(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán liên quan đến hàm hợp bằng cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP Người thực hiện: Lại Thị Hương Lan Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 1 1 2 18 19 19 19 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Với hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn nay, việc tìm cách giải nhanh cho toán cần thiết Vì có nâng cao kết học tập kết thi cử Trong đề tài tơi xin trình bày: “Hướng dẫn học sinh giải nhanh số toán liên quan đến hàm hợp cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp” để giúp em học sinh lớp 12 giải tốt số toán vận dụng, vận dụng cao liên quan đến hàm hợp chương trình giải tích 12 chương I: Hàm số, lớp tốn khó thường xuất đề thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em HS lớp 12 Trung học phổ thơng có kiến thức phương pháp vững để giải nhanh số toán liên quan đến hàm hợp chương hàm số đề thi tốt nghiệpTHPT Qua góp phần thúc đẩy hứng thú, say mê học tập xóa bỏ mặc cảm sợ sệt việc giải tốn liên quan đến hàm hợp từ nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Bảng biến thiên hàm hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài thực phương pháp nghiên cứu như: - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu phần hàm số (đặc biệt số toán liên quan đến hàm hợp) chương trình Tốn Trung học phổ thông Thu thập kiến thức nhiều nguồn tài liệu đề thi thử tốt nghiệp THPT nhiều trường THPT toàn quốc - Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh giải số toán liên quan đến hàm hợp chương hàm số giải tích 12 - Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đề tài nghiên cứu thực thực tế giảng dạy tiết học tự chọn, ôn thi tốt nghiệp THPT chuyên đề Hàm số Khi giải tập toán, HS phải trang bị kiến thức lớp dưới, kỹ phân tích đề để từ suy luận quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, toán làm tốn làm, hình thành phương pháp giải tốn linh hoạt sáng tạo Các tập tiết dạy phải thiết kế xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, tập giải theo hai cách, sử dụng phương pháp truyền thống sử dụng bảng biến thiên hàm hợp qua giúp HS nắm vững phương pháp giải tốn thấy ưu điểm phương pháp sử dụng bảng biến thiên hàm hợp giải dạng tốn Từ giúp HS có hứng thú, đam mê tạo động học tập tốt mơn tốn, đồng thời phát triển lực phẩm chất người học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình giải tích lớp 12 số lượng câu hỏi liên quan đến hàm số chiếm số lượng tương đối nhiều đề thi Qua trình giảng dạy ơn luyện cho học sinh thân nhận thấy nhiều học sinh sợ sệt, lúng túng, phương hướng đường lối chí bỏ qua làm số tập liên quan đến hàm hợp có câu khơng khó số học sinh có làm phải lượng thời gian dài chưa thực đề tài này, chất lượng môn học thấp Kết cụ thể qua kiểm tra sau: Lớ p Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5 H đến S 45 0 11,1% 12 D 12E Điểm từ đến 6,5 Điểm từ đến Điểm 22 48,8 14 31,1 9% % % 43 0 2,3 % 20 46,5 18 41,9 9,3% % % Do việc hướng dẫn cho học sinh phương pháp việc làm cần thiết 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1: Cơ sở lý luận: I Cơng thức tính đạo hàm hàm hợp: [f (u ( x) )]  u ( x) f (u ( x)) II Định nghĩa cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định liên tục khoảng (a; b) (có thể a - ; b là + ) điểm x0 a) Nếu