(SKKN 2022) Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

0 Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 3.1 3.2 MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Giải pháp thực để giải vấn đề Hệ thống kiến thức liên quan Hướng dẫn học sinh tiếp cận quy tắc tìm khoảng đơn điệu Hướng dẫn học sinh giải nhanh số loại toán Bài tập tương tự Kết nghiên cứu KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 1 2 2 4 5 19 19 19 19 20 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Tốn học lớp 12, tốn hàm số giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi THPT Quốc gia năm gần với mức độ khác từ dễ đến khó Đối với tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm có dấu giá trị tuyệt đối khó cịn địi hỏi học sinh phải có tư tốt, nên học sinh đại trà thường để điểm kì thi Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Tính đơn điệu hàm số nội dung thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt năm gần đây, tính đơn điệu hàm số có nội dung hay, khó thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn biết đồ thị bảng xét dấu đạo hàm Với lượng kiến thức rộng cần tư nhiều từ học sinh nên tính đơn điệu hàm số phần kiến thức quan trọng học sinh thi tốt nghiệp THPT Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f ( x) , học sinh không nắm kiến thức dễ sai lầm sang hàm số y  f ( x) ; yếu tố thứ hai sử dụng tư tính đạo hàm hàm hợp, tư xét dấu, tư đồ thị hàm số, dặc biệt tư hàm số có dấu giá trị tuyệt đối tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp khơng phụ thuộc biến số dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Kì thi tốt nghiệp THPT năm học 2021 – 2022 đến gần,với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh số kiến thức để lấy điểm tối đa toán liên quan đến cực trị hàm số, đặc biệt hàm số ẩn, hàm hợp hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối … từ em giải cách dễ dàng toán hàm số liên quan đến tìm số cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Từ lý với ý tưởng, giải pháp mà thân tâm đắc tự rút trình thực tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia (nay TN THPT), định chọn đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh số tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021 – 2022 hy vọng thông qua đề tài cung cấp cho học sinh nhìn tổng quan phương pháp giải để từ có định hướng tốt tìm lời giải nhanh toán hàm số ẩn Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen thành thạo với loại tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  liên quan đến hàm ẩn, hàm hợp, hàm có dấu giá trị tuyệt đối … cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn học sinh khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng gặp toán hàm số ẩn, hàm hợp, hàm có giá trị tuyệt đối Từ giúp học sinh dễ dàng giải toán khó liên quan đến tìm cực trị, GTLN,NN… Qua rèn luyện kỹ tốn học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính tốn, lực giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Kiến thức đạo hàm hàm số hợp quy tắc xét dấu đạo hàm - Kiến thức so sánh nghiệm phương trình - Kiến thức tương giao hai đồ thị hàm số - Kiến thức liên quan đến phép đối xứng, phép tịnh tiến đồ thị - Học sinh lớp 12B, 12E năm học 2021 – 2022 trường THPT Nga Sơn 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần xét tính đơn điệu hàm số toán liên quan trường THPT Nga Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng phương pháp tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn, hàm số hợp, hàm số có giá trị tuyệt đối việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vô quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Với mục đích giúp học sinh xử lí tốt tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối viết mình, tơi đề cập đến ba loại tốn sau: Loại 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  , y  f  x  , y  f  x  Loại 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g  x   f u  x   , g  x   f u  x   Loại 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g  x   f u  x    v  x  hàm số g  x   f u  x    v  x  2.2 THỰC TRẠNG Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách: giải nhanh số tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cần thiết lí sau: Thứ nhất, học sinh trường THPT Nga Sơn có điểm đầu vào cịn thấp, gia đình có điều kiện kinh tế cịn khó khăn dẫn đến khả tư học sinh chậm ảnh hưởng nhiều đến việc tiếp thu kiến thức