em ngồi kỹ sư phạm, tâm người thầy người thầy phải ln vững chun mơn, ln tìm phương hướng để giải vấn đề, tìm cách giải tốn phù hợp Từ ngây hứng thú, đam mê học tập em Do “Ứng dụng toán học vào số toán tối ưu thực tế ’’là cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu dạng tốn thực tế, giúp em có mạch kiến thức liên thông nắm rõ chất vấn đề toán thực tế 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Năm học 2016 – 2017, GD – ĐT chuyển đổi hình thức thi THPTQG mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Toán thực tế bắt đầu giới thiệu cho em học sinh từ nhỏ có mặt hầu hết kỳ thi thi THPT- QG Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, toán thực tế yêu cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt , từ đưa vào để yêu cầu học sinh làm Mặc dù học kỹ phương pháp, đứng trước yêu cầu giải số toán thực tế đa số em cịn nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước tốn dạng Chính mà dạy học, giáo viên cần liên hệ nhiều đến kiến thức thực tế để tăng tính tập trung để em vận dụng kiến thức tốt Người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tiễn 2.3 Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện: 3.1 Một số kiến thức ký hiệu áp dụng sáng kiến: Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D  R)  f ( x)  M , x  D M  max f ( x)   D x0  D : f ( x0 )  M Tính chất: a) Nếu hàm số max f ( x)  f (b), f ( x)  f (a) [ a ;b ] [ a ;b ] b) Nếu hàm số [ a ;b ] Lưu ý: Hàm số: y  f(x) đồng biến [a; b] [a; b] f max f ( x)  f (a), f ( x)  f (b) [ a ;b ] f  f ( x )  m, x  D m  f ( x)   D x0  D : f ( x0 )  m nghịch ax  b cx  d (1) biến + Hàm số (1) đồng biến [e;h ] GTLN [e, h] f ( h ) , GTNN [e, h] f ( e ) + Hàm số (1) nghịch biến [e;h ] GTLN [e, h] f ( e ) , GTNN [e, h] f ( h ) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Loại 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Loại 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trị vừa tính kết luận M  max f (x)  max f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f (xn) [a;b] m f (x)  min f (a), f (b), f (x1), f (x2), , f (xn) [a;b] 2.3.2 Một số dạng toán thường gặp: DẠNG 1:LIÊN QUAN DI CHUYỂN – QUÃNG ĐƯỜNG ĐI Ví dụ 1: Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569,5 m B 671,4 m C 779,8 m D 741,2 m Gải: + Gọi S điểm bờ sông DC DC  6152   487  118   492 + Tính được: (m) + Đặt SD  x  m   SC  492  x  m   x  492  m  với + Đoạn đường người cần để hồn thành cơng việc là: f  x   1182  x  4872   492  x  + Áp dụng đánh giá a  b2  c2  d   a  c 2 b d với a, b, c, d  a b  Dấu "=" xảy c d (quy ước mẫu tử 0) + Khi đó: f  x   118  487    x  492  x   779,8m 118 x   x  95,96  m  Dấu "=" xảy 487 492  x + Vậy đoạn đường ngắn mà người 779,8m Chọn C Bình luận: Có thể xét hàm số   để tìm GTNN kết hợp máy tính cầm tay: f x f ' x  Cụ thể: x 118  x SOLVE nhẩm được:  f  x với   492  x  487   492  x  , chức f '  x    x  95,96  f  95,96   779,8  m  Ví dụ 2: Trong thực hành môn huấn luyện qn có tình chiến sĩ phải bơi qua sông để công mục tiêu phía bờ bên sơng Biết lịng sơng rộng 100m vận tốc bơi chiến sĩ nửa vận tốc chạy Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi mét để đến mục tiếu nhanh nhất, dịng sơng thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ km theo đường chim bay chiến sĩ cách bờ bên sông 100m 200 A B 100 C 100 101 200 D Giải: + Ký hiệu hình vẽ A,B vị trí người chiến sĩ (CS) mục tiêu tân công; H, K nằm hai bờ cho AHBK hình chữ nhật; M bờ HB để người CS cần bơi đến để bắt đầu chạy + Ta có: HB  AB  AH  10002  1002  300 11  m    HM  x  m  x  0;300 11  + Đặt ; Gọi v (m/s) vận tốc chạy người CS + Khi đó: - Người CS phải bơi đoạn AM  AH  HM  1002  x  m  tb  AM 100  x   s vb v ⇒ Thời gian người CS bơi là: - Sau bơi, người CS cần chạy đoạn MB  HM  HM  300 11  x  m  tc  MB 300 11  x   s vc v ⇒ Thời gian người CS chạy là: + Tổng thời gian người CS công mục tiêu là: T  t1  t2    300 11 100  x  x  v v f  x   1002  x  x + Đặt phải nhỏ + Ta có: f ' x  2x 1002  x   x  0;300 11  với Để T nhỏ  1; f '  x    100  x  x  x  f  x 100  m  100  f  x  f     Từ suy được: AM  1002  x  + Vậy người CS phải bơi đoạn đến mục tiêu nhanh Chọn A Ví dụ 3:Có hai cọc cao 10m 30m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí mặt đất để tổng độ dài hai sợi dây ngắn A AM = 6m, BM = 18m B AM = 7m, BM = 17m C AM = 4m, BM = 20m D AM = 12m, BM = 12m Giải: 200  m để   + Đặt Suy ra: BM  24  x + Tổng độ dài sợi dây cần dùng bằng: AM  x  x  0; 24 L  102  x  30   24  x  + Ta có BĐT a  b2  c2  d   a  c bd a, b, c, d  Dấu “=” xảy tử 0) + Khi đó: L  với a b  c d (quy ước mẫu  10  30   2   x  24  x   34 10 x   x   AM  6; BM  18 30 24  x Dấu "=" xảy Chọn A Dạng 2: LIÊN QUAN ĐẾN CẮT – GHÉP CÁC KHỐI HÌNH Ví dụ 1: Cắt bỏ hình quạt trịn AOB từ mảnh tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt tròn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu < x <  Tìm x để hình nón tích lớn A C x  x  B D x 2  x  V   r 2h Giải:+ Thế tích phễu là: + Ta có chu vi đáy bằng: + Lại có: h  R2  x2  R2  2 r  Rx  r  R2 x2 R  4 2 Rx 2 4  x R3 V   r 2h  x 4  x 2 24 + Khi đó: + Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: 3R 2 3R  3R  16  2 2 V x  4  x  x    4  x   x    x  3 48 2.48 3  2.48   3R   16 3R3 162   x    x     R3   48  48  27    2    4  x 2  x    x  16   x Dấu "=" xảy  Chọn B Ví dụ 2: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm AB có độ dài khơng đổi Ta gập nhơm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ bên để hình lăng trụ khuyết đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành lớn nhất? A x  20 B x  25 C x  10 D x  30 + Ta có: AN = PD = x (cm, < x < 30) ⇒ NP = 60 – 2x (cm) + Thể tích hình lăng trụ tạo thành bằng: V  AB.S NPA  NP   AB PA2    NP   AB  60  x   x2     60  x   15 AB  30  x  x  15  cm  2   + Trong AB khơng đổi nên ta cần tìm x cho f  x    30  x  x  15 + Xét hàm số đạt giá trị lớn f  x (15;30) ta max f  x   f  20   10  x  20  15;30  (Hoặc thay trực tiếp đáp án A,B,C,D chọn giá trị x làm cho f(x) lớn nhất) Chọn A Ví dụ 3: Một mũ vải nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải S1 ) phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải S2 ) với kích thước hình vẽ Tính tổng (r + d) cho biểu thức P = 3S2  S1 đạt giá trị lớn (không kể viền, mép, phần thừa) A 28,2 B 26,2 C 30,8 D 28,2 Lời giải + Ta có: d  2r  22, + Diện tích vải để may phần dạng hình trụ là: S1  2 rh   r + Diện tích vải để may phần dạng hình vành khăn là: d2 S2   r2 + Khi đó, ta có: 3  2r  22,  3 d P  3S2  S1   4 r  2 rh   4 r  2 r.31,3 4 2    4r  16r  1478,52    4  r    1494,52 1494,52    4 Dấu "=" xảy r   d  26,  r  h  28, Chọn D Dạng 3.LIÊN QUAN ĐẾN SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG Ví dụ 1: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ dm3 diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy hình trụ phải bao nhiêu? dm  A  B dm 2 C dm 2 D dm Giải: + Đặt bán kính đáy, chiều cao lon sữa bị hình trụ r, h (đơn vị dm) h r   h   r (dm) + Theo đề ta có: + Diện tích tồn phần hình trụ nhỏ khi: S  2 r  2 rh nhỏ 1  2 r    2 r  3 2 r r r r + Ta có: 1 2 r   r  r 2 (dm) Dấu "=" xảy khi: S  2 r  Chọn B Ví dụ 2: Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ có cân nặng P = 960 - 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A 23 B 24 C 25 D 26 Giải: + Cân nặng bầy cá sau vụ thu hoạch là: N = P.n = (960 – 20n)n (gam) + Để sau vụ thu hoạch nhiều cá ⇔ Ta cần tìm giá trị n cho N đạt giá trị lớn + Áp dụng BĐT AM - GM (Cauchy) cho số dương ta có: N   960  20n  n  20n  48  n   n  48  n   20 n  48  n  n  24 Dấu "=" xảy  11520  g  Chọn B Ví dụ 3:Cơng ty mỹ phẩm cho mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mang tên Sakura với thiết kế khối cầu viên bi khổng lồ, bên khối trụ nằm phần để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ) Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R = (cm) Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (nhằm thu hút khách hàng) A 16 2 cm 24 2 cm B 48 2 cm C 32 2 cm D Giải: + Các ký hiệu hình vẽ bên 2 2 + Ta có: r  R  h  24  h + Thể tích khối trụ bằng: + Để thể tích V lớn + Ta có: V   r h    24  h  h  f  h    24  h  h lớn 2 1  24  h  24  h  2h  2 f  h   24  h   24  h  2h   32 2 27 (Áp dụng BĐT Cauchy) 2 Dấu “=” xảy 24  h  2h  h  2 + Từ suy ra: Chọn C V  32 2  cm3  2.4 Những kết đạt được, kinh nghiệm rút ra, sản phẩm đề tài: - Qua thời gian thực nghiệm, học sinh nắm kĩ việc nhìn nhận toán “tối ưu thực tế” - Kinh nghiệm cho thấy, kiến thức phải trang bị, bồi dưỡng cho em từ năm lớp 10 Không để đến gần thi cuối cấp dạy, lúc em tiếp cận hạn chế - Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm tơi thu niềm đam mê học tốn thầy trò, kĩ trang bị làm cho tư người học ngày phát triển Sáng kiến kinh nghiệm triển khai ứng dụng rộng rãi toàn học sinh khối 12 Đặc biệt, dùng để ơn thi học sinh giỏi luyện thi THPT Quốc gia Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian giảng dạy, nghiên cứu tổ hợp, vướng mắt học sinh thiếu kĩ phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm tơi thật cần thiết hữu ích cho giáo viên học sinh Đặc biệt giáo viên trẻ trường, non kinh nghiệm Một lần nữa, tơi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm kết mà Tôi thu sau thời gian học tập, rèn luyện nghiên cứu tích phân Đồng thời, tích lũy kinh nghiệm qua trình dạy học với đối tượng học sinh Đó kết tinh kiến thức qua nhiều hệ giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp Một số toán có nêu lời giải đầy đủ, cịn có số vạch hướng giải.Hầu hết qua tập có nhận xét để học sinh người đọc cảm nhận sâu sắc toán Do yếu tố thời gian, kiến thức cách trình bày cịn nhiều hạn chế Rất mong nhận xét, góp ý quý đồng nghiệp em học sinh, để sáng kiến hồn thiện Hy vọng rằng, tài liệu giúp ích cho quý đồng nghiệp em học sinh trình giảng dạy học tập Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn, nhằm bước hoàn thiện kĩ cho thân tạo mũi nhọn cho nhà trường 3.2.Kiến nghị: Có thể dùng sáng kiến tơi cho em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê toán học cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày tháng 06 ĐƠN VỊ năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Văn Thành (*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12- Ban bản; Bộ đề thi đại học, cao đẳng, đề minh họa Bộ GD ĐT từ năm 2016 đến nay; 90 đề thi thử Đại học, cao đẳng nhà sách Lovebook – GSTT Group; Một số kiến thức tối ưu mạng Internet, hệ thống tập facebook nhóm Tốn Vận Dụng Cao; Tạp chí tốn học tuổi trẻ; Website :toanmath.com ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN ... tài: ? ?Ứng dụng toán học vào giải số toán tối ưu thực tế? ?? với mong muốn dần hình thành cho học sinh tư thuật tốn q trình tìm lời giải cho toán thực tế, để học sinh tham khảo vận dụng trình học tập... toán học vào số toán tối ưu thực tế ’’là cách để giúp học sinh tìm hiểu sâu dạng tốn thực tế, giúp em có mạch kiến thức liên thông nắm rõ chất vấn đề toán thực tế 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng. .. tìm lời giải Trên thực tế có tài liệu tham khảo giảng toán thực tế tối ưu Trong qua nghiên cứu dạng tốn năm gần kỳ thi tuyển sinh nhận thấy kiến thức hình học, giải tích cần sử dụng để giải toán