tồn số h > cho f (x) < f (x 0) với x ( x0 – h ; x0 +h ) x x ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h > cho f (x) > f (x 0) với x (x0 – h ; x0 +h ) x x ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x 0 Chú ý: Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f (x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Dễ dàng chứng minh hàm số y  f ( x ) có đạo hàm  khoảng (a; b) đạt cực đại cực tiểu x0 f ( x0 )  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng K = ( x0 – h ; x0 + h ) có đạo hàm K K \ { x }, với h > a) Nếu f  ( x)  khoảng ( x0 – h ; x0 ) f  ( x)  khoảng ( x0 ; x0 +h ) x0 điểm cực đại hàm số f (x) b) Nếu f  ( x)  khoảng ( x – h ; x ) f  ( x)  khoảng 0 ( x0 ; x0 +h ) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x) x f  ( x) x0 – h x0 + x0 + h - f ( x) f CĐ x f  ( x) x0 – h x0 - f ( x) x0 + h + f CT III Cơ sở biện pháp : Để giải số toán liên quan đến hàm hợp g = f (u(x)) cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f ( u ( x )) Giả sử ta tập xác định D = , Bước 2: Xét biến thiên u = u (x) hàm y  f ( x) ( Bước làm gộp bước đơn giản) Bước 3: Lập BBT tổng hợp xét tương giao [x; u = u(x)] [u; g = f (u)] (Bảng biến thiên thường có dòng ) x u = u(x) g= f(u(x)) a1 u1 b1 b2 … bk a2 u2 … … g(b2)… g(u2) … an -1 un -1 an un g(un) g(b1) g (u1) g(bk) Cụ thể thành phần bảng biến thiên sau Dòng 1: Xác định điểm đặc biệt hàm u = u (x), xếp điểm theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải, giả sử sau: ( Xem thêm ý 1) Dòng 2: Điền giá trị với ( i = ) Trên khoảng ( cần bổ sung điểm cực trị hàm số y  f ( x) Trên khoảng ( cần xếp điểm theo thứ tự chẳng hạn (xem ý 2) Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm g = f (u (x)) dựa vào BBT hàm y  f ( x) cách hoán đổi: u đóng vai trị x; f (u) đóng vai trị f (x) Sau hồn thiện BBT hàm hợp g = f(u(x)) ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f (u(x)) để giải yêu cầu toán đưa kết luận *Một số ý quan trọng sử dụng bảng biến thiên hàm hợp để giải số toán có chứa hàm hợp Chú ý 1: - Các điểm đặc biệt u = u(x) gồm: điểm biên tập xác định D, điểm cực trị hàm u = u(x) u  u ( x) - Nếu xét hàm số dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm PT u (x) = ( hoành độ giao điểm u = u(x) với trục Ox ) u  u( x ) - Nếu xét hàm dịng điểm đặc biệt cịn có số ( hồnh độ giao điểm u = u (x) với trục Oy) Chú ý 2: - Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u(x) - Điểm đặc biệt hàm số y  f ( x) gồm: điểm f ( x) , f  ( x) không xác định; điểm cực trị hàm số y  f ( x) g  f (u ( x)) - Nếu xét hàm dịng điểm đặc biệt cịn có nghiệm PT f ( x )  (là hoành độ giao điểm u = u(x) với trục Ox ) - Nếu xét hàm số g  f (u ( x )) dịng điểm kỳ dị cịn có ( hoành độ giao điểm y  f ( x) với trục O y) IV Cách sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) để biện luận số nghiệm phương trình f(x, m) = (1) theo tham số m Bước 1: Biến đổi đưa phương trình (1)về dạng f ( x)  m Hoặc f ( x)  g (m ) (g (m) hàm số theo tham số m) Bước 2: Dựa vào đồ thị bảng biến thiên) hàm số y  f ( x ) có sẵn (hoặc chưa có lập lại) để biện luận số nghiệm phương trình (1) Nhận xét: Số nghiệm phương trình f ( x)  m Hoặc f ( x)  g (m ) (g(m) hàm số theo tham số m) số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y = m y = g (m ) (đường thẳng y = m hay y = g (m) đường