đặc biệt vùng kiến thức khó Thứ hai, sách giáo khoa giải tích lớp 12 đề cập đến kiến thức hàm số y  f  x  thông thường, cụ thể mà không đề cập đến hàm số hợp, nhiên đề thi tốt nghiệp THPT gần thường xuyên xuất tốn hàm số hợp Chính vậy, q trình giảng dạy ơn thi giáo viên cần định hướng giúp học sinh tìm tịi,nghiên cứu để em đưa phương pháp phù hợp cho dạng tốn xét tính đơn điệu hàm số Từ giúp học sinh tự xử lí tốn tương tự làm tảng cốt lõi để giải tốn hàm số q trình học tập thi Thứ ba, mơn tốn có thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ địi hỏi học sinh phải giải toán cách nhanh nhờ vào việc sử dụng kết đúc kết rút phần phương pháp, từ tiết kiệm thời gian Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi đưa ba loại tốn mà q trình giảng dạy thường gặp số tập tự luyện Mong viết giúp ích cho số em học sinh hay chí cung cấp cho em có tài liệu hữu ích q trình học tập, đồng thời trao đổi, học hỏi với đồng nghiệp 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan: a) Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x) xác định K Ta nói: + Hàm số đồng biến (tăng) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) + Hàm số nghịch biến (giảm) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K b) Định lý: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a Nếu f ( x)  0, x  K f ( x)  số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K b Nếu f ( x)  0, x  K f ( x)  số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K c) Đạo hàm hàm số hợp + Hàm số hợp: Giả sử u  g ( x) hàm số x, xác định khoảng  a; b  lấy giá trị khoảng  c; d  ; hàm số y  f  u  hàm số u xác định  c; d  lấy giá trị ¡ Khi ta lập hàm số y  f (u )  f  g  x   xác định  a; b  lấy giá trị ¡ Ta gọi hàm y  f  g  x   hàm hợp hàm số y  f  u  với u  g  x  + Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số u  g ( x) có đạo hàm x ux hàm số y  f  u  có đạo hàm u yu hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm x là: yx  yu ux + Đạo hàm hàm số có dấu giá trị tuyệt đối: y  f ( x)  f ( x)  y  f ( x ) f ( x ) f ( x) d) Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị  C  Khi với số a  ,ta có: Đồ thị hàm số: + Hàm số y  f ( x)  a tịnh tiến  C  theo phương Oy lên a đơn vị + Hàm số y  f ( x)  a tịnh tiến  C  theo phương Oy xuống a đơn vị + Hàm số y  f ( x  a) tịnh tiến  C  theo phương Ox qua trái a đơn vị + Hàm số y  f ( x  a ) tịnh tiến  C  theo phương Ox qua phải a đơn vị + Hàm số y  f  x  có đồ thị cách: Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm bên phải Oy bỏ phần đồ thị  C  nằm bên trái Oy; Lấy đối xứng phần đồ thị  C  nằm bên phải Oy qua Oy Hàm số y  f  x  có đồ thị cách: Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm Ox bỏ phần đồ thị  C  nằm Ox; Lấy đối xứng phần đồ thị  C  nằm bên bên Ox qua Ox e) Sự tương giao đồ thị Giả sử hàm số y  f  x  có đồ thị  C1  hàm số y  g  x  có đồ thị  C2  Khi hồnh độ giao điểm (nếu có) hai đồ thị  C1   C2  nghiệm phương trình f  x   g  x  ; Giả sử x0 , x1 , nghiệm phương trình tọa độ giao điểm  C1   C2  M ( x0 ; f ( x0 )), M ( x1; f ( x1 )), * Sự tương giao đồ thị hàm số y  f  x  trục hoành: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  với trục hồnh nghiệm phương trình f  x   2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận quy tắc tìm khoảng đơn điệu hàm số, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Đặt vấn đề với câu hỏi sau: Câu hỏi 1: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  ? * Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  là: + Bước 1: Tìm tập xác định + Bước 2: Tính đạo hàm f ( x) Tìm điểm xi  i  1, 2,3, , n  mà đạo hàm không xác định + Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên + Bước 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Câu hỏi 2: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  , y  f  x  biết đồ thị (bảng xét dấu) hàm số y  f   x  ? Câu hỏi 3: Phát biểu quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hợp? Từ u cầu học sinh tìm khoảng đơn điệu số hàm số y  f  x  Qua hình thành “thói quen” giải toán 2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách giải nhanh số loại tốn Loại 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x  , y  f  x   1 Và y  f  x    biết đồ thị bảng xét dấu hàm số y  f ( x) Phương pháp: Bước 1: Tìm nghiệm xi  i  1, 2, , n  phương trình f   x   (là hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành) Bước 2: Xét dấu f   