Skkn phương pháp đạo hàm trong một số dạng toán về hàm hợp của hàm số một biến

1 MỤC LỤC Mở đầu Dạng 1: Tìm số điểm cực trị hàm hợp dựa vào đồ thị Dạng 2: Tìm số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị 13 Kết luận .21 Tài liệu tham khảo 23 skkn 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài.  Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình Là cơng cụ "mạnh" để giải hầu hết toán hàm số đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn - nhỏ hàm hợp biến Các toán đạo hàm ứng dụng đạo hàm hàm hợp hàm số biến có nhiều dạng khác nhau, đặc biệt năm gần hình thức thi trắc nghiệm tốn sử dụng rộng rãi kì thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học, cao đẳng tốn liên quan đến hàm hợp hàm số biến ngày phong phú thu hút nhiều thầy cô giáo em học sinh quan tâm Với lòng đam mê mong muốn xây dựng hệ thống lý thuyết chặt chẽ đưa phương pháp vận dụng hiệu để giải dạng toán hàm hợp hàm số biến thông dụng chương trình tốn trung học phổ thơng tơi chọn đề tài: “Phương pháp đạo hàm số dạng toán hàm hợp hàm số biến” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu tìm hiểu phương pháp đạo hàm giải toán số cực trị hàm hợp biến xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Bên cạnh tác giả giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn giải toán hàm hợp biến, tập trình bày dạng trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đạo hàm hàm hợp biến - Một số toán liên qua đến phương pháp đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng số cực trị hàm số; số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp tìm hiểu lý thuyết; đọc; dịch nghiên cứu tài liệu; phân tích; suy luận logic tổng hợp tài liệu liên quan đến đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp xét dấu đạo hàm Bước 1: Tìm tập xác định hàm Ở skkn , giả sử ta tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm Bước 3: Xét dấu Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải yêu cầu đặt toán kết luận - Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Bước 1: Tìm tập xác định hàm , giả sử ta tập xác định Ở Bước 2: Xét biến thiên hàm (bước làm gộp bước đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên rút gọn tổng hợp xét tương quan Bảng thường có dịng dạng sau Cụ thể thành phần bảng biến thiên sau Dòng 1: Xác định điểm biên tập xác định điểm cực trị hàm , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, chẳng hạn Dòng 2: Điền giá trị cần bổ xung điểm hàm Trên khoảng với Trên khoảng , không xác định điểm cực trị , thứ tự chẳng hạn cần xếp điểm skkn theo Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm số dựa vào bảng biến thiên hàm cách hoán đổi: u đóng vai trị hồn thiện bảng biến thiên hàm hợp đóng vai trị Sau ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải yêu cầu đặt toán kết luận 2.2 Thực trạng vấn đề Theo cấu trúc đề thi TNTHPT năm gần đây, chủ đề hàm số chiếm 20% đề thi Trong số có số dạng khó liên quan đến hàm hợp mà nhiều học sinh cảm thấy xa lạ khó Một số học sinh áp dụng cách giải truyền thống thường dài, thời gian 2.2 Giải pháp thực Đề tài gồm dạng,mỗi dạng gồm ví dụ trình bày hai cách để thấy rõ ưu việt cách Dạng 1: Tìm số cực trị hàm hợp dựa vào đồ thị Ví dụ 1.1 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số A B C D 11 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số Vì sau nên ta có Từ suy Xét hàm số , ta có Khi skkn Ta có bảng biến thiên hàm số h(x) Ngồi ra, ta cịn có đồ thị hàm Từ đồ thị, ta thấy +) Đường thẳng +) Đường thẳng +) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số Như phương trình điểm điểm điểm có tất nghiệm đơn phân biệt Suy hàm có cực trị Vậy ta chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Xét hàm số ta có Từ suy Ta có bảng biến thiên rút gọn sau Gọi điểm cực trị hàm số Suy chọn C skkn có điểm cực trị Vậy ta Ví dụ 1.2 Cho hàm đa thức bậc cho đồ thị hàm số hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = g(x) = f(x2 + 4x + 5) A.2 B.5 C.3 D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Đầu tiên ta nhận xét đồ thị tiếp xúc trục , Do nên ta có nghiệm kép , nên Xét PT , ta loại hai nghiệm điểm cực trị Vì nghiệm kép khơng nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có bảng biến thiên hàm số Đặt ; ta có Ta có bảng biến thiên hàm skkn Bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số có ba điểm cực trị Do ta chọn C Ví dụ 1.3 [CHUN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta có Hay Suy có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn Vậy hàm số có điểm cực trị Do ta chọn A Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên hàm số skkn sau Đặt Ta có Suy Lập bảng biến thiên hàm số u(x) ta Hàm số trở thành hàm số Từ bảng biến thiên hàm số bảng biến thiên hàm số Từ bảng ta thấy hàm số Ví dụ 1.4 Cho hàm số Đặt ta có bảng sau có điểm cực trị Vậy ta chọn A có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ Số điểm cực trị hàm số A B C 10 D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm skkn Từ đồ thị ta thấy Phương trình nên có nghiệm đơn phân biệt có nghiệm đơn phân biệt có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số khác Vì khác Suy có điểm cực trị Ta chọn B Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt Từ đồ thị hàm hàm ta suy bảng biến thiên hàm sau (với ) Từ bảng biến thiên hàm hợp ta có hàm số Ví dụ 1.5 Cho hàm số bậc bốn có điểm cực trị có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số skkn A B C D.11 Lời giả Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Do hàm số bậc bốn nên hàm số liên tục có đạo hàm ln xác định Theo đồ thị hàm số ta có Mặt khác nên ta có Ta có số , suy , từ ta có bảng biến thiên hàm sau Từ bảng biến thiên hàm số ta có có ba nghiệm phân biệt, h(x) = có nghiệm phân biệt, phương trình có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác đồng thời khác Vì phương trình có 11 nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số có 11 cực trị Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Từ đồ thị hàm số ta có Đặt , suy Khi cho hàm số skkn Ta lập bảng biến thiên 10 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số Ví dụ 1.6 Cho hàm số có 11 điểm cực trị liên tục đồ thị có ba điểm cực trị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số A.5 B.7 C.9 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta có Từ suy Ta có đồ thị hàm số Từ đồ thị hàm số , suy +) Phương trình (1) có nghiệm khác skkn , -4 < a < D.11 11 +) Phương trình (2) có nghiệm khác , -1 < b < +) Phương trình (3) có nghiệm phân biệt khác Như phương trình , < c < có nghiệm phân biệt, tức hàm số có điểm cực trị Chọn B Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có hàm số Đặt , suy Khi Ta có bảng biến thiên Khi hàm số trở thành Từ đồ thị hàm số cực trị ta có điểm Khi ta có bảng biến thiên sau Vậy có tất điểm cực trị Ví dụ 1.7 Cho hàm số bậc bốn Đồ thị hàm số Số điểm cực đại hàm số A hình vẽ bên B C Lời giải Cách Phương pháp xét dấu đạo hàm skkn D 12 Ta có Theo đồ thị hàm số ta có Ta có bảng xét dấu Từ ta suy hàm số có điểm cực trị Vậy chọn A Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Từ đồ thị Đặt , suy Xét Ta có bảng biến thiên hàm số skkn 13 Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Dạng 2: Xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Ví dụ 2.1 Cho hàm số có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Điều kiện xác định Ta có Đặt với , ta có Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên trên, suy +) Phương trình (1) có nghiệm +) Phương trình (2) có nghiệm +) Phương trình (3) vơ nghiệm skkn với Khi 14 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt với , ta có với Khi Lập bảng biến thiên Ta có bảng sau Dựa vào bảng, phương trình cho có nghiệm phân biệt Vậy chọn D Ví dụ 2.2 Cho hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị m để phương trình A B m > -4 có nghiệm C < m < Lời giải skkn D 15 Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Dựa vào đồ thị cho ta có đồ thị hàm số Đặt ta có Khi Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có nghiệm phương trình Vậy phương trình có có nghiệm Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Dựa vào đồ thị cho ta có đồ thị hàm Đặt ta có Khi Ta có bảng biến thiên skkn 16 Vậy phương trình Ví dụ 2.3 Cho hàm số có nghiệm có đồ thị hình sau Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Từ đồ thị, suy bảng biến thiên hàm số Xét hàm số TXĐ D = [-2;2] Ta có Bảng biến thiên skkn 17 Dựa vào bảng biến thiên, suy phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy có giá trị m thoả mãn toán Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt Ta có , Ta lập bảng biến thiên Phương trình biến thiên trở thành nên có hai nghiệm phân biệt m thoả mãn toán Vậy có giá trị m thoả mãn Ví dụ 2.4 Cho hàm số có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên m để phương trình A bảng ta có bảng sau Từ bảng suy phương trình = -1 Do Từ đồ thị hàm số có nghiệm? B C skkn D 18 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Đặt Ta có Suy Ta có bảng biến thiên Bài tốn trở thành tìm m ngun để phương trình có nghiệm Dựa vào đồ thị bảng biến thiên ta suy có nghiệm Mà nên Vậy chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt Ta có Suy Ta có bảng biến thiên Suy có nghiệm Vậy chọn C Ví dụ 2.5 Cho hàm số liên tục R có đồ thị hình vẽ skkn Mà nên 19 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn A có B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta thấy Đặt , suy Khi ta có Ta có bảng biến thiên Với Với Với , suy phương trình , suy phương trình có nghiệm thuộc đoạn , suy phương trình Khi đó, phương trình nghiệm khơng có nghiệm thuộc đoạn có nghiệm thuộc đoạn trở thành Để phương trình Vì trị nguyên m thỏa mãn tốn Do chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có skkn nên có Vậy có giá 20 Đặt , với ta có ta có (do ; ) Lập bảng biến thiên hàm Từ bảng biến thiên suy ra: Để phương trình Vì có hai nghiệm phân biệt thì: nên , Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn tốn Do chọn C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D 12G đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Số HS thực nghiệm Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 12D 46 17,39% 20 43,47% 16 34,78% 4,3% 12G 41 21,95% 23 56,1% 21,95% 0% Kết kiểm tra lần Lớp Số HS Điểm Điểm 5-6 skkn Điểm 7-8 Điểm 9-10 21 thực nghiệm SL % SL % 12D 46 0 10 21,74% 24 52,16% 12 20,1% 12G 41 0 11 26,8% 53,65% 19,55% SL 22 % SL % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng toán này, thấy: - Học sinh định hướng giải nhanh tốn tìm số cực trị, số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị tơi sưu tầm từ đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học, qua kết thực nghiệm, đồng thời với cương vị người trực tiếp giảng dạy nhận thấy việc hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp đạo hàm để giải dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị cần thiết hiệu 3.1 Kết luận: Dựa vào tài liệu , , , hệ thống tường minh kiến thức phương pháp giải số dạng toán hàm hợp Cụ thể đề tài đề cập đến nội dung sau: Trình bày hệ thống kiến thức phương pháp giải số dạng toán hàm hợp Trình bày hệ thống tập số cực trị hàm số hình thức trắc nghiệm Trnh bày hệ thống số tốn tìm số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Trình bày hai phương pháp thường sử dụng giải toán hàm hợp Việc hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp đạo hàm để giải dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn tốn học sinh 3.2 Kiến nghị: Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính, ln trau dồi kiến thức, khơng ngừng tìm tòi, nghiên cứu phương pháp skkn 22 mới, phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm đem lại hiệu cao trình giảng dạy Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích cực, chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Đối với nhà trường: nhân rộng đề tài khoa học nhà trường để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý vận dụng trình dạy học Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để viết hoàn thiện hơn, việc ứng dụng nội dung viết vào giảng dạy cho học sinh lớp mình, qua đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hấp dẫn hiệu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 10/05/2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan sáng kiến nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Mai Thị Hiền skkn 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập 1, NXB GD, 1998 [2] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB GD, 2020 [3] Trần Văn Hạo (Chủ biên), Giải tích 12 bản, NXB GD, 2020 [4] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Đại số Giải tích 12 Nâng cao, NXB GD, 2020 [5] Bộ giáo dục đào tạo, Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm học: 20182019, 2019-2020, 2020-2021 [6] Kênh PPT TIVI, Phương pháp ghép trục tốn hàm hợp Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 skkn ... thông Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn - nhỏ hàm hợp biến Các toán đạo hàm ứng dụng đạo hàm hàm hợp hàm số biến có nhiều dạng khác... hiểu phương pháp đạo hàm giải toán số cực trị hàm hợp biến xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Bên cạnh tác giả giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn giải toán hàm hợp biến, ... trình bày dạng trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đạo hàm hàm hợp biến - Một số toán liên qua đến phương pháp đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng số cực trị hàm số; số nghiệm phương