thẳng song song trùng với trục hoành) 2.3.2 Các dạng tập (Các dạng tốn đề cập có chung giả thiết biết hàm số y  f ( x) biết BBT (hay đồ thị) hàm số y  f ( x ) biết đồ thị hàm số y  f  ( x) ): Để học sinh dễ hiểu, nhớ biết cách lập bảng biến thiên hàm hợp giải số toán liên quan đến hàm hợp ta xếp chia thành số dạng toán sau: Dạng 1: Tìm số điểm cực trị hàm số hợp y  f (u ( x )) Phương pháp: Cách (Cách giải truyền thống): Chuyển tốn tìm số nghiệm đơn phương trình [f (u ( x))]  Cách (Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp): Thực chất toán lập BBT hàm hợp y  f (u ( x )) , từ BBT ta dễ dàng đưa kết luận tốn Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f  ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f ( x  1) có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Cách giải truyền thống Từ đồ thị hàm số y  f  ( x) ta có: f  ( x)  x = -1; x = 1; x = Lại có y   xf  ( x  1) Suy y '  x   x   1     x 1    x    x3   x     x   Hay y '  có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn Vậy hàm số y  f ( x  1) có điểm cực trị Chọn đáp án A Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp Từ đồ thị hàm số y  f  ( x) ta có BBT hàm số y  f ( x ) sau x -1 + f  ( x) + 0 + + + f ( x) f(-1) f(4) Từ BBT suy f (-1) < f (1) f (4) < f (1) f ( x ) có điểm cực trị x = , x = Đặt u  x  Ta có u( x )  x; u  ( x)   x  y  f ( x  1)  f  u  Ta có BBT hàm sau x u + -1 f (u) + f(1) f(1) f (4) f(-1) f(4) + + + Từ bảng ta thấy hàm số y  f (u )  f ( x  1) có điểm cực trị Nhận xét: 1) Hàm số y  f ( x) cho cơng thức 2) Ngồi cách giải từ đồ thị hàm số y  f  ( x) ta chọn f  ( x)  ( x  1)( x  1)( x  2)  x  x  x  f ( x)  x  x3  x  x Từ ta chọn 35 29 40 f (1)   f (1)  f (4)   12 ; 12 13 Ta có ; Suy f (-1) < f (1) f(4) < f (1) cách đặt u  x  ta dễ dàng lập bảng biến thiên hàm y  f (u )  f ( x  1) Ví dụ 2: ( Đề minh hoạ Bộ Giáo Dục Lần năm 2021) Cho hàm số bậc bốn y  f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A Hướng dẫn giải B C D 11 7 Cách 1: Cách giải truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y  f ( x) sau x f  ( x) - a - b + c - + + + + f ( x) 2 Ta có g ( x)  f ( x  x ) suy g  ( x)  (3 x  x) f  ( x  x ) 3 x  x  g  ( x)    f  ( x3  x2 )   Vậy x    x  2  x  x  a; a    x  3x  b;  b     x  x  c; c  Xét hàm số h ( x )  x  x x  h ( x)  x  x; h ( x)    x   Ta có Bảng biến thiên hàm số h ( x ) : x h ( x ) h ( x) - -2 + 0 - 0 + Ta có đồ thị hàm h ( x )  x  x Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  h ( x) điểm Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  h ( x) điểm Đường thẳng y  c cắt đồ thị hàm số y  h ( x) điểm Như phương trình g  ( x)  có tất nghiệm đơn phân biệt g  x   f  x  3x  Vậy hàm số có cực trị Chọn đáp án C Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp Xét hàm số u ( x )  x  x x  u  ( x )  x  x; u  ( x)    x   Ta có Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y  f ( x) a < < b < < c ta có f (a) < f(c) Ta có bảng biến thiên hàm hợp y  f (u ) sau: x u + a b b f(b) f (u) b f(b) c + + + f(b) 0 f(c) f(a) g  x   f (u )  f  x3  3x  Suy có điểm cực trị Chọn đáp án C Nhận xét: Ở tập dạng HS chưa biết giải cách sử dụng BBT hàm hợp giải phương pháp truyền thống Khi làm quen tiếp cận với phương pháp lập BBT hàm hợp em thấy khó hiểu tỏ lúng túng, bỡ ngỡ thấy toán dường phức tạp, làm qua vài hiểu em thấy quen làm nhanh từ u thích phương pháp nhiều cịn có nhiều điểm mạnh số dạng đề cập tiếp sau đây: Dạng 2: Tìm số nghiệm phương trình: f (u(x)) = k (1) (k số cho trước) phương trình có chứa hàm hợp y = f(u(x)) Phương pháp: Cách 1: giải theo phương pháp truyền thống: Đặt ẩn phụ Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp: Bước 1: lập bảng biến thiên hàm hợp y = f (u(x)) Bước 2: xét tương giao đồ thị y = f(u(x)) đường thẳng y = k (Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị y = f(u(x)) với đường thẳng y = k) Ví Dụ 1: (Kim Thanh Hải Dương 2020) Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên sau: x y - -2 - + + + y f (1  x)   Số nghiệm thực phương trình A B Hướng dẫn giải: Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống Từ BBT ta có Từ suy C D Suy phương trình cho có nghiệm thực Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp Đặt u   x Từ BBT hàm số f ( x) ta thấy f ( x) có điểm cực trị x = -2 x = Ta có bảng BBT hàm y  f (1  x)  f (u ) sau : x u + + - -2 + f (u ) y= - có nghiệm thực Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình Vậy PT cho có nghiệm thực Chọn đáp án D Nhận xét: Ở ví dụ HS chưa biết cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp giải theo phương pháp truyền thống Tuy nhiên đến hiểu HS hiểu quen với phương pháp lập bảng biến thiên hàm hợp nhận thấy dùng phương pháp lập bảng biến thiên hàm hợp đưa kết nhanh xác Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x ) xác định liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên f (u )   10 f ( x  x)  Tìm số nghiệm thuộc đoạn [0; 4] phương trình A B C Hướng dẫn giải : Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống ? D  f ( x  x)  f ( x  x)     f ( x  x )  2 Ta có phương trình Từ đồ thị hàm số vẽ y = f (x) ta có  x2  x  x  1 f ( x  x)      x  x  1  x  Xét đoạn [0; 4] ta nghiệm x  1; x    x2  2x  a  x2  2x  a  f ( x  x)  2    x  x  b   x  x  b  với  2  a  1  1  b  Với phương trình x  x  a  có    a  trình PT vô nghiệm x  1 b 1 x2  2x  b     x   b  ta có nghiệm Với phương trình x   b     b   , trường hợp phương trình có nghiệm Kết luận phương trình cho có nghiệm đoạn [0; 4] (Hoặc HS chọn a = -1,5 ; b = 1,5 thay vào Pt để thử máy tính cầm tay) Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp Đặt t  x  x , ta có t   x  , t    x  11 Từ đồ thị hàm số f ( x) cho ta thấy hàm số có điểm cực trị x = , x = f (0) = 1, f (1) = f (-1) = f (8) = m < -2 y  f (t ) Ta có bảng biến thiên hàm sau: x t  x  2x -1 y  f (t) 1 m < -2 |m| > 2 y  f (t ) y=2 1 f (t )  Từ bảng ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt Vậy PT cho có nghiệm phân biệt Chọn đáp án B Nhận xét: đến ví dụ HS thấy cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp có ưu tốt phương pháp truyền thống HS thấy rõ tính ưu việt phương pháp lập bàng biến thiên hàm hợp tốn có chứa hàm lượng giác cụ thể Ví dụ 3: (Đề minh hoạ Bộ lần năm 2020): Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau: x f  ( x) - -1 + 0 - + + - f ( x) -  5  0;  Số nghiệm thuộc đoạn   phương trình A B Hướng dẫn giải: Cách 1: Cách giải truyền thống  5  Đặt t  sin x , x   0;   t   1;1   - f (sin x ) 1 C D f  t   1, t   1;1 Khi phương trình f (sin x) 1 trở thành Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y  f (t) đường thẳng y = 12 t  a   1;  f  t 1   t  b   0;1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có t  a  1;  Trường hợp 1: t  1;  Ứng với giá trị phương trình si n x  t có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 t  b  ;1 Trường hợp 2: t  0;1 Ứng với giá trị phương trình có nghiệm 5  x  x   ;   x  ; x1 , x2 , x3 thỏa mãn Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác  5  0; Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn     Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp  5  t  si n x, x  0;    Ta có t   cos x, t    cos x  Đặt   3 5   5  x   , ,  x  0;  2 2    Suy f  t 1 Khi phương trình f (sin x)  trở thành Từ BBT hàm số y  f ( x) ta thấy hàm số có điểm cực trị x   1, x  Ta có BBT hàm y  f (t ) sau: x t f(t ) 0  2 0 3 -1 5 2 y=1 f  t 1 Dựa vào BBT dễ thấy phương trình có nghiệm phân biệt Vậy PT cho có nghiệm phân biệt Chọn đáp án C Ví dụ 4: (Bỉm Sơn – Lần - Năm 2021) Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ 13 `  7  0;  f f (cos x)   Số nghiệm thuộc đoạn   phương trình  A.7 B C.8 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống: D  x  x1 ;   x1  1 f  x     x  x2 ;  x2   x  x3 ;  x3  Dựa vào đồ thị hàm số ta có Do phương trình  f  cos x   x1 ;   x1  1  f  f  cos x      f  cos x   x2 ;  x2   f cos x  x ;  x   3   t  cos x; x  ¡  t   1; 1 Xét phương trình f (cosx)  m Đặt Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x ) đoạn  1 ;1 ta có: f (cosx )  x1 ,   x1   f (cosx)  x2 ,  x2  : phương trình vơ nghiệm : phương trình có nghiệm cos x  a,  a  f (cosx )  x3 ,1  x3  : phương trình có nghiệm cos x  b,   b   7   Xét bảng biến thiên hàm số y  cos x  x 2  0 + y 0;  ta có 3 + y -1 Từ suy 7 -1 14  7  0;  cos x  a ,  a  Phương trình có nghiệm có nghiệm thuộc đoạn  7  0;  Phương trình có nghiệm cos x  b,   b  có nghiệm thuộc đoạn   Rõ ràng nghiệm phân biệt  7  0;  Vậy phương trình cho có tất nghiệm thuộc đoạn   Chọn đáp án A Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp  7  t  f (cos x), x  0;    , ta có t    sin x f  (cosx) ; Đặt sin x  sin x  t      x   o;  ; 2 ; 3   f  (cos x)   cos x   Từ đồ thị hàm số y  f ( x) cho ta có BBT hàm số y  f ( x) sau: x f  ( x) f (x) - -1 + - + + + -1 Từ BBT suy hàm số f (x) có điểm cực trị x = -1 x = Ta có BBT hàm hợp y  f ( t ) , ( với f (3) > 3) sau: x t -1 f(t)  f(3) 2 -1 3 f (3) 7 y=0 -1 -1 -1 -1 Từ bảng suy PT f ( t )  có nghiệm phân biệt Chọn đáp án A Nhận xét: ví dụ tốn liên quan đến hàm hợp có chứa hàm lượng giác giải theo cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp cho đáp số nhanh xác nhiều so với cách giải truyền thống việc giải biện luận số nghiệm PT lượng giác đồ thị nhiều thời gian nhiều HS thường mắc sai sót Dạng 3: Tìm tham số m để phương trình có chứa hàm hợp có n nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước Ví dụ (Chuyên Lam Sơn – Lần năm 2021) 15 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên đây: x -4 -2 f  ( x) + 0 + f ( x) -2 -3 + + + Số giá trị nguyên m để phương trình: f ( x  x)  m  có  0;    nghiệm thuộc khoảng A.12 B 14 C.11 D 13 Hướng dẫn giải: m5 f (t )  m   f (t )  t  x  x , x   0;    (1) Đặt , PT cho trở thành Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống Ta có BBT x t + + -4 x  ;    Từ bảng suy với t   t   4;  Nhận xét nghiệm cho nghiệm x phân biệt, nghiệm t  0;    t   cho ta nghiệm x Dựa vào BBT đề cho ta suy ra: m5  3 + Nếu PT (1) có nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm (TH loại) m5 3   2 + Nếu PT (1) có nghiệm t(2;0) nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm (TH loại) m5 2 + Nếu PT (1) có nghiệm t   , nghiệm t( 2;0) nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm (TH loại) m5    11  m  + Nếu PT (1) có nghiệm t( 4;0) nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm (TH thoả mãn) 2  16 m5 2 + Nếu PT (1) có nghiệm t   nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm (TH loại) m5 2 + Nếu PT (1) có nghiệm t   (loại) nghiệm t  PT ban đầu có nghiệm ( TH loại) Vậy để PT ban đầu có nghiệm thuộc khoảng ( 0;  ) (chỉ xảy có nghiệm)  11  m  mà m nguyên nên có 11 giá trị m thoả mãn đề Cách 2: Giải theo phương pháp lập bảng biến thiên hàm hợp Đặt t  x  x; x (0;  ) , ta có t   x  , t    x  Từ BBT hàm số cho ta thấy hàm số f (x) có điểm cực trị x = - 4, x = -2, x = Ta có BBT hàm hợp y  f (t ) sau : x t 0 -4 -2 f (t) -2 y= + + + -2 -3 -3 Từ BBT dễ dàng suy PT (1) có nghiệm phân biệt thuộc (0;   ) m5 2     11  m 1 m Mà nguyên nên có 11 giá trị m thỏa mãn đề Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để phương trình   f   3cos x  3m  10      ;  có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn A B Hướng dẫn giải : Có  C  D   f   3cos x  3m  10  f   3cos x  t  3m  10 x     ;    2  (1) 3sin x  3cos x ; t    x  Đặt t    3cos x (2), có Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống : 17 Ta có bảng biến thiên hàm số t    3cos x x   t t -  0 + PT (1) trở thành Nhận xét: f  t  3m  10  * với t   1; 3 t   +) Với t  , suy phương trình (2) khơng có nghiệm thuộc      ;       ;  t  +) Với , suy phương trình (2) có nghiệm thuộc     ;  +) Với  t  , suy phương trình (2) có hai nghiệm thuộc  2  Dựa vào đồ thị hàm số cho suy để phương trình cho có  3m  10  4   m  6    2  3m  10      m  10   nghiệm thoả mãn đề m   6; 1;0;1;2;3 Vì m¢ nên Vậy có giá trị nguyên m thỏa điều kiện toán Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên hàm hợp Từ đồ thị hàm số y  f ( x) cho ta thấy hàm số có điểm cực trị x = x = Ta có BBT hàm hợp y  f (t ) với t    3cos x x   t f (t ) -2 -4  -4 Từ BBT suy ra: Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn đề PT: f  t  3m  10  3m  10  4 m      m  10  2     m  10 0  có nghiệm  18 m   1;0;1;2;3; 6 Với m số nguyên ta Vậy có tất giá trị m Chọn C Nhận xét: Từ ví dụ HS thấy rõ cách sử dụng bảng biến thiên hàm hợp tỏ ưu mạnh nhiều so với phương pháp truyền thống Từ BBT hàm hợp giải nhiều toán liên quan đến biện luận số nghiệm PT cho Việc giải theo phương pháp truyền thống vừa dài dòng, biện luận phải phân chia nhiều trường hợp nên dễ biện luận thiếu trường hợp từ dẫn đến lời giải sai Bài tập đề nghị: Bài (Triệu Sơn – Lần – Năm 2021) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ bảng biến thiên hàm số f  ( x ) sau: x f  ( x) + -1 + + -1 -3  ln( x  1)   g  x  f     có điểm cực tiểu? Hỏi hàm số A B C D Bài (Hàm Rồng năm 2021) Cho đồ thị hàm số: y  f ( x) hình vẽ bên y Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham y  f ( x  2017)  m số m để hàm số có điểm cực trị Tổng tất giá trị phần tử tập S A.12 B 15 C 18 D x O 3 6 Bài (Chuyên Long An năm 2021) x f  ( x) - + - + + + + f ( x) -2 -4 Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có bảng biến thiên y  f ( x  )  2021  m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực đại 19 A.5 B.6 C.7 D.4 Bài (Câu 43 đề minh hoạ Bộ năm 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f ( sin x )  m có  0;   nghiệm thuộc khoảng A [-1; 3) B (-1; 1) C (-1; 3) D [-1; 1) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm việc dạy học Thực tế, chưa thực đề tài nhiều HS e dè, lúng túng, ngại học chí bỏ qua giải toán liên quan đến hàm hợp sau áp dụng đề tài HS tỏ say mê thích thú, giải tốt nhiều dạng tốn khó liên quan đến hàm hợp Chính chất lượng mơn học nâng lên rõ rệt từ giúp em tự tin học tập tự tin để bước vào kỳ thi THPT Quốc gia Kết cụ thể qua kiểm tra lớp sau: Lớp Số Điểm 8-10 Điểm từ 6,5 Điểm từ Điểm từ Điểm H đến đến 6,5 đến S 12 45 17,7 13 28.8 20 44,7 8.8 0 D % % % % 12E 43 9,3% 15 34,9 21 48,9 6.9 0 % % % Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Từ thực tế công tác giảng dạy thấy việc đưa cho HS cách giải cách nhìn khác toán cần thiết Đặc biệt bối cảnh thi trắc nghiệm việc tìm cách giải nhanh cho lớp tốn nhằm nhanh chóng nhìn thấy quen thuộc để suy luận đáp số hết cần thiết có ý nghĩa vơ quan trọng Trải qua thời gian nghiên cứu tìm tịi, tổng hợp đưa vào vận dụng HS lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia 20 thấy đa số em HS nắm nội dung phương pháp đề tài, biết vận dụng thành thạo vào toán cụ thể 3.2 Kiến nghị Đề tài thực giúp HS 12 giải nhanh số tập liên quan đến hàm hợp nên tơi thiết nghĩ coi tài liệu tham khảo cho GV HS 12 việc dạy học chuyên đề hàm số Bản thân muốn chia sẻ nội dung SKKN tới anh chị em đồng nghiệp em HS 12 học chun đề hàm số Trong khn khổ có hạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài hoàn chỉnh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Lại Thị Hương Lan 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 – NXB GD Một số toán, viết trang thư viện Violet, trang mạng INTERNET, Đề minh họa BGD, đề thi thử trường nước 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN TT Tên đề tài SKKN Một số sai lầm thường gặp học sinh giải toán liên quan đến đạo hàm Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình có chứa chương trình tốn 10 Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thường gặp biến đổi biểu thức lượng giác chương trình toán 10 Giải pháp giáo dục HS lớp chủ nhiệm phòng, chống lây nhiễm dịch Covid- 19 dịch bệnh trường học Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp tỉnh) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành GD cấp tỉnh Số 932/QĐ-SGD ngày 11/9/2008 C 2007-2008 Ngành GD cấp tỉnh Số 904/QĐ-SGD ngày 14/12/2010 C 2009-2010 Ngành GD cấp tỉnh Số 972/QĐ-SGD ngày 24/11/2016 C 2015-2016 Ngành GD cấp tỉnh Số 2088/QĐ-SGD ngày 17/12/2020 B 2019-2020 ... tìm cách giải nhanh cho toán cần thiết Vì có nâng cao kết học tập kết thi cử Trong đề tài tơi xin trình bày: ? ?Hướng dẫn học sinh giải nhanh số toán liên quan đến hàm hợp cách sử dụng bảng biến thiên. .. biết hàm số y  f ( x) biết BBT (hay đồ thị) hàm số y  f ( x ) biết đồ thị hàm số y  f  ( x) ): Để học sinh dễ hiểu, nhớ biết cách lập bảng biến thiên hàm hợp giải số toán liên quan đến hàm hợp. .. BBT hàm hợp g = f(u(x)) ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f (u(x)) để giải yêu cầu toán đưa kết luận *Một số ý quan trọng sử dụng bảng biến thiên hàm hợp để giải số tốn