x  Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số, suy kết tương ứng Đối với hàm số (1) (2) ta thực xong bước sử dụng phép biến đổi đồ thị hàm số * Chú ý: + Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành ta gọi nghiệm đơn phương trình: f   x   + Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) tiếp xúc với trục hồnh ta gọi nghiệm kép (nghiệm bội chẵn) phương trình: f   x   + Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trục hoành suy khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị + Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trục hoành suy khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Mệnh đề đúng? A Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  1;  C Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  2;1 D Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  0;  Hướng dẫn: Chọn đáp án D + Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta có f ( x)   x   ; 2   (0; 2) f ( x)   x   2;0   (2; ) Ta có bảng biến thiên:  x -2 f ( x) - + f ( x) - + + Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x  f  x -2 + -1 - +  - + Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến khoảng khoảng đây? A  1;  B  2; 1 C  2;  D  4;  Hướng dẫn: Chọn A + Tính đạo hàm y  2 f ( x) + Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến y  2 f ( x)  2021  2 f   x    f ( x)  + Từ bảng xét dấu ta thấy f ( x)   x   ; 2    1;    4;   Ta chọn đáp án A Nhận xét : Qua ví dụ ta thấy học nắm vững phương pháp dễ dàng giải tốn mà khơng bị lúng túng chí nhầm lẫn đồ thị hàm số y  f ( x) với hàm y  f ( x) học Loại 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x)  f u  x   , g ( x)  f u  x   (3) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f ( x) Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x   Bước 2: Sử dụng đồ thị f   x  , lập bảng xét dấu g   x  Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Đối với hàm số (3) ta sử dụng công thức y  f ( x)  f ( x)  y  f ( x) f ( x) f ( x) Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u  x  f  u  x   Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f ( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng A  2;   B  2;1 C  ; 2  D  1;3 Hướng dẫn: Chọn B Cách 1:  x  (1; 4) Từ đồ thị hàm số y  f '( x) ta thấy f '( x)  với   x  1 nên f ( x) nghịch biến khoảng  1;  khoảng  ; 1 suy g ( x)  f ( x) đồng biến khoảng (4; 1)  1;  Khi đó: hàm số f (2  x) đồng biến biến khoảng (2;1)  3;   Cách 2:  x  1 1  x  Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có f   x     Ta có  f   x       x   f    x    f    x  Để hàm số y  f   x  đồng biến  f   x      f    x     x  1 x    1   x   2  x  Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu f   x  sau: Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng đây? A  3;  B  1;3 C   ;  3 D  4;5 Hướng dẫn: Chọn D 5  x   x    Ta có y  f    x   2 f    x   y   2 f    x    5  x  1   x  5  x   x  Ví dụ 1,2 tham khảo từ tài liệu tham khảo 8số [4]   x  3 x  5  x  ; f   2x      1   x  2  x   3   x  1 f    2x     x   3  x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  4;5  Ta chọn đáp án D Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu sau: Hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng đây? A  2;1 B  4; 3 C  0;1 Hướng dẫn: Chọn D D  2; 1 Ta có: Đặt: y  g ( x )  f  x  x  ; g ( x)   f ( x  x)    x   f ( x  x) g ( x)    x   f ( x  x)   x  1   x  1  x  1   x  x   2( VN ) 2 x       x  1  2  x  2x   f ( x  x)  x 1    x  x   x  3 (Trong đó: x  1  ; x  1  nghiệm bội chẵn PT: x2  x  ) + Ta có bảng biến thiên Ví dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo9số [4] 10 Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng  2; 1 Ta chọn D Chú ý: Cách xét dấu g ( x) : Chọn giá trị x    1; 1    x  x   g (0)  f (0)  ( dựa theo bảng xét dấu hàm f ( x) ) Suy g ( x)  x   1; 1   , sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy dấu g ( x) khoảng cịn lại Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) , đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng đây? A  4;6  B  1;2  Hướng dẫn: Chọn B C   ; 1 D  2;3   x Tacó: y  f   x   f    x     x f    x  ( x  3)   x  1 L   x  1  x   f   x    x    x  1 N  f   x     f   x       3 x  x  N   x  3  x     x  3 L x   Ta có bảng xét dấu f    x  : 10 11 Từ bảng xét dấu ta thây hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  1;2  Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f   x  đồng biến khoảng A  0;1 Hướng dẫn: Chọn B Cách 1: B  1;0  C  2;3 D  2; 1 2 Đặt y  g  x   f   x  Ta có: g   x   2 x f    x  x  g   x    2 x f    x      f   x   x  x    x  3  x  6    3  x  1  x  2 0   3  x   x  1 Bảng xét dấu g   x  : Suy hàm số y  f   x  đồng biến khoảng:  3; 2  ,  1;0  ,  1;  ,  3;   Vậy hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  1;0  Cách 2: Dựa vào đồ thị y  f   x  ta chọn y  f   x    x    x  1  x   Đặt y  g  x   f   x  Ta có: g   x   2 x f    x   2 x   x    x    x  11 12 x   x  3 g  x     x  2   x  1 Bảng xét dấu g   x  : Suy hàm số y  f   x  đồng biến khoảng:  3; 2  ,  1;0  ,  1;  ,  3;   Vậy hàm số y  f   x  đồng biến khoảng  1;0  Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  Biết đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ sau Hàm số g  x   f  x  3x  đồng biến khoảng đây? 1 1 1    C   ;  A  ;  B  ;    3 2 2  Hướng dẫn: Chọn C   1  D  2;   2 Cách Ta có g   x     x  f  x  3x  g   x      x  f  x  3x  2  x     2 x  x   x  Bảng xét dấu g   x   x  3x   12 13 1  Từ bảng ta có hàm số g  x   f  x  3x  đồng biến khoảng   ;  3  Cách 2: g   x     x  f  x  3x  Để hàm số g  x   f  x  3x  đồng biến Ví dụ 4,5,6 tham khảo từ tài liệu tham khảo số [5] 2  x    x  g   x      x  f  x  x        2   f  x  3x    f  x  3x   2  x  Trường hợp    f  x  3x   x     x 2 x  3x  0    x  x    2  x  x   Trường hợp   hệ vô nghiệm 2  f  x  3x     1  x  3x  1  Vậy hàm số g  x   f  x  3x  đồng biến khoảng   ;    Loại 3: * Bài tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x)  f u  x    v( x) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f ( x) Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u  x  f  u  x    v  x  Bước 2: Sử dụng đồ thị f   x  , lập bảng xét dấu g   x  Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u  x  f  u  x    v  x  Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u  x  f  u  x    v  x  13 14 Bước 3: Hàm số g  x  đồng biến K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x  nghịch biến K  g   x   0, x  K ) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g   x  để loại phương án sai * Bài tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số g  x   f u  x    h  x  Bước 1: Xét tính đơn điệu cảu hàm số f u  x    h  x  Bước 2: Sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt đối để tìm khoảng đơn điệu hàm số g  x  Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau x       0 0 f  x  Hàm số y  f  x    x  3x đồng biến khoảng đây? A  ; 1 Hướng dẫn: Chọn B B  1;0  C  0;  D  1;   Ta có: y   f   x     x  3  Với x   1;0   x    1;   f   x    , lại có x    y  0; x   1;0  Vậy hàm số y  f  x    x  3x đồng biến khoảng  1;0  Chú ý: +) Ta xét x   1;    1;    x    3;   f   x    0; x   Suy hàm số nghịch biến khoảng  1;  nên loại hai phương án A, D +) Tương tự ta xét x   ; 2   x    ;0   f   x    0; x    y  0; x   ; 2  Suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 2  nên loại hai phương án B Ví dụ : Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng ? 14 15   A 1;      B  0;   C  2; 1  D  2;3 Hướng dẫn: Chọn A Ví dụ 1,2 Ta x   ftừ 1tài  2liệu x  tham x  xkhảo  gsố'  [5] x   2 f '   x   x  cótham : g  khảo Đặt t   x  g   x   2 f   t   t g '  x    f '  t    t ’ Vẽ đường thẳng y   x đồ thị hàm số f '  x  hệ trục t  2  t  Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x    f '  t      t  1 x  2   x   1 2x   Như f    x   2 4   x  x3  3 1 3  Vậy hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến  ; và  ;   2 2 2        Mà 1;    ; nên hàm số g  x   f   x   x  x nghịch biến khoảng 1;   2 2 2  2 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  x  1  2019  2018 x đồng biến khoảng 2018 đây? 15 16 A  ; 3 B  ; 1 Hướng dẫn: Chọn C Ta có g   x   f   x  1  C  -1 ;  D  ;   x   1  x   g   x    f   x  1    f   x  1     x 1  x  2019  2018 x Từ suy hàm số g  x   f  x  1  đồng biến khoảng  -1 ;  2018 Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức f  x  có đạo hàm ¡ Biết f (0)  đồ thị hàm số y  f ( x) hình sau Hàm số g  x   f  x   x đồng biến khoảng đây? A  4;   B  0;  Hướng dẫn: ChọnB Xét hàm số h  x   f  x   x ¡ C  ; 2  D  2;  Vì f  x  hàm số đa thức nên h  x  hàm số đa thức h    f    Ta có h  x   f   x   x Do h  x    f   x    x 16 17 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y  f   x  đường thẳng y   x , ta có h  x    x   2;0; 4 Suy bảng biến thiên hàm số h  x  sau: Từ ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  sau: Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;  Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y  f ( x) cho hình vẽ Hàm số g ( x)  f  x    x  x  2020 đồng biến khoảng nào? A (0;1) Hướng dẫn: Chọn A B (3;1) C (1;3) D (2; 0) Ta có đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số y  f ( x) điểm x  1; x  1; x  hình vẽ bên Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có  x  1  1  x  f ( x)  x   f ( x)  x   1  x  x  + Trường hợp 1: x    x  , ta có g ( x)  f   x   x  x  2020 17 18 Ta có g ( x)  2 f    x   2(1  x)  1   x  0  x  g ( x)   2 f    x   2(1  x)   f    x    x    1  x   x  2 0  x  Kết hợp điều kiện ta có g ( x)     x  2 + Trường hợp 2: x    x  , ta có g ( x)  f  x  1  x  x  2020 g ( x )  f   x  1  2( x  1)  x   1 x  g ( x)   f   x  1  2( x  1)   f   x  1  x     1  x   2  x  Kết hợp điều kiện ta có g ( x)    x  Vậy hàm số g ( x)  f  x    x  x  2020 đồng biến khoảng (0;1) 2.3.4 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số f ( x) hình vẽ Hàm số y  f  cos x   x  x đồng biến khoảng A  2;1 B  0;1  1;  Ví dụ 3,4,5 tham khảo từ tài liệu tham khảoC số [4] D  1;0  Câu Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x)  f  3x  1  x  3x đồng biến khoảng   3  3 ;   0;  B 3       A   C  1;   D    3 ;  3   Câu Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y  f  x  1  x3  x  nghịch biến khoảng đây? 18 19 A   ; 2  Câu Cho hàm số B  1;    2 y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hàm số g( x) = f ( x2 + 2x + 2) nghịch biến khoảng khoảng sau ? A ( - ¥ ;- 1- 2) B ( - ¥ ;1) C Câu Cho hàm số 1  D  1;  C  1;7  y = f ( x) ( 1;2 ) D 2- (2 ) - 1;+¥ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình bên Hàm số g( x) = f ( x + 2x + 3- x + 2x + 2) đồng biến khoảng sau ? A ( C Ơ ;- 1) ổ ỗ ỗ ;+Ơ ç è2 B ÷ ÷ ÷ ø ỉ 1ư ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ỗ ố ứ 2ữ D ( - 1;+¥ ) 2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng toán xét khoảng đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ kết kiểm tra tiến rõ rệt Trong năm học 2021 – 2022, qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12B 12E đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 22,22 % 27,27 12E 33 % Kết kiểm tra lần Lớp Điểm 12B 36 23 63,997 % 13,88 % 0% 22 66,67% 6,06% 0% Điểm 5-6 19 Điểm 7-8 Điểm 9-10 20 Số HS thực SL nghiệm % SL 12B 36 0 10 12E 33 0 11 % 27,77 % 48,49 % SL 24 15 % 44,46 % 45,45 % SL % 10 27,77 % 6,06% KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập 3.2 Kiến nghị: Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính, ln trau dồi kiến thức, khơng ngừng tìm tịi, nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm đem lại hiệu cao trình giảng dạy Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích cực, chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Đối với nhà trường: nhân rộng đề tài khoa học nhà trường để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý vận dụng trình dạy học Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút 20 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24/ 05/ 2022 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Người viết: Lê Diễm Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục [2] Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2020 – Phan Đức Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam [4] Đề thi thử THPTQG trường THPT đề thi THPT QG năm Bộ GD& ĐT – Nguồn internet [5] Các chun đề luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2022 Nguyễn Bảo Vương 21 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Diễm Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn TT Tên đề tài SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ giải phương trình, hệ Kết Năm học Cấp đánh đánh đánh giá xếp giá xếp loại giá xếp loại loại Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa C 2015 – 2016 phương trình bất phương trình phương pháp nhân lượng liên hợp 22 23 23 ... chọn đề tài: ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh số tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối? ??’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2021 – 2022... Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách: giải nhanh số tốn xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cần thiết lí sau: Thứ nhất, học sinh trường THPT Nga Sơn có điểm... giải cụ thể cho dạng toán xét khoảng đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính