Thông tin tài liệu
1 MỤC LỤC Mở đầu Dạng 1: Tìm số điểm cực trị hàm hợp dựa vào đồ thị Dạng 2: Tìm số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị 13 Kết luận .21 Tài liệu tham khảo 23 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình Là cơng cụ "mạnh" để giải hầu hết toán hàm số đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn - nhỏ hàm hợp biến Các toán đạo hàm ứng dụng đạo hàm hàm hợp hàm số biến có nhiều dạng khác nhau, đặc biệt năm gần hình thức thi trắc nghiệm tốn sử dụng rộng rãi kì thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học, cao đẳng tốn liên quan đến hàm hợp hàm số biến ngày phong phú thu hút nhiều thầy cô giáo em học sinh quan tâm Với lòng đam mê mong muốn xây dựng hệ thống lý thuyết chặt chẽ đưa phương pháp vận dụng hiệu để giải dạng toán hàm hợp hàm số biến thơng dụng chương trình tốn trung học phổ thơng tơi chọn đề tài: “Phương pháp đạo hàm số dạng toán hàm hợp hàm số biến” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu tìm hiểu phương pháp đạo hàm giải toán số cực trị hàm hợp biến xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Bên cạnh tác giả cịn giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn giải toán hàm hợp biến, tập trình bày dạng trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đạo hàm hàm hợp biến - Một số toán liên qua đến phương pháp đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng số cực trị hàm số; số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp tìm hiểu lý thuyết; đọc; dịch nghiên cứu tài liệu; phân tích; suy luận logic tổng hợp tài liệu liên quan đến đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp xét dấu đạo hàm Bước 1: Tìm tập xác định hàm g f (u ( x)) , giả sử ta tập xác định D (a1 ; a2 ) (a2 ; a3 ) (an 1; an ) Ở a1 ; an Bước 2: Tính đạo hàm f x ux f u Bước 3: Xét dấu u( x) f ( x) Bước 4: Lập bảng biến thiên x u( x) u ( x) f (u ( x)) f (u ( x )) Bước 5: Dùng bảng biến thiên hàm hợp g f (u ( x)) giải yêu cầu đặt toán kết luận - Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Bước 1: Tìm tập xác định hàm g f (u ( x)) , giả sử ta tập xác định D (a1 ; a2 ) (a2 ; a3 ) (an 1; an ) Ở a1 ; an Bước 2: Xét biến thiên u u ( x) hàm y f ( x) (bước làm gộp bước đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên rút gọn tổng hợp xét tương quan [x; u u ( x)] [u; g f (u )] Bảng thường có dịng dạng sau Cụ thể thành phần bảng biến thiên sau Dòng 1: Xác định điểm biên tập xác định điểm cực trị hàm u u ( x ) , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, chẳng hạn a1 a2 an1 an Dòng 2: Điền giá trị ui u (ai ) với i 1, , n 1 i 1, , n Trên khoảng (ui ; ui 1 ) , cần bổ xung điểm f ( x ) không xác định điểm cực trị b1; b2 ; ; bk hàm y f ( x) Trên khoảng (ui ; ui 1 ) , i 1, , n cần xếp điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn u1 b1 b2 bk ui1 ui b1 b2 bk ui 1 Dòng 3: Xét chiều biến thiên hàm số g f (u ( x )) dựa vào bảng biến thiên hàm y f ( x) cách hốn đổi: u đóng vai trị x; f (u ) đóng vai trị f ( x) Sau hoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp g f (u ( x)) ta thấy hình dạng đồ thị hàm Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp g f (u ( x)) giải yêu cầu đặt toán kết luận 2.2 Thực trạng vấn đề Theo cấu trúc đề thi TNTHPT năm gần đây, chủ đề hàm số chiếm 20% đề thi Trong số có số dạng khó liên quan đến hàm hợp mà nhiều học sinh cảm thấy xa lạ khó Một số học sinh áp dụng cách giải truyền thống thường dài, thời gian 2.2 Giải pháp thực Đề tài gồm dạng,mỗi dạng gồm ví dụ trình bày hai cách để thấy rõ ưu việt cách Dạng 1: Tìm số cực trị hàm hợp dựa vào đồ thị Ví dụ 1.1 Cho hàm số bậc bốn y f ( x) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x) f ( x3 x ) A B C D 11 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y f ( x) sau Vì g ( x) f ( x3 3x ) nên ta có g ( x) (3 x x) f ( x x ) Từ suy x x 2 3 x x g ( x) x x a; a f ( x x ) x x b;0 b x x c; c x Xét hàm số h( x) x x , ta có h( x) 3x x Khi h( x) x 2 Ta có bảng biến thiên hàm số h(x) Ngồi ra, ta cịn có đồ thị hàm h( x) x x Từ đồ thị, ta thấy +) Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x điểm +) Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x điểm +) Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x điểm Như phương trình g ’ x có tất nghiệm đơn phân biệt Suy hàm g ( x) f ( x 3x ) có cực trị Vậy ta chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Xét hàm số u x3 3x ta có u’ 3x x Từ suy x 2 u x x x Ta có bảng biến thiên rút gọn sau Gọi a , b , c điểm cực trị hàm số y f x a b c f a f c ; f b Suy g x f x x có điểm cực trị Vậy ta chọn C 5 Ví dụ 1.2 Cho f x hàm đa thức bậc cho đồ thị hàm số y f x hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = g(x) = f(x2 + 4x + 5) A.2 B.5 C.3 D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Đầu tiên ta nhận xét x x đồ thị f ( x) tiếp xúc trục Ox nên ta có x f ( x) x , x , x nghiệm kép x Do y g x f x x , nên x 2 g ( x) (2 x 4) f ( x x 5) f ( x x 5) t Xét PT f (t ) t , ta loại hai nghiệm t t nghiệm kép không t x 1 điểm cực trị Vì t 2; x x nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị x 3 x 1; x 2; x 3 Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có bảng biến thiên hàm số y f x Đặt u x x ; ta có u x 4; u x 2 u Ta có bảng biến thiên hàm u x Bảng biến thiên hàm số y g ( x) f ( x x 5) f (u ) Vậy hàm số y g ( x) f ( x x 5) có ba điểm cực trị Do ta chọn C Ví dụ 1.3 [CHUYÊN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số y f x Hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y f ( x 1) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta có y x f ( x 1) Suy x x2 x 1 y x x 1 x x Hay y có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn Vậy hàm số y f ( x 1) có điểm cực trị Do ta chọn A Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Từ đồ thị hàm số y f ( x) ta có bảng biến thiên hàm số y f ( x) sau Đặt u x Ta có u( x) x Suy u( x) x Lập bảng biến thiên hàm số u(x) ta Hàm số y f ( x 1) trở thành hàm số y f (u ) Từ bảng biến thiên hàm số y f x bảng biến thiên hàm số u x x ta có bảng sau Từ bảng ta thấy hàm số y f ( x 1) có điểm cực trị Vậy ta chọn A Ví dụ 1.4 Cho hàm số y f x có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt g ( x) f ( f ( x )) Số điểm cực trị hàm số g ( x) A B C 10 D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Từ đồ thị ta thấy g ( x ) f ( f ( x)) f ( x).g ( x ) f ( f ( x)) f ( x ).g ( x ) f ( x) f ( x) a f ( f ( x)) (2 a 3) x f ( x) x a Phương trình f x có nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác a Vì a nên f x a có nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 ,0, a Suy g x có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g ( x) f ( f ( x)) có điểm cực trị Ta chọn B Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt u f ( x) Từ đồ thị hàm y f x ta suy bảng biến thiên hàm u f x hàm g ( x) f ( f ( x)) sau (với a 3; f ( 5) 5 f ( a ) 4 ) Từ bảng biến thiên hàm hợp ta có hàm số g ( x) f ( f ( x )) có điểm cực trị Ví dụ 1.5 Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g ( x) f ( x3 3x 1) A B C D.11 Lời giả Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Do y f x hàm số bậc bốn nên hàm số liên tục có đạo hàm ln xác định x R Theo đồ thị hàm số ta có x x 1 0;1 f ( x) x x x2 (1;3) Mặt khác g ( x) (3 x 3) f ( x x 1) nên ta có x x 1 3 x g ( x) x3 3x x1 f ( x 3x 1) x3 3x x 3x x2 x 1 Ta có h( x) x , suy h( x) , từ ta có bảng biến thiên hàm x 1 số y h x sau Từ bảng biến thiên hàm số h( x) x 3x ta có h( x) x1 (0;1) có ba nghiệm phân biệt, h(x) = có nghiệm phân biệt, phương trình h x x2 (1;3) có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác đồng thời khác Vì phương trình g ( x) có 11 nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y g x có 11 cực trị Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn x a (0;1) f (1) Từ đồ thị hàm số ta có f ( x) x f (a ) f (b) x b (1;3) Đặt t x3 x , suy t x Khi t x 1 Ta lập bảng biến thiên cho hàm số g ( x) f ( x3 3x 1) 10 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g ( x ) f ( x3 3x 1) có 11 điểm cực trị Ví dụ 1.6 Cho hàm số y f x liên tục R đồ thị có ba điểm cực trị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g ( x) f ( x 3x 2) A.5 B.7 C.9 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta có g ( x ) (3x 3) f ( x x 2) Từ suy x 1 x 1 3 x g ( x) x x a(1) f ( x 3x 2) x x b(2) x x c(3) Ta có đồ thị hàm số y x x Từ đồ thị hàm số y x x , suy +) Phương trình (1) có nghiệm khác 1 , -4 < a < D.11 11 +) Phương trình (2) có nghiệm khác 1 , -1 < b < +) Phương trình (3) có nghiệm phân biệt khác 1 , < c < Như phương trình g ' ( x) có nghiệm phân biệt, tức hàm số g ( x) f ( x x 2) có điểm cực trị Chọn B Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có hàm số g ( x) f ( x x 2) Đặt t x x , suy t x Khi t x 1 Ta có bảng biến thiên Khi hàm số trở thành g t f t Từ đồ thị hàm số g ( x) f ( x) ta có điểm cực trị a ; 1 , b (1;0), c (0; ) Khi ta có bảng biến thiên sau Vậy có tất điểm cực trị Ví dụ 1.7 Cho hàm số bậc bốn y f x Đồ thị hàm số y f ( x) hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số g ( x) f ( x x 2) A B C Lời giải Cách Phương pháp xét dấu đạo hàm D 12 Ta có g ( x) x 1 x 2x 2 f ( x x 2) Theo đồ thị hàm số y f ( x) ta có x 1 x 1 x 1 x x 1 g ( x ) x 1 2 x x f ( x x 2) x 1 2 x 2x Ta có bảng xét dấu Từ ta suy hàm số g ( x) f ( x x 2) có điểm cực trị Vậy chọn A Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Từ đồ thị Đặt u ( x) x x ( x 1) , suy u( x) u( x) x 1 x x 1(Vn) x 1 x 1 2 Xét x x x 1 2 x2 x Ta có bảng biến thiên hàm số f (u ) f ( x x 2) x 1 x 2x 2 ; 13 Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Dạng 2: Xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Ví dụ 2.1 Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f (4 x x x ) A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Điều kiện xác định x x x x Ta có x x x a (;2)(1) 3 f (4 x x x ) x x x a2 (2;4)(2) x x x a3 (4; )(3) Đặt t x x x với x , ta có t x 12 x x3 x x x t x 12 x x Lập bảng biến thiên t x x x Từ bảng biến thiên trên, suy +) Phương trình (1) có nghiệm +) Phương trình (2) có nghiệm +) Phương trình (3) vơ nghiệm với x Khi 14 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt t x x x với x , ta có t 3 x 12 x x3 x x với x Khi x t x 12 x x Lập bảng biến thiên t x x x Ta có bảng sau Dựa vào bảng, phương trình cho có nghiệm phân biệt Vậy chọn D Ví dụ 2.2 Cho hàm số y f x liên tục R có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị m để phương trình f ( A 4 m 2 B m > -4 C < m < Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm 3x x ) m có nghiệm x2 D m 15 Dựa vào đồ thị cho ta có đồ thị hàm số y f ( x) x 1 4 x 3x x t t Đặt t ta có Khi x Ta có bảng biến (2 x 2) 2x2 thiên 3x x ) m có Từ bảng biến thiên ta có x R t 1;2 Vậy phương trình f ( x2 nghiệm phương trình f (t ) m có nghiệm t 1;2 m Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Dựa vào đồ thị cho ta có đồ thị hàm y f ( x) Đặt t x 1 4 x 3x x 0 t t ta có Khi 2 (2 x 2) 2x2 x Ta có bảng biến thiên 16 Vậy phương trình f ( 3x x ) m có nghiệm m x2 Ví dụ 2.3 Cho hàm số y f x có đồ thị hình sau Có giá trị ngun tham số m để phương trình f ( x ) m có nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Từ đồ thị, suy bảng biến thiên hàm số y f ( x) Xét hàm số g ( x) f ( x ) TXĐ D = [-2;2] Ta có g ( x ) x 4 x f ( x ) x x x g x x 1(1) x f ( x ) x Bảng biến thiên 17 Dựa vào bảng biến thiên, suy phương trình g ( x) m có hai nghiệm phân biệt m 1 m (1;3) Vậy có giá trị m thoả mãn toán Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Đặt t x Ta có t x x2 , t x (2;2) Ta lập bảng biến thiên Phương trình f ( x ) m trở thành f (t ) m Từ đồ thị hàm số y f ( x) bảng biến thiên t ( x ) x ta có bảng sau Từ bảng suy phương trình f (t ) m có hai nghiệm phân biệt m (1;3) m = -1 Do m Z nên m 1;2 thoả mãn toán Vậy có giá trị m thoả mãn Ví dụ 2.4 Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên m để phương trình f ( A x2 2) m có nghiệm? x4 x2 B C D 18 Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Đặt u x 12 x 12 x 6x2 u u Ta có Suy x 1 ( x x 1) x4 x2 Ta có bảng biến thiên Bài tốn trở thành tìm m nguyên để phương trình f u m có nghiệm u [2;4] Dựa vào đồ thị bảng biến thiên ta suy f u m có nghiệm m m Mà m Z nên m 2;3;4;5;6 Vậy chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn x 12 x 12 x 6x2 u u Đặt u Ta có Suy x 1 ( x x 1) x x2 Ta có bảng biến thiên Suy f (u ) m có nghiệm m m Mà m Z nên m 2;3;4;5;6 Vậy chọn C Ví dụ 2.5 Cho hàm số y f ( x) liên tục R có đồ thị hình vẽ 19 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f (5 3cos x ) 3m 10 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; 2 A B C D Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm Ta thấy f (5 3cos x ) 3m 10, x [ Đặt t 3cos x 1 , suy t ; ] * 2 3sin x Khi ta có t x 3cos x Ta có bảng biến thiên t Với , suy phương trình 1 khơng có nghiệm thuộc đoạn t ; Với t , suy phương trình 1 có nghiệm thuộc đoạn ; 2 Với t , suy phương trình 1 có nghiệm thuộc đoạn ; 2 Khi đó, phương trình * trở thành f (t ) 3m 10 Để phương trình * có 3m 10 4 m 6 nghiệm Vì m Z nên m 6; 1;0;1;2;3 Vậy có giá m 10 m 10 2 0 trị ngun m thỏa mãn tốn Do chọn C Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn Ta có f (5 3cos x ) 3m 10 f (5 3cos x ) 3m 10 20 3sin x 3sin x Đặt u 3cos x , với x ; ; ta có u 2 ; 3cos x 3cos x 2 ta có u x (do x ; ) Lập bảng biến thiên hàm f (u ) 2 Từ bảng biến thiên suy ra: Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thì: 3m 10 4 m 6 Vì m Z nên m 6; 1;0;1;2;3 , Vậy có giá trị m 10 2 3m 10 nguyên m thỏa mãn toán Do chọn C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng toán tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D 12G đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Số HS thực nghiệm Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 12D 46 17,39% 20 43,47% 16 34,78% 4,3% 12G 41 21,95% 23 56,1% 21,95% 0% Kết kiểm tra lần 21 Số HS thực nghiệm Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Lớp Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 12D 46 0 10 21,74 % 24 52,16 % 12 20,1% 12G 41 0 11 26,8% 22 53,65 % 19,55 % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy: - Học sinh định hướng giải nhanh tốn tìm số cực trị, số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị sưu tầm từ đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học, qua kết thực nghiệm, đồng thời với cương vị người trực tiếp giảng dạy nhận thấy việc hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp đạo hàm để giải dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị cần thiết hiệu 3.1 Kết luận: Dựa vào tài liệu [1] , [2] , [3] , hệ thống tường minh kiến thức phương pháp giải số dạng toán hàm hợp Cụ thể đề tài đề cập đến nội dung sau: Trình bày hệ thống kiến thức phương pháp giải số dạng tốn hàm hợp Trình bày hệ thống tập số cực trị hàm số hình thức trắc nghiệm Trnh bày hệ thống số tốn tìm số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Trình bày hai phương pháp thường sử dụng giải toán hàm hợp Việc hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp đạo hàm để giải dạng tốn tìm số cực trị số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn tốn học sinh 3.2 Kiến nghị: 22 Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính, ln trau dồi kiến thức, khơng ngừng tìm tịi, nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm đem lại hiệu cao trình giảng dạy Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích cực, chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Đối với nhà trường: nhân rộng đề tài khoa học nhà trường để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý vận dụng q trình dạy học Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để viết hoàn thiện hơn, việc ứng dụng nội dung viết vào giảng dạy cho học sinh lớp mình, qua đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hấp dẫn hiệu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày 10/05/2022 Tơi xin cam đoan sáng kiến nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Mai Thị Hiền 23 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập 1, NXB GD, 1998 [2] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB GD, 2020 [3] Trần Văn Hạo (Chủ biên), Giải tích 12 bản, NXB GD, 2020 [4] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Đại số Giải tích 12 Nâng cao, NXB GD, 2020 [5] Bộ giáo dục đào tạo, Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm học: 20182019, 2019-2020, 2020-2021 [6] Kênh PPT TIVI, Phương pháp ghép trục toán hàm hợp Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 ... thông Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn - nhỏ hàm hợp biến Các toán đạo hàm ứng dụng đạo hàm hàm hợp hàm số biến có nhiều dạng khác... hiểu phương pháp đạo hàm giải toán số cực trị hàm hợp biến xét số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị Bên cạnh tác giả giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn giải toán hàm hợp biến, ... trình bày dạng trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đạo hàm hàm hợp biến - Một số toán liên qua đến phương pháp đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng số cực trị hàm số; số nghiệm phương
Ngày đăng: 05/06/2022, 10:25
Xem thêm:
